数学高二(上)沪教版(数列的极限(三))教师版

沪教版高二年级第一学期领航者第七章7.7数列的极限（3）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若()lim 21nn a →∞-存在，则实数a 的取值范围是______.2．()14732lim2462n n n→∞+++⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+______.3．()111lim 12231n n n →∞⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⨯⨯+⎣⎦______. 4．2222123lim n n n n n n →∞⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭______. 5．如果1131lim 33n n n n n a a ++→∞+=+，则实数a 的取值范围是_____二、单选题6．已知n S 是无穷等差数列1、3、5、的前n 项和，则2lim nn nS S →∞的值等于（ ） A ．14B ．1C ．2D ．47．cos sin lim 10cos sin 2n n n n n θθπθθθ→∞-⎛⎫=-≤≤ ⎪+⎝⎭成立的条件是（ ） A ．4πθ=B ．0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．,42ππθ⎛⎤∈⎥⎝⎦ D ．,42ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭8．若数列{}n a 的极限为A ，而数列{}n b 满足()()1,010000032,1000005nn n a n b a n ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，则数列{}n b 的极限为（ ）A ．AB ．25A C ．13A -D ．不存在三、解答题 9．求下列极限：（1）173lim 57n n n -→∞--；（2）()11lim ,0,n nn n n a b a b a b a b++→∞-≠≠+. 10．求下列极限： （1）222111lim 11123n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）2111lim 12n k n n n n n k →∞⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪+++⎝⎭. 11．已知{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是其前n 项和，求1lim nn n S S →∞+. 12．若数列{}n a满足1a =)1n a n *+=∈N，如果lim nn a →∞存在，求lim nn a →∞的值.（提示：若lim n n a →∞存在为A，则nn =.）参考答案1．(]0,1 【解析】 【分析】由题意可得出1211a -<-≤，从而可解出实数a 的取值范围. 【详解】由于()lim 21nn a →∞-存在，则1211a -<-≤，解得01a <≤.因此，实数a 的取值范围是(]0,1. 故答案为(]0,1. 【点睛】本题利用极限求参数的取值范围，要结合等比数列极限的存在与公比的关系进行求解，考查计算能力，属于基础题. 2．32【分析】先利用等差数列的求和公式将分式()147322462n n+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+进行化简，然后在分子和分母中同时除以n ，即可计算出所求极限值. 【详解】()()()132131473231222224622222n n n n n n n n n n +--+++⋅⋅⋅+--===++++⋅⋅⋅+++， 因此，()1314732303lim lim 224622022n n n n n n→∞→∞-+++⋅⋅⋅+--===+++⋅⋅⋅+++. 故答案为32.【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时首先应该对所求分式进行化简，然后利用常用的数列极限值进行计算，考查计算能力，属于基础题.3．1 【分析】 先利用裂项法求出()11112231n n ++⋅⋅⋅+⨯⨯+，然后利用常用数列的极限值可计算出所求极限. 【详解】()11111n n n n =-++，()111111111111223122311n n n n n ∴++⋅⋅⋅+=-+-++-=-⨯⨯+++， 因此，()1111lim lim 1101122311n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+=-=-=⎢⎥ ⎪⨯⨯++⎝⎭⎣⎦. 故答案为1. 【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题. 4．12【分析】先利用等差数列的求和公式将2222123n n n n n +++⋅⋅⋅+化简，然后利用常用数列的极限值可计算出所求极限. 【详解】()22222211231*********n n n n n n n n n n n n n+++++++++⋅⋅⋅+====+， 因此，22221231111lim lim 02222n n n n n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：12. 【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时首先应该对所求分式进行化简，然后利用常用的数列极限值进行计算，考查计算能力，属于基础题. 5．【解析】试题分析：首先3a =时，结论成立，当3a ≠时，由题意1111()313limlim 333()3nn nn n n n n a aaa ++→∞→∞+++==++，则13a<，即33a -<<，综上33a -<≤． 考点：数列的极限． 6．A 【分析】先利用等差数列的求和公式求出n S ，由此可计算出2lim nn nS S →∞的值. 【详解】由题意可知，等差数列1、3、5、的首项为1，公差为2，()2122n n n S n n -∴=+⨯=. 因此，()2221lim lim 42n n n n S n S n →∞→∞==. 故选A. 【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了等差数列的前n 项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 7．C 【分析】 分2πθ=、0θ=和02πθ<<三种情况讨论，在02πθ<<时，在分式的分子和分母中同时除以sin n θ，利用弦化切的思想结合极限值可得出tan θ的取值范围，进而可得出θ的取值范围. 【详解】当2πθ=时，cos 0θ=，sin 1θ=，则cos sin 01lim lim 1cos sin 01n n n n n n θθθθ→∞→∞--==-++，合乎题意；当0θ=时，cos 1θ=，sin 0θ=，则cos sin 11lim lim 1cos sin 10n n n n n n θθθθ→∞→∞--==++，不合乎题意；当02πθ<<时，cos sin 11cos sin sin sin tan lim lim lim 11cos sin cos sin 1tan sin sin n n n n n n n n n n n n n n n nn θθθθθθθθθθθθθθ→∞→∞→∞---===-+++， 则1lim0tan n n θ→∞=，tan 1θ∴>，此时,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 因此，θ的取值范围是,42ππ⎛⎤⎥⎝⎦. 故选C. 