2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2
(0,3)N ，而12
9(,,)X X X 和
129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则19221
9
U Y Y
=
+
+服从的分布是_______ .
解：(9)t ．
2，设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ比2?θ有效，则1?θ与2?θ的期望与方差满足_______ .
解：1212
????()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.
解：秩和检验、游程总数检验．
4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．
5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是?β=_______ . 解：1?-''X Y β=
()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1，设12(,,
,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为
样本方差，则____D___ .
（A ）(0,1)nX
N ； （B ）22()nS n χ；
（C ）
(1)()n X
t n S
-； （D ）
2
122
(1)(1,1)n
i
i n X F n X
=--∑.
2，若总体2(,)X
N μσ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量
n 增大，则μ的置信区间____B___ .
（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.
3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ .
（A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大；
（C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A
S 为效应平方和，则总有___A___ .
（A ）T e A S S S =+； （B ）22
(1)A
S r χσ
-；
（C ）
/(1)
(1,)/()
A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.
5，在一元回归分析中，判定系数定义为2T
S R S =
回
，则___B____ . （A ）2R 接近0时回归效果显著； （B ）2R 接近1时回归效果显著； （C ）2R 接近∞时回归效果显著； （D ）前述都不对. 三、（本题10分）设总体21(,)X
N μσ、22(,)Y N μσ，112(,,
,)n X X X 和
212(,,
,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和2
2X Y S S 、分别是
它们的样本均值和样本方差，证明
1
2
12121
1(2)n n X Y t n n S ω+-+，
其中22
2
1212(1)(1)2
X Y
n S n S S n n ω-+-=+-.
证明：易知
2
2
121
2
(,
)X Y
N n n σσμμ--+
， 1212
(0,1)11X Y U N n n σ=
+
．
由定理可知
2
2
112
(1)(1)X
n S n χσ
--，
2
2222
(1)(1)Y
n S n χσ
--．
由独立性和2
χ分布的可加性可得
2
2
212122
2
(1)(1)(2)X
Y
n S n S V n n χσσ--=
+
+-．
由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得
1
2
12121
112(2)/(2)n n X Y t n n V n n S ω=
+-+-+．
四、（本题10分）已知总体X 的概率密度函数为1, 0
(),0, x
e x
f x θ
θ-?>?=???
其它其中未知参
数0θ>, 12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是无
偏估计量．
解：（1）()10
1
()x
v E X xf x dx xe dx θ
θθ
-
∞
∞
-∞
====?
?
，用111n
i i v X X n ===∑代替，所
以
∑===
n
i i
X X
n
1
1
?θ．
（2）1
1?()()()()n i i E E X E X E X n θθ=====∑，所以该估计量是无偏估计． 五、（本题10分）设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θ
θθ=+<<，其中未知参数1θ>-，12(,,
)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．
解：
1 (1)() , 01
() 0 , n
n i i i x x L θ
θθ=?+∏<
当01i x <<时，1
ln ()ln(1)ln n
i i L n x θθθ==++∑，令
1ln ()ln 01n
i i d L n
x d θθθ==+=+∑，得
1
?1ln n
i
i n
x
θ
==--∑．
六、（本题10分）设总体X 的密度函数为e ,>0;
(;)0,
0,x x f x x λλλ-?=?≤? 未知参数0λ>，
12(,,
)n X X X 为总体的一个样本，证明X 是
1
λ
的一个UMVUE ． 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得
222211
()ln (;)I E f x E λλλλλ???-??=-=-= ????????
，
1
λ
的的无偏估计方差的C-R 下界为 2
2212
2
1[()]11()nI n n λλλλλ
-????'??==． 另一方面
()1E X λ=， 2
1
Var()X n λ
=
， 即X 得方差达到C-R 下界，故X 是
1
λ
的UMVUE ． 七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为007.0=S 公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025α=，结果会怎样？
参考数据: 023.19)9(2
025.0=χ,
919.16)9(2
05.0=χ,
535.17)8(2
025.0=χ,
507.15)8(2
05.0=χ．
解：（1）()()22
2
202
1:0.005,
~8n S H σχχσ
-≤=，则应有： ()()222
0.050.05
80.005,(8)15.507P χχχ>=?=， 具体计算得：2
2
2
80.00715.6815.507,0.005χ?==>所以拒绝假设0H ，即认为苹果重量标准差
指标未达到要求．
（2）新设 2
0:0.005,H σ≤ 由2
22
0.025
2
80.00717.535,15.6817.535,0.005
χ
χ?=?==< 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．
八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，2
11~(,)X μσ，2
22~(,)Y μσ，
221212, , , μμσσ未知，112(,,
,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求
2
122
σσ的置信度为1α-的置信区间. 解：设2
2
, X Y S S 分别表示总体X Y ，的样本方差，由抽样分布定理可知
2
2
112
1(1)(1)X
n S n χσ--，
2
22222
(1)(1)Y
n S n χσ--，
由F 分布的定义可得
2
112221
2122
22
21
222
(1)(1)(1,1)(1)(1)
X
X Y
Y n S n S F F n n n S S n σ
σσσ--=
=----．
对于置信度1α-，查F 分布表找/212(1,1)F n n α--和1/212(1,1)F n n α---使得 []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 即
22222
121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X Y S S S S P F n n F n n αασασ-??<<=- ?----??
， 所求222
1σσ的置信度为α-1的置信区间为 2222
1/212/212//, (1,1)(1,1)X Y X Y S S S S F n n F n n αα-?? ?----??
．
九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．
解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．
2009(上)《数理统计》考试题(B 卷)及参考解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12
15(,,)X X X 是来自X 的样本，则
22
110
22
11152()
X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ．
2，?n
θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：??lim (), lim Var()0n n
n n E θθθ→∞
→∞
==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2
χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .
解：推断各因素对试验结果影响是否显著．
5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计?β的协方差矩阵?β
Cov()=_______ . 解：1?σ-'2Cov(β)
=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1，设总体~(1,9)X N ，129(,,
,)X X X 是X 的样本，则___B___ .
（A ）
1~(0,1)3X N -； （B ）1
~(0,1)1X N -； （C ）
1
~(0,1)9X N -； （D ~(0,1)3
X N ． 2，若总体2(,)X
N μσ，其中2
σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α
-减小，则μ的置信区间____B___ .
（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前
述都有可能.
3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；
（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；
（D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.
4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A
S 为效应平方和，则总有___A___ .
（A ）T e A S S S =+； （B ）22
(1)A
S r χσ-；
（C ）
/(1)
(1,)/()
A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.
5，在多元线性回归分析中，设?β
是β的最小二乘估计，??=-εY βX 是残差向量，则___B____ .
