数列通项公式前n项和求法总结全

数列求前N项和方法总结(方法大全数列是一组按照一定规律排列的数。

在数列中，常常需要求出数列的前N项和，以便进一步分析和运用。

下面将对常见的数列的前N项和求解方法进行总结。

1.等差数列：等差数列是相邻两项之差相等的数列。

记数列首项为a，公差为d，第n项为an。

a.求前N项和公式：Sn = (a + an) * n / 2b.证明：首先将等差数列分为两部分：第一部分是首项a和末项an，共有n 项，它们的和为 (a + an) * n / 2；第二部分是每一项与对应的倒数项的和，它们的和恰好也是 (a + an) * n / 2、将两部分的和相加即得 Sn = (a + an) * n / 22.等比数列：等比数列是相邻两项之比相等的数列。

记数列首项为a，公比为r，第n项为an。

a.公比不为1的情况：求前N项和公式：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)b.公比为1的情况：求前N项和公式：Sn=a*nc.证明：利用等比数列的性质，将等比数列的前N项和与它的下一项相乘，两者相减可得到Sn=a*(1-r^n)/(1-r)。

3.平方数列：平方数列是由平方数组成的数列，例如1,4,9,16,25,...。

a.求前N项和公式：Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6b.证明：利用平方数的性质，可以得到平方数列的前N项和的通项公式为Sn=n*(n+1)*(2n+1)/64.立方数列：立方数列是由立方数组成的数列，例如1,8,27,64,125,...。

a.求前N项和公式：Sn=(n*(n+1)/2)^2b.证明：利用立方数的性质，可以得到立方数列的前N项和的通项公式为Sn=(n*(n+1)/2)^25.斐波那契数列：斐波那契数列是指从0和1开始，后一项等于前两项之和的数列，例如0,1,1,2,3,5,...。

a.求前N项和公式：Sn=F(n+2)-1其中F(n)是斐波那契数列的第n项。

b.证明：通过归纳法可以证明斐波那契数列的前N项和等于第N+2项减去1除了上述常见的数列，还有很多其他的数列以及求前N项和的方法。

求数列前n 项和8种的方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =时，1n S na =； （2）()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++.例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n s n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

求前N项和方法技巧及公式前N项和是指将一个数列的前N项相加得到的和。

计算前N项和可以使用不同的方法和技巧，包括数学公式、推导公式和逐项相加等。

一、数学公式法对于一些特定的数列，存在求前N项和的数学公式，可以直接使用这些公式计算前N项和，而无需逐项相加。

1.等差数列的前N项和公式对于等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

前N项和公式如下：Sn = (a1 + an) * N / 2 = N * (a1 + a1 + (N-1)d) / 2 = N *(2a1 + (N-1)d) / 22.等比数列的前N项和公式对于等比数列，其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

前N项和公式如下：Sn=a1*(1-r^N)/(1-r)3.平方数序列的前N项和公式对于平方数序列，其通项公式为an = n^2，其中n为正整数。

前N项和公式如下：Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6二、推导公式法对于一些特殊的数列，我们可以通过推导得到求前N项和的公式。

推导过程中可以使用数学归纳法、代数运算等方法。

1.等差数列的前N项和公式的推导设等差数列的首项为a，公差为d，第N项为an，则有：an = a + (N-1)dSn=a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(N-1)d)根据等差数列的性质，可以将Sn分为两部分：Sn=(a+(N-1)d)+(a+(N-2)d)+...+(a+d)+a将两式相加，可得：2Sn=(N*a)+(N*a+(N-1)*d)+...+((N-1)d+a)+(Nd)化简后得到等差数列的前N项和公式。

2.等比数列的前N项和公式的推导设等比数列的首项为a，公比为r，第N项为an，则有：an = a * r^(N-1)Sn=a+a*r+a*r^2+...+a*r^(N-1)Sn*r=a*r+a*r^2+...+a*r^N将两式相减Sn*(1-r)=a*(1-r^N)化简后得到等比数列的前N项和公式。

数列的前n项和方法总结
数列是数学中常见的一种数值序列，求解数列的前n项和在许多数学和实际问题中都具有重要意义。

下面是关于数列的前n项和的几种常见方法总结：
1. 等差数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，那么数列的前n项和Sn = (n/2)(a1 + an)。

2. 等比数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比（r ≠ 0），那么数列的前n项和Sn = a1 * (1-r^n)/(1-r)。

