天津市蓟州区马伸桥中学2021-2022学年高三第五次模拟考试数学试卷含解析

天津市蓟县2021届新高考数学模拟试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B ．()3,+∞C．(),3-∞-D ．(),3-∞-【答案】D 【解析】 【分析】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +，3)(0)t t >，将其代入双曲线可解得． 【详解】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +，3)(0)t t >，将其代入双曲线方程得：223(1)()1t a t ++=， 即2113t a -=+，由0t >得3a <-．故选：D ． 【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．2．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π【答案】B由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积. 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，则2222(2)4228R R ==+=，那么248S R ππ==外接球.故选：B 【点睛】本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.3．已知命题p:直线a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；命题q:直线l ⊥平面α，任意直线m ⊂α，则l ⊥m.下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧q B ．p ∨（非q ）C ．（非p ）∧qD ．p ∧（非q ）【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出p 为假命题、q 为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项. 【详解】根据线面平行的判定，我们易得命题:p 若直线//a b ，直线b ⊂平面α，则直线//a 平面α或直线a 在平面α内，命题p 为假命题；根据线面垂直的定义，我们易得命题:q 若直线l ⊥平面α，则若直线l 与平面α内的任意直线都垂直，命题q 为真命题.故:A 命题“p q ∧”为假命题；B 命题“()p q ∨⌝”为假命题；C 命题“()p q ⌝∧”为真命题；D 命题“()p q ∧⌝”为假命题. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题.4．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数 B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-【分析】根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可． 【详解】由(1)(1)f x f x +=-得()f x 关于1x =对称，若关于1x =对称，则函数()f x 在(0,)+∞上不可能是单调的， 故错误的可能是B 或者是D ， 若D 错误，则()f x 在(-∞，0]上是减函数，在()f x 在(0,)+∞上是增函数，则(0)f 为函数的最小值，与C 矛盾，此时C 也错误，不满足条件． 故错误的是B ， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键． 5．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ） A ．20 B ．18C ．16D ．14【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得34a a +即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .由51077,0a a a =⎧⎨+=⎩得11147,960a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩,解得115,2a d =⎧⎨=-⎩.所以341252155(2)20a a a d +=+=⨯+⨯-=.故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A．y =B．y =±C ．52y x =± D ．22y x =±【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【详解】抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2， 又e ＝p ，所以e ca==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b 3=a ，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±3x ． 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．7．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可. 【详解】解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数. 若输出16n = ，则()161mod3≡不符合题意，排除；若输出17n =，则()()172mod3,172mod5≡≡，符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答. 8．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.9．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1 B ．)31±C ．)31±D ．5【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，计算12PF a =，24PF a =，22a PN c=，12abF Nc=，根据勾股定理计算得到答案.【详解】如图所示：切点为M，连接OM，作PN x⊥轴于N，121212QF QF QP PF QF PF a-=+-==，故24PF a=，在1Rt MOF∆中，1sinaMFOc∠=，故1cosbMFOc∠=，故22aPNc=，12abF Nc=，根据勾股定理：242242162a aba cc c⎛⎫=+-⎪⎝⎭，解得31ba=+.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.10．已知偶函数()f x在区间(],0-∞内单调递减，(2log3a f=，sin5b fπ⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则a，b，c满足（）A．a b c<<B．c a b<<C．b c a<<D．c b a<<【答案】D【解析】【分析】首先由函数为偶函数，可得函数()f x在[)0,+∞内单调递增，再由2log3sin5π⎛⎫>-⎪⎝⎭2314⎛⎫> ⎪⎝⎭，即可判定大小【详解】因为偶函数()f x 在(],0-∞减，所以()f x 在[)0,+∞上增，2log31>，1sin ,152π⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23110,42⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴c b a <<.故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.11．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】画出直观图，由球的表面积公式求解即可 【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为2222213346484a S a a a a πππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.12．已知向量(3sin ,2)a x =-r，(1,cos )b x =r，当a b ⊥rr时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1213-B ．1213C ．613-D ．613【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，求出tan x ，22tan cos 22tan 1x x x π⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭，即可求解. 【详解】a b⊥Q r r ，23sin 2cos 0,tan 3a b x x x ⋅=-=∴=r r 222sin cos cos 2sin 22sin cos x x x x x x π⎛⎫∴+=-=- ⎪+⎝⎭22tan 12tan 113x x =-=-+.故选:A. 【点睛】本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市蓟县2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是33y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．33B ．63C ．32D ．233【答案】D 【解析】双曲线的渐近线方程是1y x a=±，所以13a =，即3,1a b == ，2224c a b =+= ，即2c = ，233c e a ==，故选D. 2．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -【答案】D 【解析】 【分析】先将所求问题转化为()11e x k x -<对任意x ∈R恒成立，即1xy e =得图象恒在函数 (1)y k x =-图象的上方，再利用数形结合即可解决.【详解】 由()1f x <得()11e x k x -<，由题意函数1xy e=得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方， 作出函数的图象如图所示过原点作函数1xy e=的切线，设切点为(,)a b ，则1e e aa b a a --==，解得1a =-，所以切故选：D. 【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题. 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．32B ．25C ．26D ．27【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥S ABC -，并且平面SAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，过S 作SD AC ⊥，连接BD ，2,2,2,2AD AC BC SD ====，再求得其它的棱长比较下结论.