小学数学重叠问题

寒假提优
思维训练二重叠问题
1.两根长度都为80厘米的竹竿绑在一起,绑起来后重叠的部分长15厘米,绑成后的竹竿长多少厘米?
2.二(1)班同学在一次考试中,语文得优的有37人,数学得优的有39人,两科都得优的有21人, 二(1)班一共有多少人?
3.把5个大小相同的铁环连在一起(如下图)每个铁环长8厘米，粗1厘米。

拉紧后长是多少厘米?
4.在一根长是1米50厘米的铁条上,又焊上一段铁条后,总长是2米,焊接部分长是10厘米,焊上的这段铁条有多长?
5.同学们围成一个三角形做游戏,每条边都站了6个人，至少有多少个同学做游戏?
6.把长度为15厘米、20厘米、33厘米的三根木条粘在一起,接头重叠的部分都是3厘米，粘成的木条长多少厘米?
7.有3根铁丝,分别长14厘米、16厘米、19厘米,将它们绑成一个圆环,每个接头处长1厘米,绑成后铁环长多少厘米?
8.同学们站成一个正方形做游戏,每边站8个同学,做游戏的最多有几人,最少有几人?
9两张相同的正方形纸,每边长16厘米，把两张纸连在一起,重叠部分长2厘米。

两张纸连在一起后长多少厘米?
9.把两块长度都是40厘米的木板钉在一起重叠的部分长6厘米。

钉成的木块总长是多少厘米?
10.三（5）班有57人，订阅《帅作文》和《同步作文》两种书的有15人，订《同步作文》的34人，每人至少订了一种书，订《帅作文》的有多少人？
11老师出了两道数学题,在50人中,做对第一题的有27人，做对第二题的有30
人，没有全错的人，两道题都做对的有多少人?。

《重叠问题》教学设计及设计意图【教学内容】青岛版小学数学六三制四年级下册“智慧广场”—重叠问题。

【教材分析】《重叠问题》属于四年级下册“智慧广场”的内容，教材选取学生熟悉的社会实践活动为素材，让学生在摆姓名的过程中，通过合作、讨论、摆摆、圈圈等过程得出韦恩图的雏形，发现图形表示的优越性，体味新知的价值。

学生在探索活动中建立起重叠问题的数学模型，并能运用数学模型解决实际问题。

在这个过程中，渗透有关的数学思想方法，如数学模型、集合思想、数形结合等策略与方法，其中“模型思想”和“集合思想”是“重叠问题”的核心，在生活中也比较广泛的应用。

该内容的教材编排体现了以下德育范畴：1.思维严谨：教材编排充分展示了学生的探索过程，有利于学生进行规范的操作和有理有据的推理与表达，从而培养学生良好的逻辑思维习惯。

2.理性精神：教材选取生活中的社会实践活动为素材，旨在引导学生用数学的眼光观察生活，学会用数学的思维解决实际问题，并用严谨的语言表达思想。

通过引领学生经历知识发生与发展的过程，在加强学生建模思想的同时，培养学生敢于探索、敢于质疑、善于创新的理性精神。

3.数学审美：学生在探索重叠问题的过程中充分体味韦恩图直观形象的作用，感受数形结合和集合思想的数学美；同时在建立“重叠模型”中感受重叠问题的模型之美；学生在运用模型解决实际问题时进一步体悟数学之美。

【教学目标】1.引导学生经历韦恩图的产生过程，能借助韦恩图，利用数形结合的思想方法解决简单的重叠问题，突出解决问题策略的多样性。

通过建立重叠问题的数学模型，从而学会分清主次、抓住本质，思维严谨。

2. 在解决问题的过程中，运用韦恩图，感受数形结合的魅力，同时感受数学在解决生活问题中的作用，培养学生应用意识和兴趣。

3. 渗透集合、数学建模和数形结合等思想，匡助学生逐步积累数学活动经验，培养学生言必有据、敢于探索、敢于质疑、善于创新的理性精神。

【教学重、难点】教学重点：引导学生经历韦恩图的产生过程，能借助韦恩图，利用数形结合的思想方法解决简单的重叠问题，并建立重叠问题的数学模型。

小学数学重叠问题练习题一、填空题1. 两个集合A和B的交集记作A∩B，即A与B共有的元素组成的集合。

若A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则A∩B = _______。

2. 设U为全集，A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，C = {2, 4, 6, 8}，则(A∩B)∪C = _______。

