裂项相消课件,

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裂项相消法课件(微课堂)

数学运用练习 1.
、
n
n 1
A.2n 1
B.
2n
1
C.2n 1
2n 1
D.2n 2 2n 1
【解析】
=数学运用练习2求Sn1 1 3
1 24
1 35
1 n(n
2)
解： an
1 n(n
2)
1 2
(1 n
1 n
) 2
Sn
1 2
(1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 n
1 n
) 2
1 (1 1 1 1 ) 3 2n 3 2 2 n 1 n 2 4 2(n 1)(n 2)
1 n(n 1)
的和
（1）解：数列的通项公式
11 an n n 1
数列的和为
Sn
1
n
1
1
n
n
1
（2）解：
你能说“裂项相消求和法”的特征吗？
(1)通项的分母是因式相乘的形式; (2)每项裂成两个式子的差；
(3)相邻两项裂开后，前一项的后式与后一项的前式互为相反数；
(4)裂项的关键是紧抓相邻两项的相同项；
微课堂
复习引入
首先回忆前面学习过的数列求和的几种方法？
1、公式法：等差数列和等比数列 2、分组求和：通项为等差加减等比
例如 an 2n n2
接下来请同学看下面两个问题：
（1）1 1 1 1 1 1 1 1
22334
n n1
（2）求数列
1, 1 2
1 , 1 ,, 23 34
怎样的数列可以用裂项相消求和？
1. 通项为分式结构 2. 分母为两项相乘

知识点——裂项相消法PPT课件

第16页/共31页
第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有
意识地、有目的的进行探究，并解题成功.
bn
(1 n 1
1 ) 3n1 3n
裂项即逆用分式减法
3n1 3n
bn
n 1
n
Tn
3n1 3 n 1
点评：裂项相消法能够实施的条件是项与项之间的“轮转”，即前一项的减数与后一项被减数相同.
第17页/共31页
第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有
意识地、有目的的进行探究，并解题成功.
变式：已知数列数列{an}的首项、公差都是1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
(Ⅱ)令bn
n 1 Sn Sn1
(n
N *)，求数列{bn}的前
n项和Tn .
答案：(1)an
n, Sn
点评：该解法应用了三个思想: ①放大； ②裂项(使分母的两个因式都变为奇数)；③提高算式的精确度（部分项放大，另一部分不变）.
问题：能否只进行一次放大就解决问题呢？
首先改造通项公式：
bn
1 2n(2n 1)
1 4
1 n(n
1)
2
第25页/共31页
第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.
n(n 1) ; 2
2 (2) Tn 2 (n 1)(n 2) .
第18页/共31页
第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.
例6.设各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn ,
且Sn2 (n2 n 3)Sn 3(n2 n) 0(n N *).
(1 1 )] n n 1

第5讲--简便计算(四)——裂项相消法(精品文档)

第5讲简便计算（四）—— 列项相消法（拆分法）一：裂项相消法（拆分法）：把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法。

二：列项相消公式（1）111(n 1)1n n n =-++ （2）()11k n n k n n k =-++ （3）1111()(n )n k n n k k=-⨯++ （4）()()()()()1111121122n n n n n n n ⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪+++++⎝⎭ （5）11a b a b a b+=+⨯ （6）22a b b a a b a b+=+⨯ 三：数列（1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列。

(2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。

依次叫做这个数列的第一项（首项）、第二项、、、、、、第n 项（末项）。

（3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。

四：等差数列（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

而这个常数叫做等差数列的公差。

（2）等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2（3）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1（4）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）三：经典例题例1、111111112233445566778++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （例1、例2、例3的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公式111(n 1)1n n n =-++）例2、1111111 261220304256 ++++++例3、111111111 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 612203042567290110例4、111111 133557799111113 +++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯例5、11111315356399++++例6、111111+3+5+7+9315356399144771*********⨯⨯⨯⨯⨯例8、22222 +++++ 1335572001200320032005⨯⨯⨯⨯⨯例9、3579111315-+-+-+261220304256例10、354963779110561220304256-+-+-（例9和例10的运算符号是一减一加，分母能分解成两个连续数相乘，分子恰好是这两个数相加的和。

