9.1 数与计算

160
§9.3
正项级数的其他判别法

定理 9.11(Cauchy 根值判别法) 设 an 是正项级数,那么有如下三个
n 1
结论: （1）若 lim sup n an q 1 ,则 an 收敛；
n n 1
（2）若 lim sup n an q 1 ,则 an 发散；
(1) S an

证明: (1).当 0 时, (2). 1 . 因为
an an a n an ；当 0 时, . Sn a1 Sn S
Sn 1 an Sn1 x dx ,故 Sn
n n Sk 1 ak 1 S n 1 Sk 1 x dx a1 k 1 S k k 2

若 0 an bn ( n N ) ,则
bn 收敛 an 收敛.
n 1 n 1
证: 由定理 9.6.□ 例1
1 , n n 1 2 1


n 1

1 n( n 2 1)
收敛.
解: 因为 0 例2

1 1 1 1 1 , 0 , ,而 3 n n n 2 1 2 n 1 2 n( n 2 1) n 2m) 的和,其中 m .
*

1
n 1
1 1 1 1 ( ) ,故当 n m 时,就有 nm n 1 n( n m) n 1 m n
n 1 1 1 1 1 1 1 1 ) (1 ) Sn ( m 2 m m 1 n k m k 1 m k
n
n 1

1
3 2
收敛.□
1 , 收敛. log n log n n 1 3 n 2 (log n ) 1 1 1 1 1 解: 因为 log n (log 3)(log n ) log3 ,log3 1 ,而 log 3 收敛,故 log n 收敛. 3 e n n 1 n n 1 3

数的世界（一）教学内容：苏教版四年级上册教材第100页期末复习第1—4、7、8题教材分析：期末复习（一）重点就是第二单元两三位数除以两位数的除法的复习。

这一单元在两三位数除以一位数的基础上编排，重点教学两、三位数除以两位数的笔算（一些比较容易的两、三位数除以两位数，可以口算）。

为了便于学生掌握两、三位数除以两位数的笔算，教材穿插了相应得口算、估算以及解决问题的教学。

全单元编排八个例题、四个练习，还有全单元内容的整理与练习。

笔算两、三位数除以两位数，试商和调商是教学重点，也是教学难点，人们已有的试商方法很多，把除数看成最接近的整十数，是最常用、最基本的试商方法。

学生有已有找到某个两位数最接近几十的能力，初商有时会过大或过小，这就要调商。

初商过大与过小的表现不同，调商的方向与方法也不同。

小学阶段整数除法的教学到这里就结束了，应用除法解决稍复杂的实际问题，有利于学生掌握两、三位数除以两位数的除法。

探索、发现并简单应用除法的“商不变规律”，能进一步提高学生的除法计算能力，也为以后教学小数除法储备基础知识。

教学目标：1通过整理与复习，使学生进一步掌握除数是整十数商是一位数的口算和两、三位数除以两位数的笔算方法，能正确地进行口算和笔算；理解和掌握商不变的规律，能用简便方法计算被除数和除数末尾都有0的除法。

2使学生经历回顾梳理知识点的过程，初步体验复习整理的方法，积累知识梳理的经验。

3使学生进一步感受数学知识和方法的内在联系，体会数学学习的价值和乐趣，培养对数学的积极情感。

教学重点：进一步理解和掌握两三位数除以两位数的计算、商不变规律及其应用。

教学难点：体验回顾整理相关知识点的方法，积累知识梳理的经验。

教具准备：学习单，ppt课件教学过程：一、谈话引入今天我们进行期末复习（板书：期末复习（一）），看目录，我们学过了哪些内容？哪部分内容，你的印象最深刻，是学的最好，还是学得有困难。

有关计算的是那几个单元？今天重点复习第二单元的知识。

3. 怎样进行多位数的大小比较？
4. 怎样把大数改成成用“万”或“亿”作单位的数？怎 样省略“万”或“亿”后面的尾数，求近似数？
温馨提示：
1.组长主持，依次交流、及时补充、完善相 关知识的整理。 2.总结组内的整理成果，做好汇报准备。
按照我国的计数习惯，从右边起，每四个数位是一级
每相邻两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫做 十进制计数法。
在○里填“>”“<”。
455000○> 450600 7399000○< 740万 270000000○> 207900000 30亿○< 301000000似数是7亿，
原来这个数亿位上的数可能是 （ ），这
个数最大是（
），最小是
（
）。
第二关 ：组数★★
整理和复习（1）
----数的世界
知 识 树
三位数乘 两位数 多位数
的认识
运算律
确定位置
解决问题的策略
三角形、平行四 边形、梯形
数位顺序表
读数和写数
多位数的认识
数的大小比较
改写和略写
延迟符
一、合作学习
1.说说数位顺序表（从右边起依次是……）以及 相应的 计数单位和所在的数级。
2. 读写多位数数时要注意些什么？
这节课我们复习了什么？
你有哪些收获？
三位数乘 两位数 多位数
的认识
运算律
确定位置
解决问题的策略
三角形、平行四 边形、梯形
谢谢！多提宝贵意见
这一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
过 了 自 己 的 智 力 ，
You made my day!
二、探究学习

一个因数除以（或乘）几，积不变。
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月10日星期日2022/4/102022/4/102022/4/10 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/102022/4/102022/4/104/10/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/102022/4/10April 10, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
48004008
八亿
一百六十万零二十
800000000
1600020
十亿五千万 1050000000
三十九亿七千万 3970000000
导学单二（预设3分钟） 1.将上题中的200000、80000000、1050000000、397000000
改写成用万作单位的数。 2.将后两个数改写成用亿作单位的数。 3.同桌校对，及时订正。 4.总结改写的方法。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
58×260= 15080
5800×26= 150800 580×260= 150800
1.两个因数相乘，一个因数缩小为原来的一半，另一个
因数不变，积（缩小为原来的一半
）
2.两个因数相乘，一个因数扩大为原来的2倍，要使积
不变，另一个因数应（ 缩小为原来的一半 )
在乘法算式中，一个因数乘（或除以）几，另
创编题
四个8和四个0，组成符合要求的八位数。
只读一个零
读出两个零
读出三个零