浙江省杭州市西湖高级中学2017-2018学年高二5月考数学试题 Word版含解析

杭州西湖高级中学高二年级数学周考卷（一）姓名：一、选择题（共10题，每小题3分）１．图（1）是由哪个平面图形旋转得到的 （ ）A B C D２．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是 （ ）A ．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B ．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C ．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D ．斜二测坐标系取的角可能是135°3．将半径为R 的半圆卷成一个圆锥，该圆锥的体积是（ ）A 3RB 3R 3R 3R ４．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A ．三棱锥B ．四棱锥 Ｃ．五棱锥 Ｄ．六棱锥5．一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是 （ ）A. 3πB. 4πC. 2π D. π 6．圆锥的母线长为l ，高为12l ，则过圆锥顶点的最大截面的面积为（ ） Ａ．24 Ｂ．212l Ｃ．22Ｄ．214l 7．在ABC ∆中，2, 1.5,120,AB BC ABC ==∠= 若使ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）Ａ．92π Ｂ．72π Ｃ． 52π Ｄ．32π 8．用两个平行平面截半径为５的球，所得圆面的周长分别为6,8ππ，则这两个截面之间的距离等于（ ）Ａ．１ Ｂ．７ Ｃ． １或７ Ｄ．３或４9．已知等比数列{}n a 的公比13q =-，则13572468a a a a a a a a ++++++等于( ) A.13- B.3- C.13D.310．已知等差数列n a n 的前}{项和为n S ，若1m >，且2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m 等于（ ） A 38 B 20 C 10 D 9二、填空题（共4题，每小题4分）11．已知正三棱锥（底面是正多边行，顶点在底面的射影为底面中心）的侧面积为2cm ，高为3cm ，则它的体积为12．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是_________.13．已知*)(2142N n a S n n n ∈--=- 则 通项公式n a = 14．降水量是指水平地面上单位面积降水的深度，如果用上口直径为38cm ，底面直径为24cm ，深度为35cm 的圆台形水桶来测量降水量，且在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是水桶深度的17，则这次降雨的降水量为 （精确到1mm ）三、解答题15．右图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸 (单位:m )，求该几何体的表面积和体积.16．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的半径比是1:4，截去的圆锥的母线长是3cm ，求截得的圆台的母线长。

浙江省杭州市西湖⾼级中学2014-2015学年⾼⼆下学期5⽉⽉考数学（理）试题Word版含答案杭西⾼2015年5⽉⾼⼆数学试卷问卷出卷⼈：徐斌华审卷⼈：钱敏剑⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题3分，共24分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1.设全集U R =，集合{}{}2,1,1,(1)(2)0A B x x x =--=+-<，则U AC B =（▲）． A ．{}2,1-- B ．{}2,1- C ．{}1,1- D ．{}2,1,1-- 2. 某⼏何体的正视图如左图所⽰，则该⼏何体的俯视图不可能．．．的是（▲）3．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（▲）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度 4.已知两条不同的直线,l m 和两个不同的平⾯,αβ，有如下命题：①若,,//,////l m l m ααββαβ??，则；②若,//,//l l m l m αβαβ??=，则；③若,//l l αββα⊥⊥，则，其中正确命题的个数是( ▲ ) A.3B.2C.1D.05．若函数()(01)xxf x ka a a a -=->≠且在（-∞，+∞）上既是奇函数⼜是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图象是（▲）6．已知直线)(2sin cos :R y x l ∈=?+?ααα，圆0sin 2cos 2:22=?+?++y x y x C θθ )(R ∈θ，则直线l 与圆C 的位置关系是（▲）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与θα,相关7．已知函数?>-≤+=0,420,1)(x x x x f x ，若函数])([a x f f y +=有四个零点，则实数a 的取值范围为（▲）A ．)2,2[-B ．)5,1[C ．)2,1[D ．)5,2[-8．如图，⊙O ：1622=+y x ，)0,2(-A ，)0,2(B 为两个定点，l 是⊙O 的⼀条切线，若过A ，B 两点的抛物线以直线l 为准线，则该抛物线的焦点的轨迹是(▲ )A ．圆B ．双曲线C ．椭圆D ．抛物线⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分）9．已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，⾸项41=a ，且1351,,a a a 依次成等⽐数列，则该数列的通项公式=n a ▲，数列}2{n a 的前6项和为▲ .10．若实数y x ,满⾜不等式组??-≥≤+≥-1422y y ax y x ，⽬标函数y x z 2+=.若1=a ，则z 的最⼤值为▲；若z 存在最⼤值，则a 的取值范围为▲．11. M 是抛物线x y 42=上⼀点，F 是焦点，且4=MF ．过点M 作准线l 的垂线，垂⾜为K ，则三⾓形MFK的⾯积为▲．该抛物线的焦点与双曲线22221x y a b-=的⼀个焦点相同，且双曲线的离⼼率为2，那么该双曲线22221x y a b-=的渐近线⽅程为___▲______.12．设函数3[11]()93(13)22x x f x x x ?∈-?=?-∈??，，，，，，则3(log 2)f -=____ ▲____；若(())[01]f f t ∈，，则实数t 的取值范围是___▲_ __.13.已知ABC ?的⾯积为S ，且S AC AB 2=?．求cos A = ▲．14．设函数12()log f x x =，给出下列四个命题：①函数()f x 为偶函数；②若()()f a f b = 其中0,0,a b a b >>≠，则1ab =；③函数2(2)f x x -+在()1,2上为单调增函数；④若01a <<，则(1)(1)f a f a +<-。

杭西高2018年5月高二技术试卷 命题人、审核人 陈国柱 钟彩丽第一部分 信息技术部分（共50 分）一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24 分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1.下列有关信息和信息技术的说法不正确．．．的是 A. 多媒体技术和网络技术是信息社会中极为重要的信息表达技术 B. 古代没有电脑、没有网络，也没有信息技术 C. 对朋友圈里的信息进行点赞属于信息的个人推荐评价D. 智能手机为用户提供了设置屏幕锁的功能，其主要目的是为了提升手机信息的安全性 2. 小张对A.bmp 图像文件（如第2题图所示）进行如下处理，利用Winrar 将A.bmp 进行压缩，得到B.rar 文件；利用Photoshop 软件将A.bmp另存为C.jpg ；把A.bmp 重命名为D.jpg ，下列说法正确的是A. A.bmp 到B.rar 的转换为有损压缩 B. A.bmp 的存储容量比D.jpg 的存储容量要大C. C.jpg 不能用“画图”程序打开D. C.jpg 的存储容量比D.jpg 的存储容量要小3. 小丁利用Word 软件编辑了一篇关于中国文字的文档，部分界面如第3题图所示。

下列说法正确的是A. 这段文字共有1处修订，2处批注B. 文中的图片采用的环绕方式为四周型C. 图中Mike2用户添加的批注内容为：“也叫正楷、真书、正书。

”第3题图第2题图D. 若要对整篇文档中的多处“甲骨文”文字设置为红色加粗格式，可用查找替换功能实现4. 已有Access 软件创建的“部分食品进货数据”表结构及数据表如第4题图所示，下列四个选项中能作为记录添加进该表的是A. 3，大白兔奶糖454g ，29.8元，15，2017年12月25日B. 3，大白兔奶糖454g ，29.8，15，二〇一七年十二月二十五日C. 7，大白兔奶糖454g ，29.8，15，2017-12-25D. 8，大白兔奶糖454g ，29.8元，15，201712255. 某算法的部分流程图如第5题图所示，执行这部分流程图后，变量i ，s 的值分别是A. 10，2B. 13，2C. 10，22D. 13，22 6. 使用UltraEdit 软件观察字符“2018, Open Happiness!”的内码，部分界面如第6题图第4题图5题所示。

浙江省杭州市西湖高级高二下学期5月月考试数学（理）试卷一 、选择题： 本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合U=R ，集合M ＝{|1}x x >，P ＝2{|1}x x >,则下列关系正确的是（ ▲ ） A. M=P B. (C U M)⋂P=Φ C. P ⊆M D. M ⊆P2.函数()21log f x x =+和()12x g x +=在同一直角坐标系下的图像大致是（ ▲ ）3．函数cos y x =的一个单调递增区间为 ( ▲ ) A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 4．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的 ( ▲ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若+=⋅a b a b ，则n = ( ▲ ) A ．3- B ．1- C ．1 D ．36．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=uu r uu r uu u r uu u r，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是 ( ▲ ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．347.函数f (x )=ln x –x2的零点所在的大致区间是 ( ▲ ) A ．(1, 2) B ．(2, 3) C ．(1,e1)和(3, 4) D ．(e, +∞)8.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为（▲） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，， C ．(1)(1)-∞-+∞，， D ．(10)(01)-，，9.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是 （ ▲ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]310.b a x b a x f -++=2)2()(，)0(≥a ，且当]1,0[∈x 时恒有1)(≤x f ，则)1(-f 的最大值为（ ▲ ）A ．3B ．-3C ．6D ．-6 二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分. 11．计算222log 32+＝ ▲ .12. 方程||(cos1)1x a =+有两个根，则a 的范围为 ▲ . 13. ()cos 2sin ,[0,]2f x x x x π=+∈的值域为 ▲ .14．函数5()sin 1f x x x =++(x ∈R ),若()2f a =,则()f a -的值为 ▲ . 15．已知3,,sin 25πθπθ⎛⎫∈=⎪⎝⎭，则tan θ= ▲ ．16．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = ▲ ．17．已知向量(4,0),(2,2),AB AC ==u u u r u u u r则BC AC 与的夹角的大小为 ▲ .三、解答题：（10+10+10+12，共42分，请写出必要的解题步骤）18.（本题满分10分）设函数21()log 1xf x x-=+. （I ）讨论该函数的奇偶性。

浙江省杭州市西湖区重点中学2014-2015学年高二下学期5月月考数学文一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集U R =，集合{|3},{|05},A x x B x x =≥=≤<则集合()U C A B =I （ B ） A ．{|03}x x << B ．{|03}x x ≤< C ．{|03}x x <≤D ．{|03}x x ≤≤2．“a ＞b ”是“11a b<”的 （ D ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．设三个互不重合的平面,,αβγ，两条不重合的直线,m n ，则下列命题中正确的是（ B ） A ．若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥ B ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m β C ．若αβ⊥，m α⊥，则//m β D ．若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥ 4. 要得到函数sin y x =的图象，只需要将函数cos()3y x π=-的图象 （ A ）A．向右平移个单位 B ．向右平移个单位 C ．向左平移个单位 D ．向左平移个单位5．实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥8121y x x y y ，则函数m y x z ++=的最小值为2-,则实数m 为 （ A ）A. -4B. -3C. -2D. -16．函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的区间是 （ C ）A ．)1,21(B ．)1,1(-eC ．)2,1(-eD ．),2(e7. 已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的渐近线与圆C: (x )2+y 2=1相切，则双曲线的离心率是 （ D ）A.2B.38. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(2+x)=f(－x)，当0≤x≤1时，f(x)=x 2，则f(2015)= （ A ）A.－1B.1C.0D.20152二、 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