【详解】 如图所示：由三视图得：该几何体是一个三棱锥S ABC -，且平面SAC ⊥ 平面ABC ，AC BC ⊥， 过S 作SD AC ⊥，连接BD ，则2,2,2,2AD AC BC SD ==== ， 所以=+=2220BD DC BC ，226SB SD BD =+=，2222SA SD AD =+=2225SC SD AC =+=，该几何体中的最长棱长为故选：C 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.4．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A ．35B ．710C ．45D ．910【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为,,,,a b c d e ，其中,,a b c 产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有,,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce ，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为910m P n ==．故选D ． 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.5．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ）A ．1 B ．1- C ．±1D ．1±【答案】C 【解析】 【分析】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，计算可得()()()()()()()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，再结合图像即可求出答案. 【详解】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，则()()221g x x axh x x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()(),g x h x 的大致图像，结合图像，210x -=，得1x =±， 所以1a =±. 故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题. 6．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．正三角形 B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【答案】C 【解析】试题分析：画出截面图形如图显然A 正三角形，B 正方形：D 正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C ． 考点：平面的基本性质及推论． 7．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ） A 2 B ．2C 10D ．10【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的性质计算即可. 【详解】 因为z211i i=+-， 所以(1)(21)z i i =-+，|||1||21|2510z i i =-⋅+==，故选：C 【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.8．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()280y px p =>交于,A B两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S =V V （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。

天津市蓟县2021届新高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．2【答案】A 【解析】 【分析】分别代值计算可得，观察可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，问题得以解决. 【详解】解：∵12a =，111n n a a -=-(2n ≥)， 211122a ∴=-=， 3121a =-=-，41(1)2a =--=，511122a =-=， …，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201836722=⨯+Q ， 2018212a a ∴==， 故选：A. 【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题. 2．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A BA B>，因为0,0A B ππ<<<<，所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B ππ<+<，因此02C <<π，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.3．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．35【答案】A 【解析】 【分析】由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解. 【详解】由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.则恰好第三次就停止摸球的概率为51204p ==. 故选：A.【点睛】本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题. 4．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则A B I 等于（ ）A ．{}012,, B ．{2,1,0,1,2}-- C ．{}2,1,0,1,2,3-- D ．{}12, 【答案】A 【解析】 【分析】进行交集的运算即可． 【详解】{0A =Q ，1，2，3}，{|22}B x x =-剟， {0A B ∴=I ，1，2}．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB的中点到y 轴的距离为（ ） A ．5 B ．3C ．32D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知12||||228AF BF x x +=+++=,继而可求出124x x +=,从而可求出AB 的中点的横坐标,即为中点到y 轴的距离. 【详解】解：由抛物线方程可知，28p =，即4p =，()2,0F ∴.设()()1122,,,A x y B x y 则122,2AF x BF x =+=+，即12||||228AF BF x x +=+++=，所以124x x +=. 所以线段AB 的中点到y 轴的距离为1222x x +=. 故选:D. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A B 、两点横坐标的和. 6．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种 B ．27种C ．37种D ．47种【答案】C 【解析】 【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种, 故选:C 【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.7．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（ ） A ．7 B ．14C ．28D ．84【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，可求解得到114a =，利用求和公式和等差中项的性质，即得解 【详解】56104a a a +=+Q ，111111465a d a d a d ∴+-=-+-解得114a =．121211121()21842a a S a +∴===．故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.8．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )AB．3CD．【答案】B 【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以e ==，选B. 9．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U . 故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．534【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【详解】 如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ， 所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ， 所以四边形1APC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为12B P PC =， 所以112C B PC =， 即1PC PB ==所以115,23AP PC AC ===由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯所以1sin 5APC ∠=所以S 四边形1APQC 1112sin 2AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B 【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.11．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．49【答案】B 【解析】 【分析】根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222C C C C A ，然后计算1A 和1B 分在一组的数目为1122C C ，最后简单计算，可得结果. 【详解】 由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人 ：2233C C将选中2名女生平均分为两组：112122C CA将选中2名男生平均分为两组：112122C CA则选出的4人分成两队混合双打的总数为：221111112223322212133222222218C C C C C C C C C C A A A A == 1A 和1B 分在一组的数目为11224C C =所以所求的概率为42189= 故选：B 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m 组，则要除以mm A ，即!m ，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.12．已知(2sin,cos ),,2cos )2222x x x xa b ωωωω==r r ，函数()f x a b =r r ·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ）A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]4【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出()2sin()16f x x πω=++ ，函数在区间4[0,]3π上恰有3个极值点即为三个最值点，,62x k k Z ππωπ+=+∈解出，,3k x k Z ππωω=+∈，再建立不等式求出k 的范围，进而求得ω的范围. 【详解】解： ()22cos cos 12xf x x x x ωωωω=+=++ 2sin()16x πω=++令,62x k k Z ππωπ+=+∈，解得对称轴,3k x k Z ππωω=+∈，(0)2f =，又函数()f x 在区间4[0,]3π恰有3个极值点，只需 243333πππππωωωω+≤<+ 解得7542ω≤<． 故选：B ． 【点睛】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成()++y A x t ωϕsin ＝或()++y A x t ωϕcos ＝ 的形式; (2)根据自变量的范围确定+x ωϕ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市蓟县康中中学2021届高三5月模拟数学（文）试题第I卷注意事项：1.答第I卷时，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2.每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

