高二数学数列极限1B(学生版)

数列的极限一、知识要点（1）数列极限的概念：一般地，在n 无限增大的变换过程中，如果无穷数列{}n a 中的n a 无限趋近于一个常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞=。

（2）数列的极限运算：如果B b A a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么B A b a n n n ±=±∞→)(lim ；B A b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim ；)0(lim≠=∞→B B Ab a nn n注：在使用数列极限的运算法则时，必须注意以下两点：(a)参与运算的每一个数列的极限都是存在的； (b)参与运算的数列的个数必须是有限个。

（3）几个重要的极限1lim 0(1),lim0,lim (n n n n q q C C C n →∞→∞→∞=<==为常数）（4）无穷等比数列各项的和在无穷等比数列{}n a 中，如果01q <<，n s 表示其前n 项和，那么我们称nn s s ∞→=lim 为这个无穷等比数列各项的和，且qa s -=11。

注：若一个等比数列的各项的和存在，则蕴含着其公比q 满足01q <<。

二、例题选讲例1 求下列极限：（1）lim n →∞； （2）12009lim (0)12010nn n a a a →∞->+ （3）2421222lim4nnn →∞++++； （4）22221232lim()1111n nn n n n →∞++++++++；例2 （1）若21lim()01n n an b n →∞+--=+，求实数a b 、的值； （2）已知,133lim =+-∞→nnnn n a a 求实数a 的取值范围。

例3 计算： （1）111lim[]1223(1)n n n →∞+++⨯⨯+；（2）2421111lim[(1)(1)(1)(1)]2222n n →∞++++； （3）1111lim[(1)(1)(1)(1)]3452n n n →∞----+例4 求数列{}n a 的极限：（1）1(),()321,()1n n n a n n n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪+⎩为奇数为偶数； （2）1(),()321,()1n n n a n n n ≤⎧⎪⎪=⎨-⎪>⎪+⎩661010例 5 已知等比数列{}n a 的首项为a ，公比为(01)q q <≤，前n 项和记为n S ，令n G =2222123()n a a a a n N ++++∈，求limnn nS G →∞。

7.7（1）数列的极限上海市建平中学徐程一、教学内容分析极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要.二、教学目标设计1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣.三、教学重点及难点重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.难点：数列极限的定义的理解.四、教学用具准备电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈.五、教学流程设计六、教学过程设计 一、 情景引入1、创设情境，引出课题1. 观察教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话意思？学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此继续下去，永远也无法取完.2. 思考教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？ 学生 ： , 21, , 81 , 41 , 21n3．讨论教师； 随着n 的增大，数列{}n a 的项会怎样变化？学生： 慢慢靠近0.教师：这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题二、学习新课2、观察归纳，形成概念（1）直观认识教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势（a ） ,101,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减小 ②但都大于0③当n 无限增大时，相应的项n101可以“无限趋近于”常数0 （b ） ,)1(,,31,21,1nn--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小②当n 无限增大时，相应的项nn )1(-可以“无限趋近于”常数0 （c ） ,1,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1③当n 无限增大时，相应的项1+n n 可以“无限趋近于”常数1 教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式：（a ）从右趋近 （c ）从左趋近 （b ）从左右两方趋近，使学生明白不同的趋近方式教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其实我们的先辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前 263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣.”概念辨析教师：归纳数列极限的描述性定义学生：一般地，如果当项数n 无限增大时，数列{}n a 的项无限的趋近于某一个常数n 那么就说数列{}n a 以a 为极限.教师：是不是每个数列都有极限呢？学生1：（思考片刻）不是.如n a n =学生2： 2n a n = n n a )1(-=教师：请大家再看一下，下面的数列极限存在吗？如果有，说出极限.（a ）⎪⎩⎪⎨⎧-=nn n a n 11 （b ）无穷数列：,3333.0,,333.0,33.0,3.0n学生1：数列（a ）有极限，当n 是奇数时，数列{}n a 的极限是0，当n 是偶数时，数列{}n a 的极限是1.数列（b ）的极限是0.4.教师： 有不同意见吗？学生2：数列（b ）的极限是0.34学生3：数列（b ）的极限不存在（这时课堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（b ）的极限持有n 是奇数 n 是偶数各自不同的观点，但对数列（a ）的极限的认识基本赞同学生1的观点.）教师： 数列（a ）有极限吗？数列（b ）的极限究竟是多少？（学生们沉思） 学生4：数列（a ）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,数列（b ）的极限是31. 教师：回答的非常正确（用动画演示数列（b ）的逼近过程），同学们对（a ）判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解.对（b ）判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的，数列（b ）随着n 的无限增大，它会趋近于0.4、0.34、0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所以无限的接近必须有量化的表述.（2）量化认识教师：用什么来体现这种无限接近的过程呢？ 学生：用n n a 和a 之间的距离的缩小过程，即 a a n - 趋近0教师：现在以数列n n a n n )1(-=为例说明这种过程观察：距离量化：n n a n n 10)1(0=--=-，随着n 的增大，n1的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要n n 充分的大，都有n1比给定的正数小.教师：请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找n .问题拓展学生：老师再来几个其它的数列 教师：以上我们以提到的 , 21, , 81 , 41 , 21n 和 ,1011,,1011,1011,101132n ---- 为例，大家可以再操作一下. 教师：（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？ 学生：只要数列有极限，对于给定的正数ε，总可以找到一项N a ，使得它后面的所有的项与数列的极限的差的绝对值小于ε.教师：顺理成章的给出数列极限的N -ε定义：一般地，设数列{}n a 是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数N n >，就有ε<-a a n ，那么就说数列{}n a 以a 为极限，记作a a n n =∞→lim ，或者∞→n 时a a n →.教师：常数数列的极限如何？学生：是这个常数本身.教师：为什么？学生：因为极限和项的差的绝对值为0，当然比所有给定的正数小.三、巩固练习讲授例题 已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n ① 把这个数列的前5项在数轴上表示出来.②写出n 1-n a 的解析式.③⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 中的第几项以后的所有项都满足10011<-n a ④指出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 的极限. 课堂练习第41至42的练习.四、课堂小结①无穷数列是该数列有极限的什么条件.②常数数列的极限就是这个常数.③数列极限的描述性定义.④数列极限的N -ε的定义.五、作业布置1．课本第42页习题2，3,42．根据本节课的学习，结合你自己对数列极限的体会，写一篇《我看极限》的短文，格式不限（本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识中去.）七、教学设计说明对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.。