杭西高2018年5月考高二数学试卷本试卷有卷I 和卷II 组成，卷I 为《数学选修2—2》的模块考卷，分值100分；卷II 为加试部分，分值50分，总分150分。

卷I一、选择题（每小题4分，共40分）1．“a ＝0”是“复数z ＝a ＋bi 为纯虚数”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．复数2i i z +=(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 7＋b 7＝( )A ．18B ．29C ．47D ．764．证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n <n ＋1(n >1)，当n ＝2时，中间式子等于 ( )A ．1B ．1＋12C ．1＋12＋13D ．1＋12＋13＋145．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( ) A ．a 1a 2a 3…a 9＝29 B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29 C ．a 1a 2…a 9＝2×9 D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9 6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( ) A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60° C ．假设三内角至多有一个大于60° D ．假设三内角至多有两个大于60°7．复数()()223456z m m m m i =--+-- ()m R ∈在复平面内所对应的点位于第四象限,则m 的取值范围是( )A ．(-1，6)B ．(－∞，1)C ．(4,6)D ．(1，＋∞) 8．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间(-3,-1)内单调递增；②当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ③函数y ＝f (x )在区间()4，5内单调递增；④当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．③ 9．设函数f (x )在x =1处存在导数为2,则()()113x f x f lim x∆→+∆-∆= ( )A ．23B ．6C ．13D ．1210．设函数f(x)＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f(x)的极大值点B ．x ＝1为f(x)的极小值点C ．x ＝－1为f(x)的极大值点D ．x ＝－1为f(x)的极小值点 二、填空题（每小题4分，共20分）11．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为____________． 12．复数z ＝i1＋i (其中i 为虚数单位)的虚部是________．13．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.14．已知f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(π)＝________．15．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． 三、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知函数()322f x x x x =-++（Ⅰ）求曲线()f x 在点(1,f(1))处的切线方程; （Ⅱ）求经过点A （1,3）的曲线()f x 的切线方程.17．用数学归纳法证明：当n ∈N *时，1＋22＋33＋…＋n n <(n ＋1)n .18．已知函数f (x )＝a3x 3＋x 2－2ax －1，f ′(－1)＝0.（Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）如果对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3，求b 的取值范围．卷II一、选择题（每小题5分，共10分）1．已知A,B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 2．已知函数()y f x =的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是12y x =+2,则()()11f f +'的值等于( ) A. 0 B. 1 C.52D.3 二、填空题（每小题6分，共12分）：3．设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧+-,2,x 22x x 0x 0x ≥＜，f （2）= ，若f （f （x ））≥9，则实数x 的取值范围是 。

杭西高2019年10月高二数学试题卷一.选择题（共40分，每题4分，请从A、B、C、D四个选项中选出最符合题意的一个）1.下列多面体是五面体的是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱柱D．五棱锥2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为()A.3∶1B.3∶2 C．2∶ 3 D.3∶33.如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形4.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积为()A．48 B．64 C．80 D．1205.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为()6. 设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：①若P∈a，P∈α，则a⊂α；②若a∩b＝P，b⊂β，则a⊂β；③若a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则b⊂α；④若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b. 其中真命题是()A．①②B．②③C．①④D．③④7. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB 的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中，正确结论的个数为()A．1 B．2 C．3 D．48.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF9.如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SB B．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角10.如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN(不包括端点)上运动，给出下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.其中，恒成立的为()A．①③B．③④C．①②D．②③④二.填空题（共36分，双空题每空3分，单空题每空4分）11.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3，则异面直线PC与BD所成的角为________，直线PC 与平面ABCD所成的角为________.12.如图所示，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，则与平面PAB垂直的平面有和 .13.如图2-2-3所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则与EO平行的平面有________和________.14.若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是，可能是也可能不是的几何体是 .A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 E.四棱柱 F.圆台15.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC 的中点．若在PB上存在一点Q，使平面MNQ∥平面PAD，则PQ∶QB＝________．16.下列叙述不正确的是________．①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为锐角或直角；④直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面．17.如图所示，已知边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，且BC＝22，M为BC的中点，则二面角P - AM - D的大小为________．三.解答题（共74分，请写出必要的解题过程和步骤）18.（14分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)若MN＝BC＝4，PA＝43，求异面直线PA与MN所成的角的大小．19.（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD＝AC＝1，PO⊥平面ABCD，O点在AC上，PO＝2，M为PD中点．(1)证明：AD⊥平面PAC；(2)求三棱锥M-ACP的体积．20.（15分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：(1)平面PAC⊥平面PBD；(2)二面角P-BC-D的大小为45°.21.（15分）如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，该菱形的边长为1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面AC.(1)设棱形ABCD的对角线的交点为O，求证：A1O∥平面B1D1C；(2)若四棱柱的体积V＝32，求C1C与平面B1D1C所成角的正弦值．22.（15分）如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC 的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若二面角P-CD-A的大小为45°，求证：平面BMN⊥平面PCD.杭西高2019年10月高二数学参考答案一.选择题（共40分，每题4分，请从A 、B 、C 、D 四个选项中选出最符合题意的一个）1.下列多面体是五面体的是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱柱D ．五棱锥B [解析] 三棱柱有3个侧面，2个底面，共5个面，所以三棱柱为五面体．2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为( )A .∶1B .∶2C ．2∶D .∶3C [解析] 设正方体的棱长为a ，其外接球的半径为R .易知(2R )2＝a 2＋a 2＋a 2＝3a 2，则R ＝23a ，故正方体的棱长和其外接球的半径的之比为a ∶23a ＝2∶. 3.如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形C [解析] 如图，在原图形OABC 中，应有OA ＝O ′A ′＝6 cm ，OD ＝2O ′D ′＝2×2＝4 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝＝＝6 cm ，∴OA ＝OC .故四边形OABC 是菱形．4.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积为 ( )A ．48B ．64C ．80D ．120C [解析] 根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE 为侧面△PAB 的边AB 上的高，且PE ＝5.所以此几何体的侧面积是S ＝4S △PAB ＝4×21×8×5＝80.5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为()A [解析] 由正投影的定义可知，点M在平面ADD1A1上的正投影为AA1的中点，点N在平面ADD1A1上的正投影为AD的中点，易知选A.6. 设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：①若P∈a，P∈α，则a⊂α；②若a∩b＝P，b⊂β，则a⊂β；③若a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则b⊂α；④若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b.其中真命题是()A．①②B．②③C．①④D．③④D [解析] 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；当a∩β＝P时，②错；如图所示，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．7. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB 的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM ∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中，正确结论的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4C [解析] 矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM∥PD，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交．8.如图所示，正方形ABCD中，E，F 分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEFA [解析] 原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，又FH∩EH＝H，所以AH⊥平面EFH.9.如图所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D [解析] 由AC⊥BD，AC⊥SD，且BD∩SD＝D，得AC⊥平面SBD，∴AC ⊥SB，故A正确．由AB∥CD，得AB∥平面SCD，故B正确．记AC与BD交于点O，连接SO，则∠ASO为SA与平面SBD所成的角，∠CSO为SC与平面SBD所成的角，可证明△SAO≌△SCO，∴SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确．显然D错误．10.如图所示，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN(不包括端点)上运动，给出下列四个结论：①EP⊥AC；②EP ∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.其中，恒成立的为() A．①③B．③④C．①②D．②③④A [解析] 设AC，BD交于点O，连接SO，EN，EM.①由SABCD是正四棱锥，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.又∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD.∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD.又EM∩MN ＝N，SD∩BD＝D，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP，故①正确．②由异面直线的定义可知EP与BD是异面直线，不可能有EP∥BD，因此②不正确．③由①可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此③正确．④∵BD⊥AC，EM∥BD，∴EM⊥AC.又EM⊥SO，SO∩AC＝O，∴EM⊥平面SAC.若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直，故④不正确．故选A.二.填空题（共36分，双空题每空3分，单空题每空4分）11.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3，则异面直线PC与BD所成的角为________，直线PC 与平面ABCD所成的角为________.图23445° [解析] 连接AC.因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．在△PAC中，PA⊥AC，且PA＝5，AC＝＝＝5，所以∠PCA＝45°，即异面直线PC与BD所成的角为45°，直线PC与平面ABCD所成的角为45°.12.如图所示，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，则与平面PAB垂直的平面有和 .[解析] 平面PBC、平面PAD∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直13.如图223所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O 为AC，BD的交点，则与EO平行的平面有________和________.图223 平面PAD、平面PCD[解析] 在△DPB中，∵O为BD的中点，E为PB的中点，∴EO∥PD，又EO在平面PAD、PCD外，PD在平面PAD、PCD内，所以EO与平面PAD、平面PCD平行．14.若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是，可能是也可能不是的几何体是 .A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 E.四棱柱 F.圆台D、F；B、E.15.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC 的中点．若在PB上存在一点Q，使平面MNQ∥平面PAD，则PQ∶QB＝________．1∶1[解析] 若平面MNQ∥平面PAD，则应有MQ∥PA，∵M是AB的中点，∴Q是PB的中点．所以PQ∶QB＝1∶1.16.下列叙述不正确的是________．①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为锐角或直角；④直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面．①②④ [解析] ①②中的两条直线可以相交，也可以异面，还可以平行，故①②错误；对于④，异面直线不具有传递性，故④错误．17.如图所示，已知边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，且BC＝2，M为BC的中点，则二面角P AM D的大小为________．45° [解析] 如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA.∵△PCD为等边三角形，∴PE⊥CD，PE＝2sin 60°＝.又∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PE⊥平面ABCD. ∵AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝，AM＝，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2，∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM，∴∠PME是二面角PAMD的平面角．∵tan ∠PME ＝EM PE ＝33＝1，∴∠PME ＝45°，∴二面角PAMD 的大小为45°.三.解答题（共74分，请写出必要的解题过程和步骤）18.（14分）如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)若MN ＝BC ＝4，PA ＝4，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小．解： (1)证明：取PD 的中点H ，连接AH ，NH .∵N 是PC 的中点，∴NH //21DC .∵M 是AB 的中点，且DC //AB ，∴NH //AM ，即四边形AMNH 为平行四边形．∴MN ∥AH .∵MN ⊄平面PAD ，AH ⊂平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .(2)连接AC 并取其中点O ，连接OM ，ON ，∴OM //21BC ，ON //21PA .∴∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角．由MN ＝BC ＝4，PA ＝4，得OM ＝2，ON ＝2.∴MO 2＋ON 2＝MN 2，∴∠MON ＝90°，∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 成30°的角．19. （15分）如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，PO ⊥平面ABCD ，O 点在AC 上，PO ＝2，M 为PD 中点．(1)证明：AD ⊥平面PAC ； (2)求三棱锥MACP 的体积．图236解：(1)证明：∵AD ＝AC ，∴∠ACD ＝∠ADC ＝45°，∴AD ⊥AC .∵PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥AD ，又∵AC ∩PO ＝O ，且AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，∴AD ⊥平面PAC .(2)∵M 是PD 的中点，∴M 到平面ABCD 的距离为21PO ＝1.由(1)知，S △ACD ＝21AD ·AC ＝21.∴三棱锥MACD 的体积V ＝31×21×1＝61. 三棱锥PACD 的体积V ＝31×21×2＝31.∴三棱锥MACP 的体积V ＝31 -61 ＝61.20.（15分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，求证：(1)平面PAC⊥平面PBD；(2)二面角PBCD的大小为45°.证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.∴PD⊥AC.又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(2)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，且PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角PBCD的平面角．在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角PBCD的大小为45°.21. （15分）如图，已知四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，该菱形的边长为1，∠ABC ＝60°，AA 1⊥平面AC.(1)设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： A 1O ∥平面B 1D 1C ；(2)若四棱柱的体积V ＝23，求C 1C 与平面B 1D 1C 所成角的正弦值． 解： (1)证明：连接A 1C 1，与B 1D 1交于点G ，连接GC ，因为A 1G ∥CO ，A 1G ＝CO ，于是四边形A 1GCO 是平行四边形，故A 1O ∥CG ，又CG ⊂平面B 1D 1C ，故A 1O ∥平面B 1D 1C .(2)设AA 1＝h ，因为S 底＝AB ·BC ·sin ∠ABC ＝23，所以V ＝Sh ＝23，所以h ＝1.因为B 1D 1⊥A 1C 1，B 1D 1⊥A 1A ，所以B 1D 1⊥平面A 1C ，所以平面B 1D 1C ⊥平面A 1C ，过C 1作C 1H ⊥GC 于H ，于是C 1H ⊥平面B 1D 1C ， 所以∠C 1CG 为所求角，且sin ∠C 1CG ＝GC C1G ＝55.22.（15分）如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD； (2)求证：MN⊥CD；(3)若二面角P-CD-A的大小为45°，求证：平面BMN⊥平面PCD.解：(1)证明：如图所示，取PD的中点E，连接AE、EN，则有EN //21CD //21AB //AM ，故AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE ，∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .(2)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN ，又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD .(3)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，又∠PDA ＝45°，E 是PD 的中点，∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD ， 又MN ⊥CD ，∴MN ⊥平面PCD ，又MN ⊂平面BMN ，∴平面BMN ⊥平面PCD .。