（A ）?n E ()=0ε
； （B ）1?]σ-''-ε
X X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）
??1
n p '--εε是2
σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.
三、（本题10分）设总体21(,)X
N μσ、22(,)Y N μσ，112(,,
,)n X X X 和
212(,,
,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和2
2X Y S S 、分别是
它们的样本均值和样本方差，证明
12
121211
(2)n n X Y t n n S ω+-+，
其中22
2
1212(1)(1)2
X Y
n S n S S n n ω-+-=+-.
证明：易知
2
2
121
2
(,
)X Y
N n n σσμμ--+
， 1212
(0,1)11X Y U N n n σ=
+
．
由定理可知
2
2
112
(1)(1)X
n S n χσ
--，
2
2222
(1)(1)Y
n S n χσ
--．
由独立性和2
χ分布的可加性可得
2
2
212122
2
(1)(1)(2)X
Y
n S n S V n n χσ
σ
--=
+
+-．
由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得
1
2
12121
112(2)/(2)n n X Y t n n V n n S ω=
+-+-+．
四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1
, 0,21
(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ?<
???
其他，其中参
数01)θθ<<（ 未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求
参数；的矩估计量θθ?（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．
解：（1）
10
1()(,)22(1)42
x x E X xf x dx dx dx θθθ
θθθ+∞-∞
==+=+-?
?
?，
令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1
?22
X θ
=-． （2）
22221114
1 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n n
θθθ??==+=++=+++????，
因为()00D X θ≥>，，所以2
2
(4)E X θ>．故2
4X 不是2θ的无偏估计量．
五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自
总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为
1
,0;(,)0,x f x θ
θθ≤≤?=??
其他,
似然函数为
1
,0,1,2,,,
()0,
n i x i n L θθθ<<=??=?
??其它
显然
0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以
{}12?max ,,,n
X X X θ=是θ的极大似然估计． 六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,
)n X X X 为总体的样本，证明X
是参数p 的一个UMVUE ．
证明：X 的分布律为
1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．
容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是
2
1
()ln (;)(1)I p E f x p p p p ???==
???-??
． 另一方面
1(1)1
Var()Var()()
p p X X n n nI p -=
==， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．
七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布2
0(,)N μσ，由以前的观测可知
056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==,
问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=．附表如下：
t 分布表 χ2
分布表
解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量
)15(~0
t n
s X t μ-=
， 确定拒绝域的形式2
t t α??>???
?
．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒
绝域{}1315.2>t ．
而60,
16==x n ，从而 06056
||0.8 2.13152016x t s n
μ--=
==<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．
八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，2
11~(,)X μσ，2
22~(,)Y μσ，
221212, , , μμσσ未知，112(,,
,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求
n α= α= α= 14 15 16 n α= α= α=
14
15
16
2
122
σσ的置信度为1α-的置信区间. 解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2
2
21 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 则
22222
1211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-??<<=- ?----??
， 所求222
1σσ的置信度为α-1的置信区间为 2222
12121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-?? ?----??
．
九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．
2011-2012（下）研究生应用数理统计试题（A ）
1 设,,,12X X X n 为正态总体()2~X N μσ，的样本，令1
1
n
d X i n
i μ=-∑=，试证
()2
E d σπ=
，()2
21D d n σπ??=- ???。(10分) 2设总体X 服从正态()
2N μσ，，,,,12X X X n 为其样本，X 与2S 分别为样本均值及方差。又
设1X n +与,,,12X X X n 独立同分布，试求统计量11
X X n
n Y S n -+=+
（其中122
()11
n S X X i n i =
-∑-=）(10分) 3 X
1 2 3
p
2
θ 2(1)θθ- 2
(1)θ-
其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计. (10分)
4证明样本k 阶原点矩=k A ∑=n i k i X n 1
1是总体X 的k 阶原点矩=k μ)(k
X E 的无偏估计量。
(10分)
5 假定某商场某种商品的月销售量服从正态分布),(2
σμN ，σμ,未知。为了决定商店对该商品的进货量，需对μ作估计，为此，随机抽取若干月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，求μ的置信度为的置信区间。(10分)
6 一种元件，要求其使用寿命不得低于1000（小时）。现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950（小时）。已知该种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平下确定这批元件是否合格。(10分)
7 某小学一年级共有三个班级，在一次数学考试中从三个班随机抽取12,15,13个学生的成绩。设学生成绩服从正态分布且方差相等，样本的方差分析表如下表1所示，问在显著性水平为时，三个班的平均成绩有无显著差异？(10分)
表1 方差分析表
方差来源 平方和 自由度
均方差 F 值
显著性
因素A
误差 总和
8某问题是一个四因素二水平试验，选用L 8（27）正交表，要考虑A×B ，试验方案设计及试验结果见表2。（15分）
（1） 各因素及交互作用的主次顺序（指标y 越大越好）。 （2） 试找最优工艺条件。
