角动量算符的表象变换与坐标轮换[1]

§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换态和力学量算符的不同表示形式称为表象。

态有时称为态矢量。

力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。

1、量子态的不同表象 幺正变换（1）直角坐标系中的类比取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e,见图其标积可写成下面的形式)2,1,(),(==j i e e ijj i δ我们将其称之为基矢的正交归一关系。

平面上的任一矢量A可以写为2211e A e A A +=其中),(11A e A =，),(22A e A=称为投影分量。

而),(21A A A = 称为A在坐标系21XOX 中的表示。

现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e，且同样有)2,1,()','(==j i e e ijj i δ而平面上的任一矢量A此时可以写为 ''''2211e A e A A +=其中投影分量是),'('11A e A=，),'('22A e A =。

而)','(21A A A = 称为A在坐标系'X 'OX21中的表示。

现在的问题是：这两个表示有何关系？显然，22112211''''e A e A e A e A A+=+=。

用'1e 、'2e分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有),'(),'('2121111e e A e e A A+= ),'(),'('2221212e e A e e A A+=表成矩阵的形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A由于'1e、1e及'2e、2e的夹角为θ，显然有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ或记为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθθcos sin sin cos )(R 是把A在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。

角动量理论角动量是一个十分重要的物理量，因为在许多情况下，它是守恒量，从而可以作为态的标志之一。

通过它的数值和变化，可以研究微观体系的一些性质和变化规律。

在原子、分子、原子核理论中都会碰到这类问题。

角动量概念最早是从经典力学中提出来的，它的定义是L r p =⨯式中 L 为角动量， r为矢径（它们都是对某定点o 来说的），p 为质点运动的动量。

在量子力学中，我们可以用相同的关系来定义角动量，只是式中各量都以相应的算符来代替，可以用这样一种对易关系来作为角动量的一般定义，即：凡是满足对易关系ˆˆˆQQ i Q ⨯= 的算符 ˆQ都叫做动量算符。

课本第五章讲到轨道角动量。

轨道角动量的引入分为俩种途径：其一是同经典角动量进行类比而引入轨道角动量;其二是在讨论空间转动对称性时引入轨道角动量。

而自旋角动量的引入则是靠假定它与轨道角动量有相同的对易关系以及2z S =±的事实。

对于空间转动，远较平移和反演复杂，课本中则是研究有限转动算符的具体表示、空间转动群及其表示，以及与角动量算符的关系。

在三维位形空间中，取三个单位矢量 123,,e e e ,则矢量r 可写成31i i i r e r ==∑转动后成为31i i i r e r =''=∑现在对r实行转动Q,Q 只作用于矢量,所以由(22.3)式得()i ii i iir Qr Qe r e r ''===∑∑ 先看基矢的转动,利用三维位形空间的完全性关系: 1i iiee =∑有()i i j j i j ji jje Qe e e Qe e Q '===∑∑ij Q 是在基矢 123,,e e e 下的转动矩阵 ()Q =111213212223313233Q Q Q Q Q Q QQ Q ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭再看在同一基矢下新老两个矢量的分量i r '与i r 之间的关系,有：i i j ji i j jiijjr e r e Q r e r '''===∑∑∑ j ji i ir Q r '=∑这是坐标轴不动时矢量在转动变换Q 作用下其分量的改变。

第四章 力学量用算符表示与表象变换 §4.1 算符的运算规则这里介绍量子力学的另一个基本原理。

力学量可以用算符来表示,如即),(ˆ~),(r i F r p F ∇-比如Hamitonian 算符)(2)(2ˆˆ222r V mr V m p H +∇-=+= 其中动量算符∇-= i pˆ,且xi p x ∂∂-= ˆ。

又如能量ti H∂∂= ˆ等。

1、算符的定义表示运算的符号叫算符，又叫作用量。

如x d d ，⎰，，*)( 等。

线性算符：如果算符Â满足下列条件22112211ˆˆ)(ˆψψψψA c A c c c A +=+（1c ，2c 为任意复常数） 则算符Â是线性算符刻画可观测物理量的算符都是线性算符。

如∇-= i pˆ是线性的，⎰是线性的。

但容易证明，取逆算符等不是线性算符。

*)( 也不是线性算符。

因为*)( 把1c 、2c 也变成复共轭了，即*******)(221122112211ψψψψψψc c c c c c +≠+=+（通常）2、算符的运算性质（1）算符相等：ψψB Aˆˆ=对于任意的波函数都成立，则B A ˆˆ=。

（特例：若ψψ=I ，则称为单位算符）（2）算符相加：ψψψB A B Aˆˆ)ˆˆ(+=+，这是算符最基本的运算。

交换率和结合率：A B B Aˆˆˆˆ+=+，C B A C B A ˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ++=++ （3）算符乘积：ψψ)ˆˆ()ˆ(ˆB A B A=。

运算依次从右向左进行。

注意算符的乘积一般不对易。

A B B Aˆˆˆˆ≠。

（4）算符对易：如果算符A ˆ、B ˆ满足关系0ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[=-=A B B A B A ，即A B B A ˆˆˆˆ=，则称算符Aˆ、B ˆ对易。

讨论两个算符是否对易，一般是将它们作用在任意波函数上，看它们是否相等。

若相等,则对易。

比如将要讨论的位置算符x 和动量算符xi p x d dˆ -=的对易关系。