2016-2017学年浙江省杭州市西湖高中高二（上）期中数学试卷一．选择题（每题4分，共32分）1．（4分）已知数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则数列的第5项为（）A．B．C．D．2．（4分）数列1，3，6，10，…的一个通项公式a n=（）A．n2﹣n+1 B．C．D．2n+1﹣33．（4分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），那么a n与a n+1的大小关系是（）A．a n＞a n+1B．a n＜a n+1C．a n=a n+1D．不能确定4．（4分）某厂在2002年底制定生产计划，要使2012年底的总产量在2002年底的基础上翻两番，则年平均增长率为（）A．B．C．D．5．（4分）在△ABC中，若（b+c）2﹣a2=3bc，则角A=（）A．30°B．60°C．120° D．150°6．（4分）在△ABC中，tanA•sin2B=tanB•sin2A，那么△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形7．（4分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥08．（4分）不等式5﹣x2＞4x的解集为（）A．（﹣5，1）B．（﹣1，5）C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）二．填空题（每题5分，共20分）9．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3等于．10．（5分）已知在等比数列{a n}中，各项均为正数，且a1=1，a1+a2+a3=7则数列{a n}的通项公式是a n=；前n项和S n=．11．（5分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．12．（5分）已知△ABC的周长为9，且sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC=．三．简答题（共48分）13．（16分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=24，S11=0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅲ）当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．14．（16分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=6，AD=5，S△ADC=，求AB的长．15．（16分）某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨，二级籽棉2吨．每1吨甲种棉纱的利润为900元，每1吨乙种棉纱的利润为600元．工厂在生产这两种棉纱的计划中，要求消耗一级籽棉不超过250吨，二级籽棉不超过300吨．问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大？并求出利润总额的最大值．四、加试题16．（4分）已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是．17．（4分）在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为度．18．（4分）一个水平放置的四边形的斜二侧直观图是一个底角是45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是．19．（4分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为．20．（4分）已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β，l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）21．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是边长是1的正方形，侧棱PA与底面成45°的角，M，N，分别是AB，PC的中点；（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．22．（15分）如图，在棱长为ɑ 的正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，E、F、G分别是CB．CD．CC1的中点．（1）求直线A1C与平面ABCD所成角的正弦的值；（2）求证：平面A B1D1∥平面EFG．2016-2017学年浙江省杭州市西湖高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每题4分，共32分）1．（4分）已知数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则数列的第5项为（）A．B．C．D．【解答】解：∵a n=（n∈N*），令n=5，可得数列的第5项为a n=．故选：A．2．（4分）数列1，3，6，10，…的一个通项公式a n=（）A．n2﹣n+1 B．C．D．2n+1﹣3【解答】解：由题意，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，∴a n=1+2+3…+n=故选：C．3．（4分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），那么a n与a n+1的大小关系是（）A．a n＞a n+1B．a n＜a n+1C．a n=a n+1D．不能确定【解答】解：∵数列{a n}的通项公式是a n===1﹣，（n∈N*），显然当n增大时，a n的值增大，，故数列{a n}是递增数列，故有a n＜a n+1故选：B．4．（4分）某厂在2002年底制定生产计划，要使2012年底的总产量在2002年底的基础上翻两番，则年平均增长率为（）A．B．C．D．【解答】解：设2002年底的总产量为a，年平均增长率为x，则4a=a（1+x）10∴（1+x）10=4∴x=．故选：D．5．（4分）在△ABC中，若（b+c）2﹣a2=3bc，则角A=（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：把（b+c）2﹣a2=3bc整理得：b2+2bc+c2﹣a2=3bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA===，又A为三角形的内角，则角A=60°．故选：B．6．（4分）在△ABC中，tanA•sin2B=tanB•sin2A，那么△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【解答】解：原式tanA•sin2B=tanB•sin2A，变形为：=，化简得：sinBcosB=sinAcosA，即sin2B=sin2A，即sin2A=sin2B，∵A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．7．（4分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0【解答】解：A、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；B、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；C、c=0时，=0，本选项不一定成立；D、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项一定成立，故选：D．8．（4分）不等式5﹣x2＞4x的解集为（）A．（﹣5，1）B．（﹣1，5）C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）【解答】解：不等式5﹣x2＞4x可化为：x2+4x﹣5＜0∴（x+5）（x﹣1）＜0∴﹣5＜x＜1∴不等式5﹣x2＞4x的解集为（﹣5，1）故选：A．二．填空题（每题5分，共20分）9．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3等于4．【解答】解：∵等差数列{a n}，∴a1+a5=a2+a4=2a3，又a1+a2+a3+a4+a5=20，∴5a3=20，则a3=4．故答案为：410．（5分）已知在等比数列{a n}中，各项均为正数，且a1=1，a1+a2+a3=7则数列{a n}的通项公式是a n=2n﹣1；前n项和S n=2n﹣1．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵各项均为正数，∴q＞0．∵a1=1，a1+a2+a3=7，∴1+q+q2=7，化为q2+q﹣6=0，又q＞0，∴q=2．∴．S n=1+2+22+…+2n﹣1==2n﹣1．故答案为2n﹣1，2n﹣1．11．（5分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．【解答】解：因为B=135°为最大角，所以最大边为b，根据三角形内角和定理：A=180°﹣（B+C）=30°在△ABC中有正弦定理有：故答案为：．12．（5分）已知△ABC的周长为9，且sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC=．【解答】解：由正弦定理可知，sinA：sinB：sinC=a：b：c=3：2：4∴可设a=3k，b=2k，c=4k由余弦定理可得，cosC===故答案为：﹣三．简答题（共48分）13．（16分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=24，S11=0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅲ）当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，∵a3=24，S11=0，∴a1+2d=24，a1+55d=0，解之得a1=40，d=﹣8，∴a n=48﹣8n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a1=40，a n=48﹣8n，∴S n==﹣4n2+44n．（Ⅲ）由（Ⅱ）有，S n=﹣4n2+44n=﹣4（n﹣5.5）2+121，故当n=5或n=6时，S n最大，且S n的最大值为120．14．（16分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=6，AD=5，S△ADC=，求AB的长．=，【解答】解：在△ADC中，已知AC=6，AD=5，S△ADC=•AC•AD•sin∠DAC，则由S△ADC∴sin∠DAC=，又∠DAC为三角形的内角，∴∠DAC=30°或150°，若∠DAC=150°，又AC为∠DAB的平分线，得∠BAC=∠DAC=150°，又∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ABC=210°，矛盾，∴∠DAC=150°不合题意，舍去，∴∠BAC=∠DAC=30°，又∠ABC=60°，∴∠ACB=90°，又AC=6，∴由正弦定理=得：AB==2．15．（16分）某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨，二级籽棉2吨．每1吨甲种棉纱的利润为900元，每1吨乙种棉纱的利润为600元．工厂在生产这两种棉纱的计划中，要求消耗一级籽棉不超过250吨，二级籽棉不超过300吨．问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大？并求出利润总额的最大值．【解答】解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x、y吨，利润总额为z，则z=900x+600y (2)且 (4)作出以上不等式组所表示的平面区域（如图），即可行域． (6)作直线l：900x+600y=0，即3x+2y=0，把直线l向右上方平移至过直线2x+y=250与直线x+2y=300的交点位置M（，）， (10)此时所求利润总额z=900x+600y取最大值130000元．…12．四、加试题16．（4分）已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是．【解答】解：∵三棱锥的棱长为2，各面均为等边三角形∴三棱锥的一个侧面的面积为×2×2×=，所以：它的表面积为4 ，故答案为．17．（4分）在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC 1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为60度．【解答】解：连接AD1，则MN∥AD1，连接CD1，∴∠CAD1就是异面直线AC和MN所成的角，而△CAD1是正三角形，∴∠CAD1=60°故答案为60．18．（4分）一个水平放置的四边形的斜二侧直观图是一个底角是45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是．【解答】解：直观图中梯形的高为1×sin45°=，底边长为1+，故其面积为：因为，所以原四边形的面积是故答案为：19．（4分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2．【解答】解：设球的半径为R，则圆柱和圆锥的高均为2R，则V=2π•R3，圆柱V圆锥=π•R3，V球=π•R3，故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2故答案为：3：1：220．（4分）已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β，l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．其中正确命题的序号是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：①l垂直于α内的两条相交直线，由直线与平面垂直的判定定理知l⊥α，故①正确；②若l∥α，则l与α内的直线平行或异面，故②不正确；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α与β不一定垂直．故③不正确；④若l⊂β，l⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故④正确；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l或m与l异面，故⑤不正确．故答案为：①④．21．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是边长是1的正方形，侧棱PA与底面成45°的角，M，N，分别是AB，PC的中点；（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解：（1）证明：设PD的中点为E，连NE，AE根据三角形的中位线可知NE∥CD，且NE=CD，AM∥CD，且AM=CD，∴NE∥AM，且NE=AM∴MN∥AE，AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD；（2）四棱锥P﹣ABCD的底面积为1，因为PD⊥平面ABCD，所以四棱锥P﹣ABCD的高为1，所以四棱锥P﹣ABCD的体积为：．22．（15分）如图，在棱长为ɑ 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB．CD．CC1的中点．（1）求直线A1C与平面ABCD所成角的正弦的值；（2）求证：平面A B1D1∥平面EFG．【解答】解：（1）∵A1C∩平面ABCD=C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中A1A⊥平面ABCD∴AC为A1C在平面ABCD的射影∴∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角正方体的棱长为a∴AC=，A1C=证明：（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中连接BD，则DD1∥BB1，DD1=BB1，∴D1DBB1为平行四边形∴D1B1∥DB∵E，F分别为BC，CD的中点∴EF∥BD∴EF∥D1B1∵EF⊂平面GEF，D1B1⊄平面GEF∴D1B1∥平面GEF同理AB1∥平面GEF∵D1B1∩AB1=B1∴平面AB1D1∥平面EFG．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