【点睛】本题根据极限的值求参数的取值范围，同时也涉及了弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题. 8．B 【分析】根据数列极限的定义以及数列{}n b 的通项公式可得出数列{}n b 的极限值. 【详解】由题意可得lim n n a A →∞=，且()()1,010000032,1000005n n n a n b a n ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， 因此，222lim limlim 555n n n n n n b a a A →∞→∞→∞===， 故选B. 【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉数列极限的定义与性质，考查计算能力，属于基础题.9．（1）7-；（2）见解析. 【分析】（1）在分式的分子和分母中同时除以17n -，利用常见数列的极限值可计算出所求极限； （2）分a b >和a b <，在a b >情况下，在分式的分子和分母中同时除以n a ，在a b <的情况下，在分式的分子和分母中同时除以n b ，然后利用常见数列的极限值计算出所求极限值. 【详解】（1）1111111173377370777limlim lim 755757011777n n n n n n n n n n n n n -----→∞→∞→∞-------====-----； （2）当a b >时，11111101lim lim lim 0nn nn nn nn n n n n n n n nn b a b a b a a a a b a b a b a b a b a a a ++++→∞→∞→∞⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====++⨯⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭； 当a b <时，11111011limlim lim 0nnnn nnn nn n n n n n n n n a a b a bb b b a b a b a b b a a b b bb ++++→∞→∞→∞⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====-+⨯+⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要结合等比数列的极限进行计算，同时也要对代数式进行变形，考查计算能力，属于中等题. 10．（1）12；（2）()12k k +. 【分析】（1）将代数式22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中每个因式通分，然后将分子利用平方差公式进行因式分解，化简后在分式的分子和分母中同时除以n ，即可计算出所求极限； （2）将代数式变形为221111111111212k n n n n n n k n n n n n n k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，然后利用极限计算得出2111lim 1212n k n k n n n n k →∞⎛⎫---⋅⋅⋅-=+++ ⎪+++⎝⎭，利用等差数列的求和公式即可得出所求极限的值. 【详解】（1）()()222211111n n n n n n-+-∴-==， ()()()()2222221324111111112323n n n n ⨯⨯⨯⨯⨯-⨯+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦∴--⋅⋅⋅-=⎪⎪ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()22222221213411234112323n n n n n nn ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦==⨯⨯⨯⨯⨯⨯111222n n n+==+， 因此，2221111111lim 111lim 0232222n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-=+=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）221111111111212k n n n n n n k n n n n n n k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()21221212k n n knn n n n n n n k n n n k⎡⎤=++=+++⎢⎥++++++⎣⎦， 所以，21112lim lim 1212n n k n n kn n n n n n k n n n k →∞→∞⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-=+++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭()112lim 12122111n k k k k k nn n →∞⎛⎫⎪+=+++=+++=⎪ ⎪+++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列极限的计算，在计算时要对表达式进行化简变形，然后利用常见数列极限进行计算，考查计算能力，属于中等题.11．11,11,01lim,1,1nn n q q S q S q q →∞+⎧-<≤≠⎪⎪=>⎨⎪⎪=-⎩不存在【分析】分1q =、11q -<<且0q ≠、1q >和1q =-四种情况讨论，求出n S 的表达式，并对代数式1n n S S +变形，利用常见数列极限值来计算出1lim nn n S S →∞+. 【详解】①当1q =时，1n S na =，所以，()11111limlim lim lim 1111101n n n n n n S na n S n a n n→∞→∞→∞→∞+=====++++； ②当11q -<<且0q ≠时，()111n n a q S q-=-，所以，()()11111111lim lim lim 111n n n n n n n n n a q S q q S q a q q++→∞→∞→∞+---==---10110-==-； ③当1q >时，()111n n a q S q-=-，所以，()()11111111limlim lim 111n n n n n n n n n a q S q qS q a q q++→∞→∞→∞+---==---1111011lim lim 110nnn nn n n n n nq q q qqq q q qq q +→∞→∞---====---； ④当1q =-时，若n 为奇数，则10n S +=，1nn S S +不存在，若n 为偶数，则0n S =，11n S a +=，则10nn S S +=，此时，1lim n n n S S →∞+不存在.综上所述，11,11,01lim,1,1nn n q q S q S q q →∞+⎧-<≤≠⎪⎪=>⎨⎪⎪=-⎩不存在.【点睛】本题考查等比数列前n 项和相关的极限的计算，解题时要对等比数列公比的取值进行分类讨论，结合等比数列的极限值进行计算，考查计算能力，属于中等题.12．lim 3n n a →∞= 【分析】可设lim n n a A →∞=，在等式1n a +=A 的方程，且有0A >，解出该方程即可得出lim n n a →∞的值. 【详解】设lim n n a A →∞=，由1n a +=，两边取极限得1lim n n n a +→∞=A =0A ∴>，在等式A =26A A =+，即260A A --=. 0A >，解得3A =，因此，lim 3n n a →∞=. 【点睛】本题考查数列极限的性质与计算，根据递推公式建立方程是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.。