3. 已知集合A = {2, 4, 6, 8}，B = {1, 2, 3, 4}，C = {3, 4, 5, 6}，则A∩(B∪C) = _______。

4. 若集合A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，C = {1, 3, 5}，则(A∩B)∩C = _______。

5. 设集合U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，A = {2, 4, 6, 8}，B = {3, 6, 9}，C = {1, 5, 7}，则(A∩B)∪(A∩C) = _______。

二、选择题1. 下图是两个集合的Venn图，表示集合A和集合B，其中阴影部分表示A∩B，则A和B的关系是：A. A ⊂ BB. A ⊃ BC. A = BD. 无法确定2. 若集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {2, 3, 4, 5}，C = {3, 4, 5, 6}，则A∩B∩C = _______。

A. {3, 4}B. {2, 3, 4}C. {4}D. 无公共元素3. 下图是两个集合的Venn图，表示集合A和集合B，其中阴影部分表示A∩B，则A∪B的关系是：A. A ⊂ BB. A ⊃ BC. A = BD. 无法确定三、解答题1. 小明参加了一次调查，记录了300位小学生喜欢的体育运动项目，并整理成了表格。

结果显示，120位小学生喜欢足球，150位小学生喜欢篮球，100位小学生喜欢排球。

已知有70位小学生同时喜欢足球和篮球，40位小学生同时喜欢足球和排球，50位小学生同时喜欢篮球和排球，45位小学生同时喜欢足球、篮球和排球。

《重叠问题》说课稿（通用3篇）在教学工作者实际的教学活动中，往往要写一份优秀的说课稿，借助说课稿可以提高教学质量，取得良好的教学效果。

那末优秀的说课稿是什么样的呢？下面是作者为大家采集的《重叠问题》说课稿（通用3篇），欢迎大家借鉴与参考，希翼对大家有所匡助。

《重叠问题》说课稿1我说课的内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书三年级《数学》下册第108页的数学广角例1，也就是重叠问题。

我先说说对教材的理解和认识。

一、说教材1、数学广角是新课程增设的内容，也是新教材的一大特色，其实它是属于小学奥数的一个教学内容，但是现在要拿来面对班学生进行教学，无疑在内容上要进行简化，在教学上要进行细化，不然的话就不能达到教学目标。

这节课的重叠问题是日常生活中应用比较广泛的数学知识。

集合的知识体系集合是比较系统、抽象的数学思想方法，是数学中最基本的思想。

从学生一开始学习数学，其实就已经在运用集合思想方法了，所以对集合有一定的生活经验和知识基础。

但还没有抽象成集合的思想。

而以后学习的平面图形之间的关系都要用到集合的思想，如，把一堆图形分类，需要一定的标准，这种分类思想就是集合理论的基础，所以集合的重要性由此可见一斑。

但这些都只是单独的一个集合圈。

本节课教材例1借助学生熟悉的题材，渗透了集合的有关思想，并利用直观图的方式求出两个小组的总人数。

教学要使学生理解用直观图（集合圈）表示“重叠现象”的方法，了解到直观图各部份的意义，特殊是重叠部份（交集）的意义，掌握根据直观图列式计算总数（两个集合的并集）的方法。

对于三年级学生来说，学习这部份内容，思维力度较强，有一定的挑战性。

2、说教学目标结合本课的教材内容和三年级学生认知水平，我制定了如下目标：知识与技能：使学生借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的重叠问题，并能用数学语言表述。

