五到八章(计量经济学-东北财经大学,王维国)

用OLS法得到的估计模型通过统计检验后，还要检验模型是否满足假定条件。

由2.1 节和3.1节知，只有模型的假定条件都满足时，用OLS法得到的回归系数估计量才具有最佳线性无偏特性。

当一个或多个假定条件不成立时，OLS估计量将丧失上述特性。

第5-7章讨论当假定条件不成立时，对参数估计带来的影响以及相应的补救措施。

以下讨论都是在某一个假定条件被违反，而其他假定条件都成立的情况下进行。

分为5个步骤。

（1）回顾假定条件。

（2）假定条件不成立时对模型参数估计带来的影响。

（3）定性分析假定条件是否成立。

（4）检验（定量分析）假定条件是否成立。

（5）假定条件不成立时的补救措施。

本章介绍怎样克服异方差。

本章包括以下几小节：同方差假定异方差表现与来源异方差的后果判别异方差异方差检验克服异方差的方法（广义最小二乘法）案例分析第一节同方差假定1 同方差假定模型的假定条件⑴给出Var(u) 是一个对角矩阵，(5.1)且u的方差协方差矩阵主对角线上的元素都是常数且相等，即每一误差项的方差都是有限的相同值（同方差假定）；且非主对角线上的元素为零（非自相关假定），当这个假定不成立时，Var(u) 不再是一个纯量对角矩阵，表示如下。

(5.2)当误差向量u的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，这意味着对应不同的随机变量，方差不同。

此时，称该随机误差系列存在异方差，即误差向量u中的元素u t取自不同的分布总体。

非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。

比如Ω中的σi j ,（i≠j）表示与第i组和第j组观测值相对应的u i与u j的协方差。

若Ω非主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。

本章讨论异方差。

第6章讨论自相关。

第7章讨论多重共线性及其他一些违反假定条件的情形。

以两个变量为例，同方差假定如图5.1和5.2所示。

对于每一个x t值，相应u t的分布方差都是相同的。

图5.1 同方差情形图5.2 同方差情形第二节异方差表现与来源1 异方差表现与来源异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回归型。

递增型异方差见图5.3和5.4。

随着解释变量的增加，随机误差项的方差越来越大。

图5.5为递减型异方差，即随着解释变量的增加，随机误差项的方差越来越小。

图5.6为条件自回归型异方差。

经济时间序列中的异方差常表现为递增型异方差。

金融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。

时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。

无论是时间序列数据还是截面数据。

递增型异方差的来源主要是因为随着解释变量值的增大，被解释变量取值的差异性增大。

图5.3 递增型异方差图5.4 递增型异方差图5.5 递减型异方差图5.6 条件自回归型异方差第三节异方差的后果1 异方差的后果下面以简单线性回归模型为例讨论异方差对参数估计的影响。

对模型y t = β0 + β1 x t + u t(5.3)当Var(u t) = σt 2，为异方差时（σt 2是一个随时间或序数变化的量），回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。

以为例(5.4)但是回归参数估计量不再具有有效性。

以为例，(5.5)（在上式的推导中利用了u t的非自相关假定、x t与u t非相关假定）。

上式不等号左侧项分子中的σt 2不是一个常量，不能从累加式中提出，所以不等号左侧项不等于不等号右侧项。

而不等号右侧项是同方差条件下β1的最小二乘估计量的方差。

因此，异方差条件下的失去有效性。

另外回归参数估计量方差的估计是真实方差的有偏估计量。

以为例，()是Var() 的有偏估计量。

下面用矩阵形式讨论异方差。

因为OLS估计量无偏性的证明只依赖于模型的一阶矩，所以当Var(u) 如（5.2）式所示时，OLS估计量仍具有无偏性和一致性。

E() = E[ (X 'X )-1 X'Y ] = E[ (X 'X )-1 X ' (X β+ u) ]= β + (X 'X)-1 X'E(u) = β(5.6)但不具有有效性和渐近有效性。

而且的分布将受到影响。

V ar() = E [(- β) (- β)' ]= E [(X'X )-1 X ' u u' X (X 'X)-1 ]= (X' X)-1 X' E (u u') X(X' X )-1= σ2 (X'X )-1 X' ΩX (X' X )-1(5.7)不等于σ2(X' X )-1，所以异方差条件下的是非有效估计量。