第5题图浙江省杭州市西湖高级中学2017-2018学年高二通用技术5月月考试题第二部分 通用技术（共50分）一、选择题（本大题共 13 小题，每小题 2 分，共 26 分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目 要求的，不选、多选、错选均不得分）1.如图所示是一款能与用户手机互联的电动轮椅，用户通过手机能控制电动轮椅的方向与速度，使用非常方便。

下列关于该款电动轮椅说法中，不正确的是（ ） A ．可以用手机去控制电动轮椅的方向与速度，体现了技术的创新性 B ．电动轮椅能在草地、石子路上如履平地，体现了技术解放人的作用 C ．造型时尚，操作方便，满足了人的生理和心理需求 D ．售价昂贵，体现了技术的两面性2.如图所示是一款手电棒，采用微型锂电池技术，体积小巧，直径为 3 毫米，长度为 20 毫米。

下列关于该款手电棒分析与评价中，不正确的是（ ） A.该设计离不开锂电池技术的发展B.外壳采用橡胶材质，拿起来非常柔软，实现了人机关系的舒适目标C.只需轻轻地触碰头部就可以实现灯的开与关，实现了人机关系的高效目标D.在晚上，可以作为家里的小夜灯，实现了人机关系的信息交互3.如图 a 所示是一广告牌,广告牌的背面有两个圆孔，现要将广告牌安装在如图 b 所示的圆柱支架上，要求拆装方便，不损坏支架，以下连接件中设计最合理的是（ ）4.下列对金工锯割操作的描述，不正确的是（ ） A ．手锯是向前推时进行切割，在向后返回时不起切削作用，因此安装锯条时应锯齿向前B ．锯割圆钢管时，一般把圆钢管水平地夹持在台虎钳内，水平向下锯割第6题C．锯条松紧要适当，太紧失去应有的弹性，锯条容易崩断；太松会使锯条扭曲，锯缝歪斜，锯条也易崩断D．锯割薄钢板时，为了防止工件产生振动和变形，可用木板夹住薄板两侧进行锯割5.如图所示是某工件的机械加工图，以下尺寸标注不正确的是（）A．4×φ5 的标注 B．R7的标注C．4×R3的标注 D．54的标注6.如图所示的轴侧图，其对应的三视图是7.如图所示是管子台虎钳，转动加力杠，在上下牙块间夹紧管子的过程中，下列关于管子台虎钳的分析，正确的是（）A.夹紧丝杠受压，活动锁销受剪切B.加力杠受扭转，手柄受拉C.上下牙块受压，钳架受压D.钳架与夹紧丝杠的连接属于铰连接8.李明在制作小铁锤过程中需要加工一个螺纹孔(如图所示)，其正确的工艺流程是( )A. 划线→冲眼→钻孔→攻丝→孔口倒角B. 划线→冲眼→攻丝→钻孔→孔口倒角C. 划线→冲眼→钻孔→孔口倒角→攻丝D. 划线→冲眼→孔口倒角→钻孔→攻丝9.AGV自动搬运车作为物流装备中自动化水平最高的产品，越来越多地应用于仓储、制造、医疗等多个行业领域。

杭西高2018年5月考高二数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1.1.“”是“复数为纯虚数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：为纯虚数且，则a=0是复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数的必要但不充分条件．考点：1．复数的概念；2．充分条件与必要条件．2.2.复数 (i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据，化简得复平面内坐标，即可判断所在象限。

【详解】化简得所以z在复平面内的坐标为所以点在第二象限所以选B【点睛】本题考查了复平面内对应点的象限，属于基础题。

3.3.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a7＋b7＝( )A. 18B. 29C. 47D. 76【答案】B【解析】【分析】根据所给例题，归纳出数据特征得到正确的解。

【详解】根据所给示例，得出后面的值等于前面两项的和所以，所以选B【点睛】本题考查了归纳推理的简单应用，属于基础题。

4.4.证明：，当时，中间式子等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：时中间式子的最后一项为，中间式子为考点：数学归纳法5.5.已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A. a1a2a3…a9＝29B. a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C. a1a2a3…a9＝2×9D. a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【答案】D【解析】试题分析：因为等比数列中，而等差数列中有，所以在等差数列中的结论应为：，故选D.考点：类比推理.6.6.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A. 假设三内角都不大于60度B. 假设三内角都大于60度C. 假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】试题分析：由于本题所给的命题是一个特称命题，故它的否定即为符合条件的反设，写出其否定，对照四个选项找出答案即可解：用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应由于此命题是特称命题，故应假设：“三角形中三个内角都小于60°”故选：B点评：本题考查反证法的基础概念，解答的关键是理解反证法的规则及特称命题的否定是全称命题，本题是基础概念考查题，要注意记忆与领会．7.7.复数在复平面内所对应的点位于第四象限,则m的取值范围是( )A. (-1，6)B. (－∞，1)C. (4,6)D. (1，＋∞)【答案】C【解析】【分析】根据复平面内点所对应的象限，列出不等式组，解不等式组得m的取值范围。