数列极限的概念教材：数列极限的概念目的：要求学生第一从实例（感性）去熟悉数列极限的含义，体验什么叫无穷地“趋近”，然后初步学会用N-ε语言来讲明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无穷”来一个飞跃。

进程：一、 实例：1当n 无穷增大时，圆的内接正n 边形周长无穷趋近于圆周长2在双曲线1=xy 中，当+∞→x 时曲线与x 轴的距离无穷趋近于0 二、 提出课题：数列的极限 考察下面的极限 1 数列1： ,101,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减少 ②但都大于0③当n 无穷增大时，相应的项n 101能够“无穷趋近于”常数0 2 数列2： ,1,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1③当n 无穷增大时，相应的项1+n n 能够“无穷趋近于”常数1 3 数列3： ,)1(,,31,21,1nn --- ①“项”的正负交织地排列，而且随n 的增大其绝对值减小②当n 无穷增大时，相应的项nn)1(-能够“无穷趋近于”常数 引导观看并小结，最后抽象出概念：一样地，当项数n 无穷增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无穷地趋近于某个数a （即a a n -无穷地接近于0），那么就说数列{}n a 以a 为极限，或说a 是数列{}n a 的极限。

（由于要“无穷趋近于”，因此只有无穷数列才有极限）数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0三、 例一 （见教材）略练习：（见教材）四、 有些数列为必存在极限，例如：n a a n n n =⋅-=或22)1(都没有极限。

例二 以下数列中哪些有极限？哪些没有？若是有，极限是几？ 1．2)1(1n n a -+= 2．2)1(1nn a --= 3．)(R a a a n n ∈= 4．n a n n 3)1(1⋅-=+ 5．n n a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=355 解：1．{}n a ：0,1,0,1,0,1,…… 不存在极限2．{}n a ： ,0,52,0,32,0,2 极限为03．{}n a ： ,,,32a a a 不存在极限 4．{}n a ： ,431,23,3- 极限为05．{}n a ：先考察⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 35： ,8125,2755,95,35-- 无穷趋近于0 ∴ 数列{}n a 的极限为5五、 关于“极限”的感性熟悉，只有无穷数列才有极限六、 作业：补充：写出以下数列的极限：10.9,0.99,0.999,…… 2 n n a 21= 3 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+n n 1)1(1 4 ,56,45,34,23 5 n n a 2141211++++=。

