基于M/M/S排队论的病床安排模型
（获２００９年大学生数学建模赛全国二等奖）
数学与计算科学学院雷蕾
信息科学与计算学院黄缨宁
信息科学与计算学院丁炜杰
指导老师：王其如教授
摘要
就医排队是一种我们非常熟悉的现象。在眼科医院的病床安排中，主要从医院高效工作和患者满意度两方面来考虑安排方法。本文通过确定两方面的权重，确立评价标准。
针对问题二，本文确定了从医院和患者两方面综合考虑的目标函数，医院各种诊疗规则的限制下进行线性规划，使得目标函数值（背离度）最小，得到问题二的解决方案。用问题一的标准评价，确实优于医院的FCFS模型。
问题三中对每一类病人术后恢复时间做统计，由计算机按照概率给出术后恢复的时间，运用第二问模型的选择方式，对近一段时间内的出入院人数作出合理预测，并根据M的排序确定患者入院的时间区间。
对于问题四，先确立白内障双眼手术的方案（调查支持可以任意不同两天手术），按照问题二的算法，先算出周二四做白内障手术的最小M值及入院前等待时间和术前等待时间。用计算机模拟出在手术时间可调整情况下M可能的最小值，得到周三五为最佳手术时间。尤其术前人均等待时间的优化减少使医院病床的有效使用率增加。模型改进率达到18.11%。
问题五要求确定病床固定分配使人均等待时间最短。病床的分配使整个排队系统变成了五个M/M/N模型，N为各类病床的数量。根据排队论中M/M/1模型的条件演化得到服务强度小于1及病床数固定不变。采取整数规划，在此限制条件下使得平均等待时间最小。从而算出各类病床的分配比例。
关键词：M/M/S模型泊松（Poisson）分布非线性规划优化模型病人满意度病床有效利用率
一．问题的重述
有某医院眼科门诊每天开放，住院部有病床79张。眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
白内障手术较简单且没有急症。目前只在周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，第二天便会安排手术。
其他眼科疾病情况不同，住院后2-3天就可接受手术，但术后观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。
医院眼科手术条件较充分，可不考虑手术条件的限制，但考虑到医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS规则安排住院，但等待病人越来越多。故要优化其模型
问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系做出评价。
问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应做出相应调整?
问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
二．模型条件的假设
1.假设如有空床位，优先安排外伤病人；
2.设有一患者当天出院，则立即可以安排另外的人入院；
3.设定做白内障手术的两天不做其他手术；
4.假设除了外伤无其他急症；
5.白内障病人手术准备时间是1-2天的任意值，不是因人而异，青光眼和视网
膜疾病手术准备时间是2-3天的任意值。
三．符号的定义及说明
1.B
i
：各类患者从入院到手术所花费的平均时间（手术准备时间）；
2.θ
1θ
2
θ
3
：分别为M
1
M
2
M
3
的权值；
3.K
1i K
2i
：分别表示第i个病人在第一阶段的等待时间和该病人在术前住院时
间；
4.S：某一天出院的病人数；
5.W：等待病床的总人数；
6.W
1W
2
W
3
W
4
：分别等待病床的人中白双、白单、青光眼和视网膜疾病、外伤的
人数；
7.P (i,j)：第i类第j号的人；
8.M(i,j)：第i类第j号人的M；
9.P
k
：泊松分布中k个病人到达的概率；
10.λ
1λ
2
λ
3
λ
4
λ
5
λ
6
：分别表示白双、白单、青光眼、视网膜疾病，外伤以及
出院人数的平均到达率；
11.P
n
(t)：时间t内有n个患者在排队的概率；
12.ρ
i
：各类病床系统的服务强度；
13.μ
i
：各类患者的平均服务率；
14.n1 n2 n3 n4 n5：五类病人各应该分配的病床数；
15.D1，D2：选择两天做白内障手术的星期数;
16.x1 x2 x3 x4 x5 x6 a1 a2 a3 a4 a5 a6:各种病情的等待人数及其系数
四．模型的分析及求解
问题一：
1.确定评价指标：
从病人和医院两方面对模型进行分析，病人方面以花费时间，住院费用和公平性作为满意程度的指标，医院方面以病床利用率和病床有效利用率为作为评价指标。同时还有一些客观条件有可能影响到评价指标，如所有病者是否一致对待还是有优先考虑。
花费时间是指从门诊到出院的时间，费用则根据入院到出院的时间计算，公平性是根据是否先门诊先入院来进行评判，床位利用率是指住有病人的床位与所有床位的比，有效的床位利用是指床位上所住病人属于必须住院日期与所住的所有日期的比，如白内障术前准备时间2-3天，术后恢复时间3-4天，超过此时间则属于床位的无效利用，需要避免。
将患者就医分为三个过程：门诊到入院为第一阶段，入院到进行手术为第二阶段，手术完毕到出院为第三阶段。得出如下评价指标可能的构成因素：
1.第一阶段等待时间
1.花费时间
2.第二阶段等待时间
3.第三阶段的住院时间
患者（满意度） 1第二阶段准备时期费用
2.住院的费用 2 第三阶段住院费用
3手术费用
可能构成因素
3.公平性
医院（效率） 1.床位利用率
2.床位有效利用率
客观条件：1.病者类别