过程与方法：使学生感知集合图的产生过程，初步培养学生的建模意识和能力，渗透多种方法解决问题的意识。

第十四讲重叠问题知识要点在日常生活中，我们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现。

像这样有重复出现数量的问题，称为重叠问题。

典型例题例1 学校开展课外活动，每位同学至少参加一个活动小组。

三一班同学参加文艺活动小组的有34人，参加体育活动小组的有26人，既参加文艺小组又参加体育活动小组的有12人。

三一班一共有学生多少人？例2 三二班同学参加学校田径运动会,每人限报两项。

其中有25人参加径赛，有20人参加田赛，既参加径赛又参加田赛的有10人，两项都没有参加的有11人。

三二班共有学生多少人？例3 三一班有52名同学，其中只参加奥数兴趣小组的有24人，既参加奥数兴趣小组又参加写作小组的有8人，两个小组都没有参加的有5人，只参加写作小组的有多少人？例4 在擂台赛中，三年级148名同学答对第一题的有136人，答对第二题的有132人，两道题都答对的有122人。

两道题都答错的有几人？例5 三一班45名同学在期末考试中，数学得优秀的有29人，语文得优秀的有20人，语文、数学都没有得优秀的有6人，语文、数学两门都得优秀的有多少人？例6 边长为8厘米的正方形与边长为5厘米的正方形（如图13-1所示），放在桌子上，它们盖住桌面的面积是多少平方厘米？巩固练习1．东海小学三（1）班学生每人都订阅报纸，其中订《少年报》的有35人，订《小学生学习周报》的有27人，两种报纸都订的有19人。

三（1）班有学生多少人？5图14-12．蓝猫读书活动中，读过甲书的有147人，读过乙书的有134人，两种书都读过的有125人。

参加红领巾读书活动的共有多少人？3．某校三年级学生参加期末考试，语文得优的有44人，数学得优的有72人，两门学科都得优的有36人，两门学科都没得优的有60人，这所学校三年级共有学生多少人？4．第一小组的同学都在做两道数学思考题，做对第一道的有15人，做对第二道的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？5．50学生参加期末考试，语文得100分的15人，数学得100分的24人，两门学科都得100分的9人。

小学数学典型应用题之重叠问题一、含义重叠问题是数学上非常常见的一类数学问题，它要用到数学中的一个非常重要的原理：容斥原理，即当两个(或多个)计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。

二、解题思路和方法解决重叠问题时，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画图，借助图形进行思考，找出哪些是重叠的和重叠的次数，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

当两个计数部分重叠时，可从它们的单项和中减去重叠的部分，得出总数。

三、例题例题（一）：二（1）班同学人人参加课外活动，有20人参加英语班，有26人参加电脑班，每人至少参加一项。

其中4人两个班都参加。

二（1）班一共有多少人？解析：（1）已知20人参加英语班，26人参加电脑班，一共有20+26-46（人）。

（2）这46人中，有4人两班都参加。

（3）也就是说这4人在英语班算了名额，在电脑班也算了名额，多算了一次。

（4）所以，全班的人数应是46=4=42（人）。

例题（二）：三（2）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10名。

那么只会下象棋的同学有多少名？解析：（1）方法一：至少会下一种棋的人数是42-10=32名，而两种棋都会下的有21+17-32=6名，所以只会下象棋的同学有21-6=15（名）。

（2）方法二：至少会下一种棋的人数是42-10=32（名），用至少会下一种棋的人数减去会下围棋的人数就是只会下象棋的同学，故共有32-17=15（名）。

例题（三）：全班50 人，不会骑自行车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有4人。

两样都不会的有多少人？解析：（1）会骑自行车的有50-23=27人，会滑旱冰的有50-35=15人。

（2）那么至少会这两样其中一样的人有：27+15-4=38人。

（3）加上两样都不会的人，就是全班人数。

（4）所以两样都不会的人数有50-38=12人。

例题（四）：芳草地小学四年级的64人都会钢琴或画画中的一种，其中有58人学钢琴，43人学画画，问只学钢琴和只学画画的分别各有多少人？解析：（1）学了钢琴或画画的有73-9=64（人）。