（3） 在显著水平α =下，哪些因素的影响显著？
表2 列号 试验号
A 1
B 2 A×B 3
C 4 5 6
D 7 数据i y 1 1 1 1 1 1 1 1 115 2 1 1 1 2 2 2 2 160 3 1 2 2 1 1 2 2 145 4 1 2 2 2 2 1 1 155 5 2 1 2 1 2 1 2 140 6 2 1 2 2 1 2 1 155 7 2 2 1 1 2 2 1 100 8
2 2 1 2 1 1 2 125 j Ⅰ
575 570 500 500 540 535 525 j Ⅱ
520 525 595 595 555 560 570
55 45 95 95 15 25 45 j S
9营业税税收总额y 与社会商品零售总额x 有关。为了利用社会商品零售总额预测税收总额，现收集了以下数据，见表3。（15分）
序号 社会商业零售总额x 营业税税收总额y 1
2 3 4 5 6 7 8 9
（1（2）在显著水平α =下检验回归方程的线性性。
（3）预测当社会商品零售总额300 x 亿元时的营业税的平均税收总额。 附表： j
R
2011-2012（下）研究生应用数理统计试题（A ）
1 设,,,12X X X n 为正态总体()2~X N μσ，的样本，令1
1
n
d X i n
i μ=-∑=，试证
()2
E d σπ=
，()2
21D d n σπ??=- ???。(10分) 2设总体X 服从正态()
2N μσ，，,,,12X X X n 为其样本，X 与2S 分别为样本均值及方差。又
设1X n +与,,,12X X X n 独立同分布，试求统计量11
X X n
n Y S n -+=+
（其中122
()11
n S X X i n i =
-∑-=）(10分) 3 X
1 2 3
p
2
θ 2(1)θθ- 2
(1)θ-
其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计. (10分)
4证明样本k 阶原点矩=k A ∑=n i k i X n 1
1是总体X 的k 阶原点矩=k μ)(k
X E 的无偏估计量。
(10分)
5 假定某商场某种商品的月销售量服从正态分布),(2
σμN ，σμ,未知。为了决定商店对该商品的进货量，需对μ作估计，为此，随机抽取若干月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，求μ的置信度为的置信区间。(10分)
6 一种元件，要求其使用寿命不得低于1000（小时）。现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950（小时）。已知该种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平下确定这批元件是否合格。(10分)
7 某小学一年级共有三个班级，在一次数学考试中从三个班随机抽取12,15,13个学生的成绩。设学生成绩服从正态分布且方差相等，样本的方差分析表如下表1所示，问在显著性水平为时，三个班的平均成绩有无显著差异？(10分)
表1 方差分析表
方差来源 平方和 自由度
均方差 F 值
显著性
因素A
误差 总和
8某问题是一个四因素二水平试验，选用L 8（27）正交表，要考虑A×B ，试验方案设计及试验结果见表2。（15分）
（4） 各因素及交互作用的主次顺序（指标y 越大越好）。 （5） 试找最优工艺条件。
（6） 在显著水平α =下，哪些因素的影响显著？
表2 列号 试验号
A 1
B 2 A×B 3
C 4 5 6
D 7 数据i y 1 1 1 1 1 1 1 1 115 2 1 1 1 2 2 2 2 160 3 1 2 2 1 1 2 2 145 4 1 2 2 2 2 1 1 155 5 2 1 2 1 2 1 2 140 6 2 1 2 2 1 2 1 155 7 2 2 1 1 2 2 1 100 8
2 2 1 2 1 1 2 125 j Ⅰ
575 570 500 500 540 535 525 j Ⅱ
520 525 595 595 555 560 570
55 45 95 95 15 25 45 j S
9营业税税收总额y 与社会商品零售总额x 有关。为了利用社会商品零售总额预测税收总额，现收集了以下数据，见表3。（15分）
序号 社会商业零售总额x 营业税税收总额y 1
2 3 4 5 6 7 8 9
（1（2）在显著水平α =下检验回归方程的线性性。
（3）预测当社会商品零售总额300 x 亿元时的营业税的平均税收总额。 附表： j
R
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西安交通大学研究生试卷
考试科目： 数 理 统 计 考试时间：2008 年 1 月 8 日 时—— 时 考试方式： 闭卷 学 号： 姓 名： 成 绩
注：命题纸上一般不留答题位置。字、图清楚，请勿超出边框，以便复印。
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一．填空题(每空2分。共20分)
1．设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体的简单样本，
∑==n i i X n X 11，∑=--=n i i X X n S 1
22
*)(11，则统计量 n
X /σμ-～ ，
n
S X /*
μ-～ ，
()2
12
σμ∑=-n
i i X ～
2．设总体)1,(~μN X ，21,X X 是来自总体的简单样本，2113
1
32?X X a
+=， 2124341?X X a
+= ，2132
1
21?X X a
+=都是μ的无偏估计量，则最有效的 是 。
3．设总体),(~2σμN X ，其中2σ已知，为使总体均值μ的置信度为α-1的置信区间的长度不大于L ，则样本容量n 至少应取 。 4．在一元方差分析中，一次抽样后由n 个子样值计算得F 的数值，对假设检验0H ：r μμμ=== 21，按显著水平%5=α，对0H 的拒绝域是 ，接受域是 。
5．对一元线性回归问题：???++=)
,0(~2
σεε
βαN X Y ，所谓线性关系的显著性检验，
西安交通大学研究生课程考试题（数理统计2007）
附表：
标准正态分布的分布函数值：(1.96)0.9750Φ=
t 分布的上侧分位数： 2χ分布的上侧分位数：
F 分
布的
上侧分位数：
0.025(9 9) 4.03F =，，
0.05(2 12) 3.89F =，。
一．
填空题（本题分值为30） (1) 设1,
,n X X 为，其含义是 。
(2)
设~(0,1)U N ，若有{}P U c α<= (01)α<<，则c= （用(0,1)N 分布的上侧分位数符号表示）
。 (3)
设11,,,,,n n n m X X X X ++为正态总体2(0,)N σ的样本，若要
21
21
~(,)n
i i n m
i
i n X
a
F b c X
=+=+∑∑
则a = ，b = ，c = 。 (4) 写出估计参数最常用的三种方法：
， ， 。 (5)
若参数假设问题0011::H H θθΘΘ∈?∈的拒绝域为W ，则该检验犯第I 类错误的概率1p = ，犯第II 类错误的概率2p = 。 二．（本题分值为12）已知总体X 的概率密度函数为
1112221
1exp ,(;,) 0, x x f x x θθθθθθθ???
-->???
=???
? 设1,
,n X X 是总体X 的样本，求未知参数12,θθ的矩估计。
α
n
12 15 18
α
n
15
五．（本题分值为12）
方差来源 离差平方和
自由度 均方离差
F 值
组间 组内 12 总和
（2）问这是几个因素几种水平试验的方差分析表？、
（3）由上述方差分析表，检验各组均值是否有显著差异(0.05)α=？
（4）已知在因素的每一水平上进行等重复试验，且算得187.2x =，255.4x =，求
12μμ-的95%置信区间
六．（本题分值为6）假设(,)i i x y 满足线性回归关系：
i i i y a bx ε=++， （1,
,i n =）
其中1,
,n εε为且21~(0,)N εσ，1,,n x x 不全相同，试用极大似然法估计参数
,a b 。
七．（本题分值为6）设1,
,n X X 是取自2(0,)N σ的样本，其中0σ>为未知参数。
（1）问1
1n
i i X n σ==∑是否为σ的无偏估计？（若认为是σ的无偏估计，请给出证明；
若认为不是，对它作适当的修正，给出σ的无偏估计。） （2）针对（1）的讨论结果，求σ的无偏估计的（有）效率。
八．（本题分值为5）设~(,1)X N μ，其中μ为未知参数，()F x 为X 的分布函数。又
设常数c 满足等式：()0.975F c =。先从总体X 抽取一个样本，算得 3.04x =，求c 的极大似然估计值。 九．（本题分值为5）设1,
,n X X 为取自总体X 的样本，已知总体X 的分布函数()F x
为连续函数，证明(1)()~(1,)F X n β，其中(1)X 是第一顺序统计量（已知(1,)n β分
布的概率密度为1(1), 01
(;1,) 0, n n x x f x n -?-<<=??