答在试卷上无效。

3.本卷共10道小题，每题5分，共50分一、选择题1. 设M、N是两个非空集合，且M={a｜a∈N}，那么M、N 间的关系为（）（Ａ）M=N （Ｂ）M是N的真子集（Ｃ）M是N的子集（Ｄ）M∈N2．复数11)2(2--+=iiz（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3. 双曲线19422-=-yx的核心的坐标是（）（Ａ）( ±5,0) （Ｂ）(±13,0)（Ｃ）( 0,±5) （Ｄ）(0,±13)4.某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品的数量成等比数列，共计3000件，现要用分层抽样的方式从中抽取150件进行质量检测，其中乙、丁两类产品抽取的总数为100件，那么甲类产品共有( )A.100件B.200件C.300件D.400件5. 已知二次函数f(x)的图象是一条开口向下的抛物线，且对任意x∈R,均有f(1-x)=f(1+x) 成立。

以下不等式中正确的选项是（）（Ａ）)23()21(ff>（Ｂ）f(-1)＞f(2)（Ｃ）f(-1)＜f(2) （Ｄ）f(0)＜06.已知直线x+y=a 与圆x2+y2=4交于A 、B 两点，且，其中O 为原点，那么实数a=( )A.2B.-2C.2或-2D.或- 7．已知等差数列{}n a 中，有011011<+a a ，且它们的前n 项和n S 有最大值，那么使得0n S >的n 的最大值为（ ）A ．11B ．19C ． 20D ．218.读下面程序框图，那么循环体执行的次数是____，程序输出结果是____.A.49,2045B.50,2540C.50,2450D.49,24509. 如图，直线a 在α内,b 在β内,α⊥β,α∩β=c,∠1=∠2=60°那么a 、b 所成角θ的余弦值为（ ）（Ａ） 1 （Ｂ）41-（Ｃ） 41 （Ｄ）5210．给出如下三个命题：①若“p 且q ”为假命题，那么p 、q 均为假命题；②命题“假设x ≥2且y ≥3，那么x+y ≥5” 的否命题为“假设x ＜2且y ＜3，那么x+y ＜5”； ③四个实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc ；④在△ABC 中，“︒>45A ”是“22sin >A ”的充分没必要要条件．其中不正确的命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分。

2021年高三第五次高考模拟考试数学理含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．复数满足，则复数在复平面内对应的点在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n，且成等差数列，若＝1，则＝( ).A．－20 B．0 C．7 D．404．已知两个不同的平面和两个不重合的直线，有下列四个命题：①若∥，，则；②若则∥；③若∥，，则；④若∥则∥．其中正确命题的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．35．已知，在的展开式中，项的系数为（）A．45 B．72 C．60 D．1206．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A． B． C． D．7．如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A． B． C． D．8．设，，，则（）A． B． C． D．9．过平面区域202020x yyx y-+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为( )A. B. C. D.10.设三次函数的导函数,且,则函数的零点个数为（）第7题图A ．0B ．1C ．2D ．311．已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为（ ）A.3B.4C.5 D ．12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=0)10(log 01)2sin()(x a a x x x x f a ，，且，，π的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．在直角三角形中，，，，若，则 ．14．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数在处取得最值的概率是 .15．若，则___________．16．设等差数列满足,,的前项和的最大值为,则=__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）在中，内角对边分别为，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的值.18.（本小题满分12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，侧面是正方形，，是棱的延长线上一点，经过点、、的平面交棱于点，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．19．（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20,25)、第2组[25,30)、第3组[30,35)、第4组[35,40)、第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；(3)在(2)的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知圆的公共点的轨)40()4(1)1(:22222221<<-=+-=++r r y x F r y x F ）：（与圆迹为曲线,且曲线与轴的正半轴相交于点．若曲线上相异两点、满足直线,的斜率之积为．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）证明直线恒过定点，并求定点的坐标；（Ⅲ）求的面积的最大值．21．（本小题满分12分）设函数．（Ⅰ）若函数在定义域上为增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数，使得成立，求实数的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和圆O分别交于点D和E.（1）求证：；（2）求AD·AE的值．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数．（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值．24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知且，若恒成立，（1）求的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.天水一中xx高考全仿真考试试题数学（理科）参考答案一、选择题：【答案】DAADB DBDCD AA二、填空题（每小题5分）：13．14． 15． 16．三、解答题17．（12分）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）试题解析：（Ⅰ）因为，由正弦定理得：，因为，所以6分（Ⅱ）因为，由正弦定理知①由余弦定理得②由①②得 12分18．（12分）【答案】（1）证明见解析；（2）.试题解析：（1）设四棱柱的棱长为∵，∽，∴ 1分由，，得， 2分∵，∴， 3分是直四棱柱，，又，∴，∵，∴平面 4分∵平面，∴平面平面 5分（2）（方法一）过作于，于，连接 6分由平面平面，平面平面，平面 7分∴，又，，∴平面，，是二面角的平面角 9分在中，，，，，在中，，，，（、 a CH CG GH 263922=-=，1313cos ==∠CG GH CGH 12分（方法二）以为原点，、所在直线为轴、轴，平行于的直线为轴建立空间直角坐标系 6分，则，， 7分设平面的一个法向量为，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅==⋅023 023 1ar ap EC n aq EA n 9分，即，不妨取 10分，由（1）知， ，平面的一个法向量为)0 , 23, 21(1a a BD n == 二面角的平面角的余弦值 12分19（12分）．【答案】(1) 人、人、人；(2)；(3)分布列见解析，.试题解析：(1)由题意可知，第组的人数为，第组的人数为，第组的人数为，第、、组共有名志愿者.所以利用分层抽样在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽取的人数为：第组：；第组：；第组：.所以第、、组分别抽取人、人、人. 4分(2)从名志愿者中抽取名共有种可能，第组至少有一位志愿者被抽中有种可能，所以第组至少有一位志愿者被抽中的概率为. 7分(3)的可能取值为，，，，，所以的分布列为：的期望为：()29920123 1.522222222ξE =⨯+⨯+⨯+⨯=. 12分20．（12分）【答案】（1），（2），（3）试题解析：（Ⅰ）设⊙，⊙的公共点为,, 因此曲线是长轴长焦距的椭圆，且，所以曲线的方程为； 4分，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 的方程为，故，且，因此21212121334MB y y y k x x x ---=⋅=-=，与已知不符，因此直线AB 的斜率存在，设直线，代入椭圆E 的方程得：…．①因为直线AB 与曲线E 有公共点A，B ，所以方程①有两个非零不等实根，所以，，故或，结合知，即直线AB 恒过定点． 8分（Ⅲ）由且得：或，又612+，当且仅当，即时，面积最大，最大值为12分21．（12分）【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）[2,1](,2)(,1]e e ---∞-=-∞-【解析】函数的定义域为． ． 