9-10-模糊模型识别 最大隶属原则 内积外积

数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。

例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。

随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。

模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。

统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。

在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。

对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。

模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。

本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。

1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。

如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。

在此，总是假设问题的论域是非空的。

为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。

对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。

于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。

所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。

第二十二章 模糊数学模型模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学，是在美国控制论专家A. Zadeh 教授于1965年提出的模糊集合（Fuzzy Set ）基础上发展起来的一门新兴的数学分支。

这门学科经过多年的发展。

它在现实世界中的应用越来越广泛。

§1 模糊数学基本知识1.1 集合与特征函数集合是现代数学的重要概念。

一般地说，具有某种属性的事物的全体或确定对象的汇总称为一个集合。

不含任何元素的集合称为空集，记为Φ。

由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为Ω。

若集合Ω⊆A ，则将集合},|{Ω∈∉x A x x 且称为集合A 的补集，记为c A 。

集合及其性质可用所谓特征函数来描述。

定义 1 设Ω为全集，A 为Ω的子集，则集合A 的特征函数指的是Ω到集合}1,0{=V 的一个映射A μV A →Ω:μ)(x x A μ→其中对应规则A μ满足⎩⎨⎧∉∈=Ax A x A 01μ 集合的特征函数具有以下性质：)}(),(m ax {)(x x x B A B A μμμ=Y ，记作)()(x x B A μμ∨)}(),(m in{)(x x x B A B A μμμ=I ，记作)()(x x B A μμ∧)(1)(x x A A cμμ-= 1.2 模糊集合1.2.1 模糊集合的概念对于普通集合A 及其余集c A ，任何元素A x ∈或cA x ∈，二者必居其一，且仅居其一；用特征函数来表示就是0)(=x A μ或1)(=x A μ有且仅有一个成立。

然而，客观世界中存在着大量的模糊概念，如“高个子”，“老年人”，这些概念无法用普通集合表示，因为这些概念与其对立面之间无法划出一条明确的分界线。

为了研究和处理这类模糊概念（或现象），就需要把普通集合引申到模糊集合，用特征函数来描述就是将集合的特征函数的值域由}1,0{两个数扩展到闭区间]1,0[，这就是建立模糊集合的基本思想。

下面我们把所讨论对象的全体称为论域。

模糊数学方法模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学．这里模糊性是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性．比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文水平“很高”与“较高”等等．从一个等级到另一个等级间没有一个明确的分界，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程，这个现象叫中介过渡．由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性．在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。

这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。

这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。

根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。

这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。

为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。

模糊数学的理论基础是模糊集。

模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。

模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。

实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。

从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。

在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。

在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。

第6讲模糊模式识别（第三章模糊模式识别）一、模式识别一般原理1.模式识别的概念模式识别是人工智能的一个重要方面，也是一门独立的学科。

模式：用数学描述的信息结构或观察信号。

模式识别就是把要辨别的对象，通过与已知模式进行比较，从而确定出它和哪一个模式相类同的过程。

2.模式识别系统人们识别事物时，首先要对事物进行观察，抓住特点，分析比较，才能加以判断和辨别，而机器进行模式识别也同样要有这些过程。

因此模式识别系统通常由以下四个部分构成：①传感器部分：这是获取信息的过程。

比如摄像头就象人的眼睛，把图像信息变为电信号，麦克风象人的耳朵，获取声音信号，又如霍尔元件可以感受磁场，压电陶瓷可以把力转换为电信号等等。

②预处理部分：这是对信息进行前端处理的过程。

它把传感器送来的信号滤除杂波并作规范化、数字化。

③特征提取部分：这是从信号中提取一些能够反映模式特征的数据的过程。

④识别判断部分：这是根据提取的特征，按照某种归类原则，对输入的模式进行判断的过程。

二、模糊模式识别模糊模式识别主要是指用模糊集合表示标准模式，进而进行识别的理论和方法。

主要涉及到三个问题：（1）用模糊集合表示标准模式；（2）度量模糊集合之间的相似性；（3）模糊模式识别的原则。

例3.1 邮政编码识别问题识别：0，1，2，……，9关键：1）如何刻化，0，1，……，9（如何选取特征？）（区分）2）如何度量特征之间的相似性？ 1．模糊集合的贴近度贴近度是度量两个模糊集合接近（相似）程度的数量指标，公理化定义如下：定义3.1 设,,()A B C F X ∈，若映射[]:()()0,1N F X F X ⨯→ 满足条件：①(,)(,)N A B N B A =； ②(,)1,(,)0N A A N X φ==； ③若A B C ⊆⊆，则(,)(,)(,)N A C N A B N B C ≤∧。