西湖区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 圆222(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2213y x -=的渐近线相切，则r 的值为（ ）A B ．2 C D ．【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力． 2． 已知数列｛n a ｝满足nn n a 2728-+=（*∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ） A ．211 B ．227 C ． 32259 D ．32435 3． 直线l 将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是（ ）A ．x ﹣y+1=0，2x ﹣y=0B ．x ﹣y ﹣1=0，x ﹣2y=0C ．x+y+1=0，2x+y=0D ．x ﹣y+1=0，x+2y=04． 已知点M （﹣6，5）在双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）上，双曲线C 的焦距为12，则它的渐近线方程为（ ）A ．y=±x B ．y=±x C ．y=±xD ．y=±x 5． 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V ≈L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A ．B ．C ．D ．6． 对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n=m+n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n=mn ．则在此定义下，集合M={（a ，b ）|a ※b=12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是（ ） A ．10个 B ．15个 C ．16个 D ．18个7． 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为底面ABCD 上的动点．若三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大，则E 点位于（ ）A ．点A 处B ．线段AD 的中点处C ．线段AB 的中点处D ．点D 处8． 设f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（ ）A ．（0，＋∞）B ．（－∞，－12）C ．（－12，＋∞）D ．（－12，0）9． 已知函数(5)2()e 22()2xf x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（ ）A ．2e B ．e C ．1 D ．1e【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力． 10．在中，角、、所对应的边分别为、、，若角、、依次成等差数列，且，,则等于（ ）A ．B ．C ．D ．211f x [14]f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象如图所示．）A ．2B ．3C ．4D ．512．已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°二、填空题13．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆ 外接圆的标准方程为_________.14．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1212||z z z +在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，若对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2+tx+1＞S n 恒成立，则实数x 的取值范围为 ．16．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种．17．曲线y=x+e x 在点A （0，1）处的切线方程是 ．18．若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ．三、解答题19．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为方程为r （],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2t cos 2sin x y t aa ì=+ïí=+ïî（t 为参数）．（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的直角坐标和曲线C的参数方程；（II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．20．已知二次函数f （x ）=x 2+bx+c ，其中常数b ，c ∈R ．（Ⅰ）若任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0，f （2+x ）≤0，试求实数c 的取值范围；（Ⅱ）若对任意的x 1，x 2∈[﹣1，1]，有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤4，试求实数b 的取值范围．21．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．22．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．23．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．24．已知函数f（x）=4sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．西湖区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】C2． 【答案】D 【解析】试题分析： 数列n n n a 2728-+=，112528++-+=∴n n n a ，11252722n nn nn n a a ++--∴-=- ()11252272922n n n n n ++----+==，当41≤≤n 时，n n a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,即...765>>>a a a .因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，2111=a ,∴最小项为211，M m +∴的值为3243532259211=+．故选D.考点：数列的函数特性. 3． 【答案】C【解析】解：圆x 2+y 2﹣2x+4y=0化为：圆（x ﹣1）2+（y+2）2=5，圆的圆心坐标（1，﹣2），半径为，直线l 将圆 x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 经过圆心与坐标原点．或者直线经过圆心，直线的斜率为﹣1，∴直线l 的方程是：y+2=﹣（x ﹣1），2x+y=0，即x+y+1=0，2x+y=0．故选：C ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程的求法，考查计算能力，是基础题．4． 【答案】A【解析】解：∵点M （﹣6，5）在双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）上，∴，①又∵双曲线C 的焦距为12，∴12=2，即a 2+b 2=36，②联立①、②，可得a2=16，b2=20，∴渐近线方程为：y=±x=±x，故选：A．【点评】本题考查求双曲线的渐近线，注意解题方法的积累，属于基础题．5．【答案】B【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．6．【答案】B【解析】解：a※b=12，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，所以满足条件的个数为4+11=15个．故选B7．【答案】A【解析】解：如图，E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E，对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置，面BCD1的面积为定值，要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1的面积和最大，而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．8． 【答案】【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，由f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12）得f （－x ）＝（e x －e －x ）（12－x ＋1－12）＝（ex－e －x ）（－12x ＋1＋12） ＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12）＝f （x ），∴f （x ）在R 上为偶函数，∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－12，即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－12}，故选C.9． 【答案】B【解析】(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==，故选B ． 10．【答案】C【解析】 因为角、、依次成等差数列，所以由余弦定理知，即，解得所以， 故选C答案：C11．【答案】C【解析】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f （x ）的图象如图所示：因为f （0）=f （3）=2，1＜a ＜2，所以函数y=f （x ）﹣a 的零点的个数为4个． 故选：C ．【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．12．【答案】D【解析】解：∵，B=45°根据正弦定理可知∴sinA==∴A=30° 故选D ．【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．二、填空题13．【答案】()2212x y -+=或()2212x y ++=【解析】试题分析：由题意知()0,1F ，设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由1'2y x =，则切线方程为()20001142y x x x x -=-，代入()0,1-得02x =±，则()()2,1,2,1P -，可得PF FQ ⊥，则FPQ ∆外接圆以PQ 为直径，则()2212x y -+=或()2212x y ++=.故本题答案填()2212x y -+=或()2212x y ++=．1考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质． 14．【答案】D 【解析】15．【答案】 （﹣∞，]∪[，+∞） ．【解析】解：数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，∴数列{a n }是以1为首项，以为公比的等比数列，S n ==2﹣（）n ﹣1，对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2+tx+1＞S n 恒成立， ∴x 2+tx+1≥2，x 2+tx ﹣1≥0， 令f （t ）=tx+x 2﹣1，∴，解得：x ≥或x ≤，∴实数x 的取值范围（﹣∞，]∪[，+∞）．16．【答案】 75【解析】计数原理的应用． 【专题】应用题；排列组合． 【分析】由题意分两类，可以从A 、B 、C 三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，根据分类计数加法得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类来解，第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C31C63=60，第二类，若从其他六门中选4门有C64=15，∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．故答案为：75．【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．17．【答案】2x﹣y+1=0．【解析】解：由题意得，y′=（x+e x）′=1+e x，∴点A（0，1）处的切线斜率k=1+e0=2，则点A（0，1）处的切线方程是y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0，故答案为：2x﹣y+1=0．【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于基础题．18．【答案】5【解析】考点：利用导数求最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．三、解答题19．【答案】【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．（Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(222≥=+y y x 相切时21|22|2=+-kk0142=+-∴k k ，32-=∴k ，32+=k （舍去）设点)0,2(-B ，2ABk ==-故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--. 20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因为x ∈[﹣1，1]，则2+x ∈[1，3]， 由已知，有对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立， 任意的x ∈[1，3]，f （x ）≤0恒成立，故f （1）=0，即1为函数函数f （x ）的一个零点．由韦达定理，可得函数f （x ）的另一个零点， 又由任意的x ∈[1，3]，f （x ）≤0恒成立，∴[1，3]⊆[1，c]， 即c ≥3（Ⅱ）函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意的x 1，x 2∈[﹣1，1]，有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤4恒成立，即f （x ）max ﹣f （x ）min ≤4，记f （x ）max ﹣f （x ）min =M ，则M ≤4．当||＞1，即|b|＞2时，M=|f （1）﹣f （﹣1）|=|2b|＞4，与M ≤4矛盾；当||≤1，即|b|≤2时，M=max{f （1），f （﹣1）}﹣f （）=﹣f （）=（1+）2≤4，解得：|b|≤2， 即﹣2≤b ≤2，综上，b的取值范围为﹣2≤b≤2．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∴当，∴f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是当；当（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，∴当的图象有3个不同交点，即方程f（x）=α有三解．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）样本中男生人数为2+5+13+14+2+4=40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为=400；（Ⅱ）∵样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，∴样本中学生身高在170～185cm之间的频率，故可估计该校学生身高在170～180cm之间的概率p=0.5；（Ⅲ）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：∴从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，∴所求概率p2=．【点评】抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．这是一个统计综合题，可以作为一个解答题出在文科的试卷中．23．【答案】【解析】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，且b＞1．由根与系的关系得，解得，所以得．（2）由于a=1且b=2，所以不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，即x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．综上所述：当c＞2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；当c＜2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；当c=2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）f（x）=4sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3=2sin2x﹣+3=2sin2x+2cos2x=4sin（2x+）．∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）∈[﹣2，4]．（Ⅱ）由条件得sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），化简得sinC=2sinA，由正弦定理得：c=2a，又b=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4a2cosA，解得：cosA=，故解得：A=，B=，C=，∴f（B）=f（）=4sin=2．【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．。

