用简并定态微扰理论求氢原子的二级斯塔克效应.

第五章 微扰理论第一部分：基本概念与基本思想题目1. 定态微扰理论主要研究什么样的物理体系？2. 00//ˆˆˆˆˆ 在微扰理论中，中的和各应满足什么条件？HH H H H =+ 3. 讨论无简并微扰理论的适用条件，说明其表达式的物理意义。

4. 何为吸收和发射? 说明自发发射和受激发射? 为什么量子力学无法解释自发发射?5. 讨论原子中的电子与光的相互作用时,为什么忽略电子和磁场间的相互作用?6. 与定态微扰理论相比,含时微扰理论所要解决的问题有何不同?7. 何为Stark 效应?8. 试述变分法的基本思想及其所解决的问题?9. 中心力场中电子跃迁选择定则是什么?第二部分: 基本技能训练题1. 设氢原子中价电子所受有效作用势为2222020() 014s s s e e a e U r e r r λλπε=--=<≤其中 试用微扰理论求基态能量(准确到一级).2. 00102030000123100()()**()()()()()ˆ, : H , ||||,设在表象中的矩阵表示为其中和试用微扰理论求能量本征方程的本征值准确到二级。

H HE a E b a b E E E E a b E ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦<<<<3. 转动惯量为I 电偶极矩为D 的空间转子处于均匀电场ε中，若电场很小，用微扰法计算转子基态能量的二级修正。

4. 设体系未受微扰时只有二个能级E 10及E 20， 现在受到微扰H /作用,微扰矩阵元为12211122////, ; a,b ,H H a H H b ====都是实数用微扰公式计算能量到二级修正.5. 基态氢原子处于平行电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降,即0t -0 t 0e t 0 ( 0 )τεετ<⎧⎪=⎨⎪≥>⎩当当的参数求经过长时间后氢原子处于2p 态的几率。

6. 粒子处于宽为a 的一维无限深势阱中，若微扰为/a 0x 2()a x a 2b H x b ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩求粒子能量的一级修正。

学号：14081601101毕业论文题目：用简并定态微扰理论求氢原子的二级斯塔克效应作者届别2012学院物理与电子学院专业物理学指导老师职称教授完成时间2012年5月摘要本文主要在氢原子的一级斯塔克效应的基础上计算其二级斯塔克效应，在氢原子的一级斯塔克效应中，当n=2时能级有分裂，简并有消除，但是并没有完全消除，对氢原子进行二次斯塔克效应的研究，发现简并没有消除只是能级发生了移动。

这很好的解释了氢原子的赖曼线系第一条谱线在电场作用下分裂为三条的原因。

关键词：氢原子；简并；斯塔克效应AbstractThis thesis mainly account the second order Stark effect of hydrogen atom based on its first order Stark effect. When n = 2, there is fission in energy level and elimination in degeneracy in the first order Stark effect of hydrogen atom. But the degeneracy does not absolutely disappear. While researching on the second order Stark effect of hydrogen atom, the author of this thesis finds that there is only shift in energy level and no elimination of the degeneracy, which well explains the reason why the first line in the Lai Man line of hydrogen atom is divided into three spectrum lines.Keyword: Hydrogen atom；Degeneracy；Stark effect目录摘要...............................................................................................I I Abstract............................................................................................I II 目录 (IV)第一章绪论 (1)1.1引言 (1)1.2选题的意义 (1)1.3本文主要研究内容 (1)第二章氢原子n=2的一级斯塔克效应的介绍 (2)第三章氢原子n=2的二级斯塔克效应的计算 (4)第四章氢原子n=3的二级斯塔克效应的计算 (7)第五章结果分析 (12)参考文献 (13)致谢 (14)第一章绪论1.1引言对于能量本征值E有多个能量本征函数称为简并，只有一个独立的解称为不简并。

第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。

据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。

∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。

第5章微扰理论5.1复习笔记一、定态微扰理论1．适用范围及使用条件求分立能级及所属波函数的修正。

适用条件是：一方面要求H 可分成两部分，即'0H H H +=，同时0H 的本征值和本征函数已知或较易计算；另一方面又要求0H 把H 的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰'H 比较小，以保证微扰计算收敛较快，即'(0)(0)(0)(0)1,mnn mn mH E E E E <<≠-（1）非简并情况微扰作用下的哈密顿量可表示为：'0H H H +=第n 个能级可近似表示为：∑+-++=mmnnmnn nn EEH H E E)0()0(2''')0(相应的波函数可近似表示为：∑+-+=mm mn mn nn E E H )0()0()0('')0(ψψψ（2）简并情况能级的一级修正由久期方程0det )1('=-v k v E H μμδ即)1(''2'1'2)1('22'21'1'12)1('11=---nkk k k knknE H H H H E H H H H E H给出。

个实根，记为有k k f E )1(k k f E ,,2,1,)1( =αα，分别把每一个根)1(αk E 代入方程∑==-kf v v v k va E H 1)1('0)(μαμδ，即可求得相应的解，记为v a α，于是可得出新的零级波函数∑>>=vkv vkv a φα||。

相应的能量为：)1()0(αk k k E E E +=。

2．氢原子的一级斯塔克效应（1）斯塔克（Stark）效应：原子在外电场作用下所产生的谱线分裂的现象。

（2）用简并情况下的微扰论解释氢原子的斯塔克效应：由于电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，第n 个能级有2n 度简并。

第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。

解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμωμωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x x ααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα2212222p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。

解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr ar a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。

第17讲 第五章 微扰理论§5.2 简并情况下的定态微扰论氢原子的一级斯塔克效应(简并微扰理论的应用举例)。

氢原子第n 个能级n E 的简并度为2n ，当加入外电场后，能级发生分裂现象，这现象称为氢原子的斯塔克(Stark)效应。

一级斯塔克效应即考虑能级一级修正的Stark 效应，这时简并部分被消除。

本节以第二个能级［即第一激发态］为例。

1. 系统特征当n=2时，()02s224s 028e 22e E a -=-= μ，2s 20e μ =a 为第一玻尔轨道半径，简并度为4n 2=。

这时：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∇-=r e 2H ˆ2s 220μ （32-9） θr e εr ε e Hcos ˆ=⋅=' （32-10） （H ˆ'为氢原子中电子e 处于外电场ε中的势能，即 e -q H ˆ⋅=⋅='εε，设匀强外电场ε 的方向沿oz 方向，以r表示电子的位矢量。

取球坐标系，则θεεcos r r =⋅)()02E 对应的4个简并态如下：()()ϕθψφ，00202001Y r R == ()()ϕθψφ，10212102Y r R == ()()ϕθψφ，11212113Y r R == ()()ϕθψφ，11211214Y r R --== （具体形式见课本）2. 微扰矩阵元为了解久期方程，求能量的一级修正，须先求n m H '。

从⎰⎰⎰⎰='='ϕθθθφεφτφφd drd sin r rcos e d H ˆH 2n *mn *m n m ，其中对θ的积分为⎰πθθθφφ0n *m d cos sin ，可看出，除了2112H H '='外，其余矩阵元为零。

例如0cos 41d sin cos H 04322=-=∝'⎰ππθθθθ，=∝'⎰πθθθθ031d cos sin sin H 0sin 31dsin sin 032==⎰ππθθθ等等。