则称(,)N A B 为模糊集合A 与B 的贴近度。

N 称为()F X 上的贴近度函数。

模糊识别一：解决的主要问题：已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别.模型识别在实际问题中是普遍存在的.例如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信件时要识别邮政编码，科学家对生物种群的识别等等，这些都是模型识别.（模糊模型识别：所谓模糊模型识别,是指在模型识别中,模型是模糊的.也就是说,标准模型库中提供的模型是模糊的.）二：模型与求解方法：第一类模糊识别（识别的对象是单个确定的元素）1：识别的原则：（1）为了能识别待判断的对象x = (x1, x2,…, x n)T是属于已知类A1, A2,…, Am中的哪一类？事先必须要有一个一般规则, 一旦知道了x的值, 便能根据这个规则立即作出判断, 称这样的一个规则为判别规则.判别规则往往通过的某个函数来表达, 我们把它称为判别函数。

一旦知道了判别函数并确定了判别规则，最好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为回代检验，以便检验你的判别函数和判别规则是否正确.（2）模糊向量的内积与外积定义 称向量a = (a 1, a 2, …, a n )是模糊向量, 其中0≤a i ≤1. 若a i 只取0或1, 则称a = (a 1, a 2, …, a n )是Boole 向量.设 a = (a 1, a 2, …, a n ), b = (b 1, b 2, …, bn )都是模糊向量，则定义内积： a °b = ∨{(a k ∧b k ) | 1≤k ≤n }； 外积：a ⊙b = ∧{(a k ∨b k ) | 1≤k ≤n }.内积与外积的性质(a °b ) c = a c ⊙b c ; (a ⊙b ) c = a c ° b c .（3）最大隶属原则：最大隶属原则Ⅰ 设论域X ={x 1, x 2, … , x n }上有m 个模糊子集A 1, A 2, … , Am (即m 个模型),构成了一个标准模型库,若对任一0x X ∈,有k ∈{1, 2, … , m },使得{}010200()(),(),....,()k m A x A x A x A x =∨，则认为0x 相对隶属于k A 。

模糊隶属度计算公式模糊隶属度计算公式是模糊数学中一个重要的概念，它可以用于描述某一个事物或现象在不同特征值下所呈现的程度或强度。

在现实世界中，很多情况都不是非黑即白的，而是存在着模糊性和不确定性，这时候就需要使用模糊隶属度计算公式来处理这种模糊性。

模糊隶属度的概念最早由L. A. Zadeh提出，他认为在现实生活中，许多事物或概念具有模糊性，即具有一定的隶属度。

例如，我们不能说一个人的年龄完全是成年或未成年，而应该说他的年龄是具有一定的成年或未成年的隶属度。

在模糊隶属度计算中，需要考虑一个事物或现象在不同特征值下的隶属程度，这通常通过计算它们各自的隶属度来实现。

在计算模糊隶属度时，需要采用一些模糊集合的基本概念和运算，如隶属度函数、模糊逻辑运算等。

在此基础上，可以通过一些数学方法来计算模糊隶属度，常见的计算方法包括模糊熵、模糊相似度等。

其中，模糊熵是一种比较常见的计算方法，它是用来衡量某一模糊集合的不确定性或模糊程度的。

假设有一个离散模糊集合$X=\{x_1,x_2,...,x_n\}$，其隶属度函数为$\mu(x_i)$。

则模糊熵的计算公式为：$H(X)=-\sum_{i=1}^{n}\mu(x_i)\ln \mu(x_i)$另一个常用的计算模糊隶属度的方法是模糊相似度，它可用于计算两个模糊集合之间的相似程度。

假设有两个离散模糊集合$A=\{x_1,x_2,...,x_n\}$和$B=\{y_1,y_2,...,y_m\}$，它们的隶属度函数分别为$\mu_A(x_i)$和$\mu_B(x_i)$。

则模糊相似度的计算公式为：$Sim(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}min\{\mu_A(x _i),\mu_B(y_j)\}}{\sum_{i=1}^{n}\mu_A(x_i)+\sum_{j=1}^{m}\ mu_B(y_j)}$其中$min\{\mu_A(x_i),\mu_B(y_j)\}$表示$x_i$和$y_j$的隶属度函数中较小的那个值。

模糊决策最大隶属度法
模糊决策最大隶属度法是一种基于模糊数学理论的决策方法。

它将决策问题转化为数学模型，通过计算每个决策方案对应的隶属度值来进行决策。

具体来说，模糊决策最大隶属度法首先确定决策问题的决策因素和决策方案，并对它们进行模糊化处理，得到模糊决策矩阵。

然后，针对每个决策方案，计算其与各个决策因素的隶属度值，并综合得出其最大隶属度值。

最后，选择具有最大隶属度值的决策方案作为最终决策。

模糊决策最大隶属度法适用于决策问题较为复杂、决策因素之间存在相互影响和相互制约的情况。

它能够有效地处理模糊信息，提高决策的准确性和可靠性。

- 1 -。