1分（Ⅰ）∵在其定义域内为增函数，即在上恒成立， 2分∴恒成立，故有． 3分∵（当且仅当时取等号）．故的取值范围为． 4分（Ⅱ）由使得成立，可知时，． 6分，所以当时，，在上单调递增，0)3(4843222=-+++m kmx x k ）（所以在上的最小值为． 8分由（Ⅰ）知，且，22()4114m m ∆=--⨯⨯=-，当时，，故恒成立，在上单调递增，故在上的最大值为． 10分即，．又，所以．②当时，，的两根为，．此时，，故在上单调递增，由①知，，又，故综上所述，的取值范围为[2,1](,2)(,1]e e ---∞-=-∞-． 12分22．（本小题满分10分）【答案】（1）见解析；（2）90.试题解析：（1）∵PA 为圆O 的切线，∴∠PAB ＝∠ACP ，又∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△PCA ，∴ 5分（2）∵PA 为圆O 的切线，PBC 是过点O 的割线，∴PA 2＝PB ·PC ，又PA ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20， BC ＝15，由（1）知，＝，∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225， ∴AC ＝6，AB ＝3连接CE ，则∠ABC ＝∠E ，又∠CAE ＝∠EAB ，∴△ACE ∽△ADB ， ∴所以AD ·AE ＝AB ·AC ＝3×6＝90 10分23．（本小题满分10分）【答案】（1）；（2）或；试题解析：（1）由得，于是有，化简可得5分 （2）将代入圆的方程得4)sin ()1cos 22=+-ααt t （， 化简得. 设、两点对应的参数分别为、,则, ()1412cos 4422122121=+=-+=-=∴αt t t t t t AB ,,,或. 10分24．（本小题满分10分）【答案】（1）3；（2）或.试题解析：（1），，（当且仅当，即时取等号）又∵恒成立，∴.故的最小值为 3.5分（2）使恒成立，须且只须.∴或或∴或. 10分22222()(11)()a b a b ++≥+。

天津市蓟县2021届新高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln1xf x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.2．已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC V 的面积为（ ） A 253B ．153C ．154D 353【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，根据余弦定理可求出5AB =，进而可得ABC V 的面积.【详解】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠ 则2227323cos120AB AB =+-⨯⨯⨯o ，得5AB =，113153sin 605322ABC S AB AC =⋅⋅=⨯⨯⨯=o V . 故选：B.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.3．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l 的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得,a b 的方程组，求得,a b 的值，即可得到答案. 【详解】由题意，直线l 的斜率为06133PF k k +===+， 可得直线l 的方程为3y x =-，把直线l 的方程代入双曲线22221x y a b-=，可得2222222()690b a x a x a a b -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212226a x x a b+=-， 由AB 的中点为()3,6P --，可得22266a a b=--，解答222b a =， 又由2229a b c +==，即2229a a +=，解得a b ==所以双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B．4C．2log D．2【答案】A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.5．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ） A 3B ．23C 3D ．23【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，设球0得半径为R ，AB=x, AC=y,由球0的表面积为20π，可得R 2=5，再求出三角形A BC 外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy 的最大值，代入棱锥体积公式得答案.设球O 的半径为R ，AB x =，AC y =， 由2420R ππ=，得25R =． 如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ， 可得112OG AD ==，则212AG R =-=． 在ABC ∆中，由正弦定理可得：24sin120BCAG ==︒，即23BC =由余弦定理可得，222221122()32BC x y xy x y xy xy ==+-⨯-=++…， 4xy ∴…．则三棱锥A BCD -的体积的最大值为11234sin120232⨯⨯⨯︒⨯=故选：B ． 【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题． 6．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),0πD ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的变换规律可得到()y g x =解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.解：()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到1sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()1sin +236g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象 ()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，403g π⎛⎫=⎪⎝⎭故选：D 【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.7．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫⎪⎝⎭， 答案选A 【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 8．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈,则2248zz a bi a b i +=+++=+,可得2248a ab b ⎧⎪++=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则2248z z a bi a b i +=+++=+,2248a ab b ⎧⎪++=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限. 故选:B 【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.9．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，112A P PB =u u u r u u u r，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=uu r uuu r（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质，可知TP PB ⊥；结合112A P PB =u u u r u u u r即可证明11PTA BPB ∆≅∆，进而求得1TA .由线段关系及平面向量数量积定义即可求得1TP B B ⋅uu r uuu r .【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==， 点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则TP PB ⊥，112A P PB =u u u r u u u r则11PTA BPB ∠=∠，所以11PTA BPB ∆≅∆， 则1TA PB ==，所以11cos TP B B TP B B PTA ⋅=⋅⋅∠uu r uuu r uu r uuu r22⎛⎫=⨯=- ⎝， 故选：D. 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题. 10．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）A ．3n C B ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论． 【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==L ． 故选：B ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式． 11．将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ）A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π【答案】B 【解析】 【分析】根据条件先求出()g x 的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可. 【详解】将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，设22x πθ=+， 则当0x a <≤时，022x a <≤，22222x a πππ<+≤+，即222a ππθ<≤+， 要使()g x 在区间[]0,a 上单调递减， 则22a ππ+≤得22a π≤，得4a π≤，即实数a 的最大值为4π， 故选：B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.12．已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅u u u r u u u r的取值范围为（ ）A ．9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]4,13C ．[]4,12D ．