数列的通项公式与前n项和的关系

数列的通项公式与部分和公式数列的通项公式是指能够表示数列中第n个数与n的关系的公式，而部分和公式则是指数列的前n项和能够表示成与n的关系的公式。

本文将分别介绍数列的通项公式和部分和公式，以及应用举例。

一、数列的通项公式数列是指按照一定规律排列的一组数，通项公式是能够表示数列中第n个数与n的关系的公式。

1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，则该等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d其中，an表示数列的第n个数。

例如，对于等差数列1，4，7，10，13，……，其首项a₁为1，公差d为3，根据通项公式可得：an = 1 + (n-1)3 = 3n - 2因此，该等差数列的通项公式为3n - 2。

2. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为q，则该等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)其中，an表示数列的第n个数。

例如，对于等比数列2，6，18，54，……，其首项a₁为2，公比q 为3，根据通项公式可得：an = 2 * 3^(n-1)因此，该等比数列的通项公式为2 * 3^(n-1)。

二、数列的部分和公式数列的部分和是指数列前n个数的和，部分和公式是能够表示数列前n项和与n的关系的公式。

1. 等差数列的部分和公式对于等差数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = (a₁ + an) * n / 2其中，a₁表示数列的首项，an表示数列的第n个数。

以等差数列1，4，7，10，13，……为例，根据通项公式3n - 2，部分和公式可表示为：Sn = (1 + (3n - 2)) * n / 2 = (3n + 1) * n / 22. 等比数列的部分和公式对于等比数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)其中，a₁表示数列的首项，q表示数列的公比。

二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。

在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。

注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。

（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。

一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。

求数列前N 项和的方法1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和: q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，,特别要注意对公比的讨论。

其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1］ 已知3log 1log 23-=x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和。

解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 (利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 ［例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N ＊,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值。

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n ｝的前n 项和，其中{ a n }、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列.［例3］ 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解:由题可知,｛1)12(--n x n }的通项是等差数列｛2n －1}的通项与等比数列｛1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ ［例4］ 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，｛n n 22}的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② (设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减)1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习:求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+（4n —3)x n —1① ①两边同乘以x ，得x S n =x+5 x 2+9x 3+······+（4n —3）x n ②①—②得,（1-x)S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ nx ）-（4n —3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n —3)=2n 2—n 当x ≠1时，S n =1 1—x ［ 4x(1-x n） 1-x +1-（4n —3）xn]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +。

数列的通项公式与数列前n 项和的关系◎新疆塔城 托里二中 李远敬【内容概要】 求数列{}n a 的通项n a 的公式和数列{}n a 的前n 项和n s 是高考数列题最重要的题型。

本文探讨：1.数列的前n 项和n s 与通项n a 直接的关系.2.针对这两年的高考数列题型中，已知数列的通项与前n 项和的解析式，来求解数列通项公式及数列的规律。

对高考具有针对性和实用性。

【关键词】高考 数列 通项n a 前n 项和n s 关系一. 已知数列{}n a 的前n 项和为n s .则⎩⎨⎧>-==-.1,1,11n s s n s a n nn例1.（四川文科9）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，n n S a 31=+（1≥n ），则=6a（A ）443⨯（B ）1434+⨯ （C ）44（D ）144+解析：由n n S a 31=+，得13-=n n S a （2≥n ），相减得n n a a -+1=3)(1--n n S S = 3n a ， 则n n a a 41=+（n ≥ 2），而11=a ，32=a ，则4426434⋅=⋅=a a ，选A ． 二. 等差数列n 项的和n s 与通项n a 的关系 1. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n s .有2)(1n n a a n s +=. 2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等差数列{}n b 的和n T .若d cn b an T S n n ++=则n n b a =1212--n n T S . 解:nnn n n n n n b a b a b b n a a n T S ==+-+-=----22))(12())(12(1211211212 3. 设等差数列的项数n 为奇数。

则其偶数项之和与奇数项之和的比为11+-n n 。

解:设*,12N k k n ∈+=,则21-=n k .奇S =2))(1(121+++k a a k =1)1(++k a k . 偶S =2)(22k a a k +=1+k ka .11121211)1(11+-=+--=+=+=++n n n n k k a k ka S S k k 奇偶。