高二数学数列、函数的极限知识精讲 人教版一. 本周教学内容：高三新课：数列、函数的极限二. 本周教学重、难点： 1. 数列极限 （1）定义（2）运算法则如果a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，那么① b a b a b a n n n n n n n ±=±=±∞→∞→∞→lim lim )(lim② b a b a b a n n n n n n n ⋅=⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim③ b a b a b a n n n n nn n ==∞→∞→∞→lim lim lim （0≠b ）④ a c a c a c n n n n ⋅==⋅∞→∞→lim )(lim （c 为常数）（3）几个常用的极限① 0lim =∞→c n （c 为常数）② 0)1(lim =∞→pn n（>p 0）③ c ad cn b an k k n =++∞→lim （N k ∈R d c b a ∈,,,*且0≠c ） ④ 0lim =∞→nn q （1<q ）2. 函数的极限（1）当∞→x 时，)(x f 的极限 （2）当0x x →时，)(x f 的极限 （3）运算法则如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0，那么① b a x g x f x x ±=±→)]()([lim 0② b a x g x f x x ⋅=⋅→)]()([lim 0③ )0()()(lim≠=→b bax g x f x x【典型例题】[例1] 考察下面的数列，写出它们的极限。

（1） ,1,,271,81,13n（2） ,1057,,995.6,95.6,5.6n - （3） ,)2(1,,81,41,21n---解：（1）}1{3n 的项随n 的增大而减少，但大于0，且当n 无限地增大时，31n 无限地趋于0，因此01lim 3=∞→nn 。

高二数学说课稿-数列极限说课稿对于老师来说，上好一堂课很重要，所以说课稿就成了很重要的课前预备，看了"高二数学说课稿：数列极限说课稿'以后你会有很大的收获：高二数学说课稿：数列极限说课稿各位评委、老师们：你们好！我是北大附中的数学老师李宁。

北大附中是北京市重点中学。

有机会能参与这次教学研讨活动，向全国各省的数学老师们学习，我深感荣幸。

这次我说课的内容是高中代数课本〔下册〕第六章第二部分6.4节数列极限的起始课。

这部分内容在课本第60页至65页。

下面由我依据自己编写的教案，把我对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简约认识作一个说明。

盼望专家们、老师们对我说课的内容多提珍贵看法。

一、关于教学目的的确定：众所周知，对数列极限这个概念的理解可为今后高等数学的学习奠定基础，但由于同学对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响同学对后继知识的学习，因此，我从知识、技能、情感等方面确定了本次课的教学目标。

1．在知识上，使同学理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简约的数列极限；2．在技能上，培育同学观测、分析、概括的技能和在探究问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。

体验"从详细到抽象，从非常到一般再到非常'的认识过程；3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发同学的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。

二、关于教学过程的设计：为了达到以上教学目的，依据北大附中教学传统把这次课连排两节。

在详细教学中，依据"按部就班原那么'，我把这次课分为三个阶段："概念探究阶段'；"概念建立阶段'；"概念巩固阶段'。

下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。

〔一〕"概念探究阶段'1.这一阶段要解决的主要问题在这一阶段的教学中，由于留意到同学在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述改变过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，好像这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：①使同学了解以讨论函数值的改变趋势的观点讨论无穷数列，从而发觉数列极限的过程；②使同学形成对数列极限的初步认识；③使同学了解学习数列极限概念的须要性。