7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】首先将ME MF ⋅u u u r u u u r转化为21MT -u u u r ，只需求出MT 的取值范围即可，而MT 表示可行域内的点与圆心(1,1)T -距离，数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为(1,1)T -，则()()ME MF MT TE MT TF ⋅=+⋅+=u u u r u u u u r u u u r u u r u u u r u u u r22()()MT TE MT TE MT TE +⋅-=-u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r 21MT =-u u u r ,过T 作直线10x y -+=的垂线，垂足为B ，显然MB MT MA ≤≤，又易得(2,1)A -， 所以22[1(2)](11)13MA =--+--=223221(1)TB ==+-， 故ME MF ⋅u u u r u u u r 271[,12]2MT =-∈u u u r .故选：D. 【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022届天津高考数学冲刺模拟测试卷（05）第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．1．设复数()2z a i a R =+∈的共轭复数为z ，且2z z +=，则复数2z ai-在复平面内对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】根据已知条件求出a =1，再根据复数的运算法则求解复数2z ai-，即可得到其在复平面内的点所在象限.【详解】221z z a a +==⇒=，)212225i ziai i ++==--， 所以对应点位于第一象限. 故选：A 【点睛】此题考查复数的概念和基本运算以及几何意义，关键在于根据复数的运算法则准确求解. 2．设集合{}1,0,1A =-，{}1,2,3B =-，{}11C x R x =∈-≤<，则()A B C =（ ）A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-【答案】B 【分析】计算出集合A B ，再利用交集的定义可求得集合()A B C .【详解】集合{}1,0,1A =-，{}1,2,3B =-，{}1,0,1,2,3A B ∴=-,{}11C x R x =∈-≤<，(){}1,0A B C ∴=-.故选：B. 【点睛】本题考查交集与并集的运算，考查计算能力，属于基础题. 3．对于非零向量a 、b ，“2a b =”是“a ，b 共线”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】利用向量共线定理以及充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】由2a b =，则a 、b 共线同向，充分性满足； 非零向量a 、b ，当a ，b 共线时，则b aλ=()λ∈R ，必要性不满足；故“2a b =”是“a ，b 共线”的充分不必要条件. 故选：B 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义、向量共线定理，理解充分条件、必要条件的定义是解题的关键，属于基础题.4．方程2log 2x x +=的解所在的区间为（ ） A ．(0.5,1) B ．(1,1.5)C ．(1.5,2)D ．(2,2.5)【答案】B 【分析】令2()log 2f x x x =+-，由函数单调递增及(1)0,(1.5)0f f <>即可得解. 【详解】令2()log 2f x x x =+-，易知此函数为增函数， 由(1)01210,f =+-=-<2222313(1.5)log 1.5 1.52log log log 0222f =+-=-=->. 所以2()log 2f x x x =+-在(1,1.5)上有唯一零点，即方程2log 2x x +=的解所在的区间为(1,1.5). 故选B. 【点睛】本题主要考查了函数的零点和方程根的转化，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题. 5．已知函数()sin y x ωϕ=+的两条相邻的对称轴的间距为2π，现将()sin y x ωϕ=+的图象向左平移8π个单位后得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．34π B ．4π C ．0 D ．4π-【答案】B 【分析】求出函数()sin y x ωϕ=+的最小正周期，可求出ω的值，然后求出变换后所得函数的解析式，根据函数的奇偶性可得出关于ϕ的等式，由此可得出结果. 【详解】由于函数()sin y x ωϕ=+的两条相邻的对称轴的间距为2π，该函数的最小正周期为π， 22πωπ∴==，则()sin 2y x ϕ=+，将函数()sin 2y x ϕ=+的图象向左平移8π个单位后，得到函数()sin 2sin 284f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于函数()y f x =为偶函数，则()42k k Z ππϕπ+=+∈，可得()4k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，4πϕ=.故选：B. 【点睛】本题考查利用图象变换求函数解析式，同时也考查了利用函数的奇偶性求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 2.5S =(单位:升)，则输入的k 值为，A ．4.5B ．6C ．7.5D ．10【答案】D 【解析】分析：模拟程序运行，依次写出每次循环得到的,n s 的值，当4n =时，不满足条件4n <，推出循环，输出s 的值为4k，即可求解. 详解：模拟程序的运行，可得1,n S k ==，满足条件4n <，执行循环体，2,22k k n S k ==-=； 满足条件4n <，执行循环体，23,233k k k n S ==-=； 满足条件4n <，执行循环体，34,344k k k n S ==-=；此时，不满足条件4n <，推出循环，输出s 的值为4k ， 根据题意可得2.54k=，解得10k =，故选D. 点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．7．若ln 2a =，125b -=，01sin 4c xdx π=⎰，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】B 【分析】先求得c ， 再根据c 的值，利用指数与根式的关系和对数函数单调性转化b ，a ，再比较大小. 【详解】 因为()()001111sin cos |cos cos 04442c xdx x πππ==-=--=⎰，121552b -==<， 121ln 2ln 2a e =>=，所以a c b >>. 故选：B 【点睛】本题主要考查实数比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.8．设双曲线()222210x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是（ ）A ．3B C 3D ．【答案】A 【分析】先由题意，得到四边形ABCD 为矩形，设点00(,)A x y 位于第一象限，得到004ABCD S x y =矩形；根据双曲线的渐近线方程与圆的方程联立，求出22010e x =，再由四边形面积，得到20x =，进而可求出离心率. 【详解】根据双曲线与圆的对称性可得，四边形ABCD 为矩形；不放设点00(,)A x y 位于第一象限， 则0000224ABCD S x y x y =⨯=矩形；因为双曲线()222210x y a b a b-=>>的渐近线方程为：b y x a =±，由00220010b y x a x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得2220010b x x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2220210a b x a +=，所以2222010c e a x ==， 又20004412ABCD b S x y x a===矩形，所以203a x b===因此22010e x ==，整理得：4291001000e e -+=，解得：2109e =或210e =，所以e =或e =0a b >>，所以双曲线的离心率e ===e = 故选：A. 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.9．已知函数()212,{632,x x af x x x x a+>=++≤，函数()()g x f x ax =-，恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是（ ） A．1,36⎛- ⎝ B ．13,62⎛⎫⎪⎝⎭C．(,3-∞-D．()3-+∞【答案】A函数()g x 有3个零点，等价于函数()f x 与y ax = 有3个不同的交点，如图，y ax = 与126y x =+ 有一个交点，需16a >，若与抛物线有2个交点，需计算相切的时候的斜率，132x x ax ++= ，()2380a ∆=--=，解得：3a =-或3a =+（舍），所以136a <<-，故选A.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．在522x⎫⎪⎭-的展开式中，5x 项的系数为________（用数字作答）．【答案】80- 【分析】根据二项展开式的通项公式，写出通项，即可根据题意求解. 【详解】因为522x⎫⎪⎭-的展开式的通项为()()5521555222r r rr rrrT C C xx -+-==--，令5552r -=，则3r =， 所以5x 项的系数为()335280C -=-.故答案为：80-.本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.11．已知圆心为C 的圆经过点A （﹣1，﹣1）和B （﹣2，2），且圆心C 在直线l ：x ﹣y ﹣1＝0上，则圆心为C 的圆的标准方程是_____． 【答案】（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25 【分析】由已知求出AB 的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆的方程可求． 【详解】由A （﹣1，﹣1），B （﹣2，2），得AB 的中点为（32-，12）， 又12312AB k --==--+，∴AB 的垂直平分线方程为113232y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即x ﹣3y +3＝0．联立33010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩．∴圆心坐标为C （3，2），半径为|CA |＝5．∴圆心为C 的圆的标准方程是（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25． 故答案为：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝25． 【点睛】本题圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．12．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”； 丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”． 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______. 