求通项公式的常用方法通项公式是数列中每一项与序号n之间的关系式，可通过递推关系和数列特点来确定。

下面将介绍几种常用的方法来求解通项公式。

一、等差数列等差数列是一种公差固定的数列，通项公式可以通过公差和首项求得。

1.递推法：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则通项公式为an = a₁ + (n -1)d。

2.求和法：对于等差数列，可以根据前n项和与首项之间的关系来求解通项公式。

设前n项和为Sn，首项为a₁，公差为d，则有等差数列求和公式Sn =n/2(a₁ + an)。

二、等比数列等比数列是一种比值固定的数列，通项公式可以通过公比和首项求得。

1.递推法：设等比数列的首项为a₁，公比为r，则通项公式为an = a₁ * r^(n -1)。

2.求和法：对于等比数列，可以根据前n项和与首项之间的关系来求解通项公式。

设前n项和为Sn，首项为a₁，公比为r，则有等比数列求和公式Sn=a₁(r^n-1)/(r-1)。

三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，之后的每一项都是前两项的和。

1.递推法：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则通项公式为F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=12.通项公式法：利用通项公式公式Fn = (Phi^n - (-Phi)^(-n))/sqrt(5)，其中Phi是黄金分割比(约为1.618）。

四、多项式数列多项式数列是指通项由多项式表达的数列。

1.解线性递推关系：对于多项式数列，可以根据给定的递推关系式来推导通项公式。

具体的方法可以通过代入法、特征根法、辅助方程法等来求解。

2.拉格朗日插值法：对于已知部分数列项的数值，可以利用拉格朗日插值法求解通项公式。

该方法需要确定数列项数目与已知项数目一致。

以上是一些常见的求通项公式的方法，不同的数列类型可能需要不同的方法来求解。

在实际问题中，还可以根据数列性质和给定条件等将其转化为已知的数列类型，从而应用相应的求解方法。

数列知识点、公式总结一、数列的概念 1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；na 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列{}n a ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列;如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列 1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列{}n a 为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是n a 与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列{}n a 满足21=2n n n a a a +++，则数列{}n a 是等差数列.4、等差数列的性质： （1）等差数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题： 设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列 1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）. 即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ;（2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是n a 与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质： （1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列，{}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m ma a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）； （2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结 1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列. 2、两个恒等式： 对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得：()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

等比数列通项公式和前n项和公式等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。

设等比数列的首项为a，公比为r，则其通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中n 为项数。

在等比数列中，前n项和的公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。

英文：Geometric progression is a sequence in which the ratio of any two consecutive terms is the same. Let the first term of the geometric sequence be a, and the common ratio be r, then its general term formula is: an = a * r^(n-1), where n is the number of terms. In a geometric sequence, the formula for the sum of the first n terms is: Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r).等比数列通项公式an= a1 * q^(n-1)，其中q为公比。

英文：The general term formula of a geometric sequence is an=a1 * q^(n-1), where q is the common ratio.在等比数列中，首项为a1，通项公式为：an= a1*q^(n-1)。

其中an表示第n项，q为公比。

英文：In a geometric sequence, the first term is a1 and the general term formula is: an= a1*q^(n-1). Where an represents the nth term, and q is the common ratio.当公比小于1时，等比数列是一个收敛的数列。

数列的运算方法（一）等差数列的通项公式与前n 项和公式及性质一、等差数列：定义：从第二项开始，每一项与前一项之差为常数符号形式：111(-+--=-=-n n n n n n a a a a ）d a a 或常数 公式：d n n na a a n S dn a a n n n 2)1()(2)1(111-+=+=-+= 常用技巧：（1）若q p n m a a a a q p n m +=++=+则,（2）n n a n S )12(12-=-（3）若p n m a a a p n m 2,2=+=+则（等差中项）（4）已知nm a a d q a p a n m n m --=⇒==,,（直线的斜率） 其中*,,,N q p n m ∈说明：1、定义主要用于判断和证明；2、通项公式对应一次函数，但图像是一些离散的点；3、前n 项和公式，前半部分比较灵巧，后半部分对应二次函数，图像也是一些离散的点；4、常见题型：求值、单调性、大小比较、求最值、求和最重要的数学思想方法：方程思想、函数思想、整体思想、配方法、数形结合。