3. 斐波那契数列的前n项和：
斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，后续项为前两项之和。

若n 为正整数，那么斐波那契数列的前n项和为Sn = F(n+2) - 1，其中F(n)表示第n项斐波那契数。

4. 平方数列的前n项和：
平方数列是一种特殊的数列，每一项都是某个正整数的平方。

若数列的通项公式为an = n^2，那么数列的前n项和Sn = (n(n+1)(2n+1))/6。

5. 等差子数列的前n项和：
若一个数列是等差数列的子数列，其公差与等差数列相同，那么子数列的前n项和等于原等差数列的前n项和减去首项之前的和。

以上是几种常见数列的前n项和的求解方法。

在实际应用中，根据数列的特点和通项公式选择适当的方法来计算数列的前n项和会更加高效和方便。

数列通项公式的常见求法一.公式法1、等差数列公式 例1、（2011辽宁理）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；2、等比数列公式例2.（2011重庆理）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n ΛΛΛΛΛ 求解。

一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。

例3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式。

二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法 1、叠加法一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++Λ的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。

即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-L 1a +(2)n ≥； 例4、（2011四川理8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则32b =-，1012b =，则8a =A ．0B ．3C ．8D ．112、叠乘法一般地对于形如“已知a 1，且n1n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。

即：121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥； 例6、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。

数列通项公式和前n项和求解方法(全)数列通项公式的求法详解n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 答案：（1）110-=nna （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n（4）1)1(1+⋅-=+n na n n .公式法1：特殊数列例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。

答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1例3. 等差数列{}na 是递减数列，且432a a a⋅⋅=48，432a a a++=12，则数列的通项公式是（ ）(A) 122-=n an(B) 42+=n an(C) 122+-=n an(D)102+-=n a n 答案：(D)例4. 已知等比数列{}na 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}nb 的通项为21+++=n n na a b，求数列{}nb 的通项公式.简析：由题意，321++++=n n n a a b，又{}na 是等比数列，公比为q ∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321，故数列{}nb 是等比数列，易得)1()1(1+=⋅+=-q q q q q bn n n.点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比. 公式法2： 知ns 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s an n n.例5：已知下列两数列}{na 的前n 项和s n 的公式，求}{na 的通项公式.（1）13-+=n n Sn. （2）12-=n sn答案：（1）na =3232+-n n，（2）⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n an点评：先分n=1和2≥n 两种情况，然后验证能否统一.【型如)(1n f a a nn +=+的地退关系递推关系】 简析：已知a a =1,)(1n f a a nn =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. 答案：)(52N n n a n∈+=例 6. 若在数列{}na 中，31=a，nn n a a21+=+，求通项na .答案：na =12+n例7.已知数列}{na 满足31=a，)2()1(11≥-+=-n n n a an n，求此数列的通项公式. 答案：nan12-=【 形如1+n a =f (n)·n a 型】（1）当f(n)为常数，即：qaa nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，na =11-⋅n q a.（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例8：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式. 例9： 已知数列{}na 中，311=a ，前n 项和n S 与na 的关系是 nn a n n S )12(-= ，试求通项公式na . .答案：.)12(12(1-+=n n a n 思考题1：已知1,111->-+=+a n na an n ,求数列{a n }的通项公式.分析：原式化为 ),1(11+=++nn a n a 若令1+=n na b,则问题进一步转化为nn nb b =+1形式，累积得解.构造1：【形如0(,1≠+=+c d ca an n ,其中aa=1)型】 （1）若c=1时，数列{na }为等差数列; （2）若d=0时，数列{na }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{na }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a,得λ)1(1-+=+c ca an n ,与题设,1d ca an n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c d λ， 所以：)1(11-+=-+-c d a c c d an n,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d an 构成以11-+c d a为首项，以c 为公比的等比数列.例10：已知数}{na 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a求通项na .答案：12-=n na构造2：相邻项的差为特殊数列 例11：在数列{}na 中，11=a，22=a，n n n a a a313212+=++，求na .提示：变为)(31112n n n n a a a a--=-+++.构造3：倒数为特殊数列【形如sra pa a n n n+=--11】例12： 已知数列｛na ｝中11=a且11+=+n n n a a a（N n ∈），，求数列的通项公式. 答案 nb a n n11==例13：设数列}{nc 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n解析：设1)1(-+-+=n nbq d n a c建立方程组，解得. 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{na 为等差数列：则cbn an+=，cnbn s n +=2（b 、ｃ为常数），若数列}{na 为等比数列，则1-=n nAq a，)1,0(≠≠-=q Aq A Aq sn n.例14：（1）数列{na }满足01=a,且)1(2121-=++++-n a a a an n ,求数列{a n }的通项公式. 解析：由题得)1(2121-=++++-n a a a a n n ①2≥n 时，)2(2121-=+++-n a a a n ②由①、②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n an.（2）数列{na }满足11=a,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ,求数列{a n }的通项公式（3）已知数列}{na 中，,2121,211+==+n n a a a求通项na .八、【讨论法-了解】（1）若da an n =++1（d 为常数），则数列{na }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分为奇数项和偶数项来讨论.（2）形如)(1n f a an n =⋅+型①若pa an n =⋅+1(p 为常数)，则数列{na }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a an n，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例15： 数列{na }满足01=a,21=++n n a a,求数列{a n }的通项公式.专题二：数列求和方法详解（六种方法）1、等差数列求和公式：d n n na a a n n 2)1(2)(123-+==+=-2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a q q a q na S n n n[例1] 已知3log 1log23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x xx 32的前n 项和.答案xx x s n n --=1)1([例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nSn Sn f 的最大值. 答案n ＝8时，501)(max =n f方法简介：此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n nx n x x x S ………………………①(1≠x )解析：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积：设nnx n x x x x xS)12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②①－②得 nn nx n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nn n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--.∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+.试一试1：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.答案： 1224-+-=n nn S方法简介：这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1na a +，然后再除以2得解.[例4] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 .答案S ＝44.5方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组；[例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a aa n ，…答案2)13(11nn a a a s n n -+--=-.试一试 1 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.简析：由于与nkk k a =-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅)110(91999991111111 个个、分别求和.方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）如：（1）)()1(n f n f an-+= ；（2）11++=n n a n =nn -+1；（3）nn n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+；4）111)1(1+-=+=n n n n a n （5）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n .[例6] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,21,,421,311n n 的前n 项和.[例7] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n，又12+⋅=n n na a b，求数列{b n }的前n 项的和.试一试1：已知数列{a n }：)3)(1(8++=n n a n，求前n 项和. 试一试2：1003211321121111+++++++++++ ..方法简介：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+cos179°的值.答案 0[例9] 数列{a n }：nn n a a a a a a-====++12321,2,3,1，求S 2002.（周期数列）[例10] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值; 答案 10。