【答案】B 【分析】首先根据“学校艺术节对A B C D 、、、四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设A B C D 、、、分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果． 【详解】若A 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 综上所述，故B 获得一等奖． 【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设A B C D 、、、为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．13．已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，则AB =________【解析】分析：该题属于直线被圆截得的弦长问题，先将极坐标方程化为直角坐标方程，将参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，之后应用圆中的特殊三角形勾股定理求得结果.详解：由题意可知曲线C 的直角坐标方程是2240x y x +-=，曲线是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，直线l 的普通方程是10x y --=，所以圆心到直线的距离2d ==，所以AB ==点睛：该题也可以将直线的参数方程代入曲线方程中，整理，求得两根，利用直线参数方程中参数的几何意义，求得两根差的绝对值，即为结果.14．长方体1111ABCD A BC D -的8个顶点在同一个球面上，且2AB =，AD =，11AA =，则球的表面积为______． 【答案】8π 【分析】根据球的直径等于长方体的对角线长，可求得球的半径，再利用球的表面积公式可得结果.【详解】因为长方体1111ABCD A BC D -的8个顶点在同一个球面上， 所以球的直径等于长方体的对角线长，设球的半径为R ，因为2AB =，AD =，11AA =，所以2224218R =++=，球的表面积为248R ππ=，故答案8π. 【点睛】本题主要考查长方体的性质以及球的几何性质，考查了球的表面积公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题.15．已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是_____；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E （ξ）为_____． 【答案】95035【分析】基本事件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m ＝103﹣（23+33+53222222333283755C C C +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯）＝180，由此能求出3个小颜色互不相同的概率；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，210），由此能求出ξ的数学期望E （ξ）． 【详解】箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球， 现从该箱中有放回地依次取出3个小球， 基本事件总数n ＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数：m ＝103﹣（23+33+53222222333283755C C C +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯）＝180，则3个小球颜色互不相同的概率是P 1809100050m n ===； 若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n ，210），∴ξ的数学期望E （ξ）＝323105⨯=． 故答案为：950，35．【点睛】本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC 中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边，若3,4,2b c C B ===，且a b .（1）求cos B 及a 的值； （2）求cos 23B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）2cos 3B =，73a =;（2）118+-. 【分析】（1）由正弦定理可得34sin sin 2B B=，再利用二倍角的正弦公式可得2cos 3B =，从而根据余弦定理可得73a =； （2）利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式求得sin 2,cos 2B B 的值，再由两角和的余弦公式可得结果. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin sin b a cB A C==， 得34sin sin B C =， 2C B =，34sin sin 2B B ∴=，即34sin 2sin cos B B B=，解得2cos 3B =，在ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得216703a a -+=，解得3a =或73a =．ab ，73a ∴=．（2）2cos ,sin 3B B ==，41cos 22199B ∴=⨯-=-，2sin 223B =⨯=11cos 2329B π⎛⎫⎛⎫+=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.17．（本小题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，AC BC =，124AB A A ==.以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接1A D 和1DC .（1）求证：1//A D 平面11BCC B ； （2）若二面角1A DC A --为45°， ∴证明：平面11AC D ⊥平面1A AD ； ∴求直线1A A 与平面11AC D 所成角的正切值.【答案】（1）详见解析；（2）∴详见解析； 【分析】（1）连接1BC ，证明11//A D B C ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）∴取CD 的中点O ，连接1,AO AO ，易证1AOA ∠为二面角1A DC A --的平面角，得到AC CD ⊥，结合1A A ⊥平面ABC ，得到1A A CD ⊥，从而得到AC ⊥平面1A AD ，再利用11//AC AC ，由面面垂直的判定定理证明，∴过A 作1AM A D ⊥，根据平面11AC D ⊥平面1A AD ，得到AM ⊥平面11AC D ，可知1AA M ∠是直线1A A 与平面11AC D 所成角，然后在1Rt AA M 中求解. 【详解】 （1）如图所示连接1BC ，在平行四边形ABCD 中，//,AB CD AB CD =， 在三棱柱111ABC A B C -中，又1111//,=A B AB A B AB ，所以1111//,A B CD A B CD =，所以四边形11A B CD 是平行四边形， 所以11//A D B C ，又1A D ⊄平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ， 所以1//A D 平面11BCC B ；（2）∴取CD 的中点O ，连接1,AO AO ，因为AC BC =， 所以AO CD ⊥，又因为1A A ⊥平面ABC ，所以1A A CD ⊥，1A A AO A ⋂=，所以CD ⊥平面1A AO ，所以1AOCD ⊥， 所以1AOA ∠为二面角1A DC A --的平面角， 在1Rt AOA △中，12OA A A ==，12AO CD =， 所以AC CD ⊥，又因为11,AC A A A A DA A ⊥⋂=，所以AC ⊥平面1A AD ，又因为111//,AC AC AC ⊂平面11AC D ，所以平面11AC D ⊥平面1A AD ；∴过A 作1AM A D ⊥，因为平面11AC D ⊥平面1A AD ，所以AM ⊥平面11AC D ， 所以1A M 是1A A 在平面11AC D 上的射影，所以1AA M ∠是直线1A A 与平面11AC D 所成角，在1Rt AA M 中，12,A A AD ==11tan ADAA M AA ∠== 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理以及线面角二面角的求法，还考查了转化化归的思想和空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈.（∴）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （∴）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑． 【答案】（∴）n a n =；12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（∴）()12122n n n n ++-⋅+．【分析】（∴）直接根据前n 项和与通项的关系求出数列{}n a 的通项公式，再根据递推关系式求出数列{}n b 的通项公式；（∴）先根据212122i i i iii a b i b -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，然后利用错位相减求和，整理即可求得出结果． 【详解】解：（∴）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =时，111a S ==，适合上式，所以：n a n =；∴122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈，∴()122n n n b b n -=≥， ∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，∴12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（∴）由（∴）可得，i a i =，且21122122i ii b-+-==，22222ii i b ==，212122ii i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭，设()()2311231,0,1n n M x x x n x n x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠，∴ ∴()23411231n n xM x x x n x n x +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，∴∴﹣∴得()()2311111n n n n x x x M x x x x n x n x x++--=++++-⋅=-⋅-，∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-，∴()()112122122122(12)n nin i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n ni ni n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122n n i i ni i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑． 