例习题：（一）基本公式的应用1、（1）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a则数列{}n a 的通项公式 ；（2）已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项为A 、52-nB 、12+nC 、32-nD 、12-n（3）设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是A 、1B 、2C 、4D 、8（4）在a 和b 两数之间插入n 个数，使它们与b a ,组成等差数列，则该数列的公差为2、等差数列{}d a a a d a a n 成等比数列，则若公差中，5211,,,0,1≠=为 （ ）(A) 3 (B) 2 (C) 2- (D) 2或2-3、在首项为81，公差为－7的等差数列{a n }中，最接近零的是第 （ ）A ．11项B ．12项C ．13项D ．14项4、设{}n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列，它的前10项和11010=S 且1a ，2a ，4a 成等比数列。

考点透视求数列的通项公式问题经常出现各类试题中，常以选择、填空题的形式出现.此类问题，通常要求根据已知递推式关系式或数列的和式，求数列的通项公式.其命题形式多种多样，常见的解法有利用a n与S n的关系、递推法、构造法、累加法、累乘法等.那么，如何选择合适的方法进行求解呢？下面结合实例进行探讨.一、根据an与Sn的关系求解有些问题中直接给出了数列的前n项和及其关系式，在这种情况下，可以根据数列的通项公式a n与其前n项和S n的关系{a n=S n-S n-1,n≥2，a1=S1,n=1，来求数列的通项公式.在解题时，需先根据数列的前n项和S n及其关系式求得S n-1，然后将其与S n相减，得到在n≥2的情况下数列的通项公式，再检验当n=1时，a1是否满足所求a n的表达式.若满足，则a n的表达式即为数列的通项公式；若不满足，则需分情况表示数列的通项公式.例1.已知数列{}a n的前n项和为S n，S1+2S2+3S3+⋯+nS n=n2()n+124，求数列{}a n的通项公式.解：当n=1时，a1=S1=1，由题意可得S1+2S2+3S3+⋯+nS n=n2()n+124，①当n≥2时，S1+2S2+3S3+⋯+()n-1S n-1=n2()n-124，②①-②可得nS n=n2()n+124-n2()n-124=n3，即Sn=n2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n-1，且当n=1时a1满足上式，所以数列{}a n的通项公式为a n=2n-1.本题的已知条件中含有数列的前n项和，需根据数列的通项公式a n与其前n项和S n的关系{a n=S n-S n-1,n≥2，a1=S1,n=1，来求得数列的通项公式.将n替换成n-1，求得S n-1的关系式，然后将两式作差，即可求得在n≥2时的a n，最后进行检验，即可求得问题的答案.例2.记数列{}a n的前n项和为S n，数列{}S n的前n项积为b n，若2S n+1b n=2，求数列{}a n的通项公式.解：由题意可得S n=b n b n-1()n≥2，且2S n+1b n=2，可得2b n-1bn+1bn=2()n≥2，即b n-b n-1=12()n≥2，当n=1时，由2b1+1b1=2可得b1=32，则数列{}b n的通项公式为b n=32+12()n-1=n+22，可得S n=b n b n-1=n+2n+1()n≥2，当n=1时，S1=b1=32满足该式，所以S n=n+2n+1，则a n=S n-S n-1=n+2n+1-n+1n=-1n()n+1()n≥2，当n=1时，a1=32不满足上式，故数列{}a n的通项公式为a n=ìíîïï32,n=1,-1n()n+1,n≥2.根据数列的通项公式a n与其前n项和S n的关系{a n=S n-S n-1,n≥2，a1=S1,n=1，求数列{}a n的通项公式，一定要考虑当n=1时的情形，否则得到不完整的答案.若当n=1时a n的表达式满足当n≥2时的通项公式，则可忽略对n=1的情况的讨论.