第四节判别异方差1 判别异方差对实际问题的分析，有时可以初步判别是否存在异方差。

主要有三种方式。

(1) 当经济变量取值的差别随时间或解释变量的增大而变大时，容易出现异方差。

如在个人支出与收入的关系中，投入与产出的关系中，常会存在异方差。

(2) 利用散点图也可以初步判断是否存在异方差。

如果两个变量的散点图与图5.4相类似时，说明存在异方差。

(3) 也可以利用模型的残差图做初步判断。

如果模型的残差图如图5.7相类似时，说明存在递增型异方差。

注意：对于截面样本，当用残差图观测是否存在异方差时，必须先按解释变量给样本值排序。

否则即使是有异方差，利用残差图也看不出来。

图5.7 残差图第五节异方差检验上一节介绍根据实际数据判别异方差。

这一节介绍五种异方差的检验方法。

1 Goldfeld-Quandt检验Goldfeld-Quandt 检验由Goldfeld和Quandt 1965年提出。

这种检验的思想是以引起异方差的解释变量的大小为顺序，去掉中间若干个值，从而把整个样本分为两个子样本。

用两个子样本分别进行回归，并计算残差平方和。

用两个残差平方和构造检验异方差的统计量。

具体步骤如下：Goldfeld-Quandt 检验的零假设和备择假设是H0: u t 具有同方差H1: u t 具有递增型异方差①把原样本分成两个子样本。

具体方法是把成对（组）的观测值按解释变量的从小到大顺序排列，略去m个处于中心位置的观测值（通常T> 30时，取m≈T / 4，余下的T- m个观测值自然分成容量相等的两个子样本，容量各为(T- m) / 2。

如下所示。

②用两个子样本分别估计回归直线，并计算残差平方和。

相对于n2 和n1 的残差平方和分别用SSE2（对应于x t值比较大的子样本）和SSE1（对应于x t值比较小的子样本）表示。

③构造F统计量，(5.8)其中n2 = n1 为子样本容量，k为原模型中被估参数个数。

在H0成立条件下，F~F( n2 - k, n1 - k)④根据实际情况分析，若不存在异方差，两个子样本对应的残差平方和应该近似相等，即F值接近1。

若存在递增型异方差，则SSE2要远远大于SSE1，即F值很大。

判别规则如下，, 接受H0（u t 具有同方差）若F≤Fα (n2 - k, n1 - k), 拒绝H0（具有递增型异方差）若F > Fα (n2 - k, n1 - k)对于Goldfeld-Quandt 检验应该注意如下四点：①对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。

②此法只适用于递增型异方差。

③Goldfeld-Quandt 检验依赖于随机误差项服从正态分布。

④当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。

2 Glejser检验Glejser检验由H. Glejser 1969年提出。

检验原回归式的残差的绝对值||是否与解释变量x t的若干形式存在函数关系。

若有，则说明存在该种形式的异方差；若无，则说明不存在异方差。

通常给出的几种形式是|| = a0 + a1x t|| = a0 + a1x t2|| = a0 + a1….如果哪一种形式的通过显著性检验，则说明存在该种形式的异方差。

Glejser检验的特点是：①既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。

②一旦发现异方差，同时也就发现了异方差的具体表现形式。

③计算量相对较大。

④当原模型含有多个解释变量值时，可以把||拟合成多变量回归形式。

3 White检验White检验由H. White 1980年提出。

Goldfeld-Quandt 检验必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。

Glejser检验通常要试拟合多个回归式。

White检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造χ2 统计量进行异方差检验。

White检验的具体步骤如下。

以二元回归模型为例，y t = β0 +β1 x t1+β2 x t2+ u t(5.9)（1）首先对上式进行OLS回归，求残差。

（2）作如下辅助回归式= α0 +α1 x t1 +α2x t2 + α3 x t12 +α4x t22 + α5 x t1x t2 + v t(5.10)即用对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行OLS回归。

注意，上式中要保留常数项。

求辅助回归式(5.10)的可决系数R2。

（3）White检验的零假设和备择假设是H0: (5.9)式中的u t不存在异方差，H1: (5.9)式中的u t存在异方差（4）在不存在异方差假设条件下统计量T R 2 ~χ2(5)(5.11)其中T表示样本容量，R2是辅助回归式(5.10)的OLS估计式的可决系数。

自由度5表示辅助回归式(5.10)中解释变量项数（注意，不包括常数项）。

（5）判别规则是若T R 2≤ χ2α (5), 接受H0（u t 具有同方差）若T R 2 > χ2α (5), 拒绝H0（u t 具有异方差）4 自回归条件异方差检验异方差的另一种检验方法称作自回归条件异方差(ARCH) 检验。

这种检验方法不是把原回归模型的随机误差项σt 2看作是x t的函数，而是把σt 2看作随机误差平方项u t-12及其滞后项, u t-22, … 的函数。

ARCH是误差项二阶矩的自回归过程。

恩格尔（Engle 1982）针对ARCH过程提出LM检验法。

辅助回归式定义为= α0 + α1 + … + α n(5.12)LM统计量定义为LM = T R 2 ~χ2(n)其中R 2是辅助回归式（5.12）的可决系数。

在H0：α1= … = αn = 0 成立条件下，LM渐近服从χ2(n) 分布。

其中n表示的滞后项个数。

ARCH检验的最常用形式是一阶自回归模型（n = 1），= α0 + α1在这种情形下，ARCH渐近服从χ2(1)分布。

第六节克服异方差的方法（广义最小二乘法）1 直接用引起异方差的解释变量除回归式对模型y t= β0 + β1 x t1 + β2 x t2 + u t(5.13)假定异方差形式是Var(u t) = (σ x t1)2（因为Var(u t) = E(u t)2，相当于认为|| =σ x t1）。