2017-2018学年浙江省杭州市西湖高级中学高二（上）12月月考数学试卷一.选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的．1．过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A． 2x+y﹣1=0 B． 2x+y﹣5=0 C． x+2y﹣5=0 D． x﹣2y+7=02．已知直线l的方程为x+y+4=0，则直线l的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°3．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（） A．（2，2） B．（1，1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣1）4．若一圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+5）2=3，则此圆的圆心和半径分别为（）A．（﹣1，5）， B．（1，﹣5）， C．（﹣1，5），3 D．（1，﹣5）5．已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）A． 4 B． C． D．6．以两点A（﹣3，﹣1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y+2）2=100 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=100C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x+1）2+（y+2）2=257．已知二面角α﹣l﹣β的大小为60°，m、n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m、n所成的角为（）A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°8．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm39．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n10．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A． 20π B． 25π C． 50π D． 200π11．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为（）A． x2+y2﹣2x+4y=0 B． x2+y2+2x+4y=0C． x2+y2+2x﹣4y=0 D． x2+y2﹣2x﹣4y=012．若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A． x﹣y﹣3=0 B． 2x+y﹣3=0 C． x+y﹣1=0 D． 2x﹣y﹣5=013．点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA=8，在△ABC中，BC=6，AB=AC=5，则点P到BC的距离是（）A． 4 B． C． 3 D． 214．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A． B． C． D．二.填空题16．设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m= 时，l1∥l2．17．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是．18．已知两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2+2x+2y﹣14=0．求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程．19．直线xcosθ+y+m=0的倾斜角范围是．20．若动点A（x1，y1）、B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为．21．设点P（x，y）是圆x2+（y+4）2=4上任意一点，则的最大值为．22．与x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是．23．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）三．解答题（共28分，其中24题8分，25，26题10分）24．直线l经过点P（2，﹣5），且与点A（3，﹣2）和B（﹣1，6）的距离之比为1：2，求直线l的方程．25．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．（Ⅰ）证明：OE∥平面AB1C1；（Ⅱ）求异面直线AB1与A1C所成的角；（Ⅲ）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．26．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．2014-2015学年浙江省杭州市西湖高级中学高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的．1．过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A． 2x+y﹣1=0 B． 2x+y﹣5=0 C． x+2y﹣5=0 D． x﹣2y+7=0考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．解答：解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．点评：本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．2．已知直线l的方程为x+y+4=0，则直线l的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：化直线的一般式方程为斜截式，得到直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求解倾斜角．解答：解：由直线l的方程为x+y+4=0，化为斜截式得：，∴直线l的斜率为，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°）．由，得α=150°．故选：D．点评：本题考查了直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率之间的关系，是基础题．3．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（） A．（2，2） B．（1，1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣1）考点：中点坐标公式．专题：计算题．分析：利用两点的中点坐标公式，直接求解即可．解答：解：由中点坐标公式可得，点A（﹣1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为：（），即（1，1）．故选B．点评：本题是基础题，考查线段的中点坐标公式的应用．4．若一圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+5）2=3，则此圆的圆心和半径分别为（）A．（﹣1，5）， B．（1，﹣5）， C．（﹣1，5），3 D．（1，﹣5）考点：圆的标准方程．专题：计算题．分析：由圆的标准方程找出圆心坐标与半径即可．解答：解：∵圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+5）2=3，∴圆心坐标为（1，﹣5），半径r=．故选B点评：此题考查了圆的标准方程，是一道基础题．解题的关键是掌握圆的标准方程为（x ﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），其中圆心坐标为（a，b），半径为r．5．已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）A． 4 B． C． D．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：根据两条直线平行，一次项的系数对应成比例，求得m的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离．解答：解：直线3x﹣2y﹣3=0即 6x﹣4y﹣6=0，根据它和6x+my+1=0互相平行，可得，故m=﹣4．可得它们间的距离为 d==，故选：D．点评：本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题．6．以两点A（﹣3，﹣1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y+2）2=100 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=100C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x+1）2+（y+2）2=25考点：圆的标准方程．专题：综合题．分析：要求圆的方程，即要求圆心坐标和半径，由AB为所求圆的直径，利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标即为圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出线段AC的长度即为圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．解答：解：设线段AB的中点为C，则C的坐标为（，）即为（1，2），所求圆的圆心坐标为（1，2）；又|AC|==5，则圆的半径为5，所以所求圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．故选C点评：此题考查学生灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．7．已知二面角α﹣l﹣β的大小为60°，m、n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m、n所成的角为（）A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°考点：平面与平面之间的位置关系．专题：计算题．分析：由条件m⊥α，n⊥β可知m、n所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补，而异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，所以m、n所成的角为二面角α﹣l﹣β所成的角．解答：解：∵m⊥α，n⊥β，∴m、n所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补．∵二面角α﹣l﹣β为60°，∴异面直线m、n所成的角为60°．故答案为60°，选B．点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．8．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，做出面积三棱锥的高是1，根据三棱锥的体积公式得到结果．解答：解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，面积是=，三棱锥的高是1，∴三棱锥的体积是=cm3，故选：C．点评：本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高．本题是一个基础题．9．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n考点：平面与平面平行的判定．专题：证明题．分析：通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D 正确，从而得出结论．解答：解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行与同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选 D．点评：本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．10．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A． 20π B． 25π C． 50π D． 200π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．11．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为（）A． x2+y2﹣2x+4y=0 B． x2+y2+2x+4y=0C． x2+y2+2x﹣4y=0 D． x2+y2﹣2x﹣4y=0考点：圆的一般方程；恒过定点的直线．分析：先求直线过的定点，然后写出方程．解答：解：由（a﹣1）x﹣y+a+1=0得（x+1）a﹣（x+y﹣1）=0，∴x+1=0且x+y﹣1=0，解得x=﹣1，y=2，该直线恒过点（﹣1，2），∴所求圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5．即x2+y2+2x﹣4y=0．故选C点评：本题考查恒过定点的直线，圆的一般方程，是基础题．12．若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A． x﹣y﹣3=0 B． 2x+y﹣3=0 C． x+y﹣1=0 D． 2x﹣y﹣5=0考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．解答：解：已知圆心为O（1，0）根据题意：K op=k AB k OP=﹣1k AB=1，又直线AB过点P（2，﹣1），∴直线AB的方程是x﹣y﹣3=0故选A点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直．13．点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA=8，在△ABC中，BC=6，AB=AC=5，则点P到BC的距离是（）A． 4 B． C． 3 D． 2考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；数形结合．分析：由P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，我们易得PB=PC，取BC的中点D，则AD⊥BC，且PD⊥BC，利用勾股定理我们易求出AD的长，进而求出PD的长，即点P到BC的距离．解答：解：如下图所示：设D为等腰三角形ABC底面上的中点，则PD长即为P点到BC的距离又∵AD即为三角形的中线，也是三角形BC边上的高∵BC=6，AB=AC=5，易得AD=4在直角三角形PAD中，又∵PA=8∴PD=4故选A点评：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离，其中利用三角形的性质，做出PD 即为点P到BC的垂线段是解答本题的关键．14．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A成立，则需BD⊥EC，这与已知矛盾；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故B成立；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的；D显然错误解答：解：如图，AE⊥BD，CF⊥BD，依题意，AB=1，BC=，AE=CF=，BE=EF=FD=，A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则∵BD⊥AE，∴BD⊥平面AEC，从而BD ⊥EC，这与已知矛盾，排除A；B，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCD 取BC中点M，连接ME，则ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确；C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除CD，由上所述，可排除D故选 B点评：本题主要考查了空间的线面和面面的垂直关系，翻折问题中的变与不变，空间想象能力和逻辑推理能力，有一定难度，属中档题二.填空题15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A． B． C． D．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．解答：解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．点评：此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．16．设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m= ﹣1 时，l1∥l2．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由平行的条件可得：，解后注意验证．解答：解：由平行的条件可得：，由，解得：m=﹣1或m=3；而当m=3时，l1与l2重合，不满足题意，舍去，故m=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查直线平行的充要条件，其中平行的不要忘记去掉重合的情况，属基础题．17．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是（x+2）2+y2=4 ．考点：圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：根据题意，设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=4（a＜0），将原点的坐标代入得到关于a的等式，解出a=﹣2，即可得出所求圆的方程．解答：解：设圆的圆心为（a，0）（a＜0），由圆的半径为2，可得圆的方程为（x﹣a）2+y2=4，又∵原点O（0，0）在圆上，∴（0﹣a）2+02=4，得a2=4，解得a=﹣2（舍正）由此可得圆的方程为（x+2）2+y2=4．故答案为：（x+2）2+y2=4点评：本题已知圆满足的条件，求圆的标准方程．着重考查了圆的标准方程、点与圆的位置关系等知识，属于基础题．18．已知两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2+2x+2y﹣14=0．求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程x+y﹣2=0 ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：联立两圆的方程，消去x与y的平方项，即可得到经过两圆交点的公共弦所在直线的方程．解答：解：联立两圆的方程得：，②﹣①得：2x+2y﹣14=﹣10，即x+y﹣2=0．所以经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0点评：此题考查学生掌握圆与圆的位置关系及判定，是一道中档题．本题的突破点是联立两圆方程消去x与y的平方项．19．直线xcosθ+y+m=0的倾斜角范围是．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：求出直线的斜率，根据倾斜角和斜率之间的关系即可得到结论．解答：解：直线斜截式方程为y=﹣cosθx﹣m，即直线的斜率k=﹣cosθ∈[﹣1，1]，设直线的倾斜角为α，当0≤tanα≤1时，0≤α≤，当﹣1≤tanα＜0时，≤α＜π，综上0≤α≤或≤α＜π，故答案为：点评：本题考查直线的倾斜角和直线的斜率之间的关系，根据正切函数的图象和性质是解决本题的关键．．20．若动点A（x1，y1）、B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为3．考点：两条平行直线间的距离；两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：根据题意可推断出M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l进而根据两直线方程求得M的轨迹方程，进而利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线段AB的中点M到原点的距离的最小值为，求得答案．解答：解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为x+y﹣6=0，∴M到原点的距离的最小值为d==3．故答案为：．点评：本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了数形结合的思想的应用，基本的运算能力．21．设点P（x，y）是圆x2+（y+4）2=4上任意一点，则的最大值为+2 ．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：表示圆上点P（x，y）与（1，1）的距离，其最大值为圆心（0，﹣4）与（1，1）的距离加上半径．解答：解：根据题意，表示圆上点P（x，y）与（1，1）的距离，则其最大值为圆心（0，﹣4）与（1，1）的距离加上半径，即的最大值为：+2=+2．故答案为：．点评：本题考查与圆上点相关的最大值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和两点间距离公式的合理运用．22．与x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是x2=2|y|+1 ．考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：利用两圆相外切的性质即可列出方程．解答：解：设M（x，y）为所求轨迹上任一点，则由题意知1+|y|=，化简得x2=2|y|+1．因此与x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是x2=2|y|+1．故答案为x2=2|y|+1．点评：熟练掌握两圆相外切的性质是解题的关键．23．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）考点：充要条件．专题：常规题型．分析：本题首先要理解充分、必要条件的概念及题目中的条件和结论，再通过线面垂直的定义及线面垂直的判定定理进行判断，得出结论．解答：解：∵l⊥α由线面垂直的定义知：l⊥m，且l⊥n．又∵由线面垂直的判定定理知 l⊥m，且l⊥n推不出l⊥α．∴“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：本题能充分考查学生对线面垂直的定义及线面垂直定理的理解，并能对充分、必要条件的概念有个更深刻的理解．三．解答题（共28分，其中24题8分，25，26题10分）24．直线l经过点P（2，﹣5），且与点A（3，﹣2）和B（﹣1，6）的距离之比为1：2，求直线l的方程．考点：直线的一般式方程；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：首先设直线l的方程为y+5=k•（x﹣2），然后根据点到直线的距离公式得出，求出k的值，即可求出直线方程．解答：解：∵直线l过P（2，﹣5），∴可设直线l的方程为y+5=k•（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣5=0．∴A（3，﹣2）到直线l的距离为d1=B（﹣1，6）到直线l的距离为d2=∵d1：d2=1：2∴∴k2+18k+17=0．解得k1=﹣1，k2=﹣17．∴所求直线方程为x+y+3=0和17x+y﹣29=0．点评：此题考查了直线的一般方程和点到直线的距离公式，熟练掌握点到直线的距离公式是解题的关键，属于中档题．25．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．（Ⅰ）证明：OE∥平面AB1C1；（Ⅱ）求异面直线AB1与A1C所成的角；（Ⅲ）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题．分析：解法一：（Ⅰ）证明OE∥AC1，然后证明OE∥平面AB1C1．（Ⅱ）先证明A1C⊥B1C1．再证明A1C⊥平面AB1C1，推出异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（Ⅲ）设点C 1到平面AA1B1的距离为d，通过，求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．解法二：如图建系O﹣xyz，求出A，A1，E，C1，B1，C的坐标（Ⅰ）通过计算，证明OE∥AC1，然后证明OE∥平面AB1C1．（Ⅱ）通过，证明AB1⊥A1C，推出异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（Ⅲ）设A1C1与平面AA1B1所成角为θ，设平面AA1B1的一个法向量是利用推出，通过，求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．解答：解法一：（Ⅰ）证明：∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点，∴OE∥AC1，又∵EO⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴OE∥平面AB1C1．（4分）（Ⅱ）∵AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥B1C1，又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO=O，∴B1C1⊥平面A1C1CA，∴A1C⊥B1C1．（6分）又∵AA1=AC，∴四边形A1C1CA为菱形，∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1=C1∴A1C⊥平面AB1C1，∴AB1⊥A1C，即异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（8分）（Ⅲ）设点C 1到平面AA1B1的距离为d，∵，即•d．（10分）又∵在△AA 1B1中，，∴S△AA1B1=．∴，∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．（12分）解法二：如图建系O﹣xyz，，，C1（0，1，0），B1（2，1，0），．（2分）（Ⅰ）∵=，，∴，即OE∥AC1，又∵EO⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴OE∥平面AB1C1．（6分）（Ⅱ）∵，，∴，即∴AB1⊥A1C，∴异面直线AB1与A1C所成的角为90°．（8分）（Ⅲ）设A1C1与平面AA1B1所成角为θ，∵，设平面AA1B1的一个法向量是则即不妨令x=1，可得，（10分）∴，∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．（12分）点评：本题考查直线与平面平行，异面直线所成的角，直线与平面所成的角的求法，考查空间想象能力，计算能力．26．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．考点：直线的一般式方程；直线的斜率．专题：计算题；应用题；压轴题．分析：（I）因为折叠过程中，A点落在线段DC上，特别的如果折叠后AD重合，这时候折痕所在直线的斜率为0，若AD不重合，这时候折痕所在直线的斜率不为0，然后根据A点和对折后的对应点关于直线折痕对称，我们可以求出直线方程．（II）同（I）的分析，我们要对痕所在直线的斜率分类讨论，斜率为0时，易得结论，斜率不为0时，我们又要分折痕所在直线与矩形两边的交点在左右两边、上下两边、左下两边三种情况讨论，本小题分类情况比较多，故解答要细心！解答：解：（I）（1）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=．（2）当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G（a，1）（0＜a≤2），所以A与G关于折痕所在的直线对称，有k OG•k=﹣1，k=﹣1⇒a=﹣k．故G点坐标为G（﹣k，1）（﹣2≤k＜0）．从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M（﹣，）．折痕所在的直线方程y﹣=k（x+），即y=kx++（﹣2≤k＜0）．由（1）、（2）得折痕所在的直线方程为：k=0时，y=；k≠0时y=kx++（﹣2≤k＜0）．（II）（1）当k=0时，折痕的长为2；（2）当k≠0时，①如下图，折痕所在的直线与边AD、BC的交点坐标为N（0，），P （2，2k+）．这时，﹣2+＜k＜0，y=PN2=4+4k2=4（1+k2）∈（4，16（2﹣））②如下图，折痕所在的直线与边AD、AB的交点坐标为N（0，），P（﹣，0）．这时，﹣1≤k≤﹣2+，y=+=．y′==令y′=0解得k=﹣，∵y=|k=﹣1=2，y==，y=16（2﹣），∴y∈[，16（2﹣）]③如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为N（，1），P（﹣，0）．这时，﹣2≤k＜﹣1，y=PN2=+1∈[，2）．综上述，y max=16（2﹣）所以折痕的长度的最大值=2（﹣）（≈2.07）．点评：分类讨论思想是中学的四大数学思想之一，利用分类讨论思想一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养．但在针对本题的解答中，要注意分析所有的可能情况，并要注意不重分，不漏分．。