(完整版)数列题型及解题方法归纳总结数列是数学中一个重要的概念，也是数学中常见的题型之一。

数列题目通常会给出一定的条件和规律，要求我们找出数列的通项公式、前n项和等相关内容。

下面对数列题型及解题方法进行归纳总结。

一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数，用通项公式a_n表示。

2. 首项和公差：对于等差数列，首项是指数列的第一个数，公差是指相邻两项之间的差值。

通常用a1表示首项，d表示公差。

3. 首项和公比：对于等比数列，首项是指数列的第一个数，公比是指相邻两项之间的比值。

通常用a1表示首项，r表示公比。

二、等差数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公差，求第n项的值。

使用通项公式a_n = a1 + (n-1)d。

（2）已知相邻两项的值，求公差。

根据 a_(n+1) - a_n = d，解方程即可。

（3）已知首项和第n项的值，求公差。

根据 a_n = a1 + (n-1)d，解方程即可。

2. 找前n项和：（1）已知首项、公差和项数，求前n项和。

使用公式S_n= (n/2)(a1 + a_n)。

（2）已知首项、末项和项数，求公差。

由于S_n =(n/2)(a1 + a_n)，可以列方程求解。

（3）已知首项、公差和前n项和，求项数。

可以列方程并解出项数。

3. 找满足条件的项数：（1）已知首项、公差和条件，求满足条件的项数。

可以列方程，并解出项数。

三、等比数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公比，求第n项的值。

使用通项公式a_n = a1 * r^(n-1)。

（2）已知相邻两项的值，求公比。

根据 a_n / a_(n-1) = r，解方程即可。

（3）已知首项和第n项的值，求公比。

根据 a_n = a1 * r^(n-1)，解方程即可。

2. 找前n项和：（1）已知首项、公比和项数，求前n项和。

使用公式S_n = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。

求数列前N 项和的方法1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS（错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ①①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ②①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ nx ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x n ]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。

