新人教原创排列组合中的分堆问题·

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。

在实际生活中，我们经常会遇到这样的问题，比如如何将一群人分成几组参加比赛，或者如何将一批货物分配到不同的仓库中。

研究分组分配问题的有效解法对于解决各种实际问题具有重要的意义。

排列组合中的分组分配问题可以分为两种类型：一种是固定分组数量的分配问题，另一种是灵活分组数量的分配问题。

在解决这两种类型的问题时，通常可以运用排列组合的知识以及一些数学方法来进行分析和求解。

我们来讨论固定分组数量的分配问题。

在这种情况下，我们需要将一组元素分配到固定数量的分组中，每个分组的元素数量也是固定的。

通常情况下，我们可以使用排列组合的方法来解决这类问题。

假设有n个元素需要分配到m个分组中，每个分组需要包含k个元素，那么可以计算出一共有多少种不同的分组分配方式。

我们需要计算出总的元素数量n个中选取出k个元素的组合数，即C(n,k)。

然后，对于确定了k个元素的第一个分组，剩下的n-k个元素中再选取k个元素，再选取k个元素，直到最后一个分组选取出来。

根据乘法原理，可以得到总的分组分配方式数量为 C(n,k) * C(n-k,k) * C(n-2k,k) * ... * C(n-(m-1)k,k)。

举个例子来说明，假设有12个人需要分为3组，每组4人，那么分组的方式就可以通过计算C(12,4) * C(8,4)来得到。

这种方法可以帮助我们有效地解决固定分组数量的分配问题，并得到所有可能的分组分配方式。

一种常见的方法是使用动态规划来解决灵活分组数量的分配问题。

动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题而有效解决复杂问题的方法。

对于分组分配问题来说，可以将问题分解为将第i个元素分配到第j个分组中的子问题，然后逐步求解，最终得到整个分组分配问题的解。

排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。

该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。

解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。

下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。

一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。

这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。

具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。

2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。

设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。

其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。

3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。

二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。

在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。

多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。

具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。

通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。

2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。

利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。

3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，也是现实生活中经常遇到的问题之一。

在这个问题中，我们需要将一组物品或者对象分成若干个部分，并且满足一定的条件。

分组分配问题在很多领域都有应用，比如在工程设计中，人力资源分配中，商品生产中等。

解决这类问题需要用到排列组合的知识，以及一些有效的解法。

本文将介绍一些排列组合中的分组分配问题的有效解法。

一、排列组合的基本概念在开始介绍分组分配问题的有效解法之前，我们需要先了解一些排列组合的基本概念。

排列和组合是数学中的两个基本概念，它们都是用来描述从一个集合中选取若干元素的方式。

1. 排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，称为一个排列。

在排列和组合中，元素的重复情况也是一个需要考虑的问题。

比如在排列中，元素的重复次序是不同的排列，而在组合中，只考虑元素的选择而不考虑顺序。

二、分组分配问题的有效解法1. 贪心算法贪心算法是一种解决分组分配问题的有效方法。

贪心算法的基本思想是每一步都选择局部最优解，最终将得到全局最优解。

在分组分配问题中，我们可以根据一定的标准进行分组，比如按照物品的重量、价格、大小等进行分组。

在每一步中，选择当前最优的分组方案，经过若干步之后得到整体最优解。

贪心算法的优势在于可以快速得到一个较好的解，但是也有一定的局限性，可能不能得到全局最优解。

在实际应用中，可以根据具体情况选用贪心算法。

2. 动态规划动态规划是解决分组分配问题的另一种有效方法。

动态规划是一种求解最优化问题的方法，它将问题分解成若干子问题进行求解，最终得到全局最优解。

3. 回溯算法回溯算法是解决分组分配问题的一种基本方法。

回溯算法的基本思想是逐步尝试每一种可能的分组方案，直到找到满足条件的分组方案为止。

在回溯算法中，需要考虑到可能的分支和剪枝，以及如何快速得到解。

在解决分组分配问题时，可以根据具体情况选择贪心算法、动态规划、回溯算法等不同的解法。

排列组合中的分堆与分配问题作者：陈学帅来源：《中国校外教育·综合(上旬)》2015年第13期摘要：介绍了排列、组合中比较困难的分堆与分配问题的解决方法。

从分给的对象和被分的元素是否相同（即有无差别）两个方面分别进行了研究。

分给的对象相同（即无差别）但被分的元素不相同是分堆问题，当各堆的元素数不同时是非平均分堆，一堆一堆的拿开即可；当各堆（或部分堆）的元素数相同时是平均分堆，按堆拿开后，若有k堆元素数相等，再除以；分给的对象不同（即有差别）是分配问题，给不同的对象逐次拿开或先分堆再分配。