二、通过累加求解累加法是求数列的通项公式的常用方法，该方法主要适用于由形如a n-a n-1=f()n的递推关系式求数周涛35点透视列的通项公式.其步骤为：①将已知递推关系式转化为a n -a n -1=f ()n 的形式；②将n 或n -1个式子累加，可得a n =()a n -a n -1+()a n -1-a n -2+⋯+()a 2-a 1+a 1,求得f ()1+f ()2+⋯+f ()n 的和，即可求得当n ≥2时的a n ；③判断当n =1时，a 1是否满足所求的表达式a n ，进而得到数列的通项公式.例3.已知数列{}a n 满足a 1=1，a 2=3，a n +2=3a n +1-2a n .(1)证明：数列{}a n +1-a n 是等比数列；(2)求数列{}a n 的通项公式.解：(1)数列{}a n +1-a n 是以a 2-a 1为首项，2为公比的等比数列（过程略）；(2)由(1)可得，a n +1-a n =2n ()n ∈N ∗，当n ≥2时，a n =()a n -a n -1+()a n -1-a n -2+⋯+()a 2-a 1+a 1=2n -1+2n -2+⋯+2+1，∴a n =2n-1，∴数列{}a n 的通项公式为a n =2n-1.解答本题的关键是明晰a n +1-a n =2n与a n -a n -1=f ()n 的结构一致，然后令n =1,2,3，…，n -1，再将这n -1个式子累加，借助累加法求得数列的通项公式.三、通过累乘求解运用累乘法与累加法求数列的通项公式的思路较为相似.累乘法主要适用于由形如a na n -1=f ()n 的递推关系式求数列的通项公式.令n =1,2,3，…，n ，再将这n个式子累乘，即a n =a n a n -1×a n -1a n -2×…×a2a 1×a 1，求得f ()n ×f ()n -1×⋯×f ()1的值,即可求得数列的通项公式.最后，还需根据问题所给条件求出a 1，判断a 1是否满足a n 的表达式，综合所有情况，就能得到数列的通项公式.例4.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =n 2a n ()n ∈N ∗，则数列{}a n 的通项公式为_____.解:由S n =n 2a n 可知当n ≥2时，S n -1=()n -12a n -1，则a n =S n -S n -1=n 2a n -()n -12a n -1，即(n 2-1)a n =(n -1)2a n -1，易知a n ≠0，故a na n -1=n -1n +1()n ≥2，当n ≥2时，a n =a na n -1×a n -1a n -2×⋯×a 3a 2×a 2a 1×a 1=n -1n +1×n -2n ×⋯×24×13×1=2n ()n +1，当n =1时，a 1=1满足上式，所以数列{}a n 的通项公式为a n =2n ()n +1.解答本题，需先根据数列的通项公式a n 与其前n 项和S n 的关系求得a n 的表达式.而该式形如a na n -1=f ()n ,于是将n 个式子累乘，借助累乘法求得数列的通项公式.一般地，a n -a n -1=f ()n 、an a n -1=f ()n 只满足当n ≥2时的情形，运用累加法、累乘法求数列的通项公式，一定要讨论当n =1时的情形.四、通过构造等比数列求解当遇到形如a n =pa n -1+q 、a n =pa n -1+f ()n 的递推关系式时，可考虑运用构造法来求数列的通项公式.在解题时，需引入待定系数λ，将a n =pa n -1+q 、a n =pa n -1+f ()n 设为a n +λ=p ()a n -1+λ或a n +λf ()n =p ⋅()a n -1+λf ()n -1，从而构造出等比数列{}a n +λ或{}a n +λf ()n ，以便根据等比数列的通项公式求得数列的通项公式.例5.已知数列{}a n 满足a n +1=3a n +3∙2n，a 1=2，求数列{}a n 的通项公式.解：由a n +1=3a n +3∙2n可设a n +1+λ∙2n +1=3(a n +λ2n )，则λ=3∙2n ,故数列{}a n +3∙2n是以a 1+6=8为首项，3为公比的等比数列，则a n +3∙2n =8∙3n -1，所以a n =8∙3n -1-3∙2n ，即数列{}a n 的通项公式为a n =8∙3n -1-3∙2n .