其他 ）。
试卷清晰度较差，部分数据可能有误，自己看着参考。若我看错了，忘见谅！
这张试卷效果实在太差，很多内容看不太清，部分数据可能有误，但类型应该差不多，若我看错了，忘见谅！
西安交通大学研究生课程考试题（数理统计2002）
一．（本题满分14分）
已知某零件的长度服从正态分布2
(,)N u σ，其中22
5.5mm σ=，从一大堆这种零件中
随机抽取n 个，测量其长度。现用子样均值X 来估计母体均值u ，此时： （1） 若要估计量的标准差在1 2
mm 之下，n 应取多大？
（2） 若要估计误差的绝对值超过1 mm 的概率在1%以下，n 应取多大？
二．（本题满分20分）
判断下列命题的真伪并简述理由：
1.“统计量”与“估计量”是同一概念。
2.“点估计”与“区间估计”的关系为：前者是后者的一种…………（瞅不清）
3.设母体X 的均值和方差都存在，123,,X X X 为来自母体X 的一个简单随机子样，则
11231()3X X X θ=++与2123111236
X X X θ=
++都是()E X 的无偏估计，且1?θ比2?θ有效。 （4）在一个确定的假设检验问题中，其判断结果不但与其检验水平a 有关，而且与抽
到的子样有关。 四．（本题满分14分） 已知某种设备的工作温度服从正态分布，现作十次测量，得数据（C ） 1250 1275 1265 1245 1260 1255 1270 1265 1250 1240 （1） 求温度的母体均值u 的95%置信区间。 （2） 求温度母体标准差σ的95%置信区间。 五．（本题满分14分）
设有两个独立的来自不同的正态母体的子样：
（，，，） （，，，）
问能否认为两个字样来自同一母体（0.05α=）？ 六．（本题满分12分） 地区 测量值 1 403 304 259 336 259 253 290 2 362 322 362 420 420 386 274 3
361
344
353
235
349
260
226
试用单因素方差分析法，检验不同地区人的血液中胆固醇的平均量之间是否存在
显著差别？（0.05α=） 七．（本题满分15分）
在某乡镇，随机地走访了十户居民加，得其家庭月收入（x ）与日常开支（y ）的子样数据如下（单位：元）
收入x ：820 930 1050 1300 1440 1500 1600 1800 2000 2700 支出y ：750 850 920 1050 1200 1300 1300 1450 1560 2000 （1） 求日常开支y 与家庭月收入x 间的经验回归方程； （2） 检验回归效果是否显著？（0.05α=）
（3） 对02200x =（元），给出y 的置信概率为95%的预测区间。 八．（本题满分6分）
已知母体X 为一个连续型随机变量，X 的分布函数是()F x ，设12,,
n X X X 是来自
母体X 的简单随机子样，试证随机变量1
2ln[()]n
i
i Y F X ==-∑（瞅不清，
似乎是）服从2
(2)
n χ分布。
一．（本题满分20分） 填空题：
《数理统计》例题 1.设总体X 的概率密度函数为： 2 2 1)(ββ x e x f -= )0(>β 试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数β。 解：（1）矩法 由于EX 为0， πβββββ βββββββ2 00 2 2 2 22 2 1][) ()2 (2) ()2(21 2)(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = +-=- =- - ===???? ?∞ +-∞+- ∞ +- - ∞ +- ∞ ++∞ ∞ -dx e xe e d x x d xe dx e x dx x f x EX x x x x x πβ2 222 1= -=X E EX DX 令2S DX =得：S π β2 ?= （2）极大似然法 ∑= ==- =- ∏ n i i i x n n i x e e L 1 2 22 2 1 11 1 β ββ β ∑=- -=n i i x n L 1 22 1 ln ln ββ 2 31 ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =β d L d 得∑==n i i x n 1 2 2?β
2. 设总体X 的概率密度函数为： ?? ???<≥--=αα βαββαφx x x x ,0),/)(exp(1 ),;( 其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。 解：（1）矩法 经统计得：063.0,176.2==S X β αβαβ φα β α α β ααβ α β α α β α α +=-=+-=-===∞ +-- ∞ +-- ∞ +-- -- ∞ +-- ∞ +∞ +∞-?? ? ?x x x x x e dx e xe e xd dx e x dx x x EX ][) (1 )( ) (222][) (1 222 22 2βαβαβαβ β α α αβ α β α α β α α ++=+=+-=-==--∞ +∞ +-- --∞ +-- ∞ +?? ?EX dx e x e x e d x dx e x EX x x x x 222)(β=-=EX EX DX 令???==2S DX X EX 即???==+2 2S X ββα 故063.0?,116.2?===-=S S X βα （2）极大似然法 ) (1 1 1),;(αβ β α β β βα---- == =∏X n n X n i e e x L i )(ln ln αβ β-- -=X n n L )(ln ,0ln 2αβ βββα-+-=??>=??X n n L n L 因为lnL 是L 的增函数，又12,,,n X X X α≥L 所以05.2?)1(==X α
数理统计考试试卷 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体得容量分别为10,15得两独立样本均值差________; 2、设为取自总体得一个样本,若已知,则=________; 3、设总体,若与均未知,为样本容量,总体均值得置信水平为得置信区间为,则得值为________; 4、设为取自总体得一个样本,对于给定得显著性水平,已知关于检验得拒绝域为2≤,则相应得 备择假设为________; 5、设总体,已知,在显著性水平0、05下,检验假设,,拒绝域就是________。 1、; 2、0、01; 3、; 4、; 5、。 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设就是取自总体得一个样本,就是未知参数,以下函数就是统计量得为( )。 (A) (B) (C) (D) 2、设为取自总体得样本,为样本均值,,则服从自由度为得分布得统计量为( )。 (A) (B) (C) (D) 3、设就是来自总体得样本,存在, , 则( )。 (A)就是得矩估计(B)就是得极大似然估计 (C)就是得无偏估计与相合估计(D)作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验得拒绝域为( )。 (A) (B) (C) (D) 5、设总体,已知,未知,就是来自总体得样本观察值,已知得置信水平为0、95得置信区间为(4、71,5、69),则取显著性水平时,检验假设得结果就是( )。 (A)不能确定(B)接受(C)拒绝(D)条件不足无法检验 1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B、 三、(本题14分) 设随机变量X得概率密度为:,其中未知 参数,就是来自得样本,求(1)得矩估计;(2)得极大似然估计。 解:(1) , 令,得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为:, 而就是得单调减少函数,所以得极大似然估计量为。 四、(本题14分)设总体,且就是样本观察值,样本方差,
2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2 (0,3)N ，而12 9(,,)X X X 和 129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则U = 服从的分布是_______ . 解：(9)t ． 2，设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ比2?θ有效，则1?θ与2?θ的期望与方差满足_______ . 解：1212 ????()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___. 解：秩和检验、游程总数检验． 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是?β=_______ . 解：1?-''X Y β= ()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设12(,, ,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为 样本方差，则____D___ . （A ）(0,1)nX N ； （B ）22()nS n χ； （C ） (1)()n X t n S -； （D ） 2 122 (1)(1,1)n i i n X F n X =--∑. 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量 n 增大，则μ的置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ . （A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大；
