六年级数学奥数讲义练习表面积与体积(二)(全国通用版含答案)

表面积、体积知识点拨正方体的表面积：S=6a×a（棱长×棱长×6）体积：V=a×a×a（棱长×棱长×棱长）长方体的表面积：S=2×(ab+bc+ac)((长×宽＋长×高＋宽×高）×2）体积：V=a×b×c（长×宽×高）圆柱的表面积：S=2π*r*r+2π*r*h （2×π×半径×半径+2×π×半径×高）体积：V=π*r*r*h（π×半径×半径×高）圆锥的表面积：没有体积：V=S 底×h÷3（底面积×高÷3）例题精讲【例题 1】把 28.26 立方米的沙子堆成高是 3 米的圆锥形沙滩，沙滩的底面积是（）立方米。

A. 6.28B. 28.26C. 12.56D. 9.42【答案】圆锥的体积=1/3×底面积×高所以：底面积=体积×3÷高底面积=28.26×3÷3=28.26（立方米）【例题 2】一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之差是 24 立方分米，那么圆锥的体积是（）立方分米，圆柱的体积是（）立方分米。

【答案】圆锥体积 24÷（3-1）=24÷2=12（立方分米）则圆柱体积：12×3=36（立方分米）【例题自来水管的内半径是 1 水管内水的流速是每秒 8cm ， 一位同学去洗手，走时忘记关掉水龙头，10 分钟后才被另一个同学发现关上，问浪费了（ ）升水。

【答案】10 分钟=600 秒，1 厘米=0.1 分米，8 厘米=0.8 分米，3.14×0.1²×（0.8×600），=3.14×0.01×480，=3.14×4.8，=15.072（立方分米），=15.072（升）；答：浪费了 15.072 升的水． 故答案为：15.072． 【例题 4】一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，他们的体积和是 72 立方分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，圆柱体的体积是 （）立方分米。

六年级奥数1，1表面积与体积(tǐjī)六年级奥数1，1专题(zhuāntí)简析；小学阶段(jiēduàn)所学的立体图形主要有四种长方体·正方体·圆柱体和圆锥体。

从平面图形(túxíng)到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。

因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数·形”结合(jiéhé)的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。

在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点；（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。

（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。

反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。

（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。

若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。

例1，从一个棱长为10里面的正方体上挖去一个长10厘米·宽2厘米·高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？〔思路导航〕这是一道开放题，方法有多种；1)沿一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。

2)在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。

3)挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。

练习1，1，把一个长为12分米·宽为6分米·高为9分米的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方米？2，在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面机会发生怎样的变化？例2，把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，拼成一个立体图形(t úx íng)，求这个立体图形的表面积。

〔思路(s īl ù)导航〕要求(y āoqi ú)这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上·左·前三个方向(f āngxi àng)观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形。

教案
第二课时
注水体积：50×20×30－3000＝27000（立方厘米）
注水时间：27000÷9000＝3（分）
答：需要3分钟刚好将假石山完全淹没。

四、拓展延伸
（一）拓展延伸1
1.一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如下图所示），请你根据图中的数据，计算这个瓶子的体积。

1.学生读题，观察图形。

2.师生合作，教师引导。

师：结合图形，瓶子的体积，可以分为哪几部分呢？
生：水的体积+空余部分体积。

师：这两部分的体积该如何计算？能否转换为规则图形呢？尝试解答。

3.学生尝试解答，同桌之间讲解。

4.教师引导。

答案：
水的体积：4×10=40（立方厘米）
空余部分体积：（7-5）×10=20（立方厘米）
瓶子体积：20+40=60（立方厘米）
答：这个瓶子体积为60立方厘米。

（二）拓展延伸2
2.一个长方体的长为8分米，高为20分米，如果沿着水平方向把它横切成4个小长方体，表面积就增加了240平方分米，则原来长方体的体积为多少？
1.学生读题，寻找思路。

六年级数学奥数讲义练习面积计算（二）（全国通用版含答案）一、知识要点在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。

二、精讲精练【例题1】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

圆的面积。

【思路导航】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成14＝28.26（平方厘米）62×3.14×14答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。

练习1：1、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

2、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

3、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【答案】1.6×6×21=18（cm 2） 2.6×6=36（cm 2） 3.10×（10÷2）×21×2=50（cm 2） 【例题2】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。

从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。

3.14×2144－4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米）答：阴影部分的面积是8.56平方厘米。

练习2：1、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

2、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。

3、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。

【答案】1.（2+2）×2=8（cm 2）2.4×4×21=8（cm 2）3.42×3.14×41-4×4×21=4.56（cm 2） 【例题3】如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。

求长方形ABO1O 的面积。

【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。

立体几何——表面积与体积【例1】(★★)【温故】基本图形表面积体积6a a2 3 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？2(ab＋ac＋bc)abc 常用方法：三视图，阿基米德原理【例2】一个正方体木块，棱长是15。

从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体。

这个木块剩下部分的表面积最少是多少？【例3】(★★)如图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？1【例4】(★★★)【例5】(★★★)小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左，从上面看如下图右。

那么这个几何体至少用了_____块木块。

有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米。

把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。

如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？【例6】(★★★★★)【例7】(★★)如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔(边平行于正方体的棱)，且穿透。

另有一长方体容器，从内部量，长、宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米，内部有水，水深3 厘米。

若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水下部分的体积为___立方厘米。

图是4×5×6长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？2【知新】【例8】(★★★)基本图形表面积体积2πR2＋2πRhπR2h 如图，用高都是 1米，底面半径分别为 1.5米、 1米和. 。

多少平方米？( π取 3.14)1 3 πR2h 0.51111.5【例9】(★★★)(”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升。

