裂项相消法求和ppt课件

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高考数学一轮复习-裂项相消法求和课件

归纳总结
若an (an b) qn
令：an A(n 1) B qn1 (An B) qn bn1 bn
Sn a1 a2 a3 an1 an Sn b2 b1 b3 b2 b4 b3 bn bn1 bn1 bn
bn1 b1
①
an
1 n(n
4n2 1
2n 1 2n 1
解：令an A(n 1) B 2n1 (An B) 2n
则an 2An 2A 2B 2n (An B) 2n
2An 2A 2B An B 2n An 2A B 2n
A1 2A B 0 A 1 B 2
an (n 1) 2 2n1 (n 2) 2n (n 1) 2n1 (n 2) 2n
第六章数列
第四节数列求和—裂项相消法
必备知识·整合
〔知识梳理〕
等差数列
1.通项公式：
2.前n项和公式：
等比数列
1.通项公式： 2.前n项和公式：
a1(1 qn ) q 1 1 q
(1).公式法（已知等差或等比或特殊数列） (2).分组求和法 (3).倒序相加法 (4).错位相减法 (5).裂项相消法
角度4 差比型
例题已知an n 2n，求数列n bn1 bn
Sn a1 a2 a3 an1 an Sn b2 b1 b3 b2 b4 b3 bn bn1 bn1 bn
bn1 b1
(n 1) 2n1 2
1 1 an b an1 b
拓展2 混合型
(1)
n(n
1 1)(n
2)
1
2
1 n(n
1)
(n
1 1)(n
2)
(2) n 1 1 1 n2 (n 2)2 n2 (n 2)2

数列求和裂项PPT课件

2.数列求和时，先研究其通项公式，根据通项公式的特点选择相对应的求和方法；
3.用裂项求和时，要注意两点：一是通项公式能否恰好变为两项之差，有时还需要一个系数进行调节；二是正负项抵消时，剩下的项不一定是第一项和最后一项，还可能有其他情况；
4.用错位相减求和时，一定要注意计算要细心，以防出错。
n
解an
1
n n1
n 1
n
sn 2 1 3 2 n 1 n
n 1 1
练习2、sn
lg 2
lg
3 2
lg
4 3
lg
n 1 n
第4页/共11页
练习2、Sn
1
1 1 2
1
1 2
3
12Βιβλιοθήκη 1 3nan
1 n(1 n)
2 n(1 n)
2 1 n
1 n 1
2
第5页/共11页
常见的裂项式子有：
1 [(1 1) ( 1 1 )] 3 1 1 2 2 n 1 n 2 4 2n 2 2n 4
这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。第9页/共11页
点评小结：
（1）若数列的通项能转化为 an=f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项相消法求和，关键是裂项成功，
（2）使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项.
（3）求Sn方法的前提条件：找出通项，观察加以分析，看看适合哪一类型的求法。
第10页/共11页
谢谢您的观看！
第11页/共11页
-
1 3n-1
)
1 (3n-1)(3n+2)
=
1 3
( 3n1-1

高三理科数学数列求和裂项相消法.ppt

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 2334
n 1 n n n 1
1 1 n 1
1 11 1
2.
an
n(n 2)
( 2n
) n 2
Sn a1 a2 a3 a 1 1 1 1 1 )
21 3 2 4 3 5
2n 2n b 2n1 b
1 1 2n b 2n1 b
Sn
1 2
b
1 22 b
1 22
b
1 23 b
1 2n b
1 2n1 b
2
1
b
1 2n1
b
类型一
an
1 n(n
k)
1 k
(1 n
n
1
) k
例
1.数列{an}中,
an
1 n2
n
,
则{an}的前 n 项和
Sn=
.
变式：数列{an}中,a n
数列求和
解题方法指导—裂项相消法
课前热身：
1．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
)
A．1 解析：
5
1
1
B.6
C.6
D.30
an＝nn1＋1＝nn＋n1＋－1n ＝n1－n＋1 1
∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5
＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56.
(1)求 an 和 Sn.
1
(2)设 bn
log a2 n1
,数列
{ bn
bn2
}
的前
n
项
3
和为 Tn,求证:Tn< 4 .
【解析】(1)因为 a1,a2,a3 为某等差数列的第一、第二、第四项,所以 a3-a2=2(a2-a1),所以 a1q2-a1q=2(a1q-a1),因为 a1=1,所以 q2-3q+2=0, 因为 q≠1,所以 q=2,所以