第十三讲：重叠（容斥）问题重叠（容斥）问题涉及一个重要原理-包含与排除。

当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们得和中排除重复的部分重叠（容斥）原理就是对一些事物进行分类，如果采用两种不同的分类标准，a和b，那么具有性质a或者是性质b的事物有N1+N2-N12例1、同学们做操，每行，每列人数都相同，小明从左边数是第4个，从右边数是第3个，从前变数是第5个，从后边数是第6个，做操的同学共有多少人？练1同学们为参加六一节目，每行每列人数都相同，小红从前后左右数都是第5个，那么共有多少学生参加六一舞蹈节目？练2、四一班学生参加学校运动会，小李的位置是从前数是第5个，从后数是第6个，从左右数都是第3个，四一班有多少同学参加运动会？练3、把2块同样长的木板钉成一个木板，已知钉成后共长35厘米，中间重叠部分是11厘米，那么原来木板多长？例2、两道数学题，全班有36人做对第一道，有18人做对第2道，每人至少做对一道题，两道题都做对的有多少人？练1、四一班有学生55人，每人至少参加跳绳和跳远两个项目中的一个，已知参加跳远的36人，参加跳绳的有38人，两项都参加的有多少人？练2、两块相同的木板各长75厘米，如下图钉成一个长130厘米的木板，那么中间重合的有多长？例3、四年级一班订阅《数学报》的有34人，订阅《阅读报》的有28人，已知两种报纸都订阅的有10人，那么四一班共有多少人？练1、四一班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都做完的有31人，每人至少完成一种作业，那么四一班共有多少人？练2、四一班学生去夏令营，带矿泉水的有32人，带水果的有30人，两种都带的有10人，要求每人最少带一种，那么四一班共有多少学生？例4、四一班共有学生50人，参加学校绘画比赛的有20人，即参加绘画比赛，又参加摄影比赛的有12人，已知每人必须参加一项比赛，那么参加摄影比赛的有多少人？练1、四一班共有学生43人上美术课，带蜡笔的有25人，带蜡笔和水彩笔的有12人，已知每人至少带一种笔，问带水彩笔的有多少人？？练2、四一班46人在一次数学测验中，做对第一道思考题的有26人，做对前两道思考题的有4人，已知每人至少做对一道思考题，那么做对第二道思考题的有多少人？例5、某班有学生56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，两科都没有参加的有25人，那么两科都参加的有多少人？练1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人，那么两种语言都会的有多少人？练2、一个俱乐部共有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的52人，这两种象棋都不会的有21人，那么两种象棋都会的有几人？例6、某班有学生56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，两科都参加的有25人，那么两科都没有参加的有多少人？练1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都会的有4人，那么两种语言都不会的有多少人？练2、一个俱乐部共有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的52人，这两种象棋都会的有21人，那么两种象棋都不会的有几人？例7、四一班有学生50人，参加跳远比赛的有20人，既参加跳远又参加跳高比赛的有12人，两项活动都不参加的有10人，那么参加跳高有几人？练1、四一班46人参加数学测验，做对第一道题的有29人，两道题都做对和都做错的人数相等都是5人，那么做对第二道思考题的有多少人？练2、把练1中的问题改成只做对第二道思考题的有多少人？例8、实验小学举办书法展，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五年级和六年级书法作品共有10幅，其他年级作品共有多少幅？24=其他年级+六年级22=其他年级+五年级练1、科技节那天，学校展出学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一二年级参展作品共有32件，那么其他年级共有多少件作品展出？练2、六一那天，学校展出同学的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三四年级共有4幅画展出，那么其他年级共有多少画展出？实验小学举办书画展，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五六年级书画作品共有20幅，一二年级参展作品比三四年级参展作品少4幅，那么一二年级参展作品共有多少幅？。