立体图形的计算【表面积的计算】例1 一个正方体木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大小不等的长方体60块（如图5.69）。

那么，这60块长方体的表面积的和是平方米。

（1988年北京小学数学奥林匹克邀请赛试题）讲析：不管每次锯的长方体大小如何，横着锯2次一共增加了4个正方形面；前后竖直方向锯3次共增加了6个正方形面；左右竖直方向锯4次共增加了8个正方形面。

原来大正方体有6个正方形面，所以一共有24个正方形面。

所以，60块长方体的表面积之和是（1×1）×24＝24（平方米）。

例2 图5.70是由19个边长都是2厘米的正方体重叠而成的。

求这个立体图形的外表面积。

（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：如果按每一层有多少个正方体，然后再数出每层共有多少个外表面正方形，则很麻烦。

于是，我们可采用按不同的方向来观察的方法去计算。

俯视，看到9个小正方形面；正视，看到10个小正方形面；侧视，看到8个小正方形面。

所以，这个立体图形的表面积是（2×2）×[（9＋10＋8）×2]=216（平方厘米）。

【体积的计算】例1 一个正方体的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，如图5.71，纸盒的容积有多大？（π取3.14）（全国第四届“华杯赛”复赛试题）讲析：因圆柱体的高、底面直径以及正方体的棱长都相等。

故可设正方即：正方体纸盒的容积是800立方厘米。

例2 在一个棱长4厘米的正方体的上面、右面、前面这三个面的中心分别挖一个边长1厘米的正方形小孔（如图5. 72所示），并通过对面，求打孔后剩下部分的体积。

（北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛试题）。

讲析：打完孔之后，在大正方体正中央就有一个1×1×1的空心小正方体。

三个孔的体积是（1×1×4）×3-（1×1×1）×2=10（立方厘米）。

第28講表面積與體積（二）一、知識要點解答立體圖形的體積問題時，要注意以下幾點：（1）物體沉入水中，水面上升部分的體積等於物體的體積。

把物體從水中取出，水面下降部分的體積等於物體的體積。

這是物體全部浸沒在水中的情況。

如果物體不全部浸在水中，那麼派開水的體積就等於浸在水中的那部分物體的體積。

（2）把一種形狀的物體變為另一種形狀的物體後，形狀變了，但它的體積保持不變。

（3）求一些不規則形體體積時，可以通過變形的方法求體積。

（4）求與體積相關的最大、最小值時，要大膽想像，多思考、多嘗試，防止思維定。

二、精講精練【例題1】有大、中、小三個正方體水池，它們的內邊長分別為6米、3米、2米。

把兩堆碎石分別沉在中、小水池裏，兩個水池水面分別升高了6釐米和4釐米。

如果將這兩堆碎石都沉在大水池裏，大水池的水面升高多少釐米？中、小水池升高部分是一個長方體，它的體積就等同於碎石的體積。

兩個水池水面分別升高了6釐米和4釐米，兩堆碎石的體積就是3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）。

把它沉到大水池裏，水面升高部分的體積也就是0.7立方米，再除以它的底面積就能求得升高了多少釐米。

3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）0.7÷6的平方=7/360（米）=1又17/18（釐米）答：大水池的水面升高了1又17/18釐米。

練習1：1、有大、中、小三個正方體水池，它們的內邊長分別為4米、3米、2米。

把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水中，兩個水池的水面分別升高了4釐米和11釐米，如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池中，那麼大水池水面將升高多少釐米？2、用直徑為20釐米的圓鋼，鍛造成長、寬、高分別為30釐米、20釐米、5釐米的長方體鋼板，應截取圓鋼多長（精確到0.1釐米）？3、將表面積為54平方釐米、96平方釐米、150平方釐米的三個鐵質正方體熔鑄成一個大正方體（不計損耗），求這個大正方體的體積。

小学六年级奥数之立体图形的表面积和体积知识数学作为一门基础学科，其目的是为了培养学生的理性思维，养成严谨的思考的习惯，对一个人的以后工作起到至关重要的作用，特别是在信息时代，可以说，数学与任何科学领域都是紧密结合起来的。

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【篇一】四种常见几何体的平面展开图1.正方体沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的2.长方体沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。

这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的3.(直)圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。

它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。

这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。

4.(直)圆锥体沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。

它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。

【篇二】四种常见几何体表面积与体积公式1.长方体长方体的表面积=2 (a b+b c+c a)长方体的体积=a b c(这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高)。

2.正方体正方体的表面积=6 a2正方体的体积=a3(这里a为正方体的棱长)。

3.圆柱体圆柱体的侧面积=2 Rh圆柱体的全面积=2 Rh+2 R2=2 R(h+R)圆柱体的体积= R2h(这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高)。

【篇三】例题讲解一个长方体，前面和上面的面积和是2_平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。

这个长方体的体积和表面积各是多少?【思路导航】长方体的前面与上面的面积和是长_宽+宽_高=长_(高+宽)，由于长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有2_=___=__(_+2)，即长、宽、高分别为_、_、2厘米。

第28周表面积与体积（二）例题1：有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米。

把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米。

如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。

两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米，两堆碎石的体积就是3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）。

把它沉到大水池里，水面升高部分的体积也就是0.7立方米，再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。

3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）0.7÷6的平方=7/360（米）=1又17/18（厘米）答：大水池的水面升高了1又17/18厘米。

练习1：1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米。

把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？2、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到0.1厘米）？3、将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。

一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米、高是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。

如果铁块是全部沉入水中，排开水的体积是8×8×15=960（立方厘米）。

而现在瓶中水深是8厘米，要淹没15厘米高的铁块，水面就要上升15—8=7（厘米），需要排开水的体积是（3.14×10×10—8×8）×7=1750（立方厘米），可知铁块是部分在水中。