裂项相消求和+课件-2025届高三数学一轮复习

数列求和裂项相消求和
一、学习目标
1.掌握裂项相消求和的基本方法和形式. 2.在用裂项相消法求数列和的过程中，掌握适用题型的特征及相消后所余项的判断.
一、复习数列相关知识：
12、、等等差比数数列列的的定定义义、、通通项项公公式式和和前前nn项项和和公公式式：：
二、裂项相消法定义：
裂项相消求和法是把数列的通项拆开（一般拆成两项之差），正负相消，剩下首尾若干项，再求和。
三、常见的几种裂项变形：
典型例题：
学生练习:
链接高考
拓展提升：
课堂小结: 通过这节课的学习你有什么收货？
作业布置：
不去耕耘，不去播种，再肥沃的土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不

高中数学必修5《数列求和-裂项相消法》PPT

常见的裂项公式：
（二）、典例：
谢谢大家！
二、教学重点和难点：重点：裂项相消的方法和形式。能将一些特殊数
列的求和问题转化为裂项相消求和问题。难点：用裂项相消的思维过程，不同的数列采用
不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问题。
பைடு நூலகம்
三、教学过程：（一）复习：
常用求和方法： 1.错位相减法：
适用于一个等差数列和一个等比数列（公比不等于1）对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和法：
把一个数列分成几个可以直接求和的数列的和（差）的形式. 3.倒序相加法：
如果一个数列中，与首尾两端“距离”相等两项的和等于同一个常数，那么可用倒序相加求和.
4.裂项相消法：
把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和.注意：在抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消。
适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标经历数列裂项相消法求和的探究过程、深化过程和推广
过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。
3 情感与价值观目标通过数列裂项相消求和法的推广应用，使学生认识到在
学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。
高中数学必修五数列求和之裂项相消法
考纲要求
考纲研读
1.掌握等差数列、等比数列的对等差、等比数列的求和以考
求和公式．
查公式为主，对非等差、非等
比数列的求和，主要考查分组
2.了解一般数列求和的几种方求和、裂项相消、错位相减等

裂项相消法微课堂.pptx

第7页/共10页
怎样的数列可以用裂项相消求和？
1. 通项为分式结构 2. 分母为两项相乘
1
型如：
an an1
{an}是d 0的等差数列
第8页/共10页
归纳小结裂项相消法
常见的拆项方法：
1 1 1 n(n 1) n n 1
1 n(n
k)
=
1（1 － 1 k n n+k
）
1
1( 1 1 )
(1)通项的分母是因式相乘的形式; (2)每项裂成两个式子的差；
(3)相邻两项裂开后，前一项的后式与后一项的前式互为相反数；
(4)裂项的关键是紧抓相邻两项的相同项；
第4页/共10页
数学运用练习 1.
、
n
n 1
A.2n 1
B.
2n
1
C.2n 1
2n 1
D.2n 2 2n 1
第5页/共10页
【解析】
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1
n 1 n
n 1 n
第9页/共10页
感谢您的观看！
第10页/共10页
=
第6页/共10页
数学运用
练习2
求
Sn
1 1 3
1 24
1 35
1 n(n
2)
解： an
1 n(n
2)
1 2
(1 n
n
1
) 2
Sn
1 2
(1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 n
n
1
) 2
1 (1 1 1 1 ) 3 2n 3 2 2 n 1 n 2 4 2(n 1)(n 2)