1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

求数列的通项公式和前N 项和的几种类型总结熟练掌握求数列通项公式常用的几种方法，并能够在理解的基础上灵活应用； 熟练掌握求数列前n 项和常用的几种方法，并能够在理解的基础上灵活应用；在一些复杂问题中，将求通项公式与求和综合运用，对分析问题能力，计算能力要求较高重点应该提高对代数式的敏感，提高模式识别能力.知识讲解一、求数列的通项公式的方法1：观察法：此方法适用于小题和大题中的先猜后证；2：公式法等差数列通项公式：)()1(1m n d a a n d a a m n n -+=-+=等比数列通项公式mn m n n n q a a q a a --⋅=⋅=113：递推关系累加法：)(1n f a a n n =--21321(1)(2)(1)n n a a f a a f a a f n --=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=-⎩ 累乘法：)(1n f a a n n=-321121(1)(2)(1)n n n a a aa f f f n a a a a -=⋅⋅⋅=⋅⋅- 构造法：（1）),,0,1,0(1为常数q p q p p q pa a n n ≠≠≠+=-：令λλ++=-1n n n a a b ，则n b 为等比数列（2）),1,0(1为常数p p p p pa a n n n ≠≠+=-令nnn p a b =,则n b 为等差数列（3）),,0,1,0(1为常数q p q p p q pa a n n n ≠≠≠+=-令nnn p a b =,则转化为第一类（4）),,,0(11为常数q p s spq qpa sa a n n n ≠+=--令nn a b 1=,则转化为第一类（5）)(1n f n n a a -=令n n a b lg =,则用累乘法4：退位相减法⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 二、求数列的前n 项和的方法1、观察法： 此方法适用于小题和大题中的先猜后证；2、公式法等差数列前n 项和公式：n da n d n n d n a n a a S n n )2(2)1(22)(1211-+=-+=+=等比数列前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--⋅==)1(11)1(11q q q a q na S nn几个常用的等差数列求和公式，最好记住：（1） ；（2） ()11232n n n +++++= ()213521n n++++-= （3） ()24621n n n ++++=+ 3、倒序相加法：首尾对称类型4、乘公比错位相减法等差和等比组合数列，123(1)n n S a a a a =++++ 2341(2)n n qS a a a a +=++++ 解出.1n n n n S qS a a +-=-11(1)(2)1(1)n n a q q S qna q ⎧-≥⎪=-⎨⎪=⎩5、裂项相消法（分母可以写成两个数相减为常数）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+++-=+n n nn n n n n 111111)1(16、分组求和法（等差数列和等比数列相加）例题精析【例题1】在数列{n a }中，31=a ，)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .【例题2】已知数列满足，前项和，求的通项公式.{}n a 11,a =n 23n n n S a +={}n a 【例题3】数列{}n a 满足2,2311=-=-a a a n n ，求n a .【例题4】已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -（n ∈N *），求数列{}n b 的前n 项和n T .【例题5】求和：.1111212312n+++++++++ 【例题6】已知数列的前项和为，且，数列满足{}n a n n S 22,*n S n n n N =+∈{}n b 。

求通项公式专题1、作差法：已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式n a例 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n －1；(2)S n ＝2n 2＋n ＋3.变式训练 已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求a n . (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n －2.2.累加法：型如)(1n f a a n n +=+的数列例 已知数列}{n a 满足21=a ，231++=+n a a n n ，求}{n a 的通项公式.变式训练 已知数列}{n a 满足21=a ，12123-+⋅=-n n n a a ，求}{n a 的通项公式.3.累乘法：型如)(1n f a a n n ⋅=+的数列例 已知数列}{n a 满足11=a ，n n a nn a 21+=+，求}{n a 的通项公式.变式训练 已知数列}{n a 满足11=a ，12n n n a a +=⋅，求}{n a 的通项公式.4.构造法4-1型如b ka a n n +=+1(b k 、为常数)的数列构造}{λ+n a 为等比数列▲例 已知数列}{n a 满足21=a ，321+=+n n a a ，求}{n a 的通项公式.变式训练1 已知数列}{n a 满足11=a ，231+=+n n a a ，求}{n a 的通项公式.变式训练2 已知数列}{n a 满足2171-=a ，)2(5231≥+=-n a a n n ，求}{n a 的通项公式.4-2 型如001B n A pa a n n ++=+的数列解法：设1(1)()n n a A n B p a An B ++++=++，去括号整理对比001B n A pa a n n ++=+解出A 、B的值，构造出}{B An a n ++为等比数列．理解该数列的构造原理，若出现00201C n B n A pa a n n +++=+，方法也相同.例 已知数列}{n a 满足11=a ，1231n n a a n +=+-，求}{n a 的通项公式.变式训练 已知数列}{n a 满足11=a ，1321n n a a n +=++，求}{n a 的通项公式.4-3 型如n n n q m pa a ⋅+=+1的数列将原递推公式两边同除以1n q +得q m q a q p q a n n n n +⋅=++11，设n n n a b q=，得q m b q p b n n +⋅=+1， 转化为“6-1型如b ka a n n +=+1(b k 、为常数)的数列构造}{λ+n a 为等比数列”.例 已知数列}{n a 满足11=a ，123n n n a a +=+，求}{n a 的通项公式.变式训练1 已知数列}{n a 满足21=a ，n n n a a 2211+=+，求}{n a 的通项公式.变式训练2 已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

