圆周角(1)公开课

3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角和圆心角的关系1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点) 2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)一、情境导入在以下图中，当球员在B, D, E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC ，∠AEC .这三个角的大小有什么关系？二、合作探究探究点：圆周角定理及其推论【类型一】 利用圆周角定理求角的度数如图，CD 是⊙O 的直径，过点D的弦DE 平行于半径OA ，假设∠D 的度数是50°，那么∠C 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°解析：∵OA ∥DE ，∠D ＝50°，∴∠AOD ＝50°.∵∠C ＝12∠AOD ，∴∠C ＝12×50°＝25°.应选A.方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第2题【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A＝30°，那么∠B ＝( )A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等〞得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°.应选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第8题【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合如以下图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，E 在⊙O 上．(1)∠AOD ＝52°，求∠DEB 的度数； (2)假设AC ＝7，CD ＝1，求⊙O 的半径．解析：(1)由OD ⊥AB ，根据垂径定理的推论可求得AD ︵＝BD ︵，再由圆周角定理及其推论求∠DEB 的度数；(2)首先设⊙O 的半径为x ，然后由勾股定理得到方程解答．解：(1)∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，∴AD ︵＝BD ︵，∴∠DEB ＝12∠AOD ＝12×52°＝26°；(2)设⊙O 的半径为x ，那么OC ＝OD －CD ＝x －1.∵OC 2＋AC 2＝OA 2，∴(x －1)2＋(7)2＝x 2，解得x ＝4，∴⊙O 的半径为4.方法总结：此题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第3题【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 在弧AB 上，连接CD 交AB 于点E ，点B 是CD ︵的中点，求证：∠B ＝∠BEC .解析：由点B 是CD ︵的中点，得∠BCE ＝∠BAC ，即可得∠BEC ＝∠ACB ，然后由等腰三角形的性质，证得结论．证明：∵B 是CD ︵的中点，∴BC ︵＝BD ︵，∴∠BCE ＝∠BAC .∵∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ，∴∠BEC ＝∠ACB .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠BEC .方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第7题【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上四点，且∠APC ＝∠CPB ＝60°.连接AB 、BC 、AC .(1)试判断△ABC 的形状，并给予证明；(2)求证：CP ＝BP ＋AP .解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC ，而∠APC ＝∠CPB ＝60°，所以∠BAC ＝∠ABC ＝60°，从而可判断△ABC 的形状；(2)在PC 上截取PD ＝AP ，那么△APD 是等边三角形，然后证明△APB ≌△ADC ，证明BP ＝CD ，即可证得．(1)解：△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC .又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形；(2)证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD .又∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，即∠ADC ＝120°.又∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠ADC ＝∠APB .在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，∴△APB≌△ADC (AAS)，∴BP ＝CD .又∵PD ＝AP ，∴CP ＝BP ＋AP .方法总结：此题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 【类型六】 圆周角定理的推论与相似三角形的综合如图，点E 是BC ︵的中点，点A 在⊙O 上，AE 交BC 于D .求证：BE 2＝AE ·DE .解析：点E 是BC ︵的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE ＝∠CBE ，可证得△BDE ∽△ABE ，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．证明：∵点E 是BC ︵的中点，即BE ︵＝CE ︵，∴∠BAE ＝∠角)，∴△BDE ∽△DE ∶BE ，∴BE 2＝AE 方法总结：角形的问题常常考虑此定理．三、板书设计圆周角和圆心角的关系1．圆周角的概念2．圆周角定理3．圆周角定理的推论本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等〞这一性质较容易掌握，理解起来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起来那么相对困难，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出.第2课 伟大的历史转折1 教学分析【教学目标】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。

24.1圆周角【教学目标】1．学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆周角定理及推论．2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理．3．会用圆周角定理及推论进行证明和计算；经历探索圆周角定理的过程，体会分类讨论的数学思想。

【教学重难点】.1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及灵活运用．2．难点：探究圆周角的定理，运用数学分类讨论思想运用圆周角定理及推论进行相关计算。

教学过程一、复习引入1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？——（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．二、自主学习阅读课本85、86页内容，完成问题：1、什么是圆周角？它的顶点和边有哪些特点?——顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2、动手画一画，量一量，完成问题（1）一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？试画一画（2）一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角间有什么关系？量一量（3）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？等弧呢？量一量预习检测：下列图形中是圆周角的有哪些？不是的请说明理由【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交，二者缺一不可。

二、师生合作，探索新知（一）动手画一画，完成问题1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？提问同学代表发言：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．（二）圆周角定理及其推论如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.猜想：圆周角和圆心有三种位置关系： （1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示∵∠AOC 是△ABO 的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=∠AOC（2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？（小组合作讨论）学生展示：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？老师点拨：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理： 121212121212O B A CD 12BAC BOC ∠=∠在同圆或等圆中，同弧（等弧）所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．❖圆周角定理的推论思考：（1）特殊的弧——半圆，它所对的圆周角是多少度呢？（2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是多少呢？圆周角定理推论1:半圆（或直径）（圆心角180◦）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．由上面题，出：圆周角定理推论2：同弧或等弧所对的圆周角相等.练一练：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD 与CD的大小有什么关系？为什么？解：BD=CD理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD（三）圆内接四边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.⊙O是四边形ABCD的外接圆.连接OB、OD，由圆周角定理可知：∠A=1/2∠1，∠C=1/2∠2而∠1+∠2=360°，∴∠A+∠C=∴∠A与∠C互补，同理可得∠ADC+∠ABC=180°.由此可知在⊙O的内接四边形ABCD中，对角∠A与∠C，∠ADC 与∠ABC互补.若延长BC至E，使得四边形ABCD有一个外角∠DCE，则∠DCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠DCE.即：外角∠DCE与内对角∠A相等.由此可知圆内接四边形有如下性质：圆内接四边形的对角互补，外角等于内对角。