1数列求和之裂项相消法优质课件PPT全

1
nn
k
1 k
1 n
n
1
k
变式4：
求和：
Sn
1+ 1 1+2
1 1+2+3
1
1+2+3
n
例2 数列an的前n项和Sn , 通项公式an 2n1,
设bn
=
an +1 Sn Sn+1
，求:数列bn
的前项和Tn
bn
2n 2n 1 2n1 1
1
1
2n 1 2n1 1
1
Tn =1 2n1 1
1 n 1
n ,求其前n项和为Sn.
知识归纳
裂项相消法分式型
裂项相消法的一般步骤求通项裂项相消
裂项相消法常见裂项公式
求和
变式4：数列的通项公式an
nn
1
1 n
2
, 求其前n项和Sn.
n
n
1
1
n
2
1 2
n
1
n 1
n
1
1
n
2
Sn
=
1 2
1 2
n
1
1
n
2
变式1：已知数列an为等差数列,a1 1 ,a1 a2 a3
S 数列 bn
满足 bn
2n 1
anan1 2
求：数列 bn
的前n项和
n
bn
2n
n2 n
1
12
1 n2
1 n 1 2
提升
数列an的前n项和Sn ,通项公式an
1 n2
,
证明: Sn 2
小结

裂项相消法课件(微课堂)

三角函数中的应用实例
总结词
简化三角函数计算
详细描述
裂项相消法在三角函数中也有着重要的应用。对于一些复杂的三角函数式，如三角函数的乘积、除法等，可以利用裂项相消法将其拆分成易于处理的形式，从而简化计算过程。这种方法在解决三角函数相关问题时，如求值、化简等，能够大大提高解题效率。
数列求和中的应用实例
04裂项相消法的进阶技巧裂相消法的变形技巧变形技巧一
将通项公式变形为两个部分，使得相邻的项能够相互抵消，从而简化求和过程。
变形技巧二
通过调整系数或变量的形式，使得相邻的项具有相同的部分，以便于相消。
裂项相消法的组合技巧
组合技巧一
将多个裂项相消法的实例组合在一起，以解决更复杂的问题。
THANKS
感谢观看
求 (1/3 - 1/6 + 1/9 1/12 + ...) 的值。
这道题同样可以利用裂项相消法进行求解，但需要注意相邻两项之间的符号变化规律，正确拆分并相消各项。
高阶练习题与解析
总结词
练习题1
解析
练习题2
解析
挑战裂项相消法的复杂应用
求 (1/2 - 1/3 + 1/4 1/5 + ...) 的值。
组合技巧二
将裂项相消法与其他数学方法结合使用，以获得更广泛的应用。
裂项相消法的拓展技巧
拓展技巧一
通过推广裂项相消法的应用范围，将其应用于更广泛的数学问题中。
拓展技巧二
探索裂项相消法的深层次原理，进一步深化对这一数学方法的理解。
05
裂项相消法的练习题与解析
基础练习题与解析
总结词
练习题1
解析
这道题是裂项相消法的复杂应用，相邻两项之间的符号变化规律较为复杂，需要仔细观察并正确拆分各项，才能得到最终结果。

裂项相消ppt课件

精选
1
小试身手
应该怎样拆项？
精选
2
[思考探究]
用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用
裂项相消法的前提.一般地，形如{ 的数列可选用此法来求.
}({an}是等差数列)
精选
3
裂项法求和
例：求数列 1 ,1, 1, 1 , , 1 , (n N * ) 1 21 2 31 2 3 41 2 3 n
1[(1 1)(1 1) ( 1 1 )]
3 4 47
3n2 3n1
1(1 1 ) n
3 3n1 3n精选1
7
当堂测试
在等差数列{an}中，a5＝5，S3＝6.
(1)若Tn为数列{
}的前n项和，求Tn；
(2)若an＋1≥λTn对任意的正整数n都成立，求实数λ的最大值.
[思路点拨]
精选
8
[课堂笔记] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
的前n项和
提示： a n 1 2 1 nn (n 2 1 )2 (1 nn 1 1 )
S n 2 [ 1 1 2 1 2 1 3 1 n n 1 1 2 1 n 1 1 n 2 n 1
精选
4
当堂训练
1.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝
裂项相消法求和
所谓”裂项相消法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的项两彼此相消,就可以化简后求和.
一些常用的裂项公式:
(1)
1
nn 1
1 n
n
1
1
(2)(2n1)12n112
(1 1) 2n1 2n1
(3) 1 n(n 2)