递推关系式a n +1=3a n +3∙2n形如a n +1+f ()n =3(a n +36考点透视f ()n )，于是引入待定系数，将其变形为a n +1+λ∙2n +1=3()a n +λ2n ，从而构造出等比数列{}a n +3∙2n，根据等比数列的通项公式来解题.例6.已知在数列{}a n 中，a n +1=3a n +2，a 1=1，求数列{}a n 的通项公式.分析：问题中所给的递推关系式a n +1=3a n +2形如a n =pa n -1+q ，于是采用构造法，引入待定系数λ，构造出等比数列{}a n +λ，通过求{}a n +λ的通项公式，得到数列{}a n 的通项公式.解：设a n +1+λ=3()a n +λ，即a n +1=3a n +2λ，将其与a n +1=3a n +2比较可得λ=1，故数列{}a n +1是以a 1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，因为a n +1=2∙3n -1，所以a n =2∙3n -1-1，故数列{}a n 的通项公式为a n =2∙3n -1-1.上述几种方法适用的情形均不相同，因此在求数列的通项公式时，要注意观察递推关系式或已知关系式，如是否含有S n ，递推式是否形如a n -a n -1=f ()n 、a na n -1=f ()n 、a n =pa n -1+q 、a n =pa n -1+f ()n ，结合递推关系式或已知关系式的特点，选择合适的方法，如根据a n 与S n 的关系、利用累加法、累乘法、构造法来求数列的通项公式.在求数列的通项公式时，还要注意一些细节，如当n =1时的情况，a n 或已知递推式满足的条件，以便得到完整的答案.（作者单位：安徽省安庆市望江县望江中学）单项选择题是高考试题中常出现的一类题目.此类问题中一般会有4个选项，其中只有1个选项是正确的，且不要求提供详细的解题过程，只需选出正确的选项.有些单项选择题中的参数较多，有的给出的数值较大、项数较多，有的给出的条件较少，我们很难或者无法（或没有必要）通过精准的运算、推理得出正确的答案，此时可根据题目中的特殊要素、图形的性质、极限值等来进行估算，利用估算法来快速找到正确的选项，得出问题的答案.一、借助特殊元素进行估算有些单项选择题中涉及的参数、变量较多，问题的答案也不唯一，我们很难根据题意确定答案，此时可从特殊元素入手，结合题意寻找一些特殊值、特殊角、特殊点、特殊位置、特殊函数（或数列）、特殊图形等特殊元素，将其代入题设中进行求解，便可快速找出正确的选项.例1．（2021年高考数学上海卷，第16题）已知x 1，y 1,x 2,y 2,x 3,y 3为6个不同的实数，且满足①x 1<y 1,x 2<y 2,x 3<y 3；②x 1+y 1=x 2+y 2=x 3+y 3；③x 1y 1+x 3y 3=2x 2y 2，则以下选项中恒成立的是（）.A.2x 2<x 1+x 3B.2x 2>x 1+x 3C.x 22<x 1x 3D.x 22>x 1x 3分析：题目中涉及了6个不同的实数，且需满足3个关系式，较为复杂.不妨根据已知条件选取并确定3个特殊值赋给x 1、x 2、x 3，再结合3个关系式确定另外3个实数y 1、y 2、y 3的值，进而通过估算来确定正确的答案．解：根据①②③可令x 1=1，x 2=2,x 3=4，则x 1+y 1=x 2+y 2=x 3+y 3=9，可得y 1=8，y 2=7，y 3=5，此时6个不同的实数恰好同时满足3个关系式，将x 1=1,x 2=2,x 3=4，y 1=8,y 2=7,y 3=5代入4个选项中，可判断出只有2x 2<x 1+x 3成立，所以本题的正确答案为A ．例2.（湖南省三湘名校教育联盟2022届高三第二次大联考数学试卷，第7题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派利用顶角为36°的等腰三角形研究黄金分割.如图1，在△ABC中，AB =AC ，∠A =36°，∠ABC 的平分线交AC 于M ，依此图形可求得cos36°=（）.A.35 B.C. D.分析：36°不是特殊角，通过三角函数恒等变换来进行计算，运算量大.而根据余弦函数的图象与性质，吴亚南图137。