1、设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料： 求样本容量n ，样本均值和样本方差。 解：样本容量为n=100 样本均值，样本方差，样本修正方差分别为 ()()2222 22222033061522031 3.85,1001 3.85 1.9275,100 100100 1.9275 1.9469693061999 5. 9n n x s s s ??????= ==-===?=L L L ++++++ 2、设总体服从泊松分布P （λ），1,,n X X L 是一样本： （1）写出1,,n X X L 的概率分布； 解： ,2,1,0,! ! )(,2,1,0,,2,1,0,! )(1 1 1 n 11 == ======= =-=∑-==-∏∏ ∏=i n n i i x x i i x i i n i i i i i x i i x e x e x x X p n i x X P X X x e x x x P i n i i i λ λ λλ λ λλ）（的概率分布为 所以因为： （2）计算2 ,n EX DX ES 和； 解：λλλλn n DX n n ES n n DX X D EX X E DX EX n 11,,,2 -=-=======所以因为 （3）设总体容量为10的一组样本观察值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8）试计算样本 均值, 样本方差和次序统计量的观察值。 解： 4 9106.3410114 10 40 12222101221 2 1===-=-====∑∑∑===s s s n i i i n i n i n i x x x n x n x
<数理统计>试题 一、填空题 1．设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2 N 的简单随机样本，2 已知，令 16 1161i i X X ，则统计量 164X 服从分布为 （必须写出分布的参数）。 2．设),(~2 N X ，而，，，，是从总体X 中抽取的样本，则 的矩估计值为 。 3．设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为 。 4．已知2)20,8(1.0 F ，则 )8,20(9.0F 。 5． ?和 ?都是参数a 的无偏估计，如果有 成立 ，则称 ?是比 ?有效的估计。 6．设样本的频数分布为 则样本方差2s =_____________________。 7．设总体X~N （μ，σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则D （X ）＝________________________。 8．设总体X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ未知，X 1，X 2，…，X n 为其样本。若假设 检验问题为1H 1H 2120 ：＝：，则采用的检验统计量应________________。 9．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x,x, …，x ）落入 W 的概率为，则犯第一类错误的概率为_____________________。 10．设样本X 1，X 2，…，X n 来自正态总体N （μ，1），假设检验问题为：， ：＝：0H 0H 10 则在H 0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W 应为______________________。 11．设总体服从正态分布 (,1)N ，且 未知，设1,,n X X L 为来自该总体的一个样本，记
涉及到的有关分位数： ()()()()()()()()()()()()2 0.950.950.950.9750.9750.9752222220.9750.0250.0250.9750.950.97520.95 1.645,16 1.746,15 1.753,16 2.12,15 2.131,1628.851527.49,16 6.91,15 6.26,1 5.02,1 3.84,27.382 5.99 u t t t t χχχχχχχχ============= 一、设123,,X X X 是来自总体~(0,3)X N 的样本。记()2 332 i 11 11,32i i i X X S X X ====-∑∑, 试确定下列统计量的分布： （1）3113i i X =∑；（2）2 3119i i X =?? ???∑；（3）() 2 31 13i i X X =-∑；（4 X 解：（1）由抽样分布定理，3 1 1~(0,1)3i i X X N ==∑ (2)因311~(0,1)3i i X N =∑，故2 2 332 1111~(1)39i i i i X X χ==????= ? ????? ∑∑ （3）由抽样分布定理， ()() () 2 2 23 3 21 1 31211~(2)3 323i i i i S X X X X χ==-=?-=-∑∑ （4）因()222~(0,1), ~23 X N S χ，X 与2S ()~2X t 。 二、在某个电视节目的收视率调查中，随机调查了1000人，有633人收看了该节目，试根 据调查结果，解答下列问题： （1）用矩估计法给出该节目收视率的估计量； （2）求出该节目收视率的最大似然估计量，并求出估计值； （3）判断该节目收视率的最大似然估计是否是无偏估计； （4）判断该节目收视率的最大似然估计是否是有效估计。 解：总体X 为调查任一人时是否收看，记为~(1,)X B p ，其中p 为收视率 （1）因EX p =,而^ E X X =，故收视率的矩估计量为^ X p = （2）总体X 的概率分布为() 1()1,0,1x x f x p p x -=-= 11 11 ()(1)(1) (1)ln ()ln (1)ln(1)ln ()(1) 01n n i i i i i i n x n x x x n X n n X i L p p p p p p p L p nX p n X p d L p nX n X dp p p ==- --=∑∑=-=-=-=+---=-=-∏
西安交通大学2017年硕士研究生数统学院录取名单 1081007数统学院白子轩 1082007数统学院成宇珊 1083007数统学院程袍 1084007数统学院邓琰玲 1085007数统学院冯沛 1086007数统学院高斌 1087007数统学院高源 1088007数统学院古祥 1089007数统学院郭保 1090007数统学院贺晨曦 1091007数统学院黄璐 1092007数统学院季兵兵 1093007数统学院姜晓薇 1094007数统学院孔庆明 1095007数统学院李军霞 1096007数统学院李鑫鑫 1097007数统学院李钰 1098007数统学院刘楚阳 1099007数统学院刘仕琪 1100007数统学院刘田甜 1101007数统学院马子璐 1102007数统学院孟楠 1103007数统学院米晨光 1104007数统学院齐龙昭 1105007数统学院钱闻韬 1106007数统学院芮翔宇 1107007数统学院史会莹 1108007数统学院税雨翔 1109007数统学院孙浩栋 1110007数统学院孙梓芮 1111007数统学院王晶晶 1112007数统学院王睿 1113007数统学院王伊静 1114007数统学院吴训蒙 1115007数统学院夏凡
1116007数统学院谢壮壮1117007数统学院杨丹1118007数统学院于弦1119007数统学院余璀璨1120007数统学院岳江北1121007数统学院张博文1122007数统学院张海培1123007数统学院张其明1124007数统学院张少轩1125007数统学院张书涯1126007数统学院张怡青1127007数统学院张喆1128007数统学院张智1129007数统学院郑乃颂1130007数统学院钟粟晗 文章来源：文彦考研旗下西安交通大学考研网
概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020