高三理科数学数列求和裂项相消法ppt课件

28
1 { } * an=f(n+1)+f(n),n ∈ N , 记数列 an 的前 n 项和为 Sn, 则
Sn=10 时,n 的值是 A.110 B.120 ( ) C.130 D.140
17
【解析】选 B.因为幂函数 y=f(x)=xα过点(4,2),
1 所以 4α=2,所以α= 2 ,
所以 an=f(n+1)+f(n) n 1 n ,
18
1 1 1 1 类型三：an n n( n n1 ) n 1 2 b 2 b 2 2 b 2 b
例 3.已知
an 2
n
1 1令 bn an an1 ，
Tn 是数列 bn 的前 n 项和，
1 Tn 证明： 6．
19
1 bn n n 1 证明： 2 1 2 1
6
1 （3）an n 1 n n 1 n ( n 1 n )( n 1 n ) n 1 n
sn 2 1 3 2 4 3 n 1 n n 1 1
7
1 （3）变式an nk n
nk n an k ( n k n )( n k n ) 1 ( n 1 n) k
*
3 m (3)设 bn= an an 1 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 20
对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m.
24
解：(1)依题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.
由f′(x)＝6x－2得a＝3，b＝－2，
∴f(x)＝3x2－2x. 又由点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，得 S n ＝ 3 n 2－ 2 n .

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(4)an

log
a (1
1) n

__l__o__a_g (_n1)loag n
7
已知 Sn为数列an｝｛的n前项和，且S满 n n足 223n, （1）求数an的列通项（2）若 bn an1an1,求数列bn｝｛的n前项和 Tn
8
(15年全国)S卷 n为数列an｝｛的n前项和，已 an 知 0, an2 2an 4Sn 3 (1)求｛ an｝的通项公式（2）设 bn ana1n1,求数列bn｝｛的n前项和
数列求和（二）—— 裂项相消法
能力提升
1 ________
anan1
2
三、重难点点拨
• •
裂项
1 1 1 n(n1) n n1
• 请填空：
nn1212(1nn 12)
• 一般地： nn1k1k(1nn1k)
3
• 变式训练
已知 an nn21，求 Sn
已知 an n(n12),求Sn
4
三、增效练习
5
三、增效练习
6
常见的裂项求和
11 1
(1) a n

1 n(n
k)

( )
__k___n__ nk
(2)an

1 4n2 1

___12__(_2_n_1__ 12n11)
(3)an
1 n 1
____n___1 n n
18
在数列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan｝｛中， a1 若 1,an1 3an2, (1)证明数a列 n 1｛｝为等比数列 (2)求数a列 n的通项公式
19
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20
12
13
14
正项数{a列 n}满足 an2 (2n1)an 2n0
(1)求数{列 an}的通项公 an; 式
(2)令bn
1 (n1)an
,求数{列 bn}的前 n项和 Tn
15
16
17
在数a列 n｝｛中a， 11若 ,an12an3(n1), (1)证明数 an 列 3｝｛为等比数列 (2)求数 an的列通项公式
9
10
在数a列 n｝｛中 a1 ， 1,当 n2时，n其项前 S和 n2an(Sn1 2) (1)求数 Sn的列表达式（ 2）b设 n2nS n1,求b｛ n｝的 n项前T 和 n
11
已知等{a差 n}满数足 a列 3： 7,a5a72,6{an}的n前项和 Sn (1)求 an及 Sn (2)令 bnan211(nN*)求 , 数 {bn}列的n前项T 和 n