裂项相消法求和ppt课件

(4)an

log
a (1
1) n

__l__o__a_g (_n1)loag n
7
已知 Sn为数列an｝｛的n前项和，且S满 n n足 223n, （1）求数an的列通项（2）若 bn an1an1,求数列bn｝｛的n前项和 Tn
8
(15年全国)S卷 n为数列an｝｛的n前项和，已 an 知 0, an2 2an 4Sn 3 (1)求｛ an｝的通项公式（2）设 bn ana1n1,求数列bn｝｛的n前项和
数列求和（二）—— 裂项相消法
能力提升
1 ________
anan1
2
三、重难点点拨
• •
裂项
1 1 1 n(n1) n n1
• 请填空：
nn1212(1nn 12)
• 一般地： nn1k1k(1nn1k)
3
• 变式训练
已知 an nn21，求 Sn
已知 an n(n12),求Sn
4
三、增效练习
5
三、增效练习
6
常见的裂项求和
11 1
(1) a n

1 n(n
k)

( )
__k___n__ nk
(2)an

1 4n2 1

___12__(_2_n_1__ 12n11)
(3)an
1 n 1
____n___1 n n
18
在数列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan｝｛中， a1 若 1,an1 3an2, (1)证明数a列 n 1｛｝为等比数列 (2)求数a列 n的通项公式
19
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高中数学必修5《数列求和-裂项相消法》PPT

常见的裂项公式：
（二）、典例：
谢谢大家！
二、教学重点和难点：重点：裂项相消的方法和形式。能将一些特殊数
列的求和问题转化为裂项相消求和问题。难点：用裂项相消的思维过程，不同的数列采用
不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问题。
பைடு நூலகம்
三、教学过程：（一）复习：
常用求和方法： 1.错位相减法：
适用于一个等差数列和一个等比数列（公比不等于1）对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和法：
把一个数列分成几个可以直接求和的数列的和（差）的形式. 3.倒序相加法：
如果一个数列中，与首尾两端“距离”相等两项的和等于同一个常数，那么可用倒序相加求和.
4.裂项相消法：
把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和.注意：在抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消。
适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标经历数列裂项相消法求和的探究过程、深化过程和推广
过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。
3 情感与价值观目标通过数列裂项相消求和法的推广应用，使学生认识到在
学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。
高中数学必修五数列求和之裂项相消法
考纲要求
考纲研读
1.掌握等差数列、等比数列的对等差、等比数列的求和以考
求和公式．
查公式为主，对非等差、非等
比数列的求和，主要考查分组
2.了解一般数列求和的几种方求和、裂项相消、错位相减等

数列求和-裂项相消法_PPT课件

2 3 35 57
2n 3 2n 1 2n 1 2n 1
1 (1 1 ) 2 2n 1
数列求和-裂项相消法
例题探究·提炼方法
解：Q
bn
9n2
1 3n
2
(3n
1 2)(3n
1)
1 3
(1 3n
2
1) 3n 1
Tn b1 b2 b3 L L bn1 bn
1 (1- 1）（1 - 1）（1 - 1 ）L （ 1 1 ） ( 1 1 )
k)
1 k
(1 n
n
1
k
)
数列求和-裂项相消法
例题探究·提炼方法
解：Q
bn
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n 1)
1 2
(1 (2n 1)
1) (2n 1)
Tn b1 b2 b3 L L bn1 bn
1 (1- 1）（1 - 1）（1 - 1）L （ 1 1 ） ( 1 1 )
3 4 4 7 7 10
3n 5 3n 2 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) 3 3n 1
数列求和-裂项相消法
规律方法·反思提升
(1)an
1 n(n
k)
1 k
(1 n
n
1
k
)
(2)bn
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
(3)bn
9n2
1 3n
2
强化练习·扩展延伸
强化练习12：．.(2017·福州质检 ) 已知函数 f(x) ＝ xa 的图象过点 (4,2) ，令 an ＝