数列的通项与前n项和的关系数列是数学中常见的概念，它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

在数列中，我们经常需要求解数列的通项和前n项和的关系，这一关系对于理解数列的性质和应用具有重要意义。

在研究数列的通项与前n项和的关系前，我们先来了解一下什么是数列的通项和前n项和。

一、数列的通项数列的通项是数列中任意一项的一般表示式，使用字母来表示数列的项数，方便我们求解数列中任意一项的值。

通项可以是一个具体的公式，也可以是一个递推公式。

例如，对于等差数列，通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

对于等比数列，通项公式为an = a1 × r^(n - 1)，其中a1为首项，r 为公比，n为项数。

二、数列的前n项和数列的前n项和是指数列中前n项的和，用Sn来表示。

它可以帮助我们求解数列的部分和或全部和。

对于等差数列的前n项和，通常用Sn来表示，公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中a1为首项，an为第n项，n为项数。

对于等比数列的前n项和，通常用Sn来表示，公式为Sn = a1(1 -r^n)/(1 - r)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

在数列的通项与前n项和的关系中，我们可以通过求解通项公式与前n项和公式的关系，进而推导出它们之间的数学表达式。

以等差数列为例，设数列的首项为a1，公差为d，通项公式为an = a1 + (n - 1)d，前n项和为Sn = (n/2)(a1 + an)。

根据前n项和公式，我们将an代入其中，得到Sn = (n/2)[a1 + (a1 + (n - 1)d)]，简化后得到Sn = (n/2)(2a1 + (n - 1)d)。

由此可见，等差数列的前n项和与首项、项数和公差之间存在着一定的关系，通过这个关系，我们可以借助通项公式计算出前n项和的数值。

同样地，对于等比数列，我们可以通过通项公式和前n项和公式推导出它们之间的关系。

通项公式求和公式
通项公式：表示数列中第n项与n的关系的公式，用一般项式an表示。

比如等差数列通项公式an=a1+(n-1)d，表示第n项与n的关系。

求和公式：表示数列前n项和与n的关系的公式，用Sn表示。

比如
等差数列前n项和公式Sn=n/2(2a1+(n-1)d)，表示前n项和与n的关系。

当已知数列的通项公式an时，可以通过对各项进行求和，得到数列
前n项和公式Sn。

常见数列的通项公式和求和公式：
1.等差数列an=a1+(n-1)d，Sn=n/2(2a1+(n-1)d)。

2.等比数列an=a1×q^(n-1)，Sn=a1 (1-q^n)/(1-q)，(q≠1)。

3.斐波那契数列an=an-1+an-2，a1=a2=1，Sn=1+1+2+3+5+…+F(n-
1)=F(n+1)-1 (F(n)为斐波那契数列的第n项)。

4.等差-等比混合数列an=a1×q^(k-1)+(n-k)d，Sn=[n/2(2a1+(k-
1)qd)]+[n-k-(n-1)/2][(a1+kqd)-d]。

5.阶梯型数列an=[n/k]+b，
Sn=[n/k]×(k(a1+ak))/2+[n/k](n%k)×a[k+1]+[n%k]×(a1+[n/k]×k) (其中[a]为a的整数部分，[n/k]为n/k的整数部分，%为取余符号)。

注：以上公式中，a1为数列的第一项，d为公差，q为公比，n为项数，k为阶梯间隔，b为阶梯高度。

高中数学数列的通项与前n项和的关系探究数列是高中数学中的重要概念之一，它在数学中有着广泛的应用。

在解决数列问题时，我们常常需要求出数列的通项公式以及前n项和的表达式。

本文将重点探究数列的通项与前n项和的关系，并通过具体题目举例，说明其中的考点和解题技巧。

一、等差数列的通项与前n项和的关系等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。

对于等差数列，我们可以通过观察数列的规律来求出其通项公式和前n项和的表达式。

例如，考虑等差数列1，4，7，10，13，...，其中首项为1，公差为3。

我们可以通过观察得知，每一项都是首项1加上前面的项数乘以公差3得到的。

因此，该等差数列的通项公式为an = 1 + (n-1) * 3。

其中，an表示第n项。

接下来，我们来求该等差数列的前n项和。

首先，我们可以将数列的前n项分别相加，得到前n项和的表达式Sn = 1 + 4 + 7 + ... + (1 + (n-1) * 3)。

观察表达式可以发现，每一项都是由首项1加上相应的公差乘以前面的项数得到的。

因此，我们可以将表达式进行化简，得到Sn = n * (2 + (n-1) * 3) / 2。

其中，Sn表示前n项和。

通过以上的分析，我们可以得出等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1) * d，前n项和的表达式为Sn = n * (2a1 + (n-1) * d) / 2。