数列前n 项和的求法总结核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。

当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。

一． 公式法（1） 等差数列前n 项和： S n=n(a 1+a n )2=na 1+n(n+1)2d（2） 等比数列前n 项和： q =1时， S n=na 1；q ≠1时， S n =a 1（1−q n ）1−q（3） 其他公式： S n=1+2+3+⋯+n =12n (n +1)S n =12+22+32+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)S n =13+23+33+⋯+n 3=[12n (n +1)]2例题1：求数列 112，214，318，……，(n +12n )，…… 的前n 项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。

练习：二.倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例题1：设等差数列{an }，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn =a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn =an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn =(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn =n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。

数列的通项公式1.通项公式如果数列{}a n 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。

2.数列的递推公式（1）如果已知数列{}a n 的第一项，且任一项n a 与它的前一项-1n a 之间的关系可以用一个公式来表示。

（2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可3.数列的前n 项和与数列通项公式的关系数列{}a n 的前n 项之和，叫做数列的前n 项和，用n S 表示，即123=n n S a a a a ++++n S 与通项n a 的关系是11(1)(2)={n n S n n S Sn a -=-≥4.求数列通项公式的常用方法有：(前6种常用，特别是2,5,6)1）、公式法，用等差数列或等比数列的定义求通项2）前n 项和n S 与n a 的关系法，⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项)3）、累（叠）加法：形如)(1n f a a n n +=+∴112211=()()()n n n n n a a a a a a a a ----+-++-+4）. 累（叠）乘法：形如nn a n f a )(1=+∴13211221=n n n n n a a a aa a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5）.待定系数法 ：形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0），（设a 1+n +k=p （a n +k ）构造新的等比数列） 6) 倒数法 ：形如11n n n a a ka b--=+（两边取倒，构造新数列，然后用待定系数法或是等差数列）7). 对数变换法 ：形如，11()lg lg lg p n n n n a c a a p a c ++=⋅⇒=+（然后用待定系数法或是等差数列）8).除幂构造法: 形如11111n n n n n n na q a a qa d d d d d++++=+⇒=+ (然后用待定系数法或是等差数列) 9). 归纳—猜想—证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.通项公式方法及典型例题1.前n 项和n S 与n a 的关系法例1、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。

数列求通项及前n 项和常见方法求n a一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项公式注意：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、累加法求形如a n -a n-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累加求得通项。

例2．已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ． 注意：累加法是反复利用递推关系得到n —1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n —1项的和，要注意求和的技巧三、迭代法求形如1n n a qa d +=+(其中,q d 为常数)的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。

例3．已知数列{a n }满足a 1=1，且a n+1=3n a +1，求n a注意：因为运用迭代法解题时，一般数据繁多，迭代时要小心计算，应避免计算错误，导致走进死胡同四、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n ΛΛΛΛΛ求解。

例4．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式；注意：利用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n ΛΛΛΛΛ求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．五、累乘法 对形如1()n n a f n a +=的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累乘求得通项。

数列的通项公式及前n 项和的求法1．两个基本公式（1）等差数列的通项公式：d m n a d n a a m n )()1(1-+=-+=（2）等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --==2．三个基本方法（1）n S 法：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （2）累加法 （3）累乘法一．n S 法（利用关系11(1)(1)n nn S n a S S n -=⎧=⎨->⎩） 1．已知数列}{n a 的前n 项和21n S n n =++，求}{n a 的通项公式。