浙江省杭州市西湖高中2017-2018学年第二学期高三文科数学周考卷（6）班级 姓名 学号 分数 。

一、选择题：1. 已知全集为R ，集合{}{}221,680x A x B x x x =≥=-+≤，则R A C B =（ ） A. {}0x x ≤ B. {}24x x ≤≤ C.{}024x x x ≤<>或 D.{}024x x x ≤<≥或2．1-=m 是直线()0112=+-+y m mx 和直线093=++my x 垂直的( ) 条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要 3. 数列{a n }为等差数列，若a 2＋a 8＝23π，则)tan(73a a +的值为( ) A ．33 B ．33-C ．3D ．3-4．若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下正确的是（ ） A.若α//m ，α⊂n ，则n m // B. 若α//m ，β⊂m ，n =βα ，则n m // C.若α//m ，α//n ，则n m //D. 若m =βα ，n m ⊥，则α⊥n5. 设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥,4,,2x y x y x y 则4||z y x =-的取值范围是（ ） A. []6,8-- B. ]4,8[- C. ]0,8[- D.[]0,6-6. 设m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)(1)1x y -+-=相切,则+m n 的取值范围是（ ）A．[1 B．(,1[1+3,+)-∞∞C．[2- D ．(,2[2+22,+)-∞-∞7. 在等差数列{}n a 中，18a =-，它的前16项的平均值为7，若从中抽取一项，余下的15项的平均值是365，则抽取的是（ ▲ ） A. 第7项 B. 第8项 C.第15项 D. 第16项8 已知函数=)(x f 221,0,2,0,x x x x -⎧-≥⎨+<⎩ =)(x g 22,0,1,0.x x x x x⎧-≥⎪⎨<⎪⎩则函数)]([x g f 的所有零点之和是 （ ）A. 321+-B.321+ C.231+- D.231+二、填空题：9．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0,log 0,13)(2x x x x f x，则()f x 的定义域为 ，值域为 ，))21((f f = . 10. 设等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，（*n N ∈），已知1120m m m a a a -+-=（*m N ∈），则通项公式n a = ；又21128m T -=，则m=11已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 的最小正周期是π，且当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()()2xg x f =，此时()g x = ，x R ∈时，关于x 的方程()g x =的解集为_________.12、椭圆的中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为右、上轴的顶点，当FB⊥AB 时，此类圆”②类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为 。