【点睛】本题考查由n a 和n S 的关系求数列通项公式，由数列递推公式证明等比数列，以及错位相减求和的应用，计算量较大．19．（本小题满分15分）已知椭圆()22221>>0x y a b a b+=的左顶点为A ，右焦点为(),0F c ，直线2:a l x c =与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点. （∴）求椭圆的离心率；（∴）过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且N 到直线l 的距离是M 到直线l 距离的2倍. ∴记,NFM NFA △△的面积分别为12,S S ，求12S S ；∴若原点O 到直线TN. 【答案】（1）12；（2）∴12；∴2212015x y +=．【详解】（1）因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==； （2）∴解法一：过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，依题意，11NF MFe NN MM ==， 又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=， 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； 解法二：∴2a c =，∴b =，椭圆方程为2222143x y c c+=，(c,0)F ，(4,0)T c ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，点M 在椭圆2222143x y c c+=上，即有22211334y c x =-，MF ==11112222x c c x ==-=- 同理2122NF c x =-， 又2NF MF =，故1224x x c -=得M 是,N T 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=， 又F 是AT 中点，∴ANFTNF S S ∆∆=，∴1212S S =；∴解法一：设(c,0)F ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由∴知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有{220022220022143(24)4143x y c c x c y c c +=-+=即{220022220022143(2)1434x y c cx c y c c +=-+=两式相减得：220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =，可得0y =，故直线MN的斜率为8744ck c c ==-， 直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c =2212015x y +=．解法二：设(c,0)F ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由∴知M 是,N T 的中点，故1224x x c -=，直线MN 的斜率显然存在，不妨设为k ，故其方程为(4)y k x c =-，与椭圆联立，并消去y 得：22222(4)143x k x c c c-+=，整理得：222222(43)3264120k x ck x k c c +-+-=，（*） 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，依题意：{21222221223243641243ck x x k k c c x x k +=+-=+] 由{212212324324ckx x k x x c +=+-=解得：{2122221644316443ck c x k ck cx k +=+-=+ 所以222222221641646412434343ck c ck c k c c k k k +--⨯=+++，解之得：2536k =，即k =．直线MN 的方程为4)y x c =-60y +-=原点O 到直线TMN 的距离为d ===c =2212015x y +=．20．（本小题满分15分）已知函数()324x a x f x x =-++．（∴）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（∴）若对任意的()0,x ∈+∞，()()4ln 8f x f x x +-≥+恒成立，求a 的取值范围；（∴）当3a =时，设函数()()g x f x kx =-．证明：对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点． 【答案】（∴）40x y -+=；（∴）1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦；（∴）证明见解析.【分析】 （∴）求()'fx ，求切线的斜率()'0f ，求()0f ，点斜式写出切线的方程；（∴）不等式()()4ln 8f x f x x +-≥+可化为22ln 0ax x +≤，参变量分离得22ln xa x -≤.令()22ln ,0x h x x x-=>，求导数()'h x ，判断()h x 的单调性，只需()min a h x ≤； （∴）当3a =时，()()32314x x x g x k =-+-+.分0x ≤和0x >讨论函数()g x 的零点的个数.当0x ≤时，求()'g x ，判断()g x 的单调性，结合零点存在定理可得()g x 在(],0-∞上有且只有一个零点；当0x >时，令()3234m x x x =-+，则()()()()1g x m x k x m x =+->，求()m x 的最小值，证明()0g x >恒成立，故()g x 在()0,∞+上没有零点.即证对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点． 【详解】 （∴）()()32'24,321f x x ax x f x x ax =-++∴=-+，∴切线的斜率()()'1,004f f ==，∴切线的方程为40y x -=-，即40x y -+=.（∴）对任意的()0,x ∈+∞，()()4ln 8f x f x x +-≥+恒成立， 即对任意的()0,x ∈+∞，22ln 0ax x +≤恒成立， 即对任意的()0,x ∈+∞，22ln xa x-≤恒成立. 令()22ln ,0x h x x x -=>，则()()'322ln 1x h x x-=.由()'0h x >得x >()'0h x <得0x <<()h x ∴在(上单调递减，在)+∞上单调递增，()min 1h x he∴===-，1a e ∴≤-. 故a 的取值范围为1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.（∴）证明：当3a =时，()()32314x x x g x k =-+-+.1,10k k <∴->.当0x ≤时，()()'23610,g x x x k g x =-+->∴在(],0-∞上单调递增.又()()()()04,110,100g g k g g =-=-<∴-<，由零点存在定理可得函数()g x 在()1,0-上至少有一个零点，又()g x 在(],0-∞上单调递增，()g x ∴在(],0-∞上有且只有一个零点. 当0x >时，令()3234m x x x =-+，则()()()()1g x m x k x m x =+->.()()'23632m x x x x x ∴=-=-,令()'0m x >，得2x >；令()'0m x <，得02x <<.()m x ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ()()()min 20,0m x m m x ∴==∴≥在()0,∞+上恒成立， ()0g x ∴>恒成立，即()g x 在()0,∞+上没有零点.综上，对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点． 【点睛】本题考查利用导数求曲线在某点处的切线的方程，考查利用导数研究不等式恒成立和函数的零点的问题，属于较难的题目.。

2021-2022学年天津蓟县邦均中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一几何体的三视图如图，其中侧（左）视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正（主）视图为直角梯形，则此几何体体积的大小为（）A．12 B．16C．48D．64参考答案：B2. 已知函数在区间(－∞,0)内单调递增，且，若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C. D．参考答案：B，且，.又在区间内单调递增，且为偶函数，在区间内单调递减，，.故选B.3. 已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数，且y=f(x+8)函数为偶函数，则（）A．f(6)>f(7) B．f(6)>f(9) C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10)参考答案：答案：D4. 已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：①；②；③．其中，具有性质的函数的序号是（）（A）①（B）③（C）①②（D）②③参考答案：B由题意可知当时，恒成立，若对，有。

①若，则由得，平方得，所以不存在常数，使横成立。

所以①不具有性质P. ②若，由得，整理，所以不存在常数，对，有成立，所以②不具有性质P。

③若，则由得由，整理得，所以当只要，则成立，所以③具有性质P，所以具有性质的函数的序号是③。