关键词：排列组合分堆分配解决方法排列、组合中的分堆与分配问题是近几年高考中的一个热点问题，同时也是学生学习中的一个难点，本文就从被分的元素和分给的对象两端这两个方面来探讨一下此类问题的解决方法。

在将某些元素进行分配的问题中，我们按分给的对象是否相同（即有无差别）分为分堆问题与分配问题。

一、分堆问题分堆是研究将元素所分给的对象相同（即无差别）但被分的元素不相同的一类问题。

当各堆（或部分堆）分得的元素数相同时，称为平均分堆；当每堆分得的元素数各不相同时，称为非平均分堆。

1.非平均分堆例：将6名运动员分成三组，其中有一组1人的，一组2人的，一组3人的，有多少种不同的分法？解：本题中由于分给的对象无差别，并且每组的人数各不相同，所以这是一个非平均分堆问题，按题设要求逐堆随机拿开即可。

二、分配问题将元素所分给的对象不相同（即有差别）时的问题叫做分配问题。

分配问题按被分的元素是否相同又分为被分的元素相同（无差别）的分配问题与被分的元素不相同（即有差别）的分配问题两类：（一）被分的元素相同（无差别）的分配问题此类分配问题中，由于被分的元素无差别，因此在分配中，若将若干个元素平均分给几个对象，则只有一种分法；若几个对象所得元素数各不相同，则存在不同的分法。

例2．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每个班至少出1人，共有多少种不同的选法？分析：本例其实就是将10个参加数学竞赛的名额分给7个班的分配问题，被分的名额是无差别的，但分给的对象即7个班是不同的。

排列组合中的分配分组问题排列、组合以其独特的研究对象和研究方法，在高中数学教学中占有特殊的地位，是高考必考内容之一，它既是学习概率的预备知识，又是进一步学习数理统计、组合数学等高等数学的基础，因此排列与组合问题的应用题是高考的常见题型。

本文就笔者自己解决排列组合问题中的分配分组问题的一些浅见拙知与大家分享，不值一飧，还望批评与指正。

一、基本定义：1、排列：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。

2、组合：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。

3、排列数与组合数公式：)1)......(1(A +--=m n n n mn!)1().........1(m m n n n C A C m n m n m n+--== 二、解题思路总析：从排列与组合的定义来看，这两个数学名词的相同之处在于“选”—从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素；不同之处在于：排列有“序”——取出的m 各元素之间有顺序，组合无“序”——取出的m 各元素之间无顺序。

所以根据题目的意思分析元素之间是否有序就成了解决问题是用排列数公式还是用组合数公式的关键。

另外，在分配分组问题中，还存在分成的各组元素个数相等或不相等的问题，各组元素个数相等的分配分组称为“均匀”，各组元素个数全不相等的分配分组称为“不均匀”。

综合以上两点，笔者把排列组合中的分配分组问题统分为四类：1、均匀有序：各组元素个数相等，各组之间有顺序；2、均匀无序：各组元素个数相等，各组之间没有顺序；3、不均匀无序：各组元素个数全不相等，各组之间没有顺序；4、不均匀有序：各组元素个数全不相等，各组之间有顺序。

其中均匀有序又称“双肯定”分法，不均匀无序又称“双否定”，均匀无序和不均匀有序称为“单肯定”下面就以具体例题来说明上面四类问题的一般解法：例1：有6本不同的书，（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？解析：对于问题（1），首先从6本不同的书中选出2本来给甲，选出的2本书之间无顺序，为26C ；其次，从剩下的4本书中选出2本来给乙，为24C ；最后剩下的2本给丙，为22C ；整个解题过程应用的是分步计数原理，所以最终的分法数为90C *C *C N 2224261==;对于问题（2），与问题（1）的相同在于都是均匀分组，差别仅仅在于，一个是分给3人，一个是分成3堆，即就是分成的3组之间一个是有顺序的，一个是没有顺序的，所以问题（2）的解决可以在问题（1）解决的基础上对3组进行“消序”，即15A C *C *C N 332224262==; 对于问题（3），解决方法与问题（1）一样，用分步计数原理，先从6本不同的书中选出1本来，再从剩下的5本书中选出2本来，最后剩下的3本作为一堆，最终的分法数为60C *C *C N 3325163==;对于问题（4），分析题目，可见问题（4）与问题（3）的相同在于都是不均匀分组，差别在于问题（3）是分成3堆，即分成的3组无序，问题（4）是分给3人，即分成的3组有序，所以问题（4）的解决可以在问题（3）解决的基础上对3组进行“排序”，即603A *C *C *C N 333325164==。