一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为
浙江工商大学2008/2009学年第一学期考试试题(B 卷) 课程名称： 数理统计 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟 班级名称： 学号： 姓名： 一、填空题（每格2分，共20分） 1、设1621,,,X X X 是总体)16,1(~N X 的样本，则样本均值~X 。 2、设)2()(~≥n n t X 则)(EX X P <= 。 3、设4321,,,X X X X 是来自均值为0、方差为6正态总体的4个样本，求统计量 2 432 124321) ()(X X X X X X X X --++++~ ， 24 23 22 1 3X X X X ++ ~ 。 4、一批电子零件抽取了八个进行寿命测试，得到如下数据：1050 1100 1130 1040 1250 1300 1200 1080 试根据矩法估计原理给出该批零件的平均寿命 ，及其寿命的方差为 。 5、设设n X X X ,,,21 是来自总体),0(~θU X （θ未知）的一个样本，则θ的矩估计
为 ， 其极大似然估计为 。 10、若()2 ,~σ μN X ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本， 则要检验假设2 2 0:σσ=H 可采用检验统计量是 在0H 下它服从 。 二、用调查对象中的收看比例 k /n 作为某电视节目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k /n 与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？ （标准正态分布的0.9分位数为1.645）。（10分）
三、设n X X X ,,,21 ，n n n X X X 221,,, ++是来自总体),(2σμN 的一个样本，记 n X X n X X n n i i n i i /,/21 21 1∑ ∑+=== = ，∑∑+==--= n n i i n i i X X X X F 21 2 212 1) () (, 求F 的分布和)1(
2007硕士研究生《数理统计》考题 题中可能涉及的值：645.105.0=z ，1824.3)3(025.0=t ,3534.2)3(05.0=t ,5706.2)5(025.0=t ， 7459.1)16(05.0=t ，44.3)8,8(05.0=F ，)2(205.0χ=5.991,)3(205.0χ=7.815 一．填空题（每题3分，共36分） 1.向某一目标发射炮弹，设炮弹的弹着点到目标的距离为R 单位 , R 服从瑞利分布，其概率 密度为?? ???≤>=-0,00,252)(25/2r r e r r f r R ，若弹着点离目标不超过5个单位时，目标被摧毁。则（1） 发射一发炮弹能摧毁目标的概率为_______(2)为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于0.95， 则最少需要发射的炮弹数为________枚。 2.已知3,2,1,=i X i ，相互独立，且i X D i /1)(=，若 ∑==311i i a ， ∑==31i i i X a Y ，要使)(Y D 达到最大，则1a =_________;2a =__________. 3．设总体)1,0(~N X ，161,,X X 是其一简单随机样本，2 S 为样本方差))((22σ=S E ， 则)(2S D =________; ~ (2162) 1X X ++________;~/1516221∑=i i X X ___________. 4．某批电子元件的寿命服从均值为θ的指数分布，现从中抽取n 个元件在0=t 时同时投入寿命实验，截止时刻为T ，且已知到T 为止共有r 个元件损坏。(1)若此r 个元件具体损坏时刻未知，则θ的最大似然估计为__________;（2）若此r 个元件具体损坏时刻分别为r t t t ≤≤≤ 21，则θ的最大似然估计为__________. 5．对于具有s 个水平的单因素A 实验方差分析（水平i A 对应的总体为),(2σμi N , （i=1,2,…,s ），现取样，设各水平下的样本容量之和为n,以T E A S S S ,,分别表示因素A 的效 应平方和、误差平方和、总偏差平方和，则（1）T E A S S S ,,之间的关系是___________； （2）在s μμ==...1成立的条下，~) /()1/(s n S s S E A --___________；（3）在显著性水平α下，假 设“s H μμ==...:10，s H μμ,...,:11不全相等”的拒绝域形式是_________ 二．（10分）已知甲乙两地新生婴儿身高都是服从正态分布的随机变量，分别以X ，Y 表示，假设),(~),,(~2 221σμσμN Y N X （参数均未知），且相互独立，现从两总体中分别取样，容量均为9，样本值分别为46，47，…，54和51，52，…，59.（1）求21μμ-的置信水平
201 5- 2016学年第1学期《数理统计学》考试试题 1、 考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。 2、 计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留 2位小数。 3、 请将选择题的答案（用字母 A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。 选择题答案表 一、单项选择题（每题2分，共20分，选出最为恰当的一项） 1.设总体X~N （,「2 ），Y~N （」2，打）相互独立，样本量分别为 n 1，n 2，样本 方差分别为S ；， S ；，检验H o :打一匚； 比：打心的拒绝域为（ 2. 3. So A. -2 ::: F-.g -1, n 2 —1) S ； B. s 2 ~2 ::: F-.2(n 1 —^1, 门 2 ~ S C.鲨 F.(01 -1,n 2 -1) S ； D. S 2 2 F 2 (n 1 - 1 n 2 - 1 ) S 2 假设?是二的一个点估计, 那么以下说法中错误的是（ A.如E （马“，则?是二的无偏估计 B.如?是二的无偏估计，则g （国是g （“的无偏估计 C.如？是的极大似然估计，g （J 有单值反函数，则g （珀是g （R 的极大似然估 D.彳的均方误差定义为 MSE （^） = E （^-^）2 设X 1,X 2，…,X n 为来自正态分布N （=二2）的简单随机样本，X 为样本均值, n _ （X j -X ）2 ，则服从自由度为n-1的t 分布的统计量为（ n i A.奶（乂-卩） B. .n (X - J S n
C J n—1(X —卩) a D. n — 1(X ■■) Sn 4.下面不正确的是（)° A. 5 二-u B. [.(n) n) C. t1_：.(n) - -t：.(n) 1 D F (n m)— F1v(n,m)- F/m, n) 5.以下关于假设检验的说 法， 正确的是（)° A.第一类错误是指，备择假设是真，却接受了原假设 B.利用样本观测值能够作出拒绝原假设的最小显着性水平称为检验的p值 C.当检验的p值大于显着性水平:时，拒绝原假设 D.犯两类错误的概率不可以被同时减小 6.对于单因素试验方差分析的数学模型，设S T为总离差平方和，S e为误差平方 和，S A为效应平方和，则不正确的是（）? A.无论零假设是否成立，都有S T=Se ?S A B.无论零假设是否成立，都有% ~ 2r -1 ■. C.无论零假设是否成立，都有S E2~ 2门_「 CT D.零假设成立时，才有S A （r ~1） ~ F r -1, n—r Se.. （n-r） 7.下面关于」的置信度为1八的置信区间的说法，不正确的是（？?？ ） A.置信区间随样本的变化而变化，是随机变量？ B.对固定的样本，置信区间要么一定包含真值，要么一定不包含真值」 C.」落入区间的概率为1 D.随机区间以1— a的概率包含了参数真值J
第一章 1.1 X~N(μ,2 σ) 则X~N(μ, 2 n σ )，所以X－μ~N(0, 2 n σ ) P{X-μ <1}= P{ ＝ 0.95 N（0,1）,而(0.975) 1.96 Φ= 所以n最小要取[2 1.96x2σ]+1 1.2 （1）至800小时，没有一个元件失效 这个事件等价于P{ 123456 X X X X X X>800}的概率 由已知X服从指数分布，可求得P{ 123456 X X X X X X>800}＝7.2 e-（2）至3000小时，所有六个元件都失效的概率 等价与P{ 123456 X X X X X X<3000}的概率 可求得P{ 123456 X X X X X X<3000}= 4.56 (1) e- - 1.5 2 1 () n i i X a = - ∑＝2 1 [()()] n i i X X X a = -+- ∑ ＝22 111 ()2()()() n n n i i i i i X X X a X X X a === -+--+- ∑∑∑ 因为 1 () n i i X X = - ∑＝0 所以2 1 () n i i X a = - ∑＝22 11 ()() n n i i i X X X a == -+- ∑∑ ＝22 1 () n i nS X a = +- ∑ 所以当a＝X时，2 1 () n i i X a = - ∑有最小值且等于2nS 1.6 （1）由 1 1n i i X X n= =∑