2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d 2．（3分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1且x≤﹣1B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 3．（3分）“a=4”是“直线ax+2y=0与直线2x+y=1平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（3分）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．45．（3分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（0，1，1），（，1，0），绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）A．B．C．D．6．（3分）如图，已知三棱锥D﹣ABC，记二面角C﹣AB﹣D的平面角是θ，直线DA与平面ABC所成的角是θ1，直线DA与BC所成的角是θ2，则其中正确的是（）A．θ≥θ1B．θ≤θ1C．θ≥θ2D．θ≤θ27．（3分）若不等式|x﹣a2|+|x﹣2a|≥a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤1或a≥3B．a≤1C．a≥2D．a≤2或a≥38．（3分）已知过定点P（2，0）的直线l与曲线相交于A，B两点，O 为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的倾斜角为（）A．150°B．135°C．120°D．30°9．（3分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E 为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（）A．2B．C．D．10．（3分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．11．（4分）若x2+y2+2x+y+=0表示圆方程，则a的取值范围是．12．（4分）若x，y满足约束条件，则x+3y的最大值为．13．（4分）某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为．14．（4分）如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是．15．（4分）设双曲线x2﹣=1的左，右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为钝角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．16．（4分）已知实数若x，y满足x＞y＞0且x+y=2，则的最小值是．17．（4分）在平面直角坐标系中，定义两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L距离”为||P1P2||=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则平面内与A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）的“L距离”之和等于10的点轨迹长为．三、解答题（本大题共4小题，共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.18．（8分）如图，已知圆O：x2+y2=4，过点P（1，0）的直线l交圆O于A，B 两点．（Ⅰ）若直线l斜率为1，求弦长|AB|；（Ⅱ）若以OA，OB为邻边，作菱形OACB，求点C的轨迹方程．19．（10分）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y 轴的距离为|AF|﹣1（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）已知B，C为抛物线上的动点，且•=0，直线BC与x轴交于点P，求|PC|•|PB|的最小值．20．（12分）如图1，2，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=3，点E，F分别在AD，CD上，且AE=CF=1，将四边形ABCE沿EC折起，使点B在平面CDE上的射影H在直线DE上（Ⅰ）求证：CD⊥BE；（Ⅱ）求证：HF∥平面ABCE；（Ⅲ）求直线AC与平面CDE所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），点P（1，）在椭圆上，不过原点的直线l：x+2y+m=0与椭圆C交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）设Q（0＜x≤1）是抛物线C1：x2=y上动点，过点Q作抛物线C1的切线交椭圆于M，N，求△OMN的面积的最大值．2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d【解答】解：令a=2，b=﹣2，c=3，d=﹣6，则2×3＜（﹣5）（﹣6）=30，可排除A2×（﹣6）＜（﹣2）×3可排除B；2﹣3＜（﹣2）﹣（﹣6）=4可排除C，∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d（不等式的加法性质）正确．故选：D．2．（3分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1且x≤﹣1B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1【解答】解：根据逆否命题的定义知，原命题的逆否命题为：若x≤﹣1，或x≥1，则x2≥1．故选：D．3．（3分）“a=4”是“直线ax+2y=0与直线2x+y=1平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由直线ax+2y=0与直线2x+y=1平行，∴，解得a=4．∴a=4”是“直线ax+2y=0与直线2x+y=1平行”的充要条件．故选：C．4．（3分）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①∵m⊥α，m⊥n，∴n∥α或n⊂α，又n⊥β，∴α⊥β成立．②若m∥α，m⊥n，则n∥α或n与α相交，∴α不一定平行β，∴②错误．③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，若n∥β，则α不一定平行β，∴③错误．④若m⊥α，α∥β，∴m⊥β，又n∥β，∴m⊥n成立，∴④正确．故选：B．5．（3分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（0，1，1），（，1，0），绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的四面体如右图，依题意投影到yOz平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图，故选：B．6．（3分）如图，已知三棱锥D﹣ABC，记二面角C﹣AB﹣D的平面角是θ，直线DA与平面ABC所成的角是θ1，直线DA与BC所成的角是θ2，则其中正确的是（）A．θ≥θ1B．θ≤θ1C．θ≥θ2D．θ≤θ2【解答】解：设三棱锥D﹣ABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E，DC中点M，AC中点M，连结DE、CE、MN、EN，过D作DO⊥CE，交CE于O，连结AO，则∠DEC=θ，∠DAO=θ1，∠MNE=θ2，DE=CE==，DC=2，∴cosθ==，AO=CO==，∴cosθ1===，取BC中点E，连结DE、AE，则DE⊥BC，AE⊥BC，又DE∩AE=E，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AD，∴θ2=90°．∴θ2≥θ≥θ1．故选：A．7．（3分）若不等式|x﹣a2|+|x﹣2a|≥a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤1或a≥3B．a≤1C．a≥2D．a≤2或a≥3【解答】解：不等式|x﹣a2|+|x﹣2a|≥a对任意实数x恒成立，可得a≤|x﹣a2|+|x﹣2a|的最小值，由|x﹣a2|+|x﹣2a|≥|x﹣a2﹣x+2a|=|a2﹣2a|，当且仅当（x﹣a2）（x﹣2a）≤0，取得等号，则|a2﹣2a|≥a，即为a2﹣2a≥a或a2﹣2a≤﹣a，解得a≥3或a≤1，故选：A．8．（3分）已知过定点P（2，0）的直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积最大时，直线l 的倾斜角为（ ） A ．150°B ．135°C ．120°D ．30°【解答】解：曲线y=为圆x 2+y 2=2的上半圆，由题意可得△AOB 的面积S=•OA•OB•sin ∠AOB=•••sin ∠AOB=sin ∠AOB ，当sin ∠AOB=1即∠AOB=90°时，△AOB 的面积取到最大值， 此时在RT △AOB 中易得O 到直线l 的距离OD=1， 在RT △POD 中，易得sin ∠OPD==，可得∠OPD=30°，∴直线l 的倾斜角为150° 故选：A ．9．（3分）如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上动点，则△PEQ 周长的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．【解答】解：由题意得：△PEQ 周长取最小值时，P 在B 1C 1上，在平面B 1C 1CB 上，设E 关于B 1C 的对称点为M ，关于B 1C 1的对称点为N ，连结MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点点M时，则MN是△PEQ周长的最小值，EM=2，EN=，∠MEN=135°，∴MN==．∴△PEQ周长的最小值为．故选：B．10．（3分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos=（r1）2+（r2）2﹣r1r2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即的最大值为，法3：设|PF1|=m，|PF2|=n，则，则a1+a2=m，则=，由正弦定理得=，即=sin（120°﹣θ）≤=故选：A．二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．11．（4分）若x2+y2+2x+y+=0表示圆方程，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（，+∞）．【解答】解：根据题意，若x2+y2+2x+y+=0表示圆方程，则有4+1﹣4×＞0，即＞0，解可得：a＜0或a＞，即a的取值范围为：（﹣∞，0）∪（，+∞）；故答案为：（﹣∞，0）∪（，+∞）．12．（4分）若x，y满足约束条件，则x+3y的最大值为15．【解答】解：由已知约束条件得到可行域如图：由z=x+3y得到y=﹣+，当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，由，解得B（3，4），所以z 的最大值为3+12=15；故答案为：1513．（4分）某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为25π．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故答案为：25π．14．（4分）如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是90°．【解答】解：过AB上一点Q分别在α，β内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点则∠MQN即为二面角α﹣AB﹣β的平面角，如下图所示：设PQ=a，则∵∠BPM=∠BPN=45°∴QM=QN=aPM=PN=a又由∠MPN=60°，易得△PMN为等边三角形则MN=a解三角形QMN易得∠MQN=90°故答案为：90°15．（4分）设双曲线x2﹣=1的左，右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为钝角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是（4，2）∪（8，+∞）．【解答】解：由双曲线x2﹣=1，得a2=1，b2=3，∴c==2，不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，把x=2代入x2﹣=1，得y=±3，即|PF2|=3，此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16，又|PF1|﹣|PF2|=2，①两边平方得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|=4，∴|PF1|•|PF2|=6，②联立①②解得：|PF1|=1+，|PF2|=﹣1+，此时|PF1|+|PF2|=2，且|PF 1|+|PF2|＞2c=4，由如图可知，使△F1PF2为钝角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（4，2）∪（8，+∞）．故答案为：（4，2）∪（8，+∞）．16．（4分）已知实数若x，y满足x＞y＞0且x+y=2，则的最小值是．【解答】解：根据题意，实数满足x＞y＞0且x+y=2，则=×（）=[（x+3y）+（x﹣y）]（）=（5++）≥（5+4）=，当且仅当（x+3y）=2（x﹣y）即x=，y=时等号成立，则的最小值是；故答案为：．17．（4分）在平面直角坐标系中，定义两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L距离”为||P1P2||=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则平面内与A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）的“L距离”之和等于10的点轨迹长为8+2．【解答】解：设动点的坐标为（x，y），由平面内动点与A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）的“L距离”之和等于10，可得|x﹣1|+|y﹣1|+|x+1|+|y﹣1|+|x+1||y+1|+|x﹣1|+|y+1|=10，化为|x+1|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣1|=5，讨论可得x≥1，y≥1时，方程化为x+y=2.5；x≥1，﹣1＜y＜1时，即有x=1.5；x≥1，y≤﹣1，即有x﹣y=2.5；﹣1＜x＜1，y≥1时，方程化为y=1.5；﹣1＜x＜1，﹣1＜y＜1时，方程不成立；﹣1＜x＜1，y≤﹣1，即有y=﹣1.5；x≤﹣1，y≥1时，方程化为﹣x+y=2.5；x≤﹣1，﹣1＜y＜1时，即有x=﹣1.5；x ≤﹣1，y≤﹣1，即有﹣x﹣y=2.5．作出动点的轨迹可得：轨迹的长度为2×4+×4=8+2，故答案为：8+2．三、解答题（本大题共4小题，共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.18．（8分）如图，已知圆O：x2+y2=4，过点P（1，0）的直线l交圆O于A，B 两点．（Ⅰ）若直线l斜率为1，求弦长|AB|；（Ⅱ）若以OA，OB为邻边，作菱形OACB，求点C的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圆O：x2+y2=4，过点P（1，0）的直线l交圆O于A，B两点，直线l斜率为1，∴直线l的方程为y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0，圆心O（0，0）到直线的距离d==，∴弦长|AB|==2=．（Ⅱ）∵以OA，OB为邻边，作菱形OACB，OA=OB=2，点P（1，0），∴OP=1，连结OC，PC，由菱形的性质得：AB⊥OC，∴OP=PC=1，∴点C的轨迹是以P（1，0）为圆心，以r=1为半径的圆，且C与圆点O不重合，∴点C的轨迹方程为：（x﹣1）2+y2=1，（x≠0）．19．（10分）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y 轴的距离为|AF|﹣1（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）已知B，C为抛物线上的动点，且•=0，直线BC与x轴交于点P，求|PC|•|PB|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离为|AF|﹣1，∴=1，解得p=2．…（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抛物线方程为y2=4x，设直线CB的方程为：x=my+t，C（，y1），B（），直线与抛物线联立：，得：y2﹣4my﹣4t=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，…（5分）∵，，∴k OC•k OB===﹣1，则t=4，∴直线CB过定点（4，0），即P点坐标为（4，0），…（7分）∴=﹣（）+16+y1y2=﹣16m2﹣16，∴||•||=16m2+16≥16，当且仅当m=0时，|PC|•|PB|取最小值16．…（10分）20．（12分）如图1，2，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=3，点E，F分别在AD，CD上，且AE=CF=1，将四边形ABCE沿EC折起，使点B在平面CDE上的射影H在直线DE上（Ⅰ）求证：CD⊥BE；（Ⅱ）求证：HF∥平面ABCE；（Ⅲ）求直线AC与平面CDE所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵BH⊥平面CDEF，∴BH⊥CD，又CD⊥DE，BH∩DE=H，∴CD⊥平面DBE，∵BE⊂平面DBE，∴CD⊥BE．…（4分）（Ⅱ）设BH=h，EH=k，过F作FG垂直ED于点G，∵线段BE，BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得，∴，解得h=2，k=1，∴线段BH的长度为2．又∵BE=，∴HE=1，又F是DC中点，∴HF∥EC，∵HF⊄平面ABCE，EC⊂平面ABCE，∴HF∥平面ABCE．…（8分）解：（Ⅲ）延长BA交EF于点M，∵AE：BF=MA：MB=1：3，∴点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的，∴点A到平面EFCD的距离为，而AF=，故直线AF与平面EFCD正弦值为．…（12分）21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），点P（1，）在椭圆上，不过原点的直线l：x+2y+m=0与椭圆C交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）设Q（0＜x≤1）是抛物线C1：x2=y上动点，过点Q作抛物线C1的切线交椭圆于M，N，求△OMN的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=1（a＞b＞0），点P（1，）在椭圆上，不过原点的直线l：x+2y+m=0与椭圆C交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．∴，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为：=1．…（4分）（Ⅱ）设抛物线在Q点的切线方程为y=kx+m，由，得3x2﹣2kx﹣2m=0，△=4k2+24m=0，∴k2=﹣6m，且﹣≤m＜0，①…（6分）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，|MN|=•|x1﹣x2|=•=•=4••，…（8分）点O 到切线距离d=，∴=2•，…（10分）令t==，∵t==在m ∈[﹣，0）上是减函数，∴0＜t ≤，在（0，]上递增，∴t=，即m=﹣时，S △MND 取最大值．…（12分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

高中数学学习材料唐玲出品高二数学周练姓名 班级 分数 20150616一、选择题：本大题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.集合{3,2}aA =，{,}B a b =，若{2}A B =，则A B =（ ）A ．{1,2,3}B ．{0,1,3}C ．{0,1,2,3}D ．{1,2,3,4}2.已知,sin 3cos 5R ααα∈+=，则tan 2α的值是( )A ．3-4B ．2C ．4-3D ．433.已知q 是等比数列}{n a 的公比，则“1>q ”是“数列}{n a 是递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.已知n m ,为异面直线，βα,为两个不同平面，α⊥m ，β⊥n ，且直线l 满足m l ⊥，n l ⊥，α⊄l ，β⊄l ，则（ ）A ．βα//且α//lB ．βα⊥且β⊥lC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 5．函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω<>的最小正周期为π，若其图象向右平移3π个单位后关于y 轴对称，则)(x f y =对应的解析式可为（ ） A ．)62sin(π-=x y B ．)62cos(π+=x y C ．)32cos(π-=x y D ．)672sin(π+=x y 6.若等差数列{}n a 满足2211010a a +=，则101119...S a a a =+++的最大值为（ ）A ．60B ．50C ． 45D ．407．将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成一个四面体ABCD ，当该四面体的体积最大时，直线AB 与CD 所成的角为（ ）A ．090B ．060C ．045D ．0308.如图所示，已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是 渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．324 B ．233 C ．305 D ．52二、填空题：本大题7小题9．已知首项为1，公差不为0的等差数列{}n a 的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比=q __ ；等差数列{}n a 的通项公式n a = ；设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = __ ． 10．正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长 为6，某学生画出该正四面体的三视图如右图，其中有一 个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为 ______ __，该正四面体的体积为 ．11．已知向量a ，b ，且2b =，()20b a b ⋅-=，则a 的最小值为___________,()12tb t a +-（R t ∈）的最小值为 ．12．若实数,x y 满足：2202403110x y x y x y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则x ,y 所表示的区域的面积为 ，若x,y同时满足ED 1C 1B 1A 1(1)(2)0t xt y t ++++=，则实数t 的取值范围为 ． 13．已知集合}11{2有唯一实数解=-+=x ax a A ，则集合=A __ ． 14.在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 在线段AC 的中点，BD l =为定长，则ABC ∆ 的面积最大值为___ ．15. 已知R 上的奇函数(),(2)()f x f x f x +=，[0,1]x ∈时()121f x x =--.定义：1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，……，1()(())n n f x f f x -=，2,n n N ≥∈，则39()8(1)f x x =-在[1,3]-内所有不等实根的和为__________． 三、解答题：本大题共4小题16．在A B C ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23s i n 5a B c =，11cos 14B =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设B C 边的中点为D ，192AD =，求A B C ∆的面积．17．正方体1111A B C D A B C D -的棱长为1，E 是棱11D C 的中点，点F 在正方体内部或正方体的面上，且满足：//E F 平面11A BC 。