注：要先分n=1和1n >两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

2．已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式。

注：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.二．累加法（1()n n a a f n +-=型数列）3．已知111,21(2)n n a a a n n -=-=-≥，求{}n a 的通项公式。

4.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

三．累乘法（1()n na f n a +=型数列） 5.已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.注：将1n na a +表示出来，对n 从1开始取值。

四．构造法（构造等差或等比数列）6．已知数列{}n a 的首项12a =，()2,12*1≥∈+=-n N n a a n n ，求n a 。

注:构造新数列的实质是通过1()()n n a x q a x ++=+来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.7． 已知数列{}n a 满足，*111,5,3N n a a a a a n n n n ∈⋅+==++，（1）求证：1{}na 是等差数列 （2）求数列{}n a 通项公式.8、若数列{}n a 满足11=a ，且nn n a a a +=+11， （1） 求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式9、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式10、已知数列{}n a 满足132n n n a a +=+，11a =，求数列{}n a 的通项公式。

数列的前n 项和一、公式法1、通项公式：（1）、等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m)d ； （2）、等比数列的通项公式：11-=n n q a a ＝m n m n q a a -=；2、a n 与Sn 的有关系：a n ＝⎩⎨⎧≥-=-)2(,)1(,11n S S n S n n3、前n 项和：（1）、等差数列前n 项和：Sn ＝2)(1n a a n +＝na 1＋d n n 2)1(- （2）、等比数列前n 项和：Sn ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=)1(11)1()1(,111q q q a a q q a q na n n例1：已知n S ＝1＋2＋3＋4＋……＋n ，（n ∈N ＋），求1)32(++n nS n S 的最大值。

【解析】： )1(21+=n n S n ，1)32(++n n S n S ＝64342++n n n＝34641++nn ≤501变式练习1：在等比数列{n a }中，2a －1a ＝2，且22a 为31a 和3a 的等差中项，求数列{n a }的通项公式及前n 项和。

【解析】：设该数列的公比为q ，由已知，可得a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1.由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去．故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以，数列的前n 项和S n ＝312n -.变式练习2：已知{n a }是公差不为零的等差数列，1a ＝1，且1a ，3a ，9a 成等比数列。

（1）求数列{n a }的通项公式；（2）求数列{n a2}的前n 项和n S 。

【解析】：n a ＝n n S ＝221-+n二、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。

例2： 求数列的前n 项和：121，241，381，……(n ＋n 21) 【解析】： n n n n S 2112)1(-++=变式练习1：求数列0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999……的前n 项和Sn 。

一. 数列通项公式求法总结：1.定义法——直接利用等差或等比数列的定义求通项。

特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）．例1 •等差数列a n是递增数列，前n项和为S n，且a!,a3,a9成等比数列，S a5 •求数列a n 的通项公式.变式练习：1.等差数列a n中，a? 4, a i9 2比,求a n的通项公式2.在等比数列｛a n｝中,a2 a i 2,且2a2为3印和a3的等差中项,求数列｛a.｝的首项、公比及前n 项和.2. 公式法S n 1求数列a n的通项a n可用公式a n 求解。

n n n S n S n 1 n 2特征：已知数列的前n项和S n与a n的关系例2.已知下列两数列｛a n｝的前n项和s n的公式，求｛a n｝的通项公式。

（1）S n n3 n 1。

（2）s n n2 1对策：把原递推公式转化为f (n),利用累乘法求解。

a n2例4.已知数列a "满足313，a"1na n ,求 a n 。

n 11.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S n =2『+n , n € N*,数列｛b n ｝满足a * =4log 2b n +3, n € N * .求 a n , b n-n 2 kn ( k N *),且S 的最大值为8,试确定常数k 22n n, nN •求数列a n 的通项公式23. 由递推式求数列通项法 类型1特征：递推公式为an1 an f (n )对策：把原递推公式转化为am a n f (n)，利用累加法求解。

1 1例3.已知数列a n 满足a 1 - , a n 1 a n —2 ，求a n 。

2 n 2 n变式练习：1. 已知数列｛a .｝满足a n 1 a n 2n 1,印1，求数列｛a .｝的通项公式2. 已知数列： 求通项公式类型2特征：递推公式为 a n 1 f (n)a n2.已知数列｛a n ｝的前n 项和S n 并求a n 。