上海高中数学数列的极限第一篇：上海高中数学数列的极限7.6数列的极限课标解读：1、理解数列极限的意义；2、掌握数列极限的四则运算法则。

目标分解：1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列限地趋近于某个常数注：{an}的项an无a(即|ann-a|无限地接近于0)，那么就说数列{an}以a为极限。

a不一定是{a}中的项。

1lim=0limC=Cn→∞n2、几个常用的极限：①n→∞(C为常数)；②；③limqn=0(|q|<1)n→∞；3、数列极限的四则运算法则：设数列{an}、{bn}，当liman=an→∞，limbn=bn→∞时，n→∞limlim(an±bn)=a±b；lim(an⋅bn)=a⋅bn→∞ana=(b≠0)n→∞bbn；4、两个重要极限：①c>0⎧01⎪limc=⎨1c=0n→∞n⎪不存在c<0⎩|r|<1⎧0⎪nlimr=1r=1 ②n→∞⎨⎪不存在|r|>1或r=-1⎩问题解析：一、求极限：例1：求下列极限：2(1)lim4n+n+1lim3n3+nn→∞2n2+3(2)n→∞2n4-n(3)nlim→∞(n2+n-n)例2：求下列极限：(1)nlim→∞(1n2+4n2+73n-2n2+Λ+n2)；(2)lim1n→∞[2⨯5+15⨯8+18⨯11+Λ+1(3n-1)⨯(3n+2)]例3：求下式的极限：limcosnθ-sinnθn→∞cosnθ+sinnθ,θ∈(0,π2)二、极限中的分数讨论：例4：已知数列{an}是由正数构成的数列，a1=3，lgan=lgan-1+lgc，其中n是大于1的整数，c是正数。

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；且满足2n-1-an(2)求lim的值。

n→∞2n+an+1三、极限的应用：1(1+)p-1n例5：已知p、q是两个不相等的正整数，且q≥2，求lim的值。

（A ）0 （B ）12（C ） 1 （D ）2 解析：由112n n S S a +=+,且2112n n S S a ++=+作差得a n ＋2＝2a n ＋1又S 2＝2S 1＋a 1，即a 2＋a 1＝2a 1＋a 1 ? a 2＝2a 1故{a n }是公比为2的等比数列S n ＝a 1＋2a 1＋22a 1＋……＋2n －1a 1＝(2n －1)a 1则11121lim lim (21)2n n n n n n a a S a -→∞→∞==- 答案：B5、已知1,n n a a +是方程2103nn x c x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的两根，若11a =，求123c c c +++⋯+2n c +⋯的值。

【解析】通过方程的根与系数的关系可以得到数列{}n a 的递推式；由等比数列的定义判断，可以将问题转化为无穷递缩数列各项和问题。

【答案】2121111,33nn n n n n n n n a a a a a a a a +++++⎛⎫=∴== ⎪⎝⎭Q所以数列{}21n a -是以11a =为首项，13为公比的无穷递缩等比数列 数列{}2n a 是以213a =为首项，13为公比的无穷递缩等比数列 又1n n n c a a +=+6、无穷等比数列{}n a 满足()121lim 2n n a a a →∞++⋯+=，求首项1a 的变化范围。

【错解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知条件有1112a q =-，解方程得，112q a =- 又因为{}n a 为无穷等比数列，则1121q a =-< 所以101a <<【错解分析】错解中忽视了111120,2q a a =-≠≠即，应注意无穷等比数列{}n a 中lim n n S →∞存在的充要条件是公比q 满足01q <<；而lim n n a →∞存在的的充要条件是公比q 满足01q <<或1q =。