其中，a1表示首项，d表示公差。

二、等比数列的通项与前n项和的关系等比数列是指数列中相邻两项之比恒定的数列。

对于等比数列，我们同样可以通过观察数列的规律来求出其通项公式和前n项和的表达式。

例如，考虑等比数列2，6，18，54，162，...，其中首项为2，公比为3。

我们可以通过观察得知，每一项都是前一项乘以公比3得到的。

因此，该等比数列的通项公式为an = 2 * 3^(n-1)。

其中，an表示第n项。

接下来，我们来求该等比数列的前n项和。

首先，我们可以将数列的前n项分别相加，得到前n项和的表达式Sn = 2 + 6 + 18 + ... + (2 * 3^(n-1))。

数列的通项公式与求和公式数列是指按照一定规律排列的一系列数字的集合，是数学中重要的概念之一。

在数列中，每个数字称为该数列的项。

数列有许多不同的类型，如等差数列、等比数列等。

在讨论数列时，我们经常需要找到数列的通项公式和求和公式，以便能够方便地计算出数列中的任意项以及求和。

本文将介绍常见数列的通项公式与求和公式，并以具体的例子加以说明。

一、等差数列的通项公式与求和公式等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。

设等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，an为等差数列的第n项。

等差数列的求和公式为：Sn = (n/2) * [2a1 + (n-1)d]其中，Sn表示等差数列的前n项和。

举个例子来说明，比如一个等差数列的首项a1为2，公差d为3，则该数列的通项公式为an = 2 + (n-1)3，求和公式为Sn = (n/2)(2 + 2n)。

二、等比数列的通项公式与求和公式等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。

设等比数列的首项为a1，公比为q，则该等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)其中，an为等比数列的第n项。

等比数列的求和公式分两种情况：1. 若公比q不等于1，则等比数列的前n项和为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)2. 若公比q等于1，则等比数列的前n项和为：Sn = n * a1举个例子来说明，比如一个等比数列的首项a1为3，公比q为2，则该数列的通项公式为an = 3 * 2^(n-1)。

若q不等于1，则求和公式为Sn = 3 * (1 - 2^n) / (1 - 2)；若q等于1，则求和公式为Sn = 3n。

三、其他数列的通项公式与求和公式除了等差数列和等比数列之外，还有其他类型的数列，如等差- 等比混合数列、斐波那契数列等。

对于这些数列，通项公式和求和公式的推导可能会更加复杂。

1.（11辽宁T17）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和． 【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系.【难易程度】容易【试题解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-（步骤1） （II ）设数列1{}2n n a -的前n 项和为n S ，即211,22n n n a a S a -=+++故11S =（步骤2） 12.2242n n n S a a a =+++ 所以，当1n >时， 1211111222211121()2422121(1)22n nn n n n nn n n n S a a a a a S a n n -------=+++--=-+++--=--- =.2nn （步骤3） 所以1.2n n n S -= 综上，数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和（步骤4）2.（10上海T20）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n +∈N .（1）证明：{}1n a -是等比数列；（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由.【测量目标】数列的通项公式n a 与前n 项和n S 的关系.【试题解析】（1）当1n =时，114a =-；当2n 时，11551n n n n n a S S a a --=-=-++，()15116n n a a -∴-=-，（步骤1） 又11150a -=-≠，∴数列{}1n a -是等比数列；（步骤2）（2）由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（步骤3） 从而()1575906n n S n n -+⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N ；（步骤4） 解不等式1n n S S +<，得15265n -⎛⎫< ⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，（步骤5） ∴当15n 时，数列{}n S 单调递增；（步骤6） 同理可得，当15n 时，数列{}n S 单调递减；故当15n =时，n S 取得最小值．（步骤7）3.（09辽宁T14）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = .【测量目标】数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系.【难易程度】中等【参考答案】13【试题解析】∵11(1)2n S na n n d =+-∴5131510,33S a d S a d =+=+. ∴5311114653060(1515)154515(3)15S S a d a d a d a d a -=+-+=+=+=. ∵53655,S S -=故413a =. 4.（09全国II T19）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 ；（II ）求数列{}n a 的通项公式.【测量目标】数列的通项公式n a 与数列的前n 项和n S 的关系.【试题解析】（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=（步骤1）由142n n S a +=+， ① 则当2n 时，有142n n S a -=+ ②①－②得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-（步骤2）又12n n n b a a +=-，12n n b b -∴=，（步骤3）{}n b ∴是首项13b =，公比为2的等比数列．（步骤4）（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=，113224n n n n a a ++∴-=（步骤5） ∴数列{}2n n a 是首项为12，公差为34的等比数列．（步骤6） ∴1331(1)22444n n a n n =+-=-，2(31)2n n a n -=- （步骤7）友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。