选B5. 一个几何体的三视图如图所示．已知这个几何体的体积为8，则h=（）A．1 B．2 C．3 D．6参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可构造关于h的方程，解得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面是一个长，宽分别为3，4的矩形，故底面面积S=3×4=12，高为h，故这个几何体的体积为V=×12×h=8，解得：h=2，故选：B．6. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．7. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. B. C. D.参考答案：A略8. 函数的图象大致是参考答案：A9. 若的二次方程的一个根大于零，另一个根小于零，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略10. 已知O为正△ABC内的一点，且满足，若△OAB的面积与△OBC的面积的比值为3，则λ的值为（）A．B．C．2 D．3参考答案：C【考点】向量在几何中的应用．【分析】如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到=﹣λ，由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到S△COB=S△ABC，S△COA=S△ABC，由面积之比，O分DE所成的比，从而得出λ的值．【解答】解：由于，变为++λ（+）=0．如图，D，E分别是对应边的中点，由平行四边形法则知+=2，λ（+）=2λ，故=﹣λ，在正三角形ABC中，∵S△COB=S△AOB=×S△ABC=S△ABC，S△COA=S△ACB﹣S△ABC﹣S△ABC=S△ABC，且三角形AOC与三角形COB的底边相等，面积之比为2得λ=2．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. “横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数在[3,4]至少有一个零点，则的最小值为______.参考答案：【分析】把等式看成关于a，b的直线方程：（x2﹣1）a+2xb+x﹣2＝0，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，从而可得，从而可得a2+b2；从而解得．【详解】把等式看成关于a，b的直线方程：（x2﹣1）a+2xb+x﹣2＝0，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，即，所以a2+b2，∵x﹣2在[3，4]是减函数，∴2x﹣21+5；即x﹣26；故；当x＝3，a，b时取等号，故a2+b2的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了函数的零点的应用，把等式看成关于a，b的直线方程（x2﹣1）a+2xb+x﹣2＝0是难点，属于较难题．12. 已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是．参考答案：3013. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．参考答案：24【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=193，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=193m++97m+=290m+×12.5≥2×3000，化为5m2+227m﹣1200≥0，解得m≥，取m=24．故答案为：24．14. 若函数f(x)=(2x2-a2x-a)lg x的值域为,则a=_________参考答案：略15. 若直线是曲线的切线，则的值为 .参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.网版权所有B12【答案解析】或解析：由y=x3﹣3x2+ax﹣1，得：y′=3x2﹣6x+a．设直线y=x与曲线y=x3﹣3x2+ax﹣1切于（），又=，所以，①由（）在直线y=x上，∴②由①得，③把③代入②得：整理得：，即，所以，x0=1或．当x0=1时，a=1+6×1﹣3×12=4．当时，a==．所以a的值为4或．故答案为4或．【思路点拨】设出直线y=x与曲线y=x3﹣3x2+ax﹣1的切点，求出曲线在切点处的导数值，由导数值等于1列一个关于切点横坐标和a的方程，再由切点在直线y=x上得另一方程，两个方程联立可求a 的值．16. 已知，.若或，则的取值范围是. 参考答案：首先看没有参数，从入手，显然时，，时，，而对或成立即可，故只要时，（*）恒成立即可。

天津市蓟县康中中学2021届高三5月模拟数学（理）试题参考公式：若是事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 若是事件A B ，彼此独立，那么其中R 表示球P(AB)=P(A)P(B)球的体积公式若是事件A 在一次实验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径第一部份 选择题（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一、设复数知足关系式+││=2+i ,那么等于( ) (A) -43+i ；(B) 43-i ；(C) -43-i ； (D) 43+i . 2 设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为 （ ）A ．周期函数，最小正周期为3πB ．周期函数，最小正周期为32π C ．周期函数，数小正周期为π2 D ．非周期函数 3、设,0,0>>b a 那么以下不等式中不恒成立．．．．的是 （ ）A ．4)11)((≥++ba b a ； B ．2332ab b a ≥+； C ．b a b a 22222+≥++； D ．b a b a -≥-||4、若是nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3213的展开式中各项系数之和为128，那么展开式中1x 3 的系数是（ ） （A ）7 （B ）－7 （C ）21 （D ）－21五、假设直线3:-=kx y l 与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，那么直线l 的倾斜角的取值范围是 （ ）(A))3,6[ππ, (B))2,6(ππ,(C))2,3(ππ, (D)]2,6[ππ6、 若是1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，那么（A ）1a 8a 45a a ；（B ）1a 8a 45a a ；（C ）1a +8a 4a +5a ；（D ）1a 8a =45a a . 图，其中判定框内填7、如下图给出的是计算111124620++++的值的一个程序框入的条件是A. 10i >B. 10i <C. 20i >D. 20i < 如图，那么（ ）八、函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部份图象A ．4,2πϕπω==； B ．6,3πϕπω==；C ．4,4πϕπω==； D ．45,4πϕπω==9、假设椭圆通过原点，且核心F 1（1，0），F 2（3，0），那么其离心率为 （ ）A 、43B 、32 C 、21 D 、41 10、概念函数D x x f y ∈=),(，假设存在常数C ，对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =+2)()(21，那么称函数)(x f 在D 上的均值为C 。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1+2ii(i 是虚数单位)的实部是（ ） A ．25- B ．25C ．15-D ．152.已知x R ∈，则“230x x -≤”是“()()120x x --≤成立”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件3.a b 、是两个非零向量，且a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为（ ） A ．30B ．450C ．600D ．904.若把函数3cos sin y x x =-的图象向右平移m 个单位（m ＞0）后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6π B ．3π C ．32πD ．65π5．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2976．直线20ax y a -+=与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定7．若不等式组22x yx yyx y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域是一个三角形区域，则a的取值范围是（）A.43a≥ B.01a<≤ C.413a≤≤ D.01a<≤或43a≥8．已知m ，n 为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，βα⊥⊥n m ,，则下列命题中的假命题是（ ） A ．若m//n ，则βα// B ．若βα⊥，则n m ⊥ C ．若βα,相交，则n m ,相交 D ．若n m ,相交，则βα,相交 【答案】C【解析】因为βα⊥⊥n m ,，m//n ，所以，m β⊥，垂直于同一直线的两个平面平行，即A 是真命题；9．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆孤，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（ ）A ．1-4π B ．4π C ．1-8πD ．与a 的取值有关10. 对任意实数,a b ，记{}()max ,()a ab a b b a b ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，若{}()max (),()()F x f x g x x R =∈，其中奇函数()y f x =在1x =时有极小值2-，()y g x =是正比例函数，()(0)f x x ≥与()g x 图象如图，则下列关于()y F x =的说法中正确的是（ ）A ．()y F x =是奇函数B ．()y F x =有极大值(1)F -和极小值(0)FC ．()y F x =的最小值为2-，最大值为2D ．()y F x =在(3,0)-上是增函数第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.）11．某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有教师中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n 的值为 ．12．如果命题“关于x 的不等式210x ax -+<的解集是空集”是假命题，则实数a 的取值范围是_______.13.当x ＞1时，不等式x+11-x ≥a 恒成立，则实数a 的最大值为_____________. 【答案】314．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是．15．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=27，AB =3．则BD的长为．16.有下列命题：①cos()cos()44y x x ππ=-+的图象中相邻两个对称中心的距离为π，②31x y x +=-的图象关于点(1,1)-对称，③关于x 的方程2210ax ax --=有且仅有一个实根，则1a =-，④命题:p 对任意x R ∈，都有sin 1x ≤；则:p ⌝存在x R ∈，使得sin 1x >.其中真命题的序号是_________________________ .三、解答题 （本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，c ,b ,a 分别是角A 、B 、C 的对边， ,a (n ),C cos ,c b (m =-=→→2)A cos ，且→→n //m ． （1）求角A 的大小； （2）求)23cos(sin 22B B y -+=π的值域．⎥⎦⎤ ⎝⎛∈∴2,21y 12′ 考点：正弦定理的应用，和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质.18．（本小题满分12分）现有编号分别为1，2，3，4，5的五个不同的语文题和编号分别为6，7，8，9，的四个不同的数学题。