7.7（1）数列的极限一、教学内容分析极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要.二、教学目标设计1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣.三、教学重点及难点重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.难点：数列极限的定义的理解.四、教学用具准备电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈.五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入1、创设情境，引出课题1. 观察教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话意思？学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此继续下去，永远也无法取完.2. 思考教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？学生 ： ΛΛΛ , 21 , , 81 , 41 , 21n 3．讨论教师； 随着n 的增大，数列{}n a 的项会怎样变化？学生： 慢慢靠近0.教师：这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题二、学习新课2、观察归纳，形成概念（1）直观认识教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势（a ）ΛΛ,101,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减小 ②但都大于0③当n 无限增大时，相应的项n 101可以“无限趋近于”常数（b ）ΛΛ,)1(,,31,21,1nn--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小②当n 无限增大时，相应的项nn)1(-可以“无限趋近于”常数0 （c ） ΛΛ,1,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1③当n 无限增大时，相应的项1+n n 可以“无限趋近于”常数1 教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式：（a ）从右趋近 （c ）从左趋近 （b ）从左右两方趋近，使学生明白不同的趋近方式教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其 实我们的先辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前 263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣.”概念辨析教师：归纳数列极限的描述性定义学生：一般地，如果当项数n 无限增大时，数列{}n a 的项无限的趋近于某一个常数n 那么就说数列{}n a 以a 为极限.教师：是不是每个数列都有极限呢？学生1：（思考片刻）不是.如n a n =学生2：2n a n = n n a )1(-= 教师：请大家再看一下，下面的数列极限存在吗？如果有，说出极限.（a ）⎪⎩⎪⎨⎧-=n n n a n 11 n 是奇数（b ）无穷数列：Λ321ΛΛ,3333.0,,333.0,33.0,3.0n学生1：数列（a ）有极限，当n 是奇数时，数列{}n a 的极限是0，当n 是偶数时，数列{}n a 的极限是1.数列（b ）的极限是0.4.教师： 有不同意见吗？学生2：数列（b ）的极限是0.34学生3：数列（b ）的极限不存在（这时课堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（b ）的极限持有各自不同的观点，但对数列（a ）的极限的认识基本赞同学生1的观点.）教师： 数列（a ）有极限吗？数列（b ）的极限究竟是多少？（学生们沉思）学生4：数列（a ）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,数列（b ）的极限是31. 教师：回答的非常正确（用动画演示数列（b ）的逼近过程），同学们对（a ）判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解.对（b ）判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的，数列（b ）随着n 的无限增大，它会趋近于0.4、0.34、0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所以无限的接近必须有量化的表述.（2）量化认识教师：用什么来体现这种无限接近的过程呢？学生：用n n a 和a 之间的距离的缩小过程，即 a a n - 趋近0 教师：现在以数列n na nn )1(-=为例说明这种过程观察：距离量化：nn a n n 10)1(0=--=-，随着n 的增大，n 1的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要n n 充分的大，都有n1比给定的正数小.教师：请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找n .问题拓展学生：老师再来几个其它的数列 教师：以上我们以提到的ΛΛΛ , 21 , , 81 , 41 , 21n 和ΛΛ,1011,,1011,1011,101132n ---- 为例，大家可以再操作一下.教师：（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？学生：只要数列有极限，对于给定的正数ε，总可以找到一项N a ，使得它后面的所有的项与数列的极限的差的绝对值小于ε.教师：顺理成章的给出数列极限的N -ε定义：一般地，设数列{}n a 是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数N n >，就有ε<-a a n ，那么就说数列{}n a 以a 为极限，记作a a n n =∞→lim ，或者∞→n 时a a n →. 教师：常数数列的极限如何？学生：是这个常数本身.教师：为什么？学生：因为极限和项的差的绝对值为0，当然比所有给定的正数小.三、巩固练习讲授例题 已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n ① 把这个数列的前5项在数轴上表示出来.②写出n 1-n a 的解析式. ③⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 中的第几项以后的所有项都满足10011<-n a ④指出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 的极限. 课堂练习第41至42的练习.四、课堂小结①无穷数列是该数列有极限的什么条件.②常数数列的极限就是这个常数.③数列极限的描述性定义.④数列极限的N -ε的定义.五、作业布置1．课本第42页习题2，3,42．根据本节课的学习，结合你自己对数列极限的体会，写一篇《我看极限》的短文，格式不限（本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识中去.）七、教学设计说明对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.。