人教版高中数学必修五2.3数列裂项相消法求和课件

已知bn
2 n2 5n 6
, 求Sn
能力提升
已知数列an中, an
2n
1, bn
an
1 an1
求数列bn 的前n项和.
课堂小结
1.形如
an
k an1
(k为常数,
an
为等差数列)
的数列的求和问题采用裂项求和法
2.具体方法 : bn
an
k an1
k d
1 an
1 an1
小试牛刀
设an为公差大于零的等差数列，S n为数列an
例题讲解:
例1.求和 1 1
1
1 2 2 3
n(n 1)
思考:
把下列各式裂成两式之差 :
1
1 (1 1)
_2___3__;
1
_12 (_1n_ n_1_2)
1 3
n(n 2)
1
Байду номын сангаас
1 (1 1)
_3 _2__5__;
1
1( 1 1 )
2__n _1_n_ 3
25
(n 1)(n 3)
2.3 数列裂项相消法求和
请同学们思考下面几个问题:
1. 1 与1 1 什么关系? 1 与 1 1 呢?
1 2 2
23 2 3
2. 1 可以等价于哪个式子 ? n (n 1)
3.计算 1 1 1
1 2 23
n(n 1)
什么是裂项法?
把数列的通项拆成两项之差,则分母的每一项都可以按此法拆成两项之差,并在求和时一些正负项可以相互抵消,使前n项和变成首尾有限项之和.
若an1
an
d , (d
0).则
an

裂项相消ppt课件

精选
1
小试身手
应该怎样拆项？
精选
2
[思考探究]
用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用
裂项相消法的前提.一般地，形如{ 的数列可选用此法来求.
}({an}是等差数列)
精选
3
裂项法求和
例：求数列 1 ,1, 1, 1 , , 1 , (n N * ) 1 21 2 31 2 3 41 2 3 n
1[(1 1)(1 1) ( 1 1 )]
3 4 47
3n2 3n1
1(1 1 ) n
3 3n1 3n精选1
7
当堂测试
在等差数列{an}中，a5＝5，S3＝6.
(1)若Tn为数列{
}的前n项和，求Tn；
(2)若an＋1≥λTn对任意的正整数n都成立，求实数λ的最大值.
[思路点拨]
精选
8
[课堂笔记] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
的前n项和
提示： a n 1 2 1 nn (n 2 1 )2 (1 nn 1 1 )
S n 2 [ 1 1 2 1 2 1 3 1 n n 1 1 2 1 n 1 1 n 2 n 1
精选
4
当堂训练
1.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝
裂项相消法求和
所谓”裂项相消法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的项两彼此相消,就可以化简后求和.
一些常用的裂项公式:
(1)
1
nn 1
1 n
n
1
1
(2)(2n1)12n112
(1 1) 2n1 2n1
(3) 1 n(n 2)

高三理科数学数列求和裂项相消法ppt课件

28
1 { } * an=f(n+1)+f(n),n ∈ N , 记数列 an 的前 n 项和为 Sn, 则
Sn=10 时,n 的值是 A.110 B.120 ( ) C.130 D.140
17
【解析】选 B.因为幂函数 y=f(x)=xα过点(4,2),
1 所以 4α=2,所以α= 2 ,
所以 an=f(n+1)+f(n) n 1 n ,
18
1 1 1 1 类型三：an n n( n n1 ) n 1 2 b 2 b 2 2 b 2 b
例 3.已知
an 2
n
1 1令 bn an an1 ，
Tn 是数列 bn 的前 n 项和，
1 Tn 证明： 6．
19
1 bn n n 1 证明： 2 1 2 1
6
1 （3）an n 1 n n 1 n ( n 1 n )( n 1 n ) n 1 n
sn 2 1 3 2 4 3 n 1 n n 1 1
7
1 （3）变式an nk n
nk n an k ( n k n )( n k n ) 1 ( n 1 n) k
*
3 m (3)设 bn= an an 1 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 20
对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m.
24
解：(1)依题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.
由f′(x)＝6x－2得a＝3，b＝－2，
∴f(x)＝3x2－2x. 又由点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，得 S n ＝ 3 n 2－ 2 n .