有等式的左边＝ 221 12n n i i i i X X n μμ==-+∑∑ 等式的右边＝ 22221122n n i i i i X X X nX nX nX n μμ==-++-+∑∑ ＝ 22 2 2 211 22n n i i i i X nX nX nX X n μμ==-++-+∑∑ ＝ 221 1 2n n i i i i X X n μμ==-+∑∑ 左边等于右边，结论得证。 （2） 等式的左边＝ 22 11 2n n i i i i X X X nX ==-+∑∑＝221 n i i X nX =-∑ 等式的右边＝ 221 n i i X nX =-∑ 左边等于右边，结论得证。 1.7 （1）由11n n i i X X n ==∑ 及 22 1 1()n n i n i S X X n ==-∑ 有左边=1111111111()1111 n n n n n i i n i i i i X X X X X X n n n n ++++=====+=+++++∑∑∑ 111 ()111 n n n n n nX X X X X n n n ++= +=+-+++=右边 左边等于右边，结论得证。 （2）由 左边=12 21 11 1()1n n i n i S X X n +++==-+∑ 121111[()]11 n i n n n i X X X X n n ++==---++∑ 121111[()()]11 n i n n n i X X X X n n ++==---++∑ 12 2112 1121[()()()()]11(1) n i n i n n n n n i X X X X X X X X n n n +++==----+-+++∑
2015-2016学年第1学期《数理统计学》考试试题 1、考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。 2、计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留2位小数。 3、请将选择题的答案（用字母A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。 选择题答案表 2，样本 然估计 D.?θ的均方误差定义为2??()()MSE E θθθ=- 3.设n X X X ,,,21 为来自正态分布),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本均值， ∑=-=n i i n X X n S 1 2 2(1，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（）。
A.σ μ) (-X n B. n S X n ) (μ- C. σ μ) (1--X n D. n S X n ) (1μ-- 4.下面不正确的是（）。 A.αα u u -=-1 B.)()(2 21n n α αχχ-=- p e 为误差E 2 σ D.零假设成立时，才有 ()r n r F r n S r S e A ----,1~) () 1( 7.下面关于μ的置信度为α-1的置信区间的说法，不正确的是（???）。 A.置信区间随样本的变化而变化，是随机变量? B.对固定的样本，置信区间要么一定包含真值μ，要么一定不包含真
值μ C.μ落入区间的概率为α-1 D.随机区间以１－α的概率包含了参数真值μ 8.设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本, μ=EX ，则下列正确的是（） 。 A.1X 是μ的无偏估计量B.1X 是μ的极大似然估计量 9.设. A.3 1σ10.A.C.，则 3.设n X X X ,,,21 是来自均匀分布总体),0(θU （0>θ是参数）的一个样本， 则θ的矩估计为。 4.单因素方差分析中，数据s j n i X j ij ,,2,1;,,2,1, ==取自s 个总体 () s j N X j j ,,2,1,,~2 =σμ，则j n i ij j n X X j ∑== 1 服从分布。
习 题 三 1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量( )2 4.55,0.108 X N .现在测试了5炉铁水，其含 碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？ 解 由题意知，()2 4.55,0.108X N ，5n =，5 1 1 4.3645i i x x ===∑，0.05α=， ()52 2 01 10.095265i i s x μ==-=∑. 1)当00.108σ=已知时， ①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.97512 1.96u u α - ==，临界值12 0.108 1.960.09475 c u n ασ - = = ?=， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->. ③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化. 2)当0 4.55μ=已知时， ①设统计假设2 2 2 2 2 2 0010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值 ()()()()222210.02520.975122 111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-= =====， 拒绝域为2 2 2 2 0212 2 2 2 0000{ }{ 2.56660.1662}s s s s K c c σσσσ=><=><或 或 . ③ 2 02 2 00.09526 8.16700.108 s K σ= =∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化. 2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.已知该种元件寿命( )2 ,100 X N μ ，问这批元件是否合格()0.05α=？
应用数理统计答案 学号： 姓名： 班级：
目录 第一章数理统计的基本概念 (2) 第二章参数估计 (14) 第三章假设检验 (24) 第四章方差分析与正交试验设计 (29) 第五章回归分析 (32) 第六章统计决策与贝叶斯推断 (35) 对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社
第一章 数理统计的基本概念 1.1 解：∵ 2 (,)X N μσ ∴ 2 (,)n X N σμ ∴ (0,1)N 分布 ∴(1)0.95P X P μ-<=<= 又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 2 2 1.96n σ= 1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为： 800 0.00150 1.2 (800)1(800) 10.0015x P X P X e dx e -->==-<=-=? ∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2 ()P e e --== (2) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为： 3000 0.00150 4.5 (3000)0.00151x P X e dx e --<===-? ∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56 (1)P e -=- 1.4 解：
i n i n x n x e x x x P n i i 1 2 2 )(ln 2121)2(),.....,(1 22 =-- ∏∑ = =πσμσ 1.5证： 2 1 1 2 2)(na a x n x a x n i n i i i +-=-∑∑== ∑∑∑===-+-=+-+-=n i i n i i n i i a x n x x na a x n x x x x 1 2 2 2 2 11) ()(222 a) 证： ) (1111 1+=+++=∑n n i i n x x n x ) (1 1 )(1 1 11n n n n n x x n x x x n n -++=++=++
数理统计试题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
2015-2016学年第1学期《数理统计学》考试试题 1、考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。 2、计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留2位小数。 3、请将选择题的答案（用字母A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。 选择题答案表 一、单项选择题（每题2分，共20分，选出最为恰当的一项）。 1. 设总体),(~211σμN X ，),(~2 2 2σμN Y 相互独立，样本量分别为1n ，2n ，样本方差分别为21S ，22S ，检验2221122210::σσσσn n F S S α D. )1,1(21222 2 1-->n n F S S α 2. 假设?θ 是θ的一个点估计，那么以下说法中错误的是（ ）。 A.如?()E θ θ=，则?θ是θ的无偏估计 B.如?θ 是θ的无偏估计，则?()g θ是()g θ的无偏估计 C.如?θ 是θ的极大似然估计，()g θ有单值反函数，则?()g θ是()g θ的极大似然估计 D.?θ 的均方误差定义为2??()()MSE E θθθ=- 3. 设n X X X ,,,21 为来自正态分布),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本均值， ∑=-=n i i n X X n S 1 22)(1，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。
广西大学研究生课程考试试卷 2004 --- 2005 学年度第二学期 课程名称：数理统计试卷类型：A 卷 命题教师签名：院长(系主任)签名： 注：考试过程不允许将试卷拆开! 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1、假设子样 9 2 1 , , ,X X X 来自正态母体) 81 .0, (μ N，测得样本均值5 = x， 则μ的置信度是95 .0的置信区间为。（96 .1 025 .0 = u） 2、假设子样 n X X X, , , 2 1 来自正态母体) , (2 σ μ N，μ与2σ未知，计算得75 . 14 16 116 1 = ∑ =i i X，则原假设 H：15 = μ的t检验选用的统计量为。3、 某产品以往废品率为5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否低于5%， 此问题的原假设为。 6、设 n X X X , , 2 1 为母体X的一个子样，如果) , , ( 2 1n X X X g ，则称) , , ( 2 1n X X X g 为统计量。
二、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 1、母体均值的区间估计中，正确的是 （ ① ） ① 置信度α-1一定时，样本容量增加，则置信区间长度变短 ② 置信度α-1一定时，样本容量增加，则置信区间长度变长 ③ 置信度α-1增大，则置信区间长度变短 ④ 置信度α-1减少，则置信区间长度变短 2、对于给定的正数α，10<<α，设αz 是标准正态分布的α上侧分位数，则有（ ④ ） ① αα-=<1)(2 u U P ② αα=<)|(|2 u U P ③ αα-=>1)(2 u U P ④ αα=>)|(|2 u U P 3、设n x x x ,,,21 为来自),(~2 σμN X 的子样观察值，2 ,σμ未知，∑==n i i x n x 1 1 则2 σ的矩估计值为 （ ② ） ① ∑=-n i i x x n 12)(1② ∑=-n i i x x n 1)(1 ③ ∑=--n i i x x n 12)(11 ④∑=--n i i x x n 1 )(11 4、在假设检验中，记0H 为原假设，则犯第二类错误是（ ③） ① 0H 成立而接受0H ② 0H 成立而拒绝0H ③ 0H 不成立而接受0H ④ 0H 不成立而拒绝0H 5、假设母体X 的数学期望μ的置信度是95.0，置信区间上下限分别为样本函数 ),(1n X X b 与 ),,(1n X X a ，则该区间的意义是（ ① ） ① 95.0)(=<(完整版)数理统计试题及答案
一、填空题（本题15分，每题3分） 1、总体)3,20(~N X 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~Y X -________； 2、设1621,...,,X X X 为取自总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，若已知0.32)16(2 01.0=χ,则 }8{16 1 2∑=≥i i X P =________； 3、设总体),(~2 σμN X ，若μ和2 σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为 α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________； 4、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2 σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________； 5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，在显著性水平0.05下，检验假设00:μμ≥H ,01:μμ 西南交通大学研究生2016－2017 学年第(1)学期考试试卷答案 课程代码 课程名称 数理统计与多元统计 考试时间 150分钟 1、设总体X (0,1)N :，12n ,,,X X X L 是来自正态的简单随机样本，其中 ξ= ，3 2 1 2 4 1)3i i n i i n X X η==-=∑∑（试推断统计量ξ和η的分布。 解： = (1) X t n ξ= -:（5分） 3 23 2 1 1 224 4 1)33 (3-3)-3i i i i n n i i i i X n X F n X X n ====-= ~∑∑∑∑（，（） （5分） 2、设某种元件的使用寿命X 的概率密度为 () 1(;)0x e x f x x μθμθθ μ --?≥?=??>，为未知参数，又设12,,,n x x x L 是X 的一组样本观测值，(1)试求参数,μθ的极大似然估计量；(2) 试求参数,μθ的矩估计量. 解： 1 121 () 1(,,,)1 (,,), n i i n n x i i n i L X X X f x e x μθ θμθμμ θ =- -=∑== >∏L 极大似然函数为：（2分） 121 1 ln (,,,)ln (), n n i i i L X X X n x x θμθμμθ ==-- ->∑L （1分） 21ln (,)1(), n i i i L n x x μθμμθθθ=?-=+->?∑（2分） ln (,)0, i L n x θμμμθ ?=>>?（2分） 12(1)(2)(),,...,:...n x x x x x x ≤≤≤的顺序统计值为 (1)1?min i i n X X μ ≤≤==,()X θ∧ １＝Ｘ－,（2分） 1 ()x u EX xf x dx xe dx μ θ θμθ -- +∞ +∞ -∞ ===+? ? （2分） 2 2 2 21 ()2() x u EX x f x dx x e dx μ θ θ μθθμ-- +∞ +∞ -∞ ===++? ? （2分） 1222121211212()??n i i X X n X θθθθθθθθ=?+=? ?++=???=??? ?=?? ∑解方程得矩估计为： －（2 分） 3.抛一枚硬币，设正面向上的概率为θ，提出如下假设： 011 3::2 4 H H θθ= = 如果检验规则为：将该硬币抛掷5次，若正面向上的次数多余3次，则拒绝0H 。 （1）求该检验犯第一类错误的概率。（2）求该检验犯第二类错误的概率。 （3）在硬币抛掷次数不变的情况下，为使检验的显著性水平0.05α=，应如何修改检验规则。 解： (1)44 55 516(3|)=C (1)22 P X θθθθ>=-+= (2)5114 5223332553(3|)=(1)C (1) 4C (1)C (1) P X θθθθθθθθ≤=-+--+- 1144455513(|)=C (1)C (1)0.052 m m m P X m θθθθθθ++->=-+-+=L （）西南交通大学研究生数理统计与多元统计考试 试题答案
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