北师大版高三数学高考第二轮专题数列求和之裂项相消法课件

an
(2n
1 1)(2n
1)
an
(2n
2n1 1)(2n1
1)
an
1 n 1
n
an
ln
1
1 n
情境引入
例题讲授
例1
已知
an =
n
2 n
1
，
求
Sn.
1 n
n
1 1
n
1
n 1
an
n(n2+1）= 2(
1 n
1) n 1
正项 1 1 1 1 234
负项 1 1 1 234
1 n 11 n n 1
111
11
Sn 2(1 2 2 3
) n n1
Sn
2(1
1 )= n 1
2n n 1
整理通项时提取的系数裂项相消后的余项
例题讲授
例1变式
已知
an =
1
nn
2 ，求
Sn.
an
n(n1+2）=
1 2
( 1 1 ) 正项 1 1 1 1
n n2
234
负项 1 1
34
Sn
1 2
(1
1 3
求
Sn.
2
已知 an
(n
2n 5 1)(n 2)3n
，求
Sn.
3
已知
an
=
n(n
1 1)(n
2)
，求
Sn.
4
已知
an =(
1)n
2n ， 4n2 1
求
Sn.
课堂小结裂项相消法的特点
数列通项一般是分式
型

裂项相消法微课堂.pptx

第7页/共10页
怎样的数列可以用裂项相消求和？
1. 通项为分式结构 2. 分母为两项相乘
1
型如：
an an1
{an}是d 0的等差数列
第8页/共10页
归纳小结裂项相消法
常见的拆项方法：
1 1 1 n(n 1) n n 1
1 n(n
k)
=
1（1 － 1 k n n+k
）
1
1( 1 1 )
(1)通项的分母是因式相乘的形式; (2)每项裂成两个式子的差；
(3)相邻两项裂开后，前一项的后式与后一项的前式互为相反数；
(4)裂项的关键是紧抓相邻两项的相同项；
第4页/共10页
数学运用练习 1.
、
n
n 1
A.2n 1
B.
2n
1
C.2n 1
2n 1
D.2n 2 2n 1
第5页/共10页
【解析】
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1
n 1 n
n 1 n
第9页/共10页
感谢您的观看！
第10页/共10页
=
第6页/共10页
数学运用
练习2
求
Sn
1 1 3
1 24
1 35
1 n(n
2)
解： an
1 n(n
2)
1 2
(1 n
n
1
) 2
Sn
1 2
(1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 n
n
1
) 2
1 (1 1 1 1 ) 3 2n 3 2 2 n 1 n 2 4 2(n 1)(n 2)

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注意：根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和
小试身手
应该怎样拆项？
[思考探究]
用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用
裂项相消法的前提.一般地，形如{ 列)的数列可选用此法来求.
}({an}是等差数
裂项法求和
例：求数列
1,
1 1
2
,
解得：a1＝1，d＝1，所以an＝n，
所以
，
Tn=
(2)若an＋1≥λTn，即n＋1≥λ
，
∴λ≤
，
又
＝n＋＋2≥4，当且仅当n＝，即n＝1时取
等号.任意n∈N*，不等式成立，故λ≤4，
∴λ的最大值为4.
1
1 2
3
,
1
2
1
3
4
,,
1
2
1 3
n
,(n
N
*
)
的前n项和
提示： an
1
1 2
n
2 n(n 1)
2( 1 n
1) n 1
Sn
2[1
1 2
1 2
1 3
1 n
1 n 1
21
1 n 1
2n n 1
当堂训练
1.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝
A.1
B.
C.
D.
，则S5等于 ()
裂项相消法求和
所谓”裂项相消法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的项两彼此相消,就可以化简后求和.
一些常用的裂项公式:
(1)
1
nn 1
1 n
1 n
1
(2)
(2n
1
1)2n
1
1 2
(
1 2n 1
1) 2n 1
(3) 1 1 (1 1 ) (4)
1
n1 n
n(n 2) 2 n n 2
n1 n
解析：∵an＝
，
∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5
答案：B
当堂训练
裂项法求和
求和
1 1 1
1
1 4 4 7 7 10 (3n 2)(3n 1)
提示：
(3n
1 2)(3n
1)
1 3
(1 3n
2
1 3n
ห้องสมุดไป่ตู้) 1
∴
1 1
1
1 4 4 7
(3n 2)(3n 1)
1 [(1 1) (1 1) ( 1 1 )]
3 4 47
3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
当堂测试
在等差数列{an}中，a5＝5，S3＝6.
(1)若Tn为数列{
}的前n项和，求Tn；
(2)若an＋1≥λTn对任意的正整数n都成立，求实数λ的最大值. [思路点拨]
[课堂笔记] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则