2022届济宁市高三第五次模拟考试数学试卷含解析

山东省济宁市2022届高三模拟考试（三模）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}22A x x =-≤<，{}ln 0B x x =≥，则A B =（ ） A ．[)2,2- B ．()0,1 C ．[)1,2D ．[]1,22．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1i i z -=，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．12-D ．123．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y -+=垂直，则该双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2 D 4．随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（ ）A ．240B ．480C ．1440D ．28805．已知二次函数()()22f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则14a c+的最小值为（ ） A ．3-B ．3C ．4-D ．46．已知1cos 64πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C ．78D ．78-7．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ） A ．2:1B ．3:2C ．7:3D ．7:48．若函数()2f x +为偶函数，对任意的[)12,2,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则（ ）A ．()()233log 6log 122f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()323log 12log 62f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()233log 6log 122f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．()()323log 12log 62f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭9．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n .按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.其中，成绩落在区间[)50,60内的人数为16.则下列结论正确的是（ ）A ．样本容量1000n =B ．图中0.030x =C ．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分D ．该市要对成绩由高到低前20%的学生授子“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号10．已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移3π个单位得到 B ．直线1112x π=-是()f x 图象的一条对称轴 C ．若()()122f x f x -=，则21x x -的最小值为2π D ．直线12y =与函数()y f x =在100,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有7个交点11．已知直线y b =+与圆2216x y +=交于A 、B 两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），则实数b 的取值可以是（ ）12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若221n n n a S a =+，22log n n nS b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ） A ．{}2n S 是等差数列B ．1n n a a +< C．1n S ≤D ．满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10 三、填空题13．设随机变量()2~,X N μσ，若()()02P X P X <=>，则()1P X ≤=________.14．已知函数()()2,05,0x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2022f =________.15．在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP =________. 四、双空题16．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B两点，且33AF BF ==，则p =________；设点M 是抛物线C 上的任意一点，点N 是C 的对称轴与准线的交点，则MN MF的最大值为________.五、解答题17．已知函数()sin cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)在锐角ABC 中，若()f A =AC =BC =ABC 的面积. 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31a =，67S =，数列{}n b 满足11222n n b b b ++++=-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记()tan n n n c b a π=⋅，求数列{}n c 的前3n 项和.19．如图1，在平行四边形ABCD 中，2AB =，AD =30BAD ∠=，以对角线BD 为折痕把ABD △折起，使点A 到达图2所示点P 的位置，且PC =(1)求证：PD BC ⊥；(2)若点E 在线段PC 上，且二面角E BD C --的大小为45，求三棱锥E BCD -的体积. 20．某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为600元、900元、1500元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束，选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为34，23，12，第一关闯关成功选择继续闯关的概率为35，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为25，且每关闯关成功与否互不影响.(1)求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；(2)设小李所得总奖金为X ，求随机变量X 的分布列及其数学期望.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆E 的右焦点，点Q 在椭圆E 上，且QF 的最大值为3，椭圆E 的离心率为12. (1)求椭圆E 的方程；(2)若过点A 的直线与椭圆E 交于另一点P （异于点B ），与直线2x =交于一点M ，PFB ∠的角平分线与直线2x =交于点N ，求证：点N 是线段BM 的中点.22．已知函数()()2ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，a ∈R .(1)当0a =时，证明：()()()e 21f x x ≥--；(2)若函数()f x 在()1,e 内有零点，求实数a 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】 【分析】解对数不等式求得集合B ，再根据交集的定义即可得解. 【详解】解：{}{}ln 01B x x x x =≥=≥， 所以[)1,2A B =. 故选：C. 2．D 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的概念可得出复数z 的虚部. 【详解】 由已知可得()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+， 因此，复数z 的虚部为12. 故选：D. 3．A 【解析】 【分析】求出双曲线C 渐近线的斜率，与已知直线斜率的乘积等于-1，即可求解. 【详解】由题意，双曲线的方程为：b y x a=±，斜率为1bk a = 和b a - ，直线210x y -+= 的斜率为22k = ，因为两直线垂直， 则有121k k =- ，即21ba⨯=- ，（0,0a b ＞＞ ，显然这是不可能的），或21,2b a b a ⎛⎫⨯-=-= ⎪⎝⎭ ，222222255,,44c c a b a e e a =+=∴===； 故选：A.4．B 【解析】 【分析】将其中2个“冰墩墩”捆绑，记为元素a ，另外1个“冰墩墩”记为元素b ，将a 、b 元素插入这4位运动员所形成的空中，结合插空法可求得结果.【详解】因为3个“冰墩墩”完全相同，将其中2个“冰墩墩”捆绑，记为元素a ，另外1个“冰墩墩”记为元素b ，先将甲、乙、丙、丁4位运动员全排，然后将a 、b 元素插入这4位运动员所形成的空中，且a 、b 元素不相邻，则不同的排法种数为4245A A 480=.故选：B. 5．B 【解析】 【分析】由二次函数的值域可得出101a c =>-，可得出1c >，则有1441c a c c+=+-，利用基本不等式可求得结果. 【详解】若0a =，则函数()f x 的值域为R ，不合乎题意，因为二次函数()()22f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则0a >，且()min 44114ac ac f x a a --===，所以，1ac a -=，可得101a c =>-，则1c >，所以，144113c a c c +=+-≥=，当且仅当2c =时，等号成立，因此，14a c+的最小值为3.故选：B. 6．D 【解析】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求值.22517sin 2sin 2cos 22cos 1216323648πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D. 7．C 【解析】 【分析】正六棱柱有内切球，则O 到每个面的距离相等，即11OO O D =，可求内切球的半径，根据22211OA OO O A =+可求外接球的半径，代入球的面积公式计算．【详解】如图：12,O O 分别为底面中心，O 为12O O 的中点，D 为AB 的中点 设正六棱柱的底面边长为2若正六棱柱有内切球，则11OO O D =r =222117OA OO O A =+=，即外接球的半径R =则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为22224π:4π:7:3R r R r == 故选：C ．8．A 【解析】由题意可得函数()f x 在[)2,+∞上递减，且关于2x =对称，则3522f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用作差法比较235log 31,,log 412++三者之间的大小关系，再根据函数的单调性即可得解.【详解】解：由对[)12,2,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 所以函数()f x 在[)2,+∞上递减， 又函数()2f x +为偶函数， 所以函数()f x 关于2x =对称， 所以3522f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2233log 61log 32,log 121log 42=+>=+>，因为3222222253log 31log 3log 3log 2log 3log 022+-=-=-=-，所以25log 312+>，因为3233333353log 41log 4log 4log 3log 4log 022+-=-=-=-<，所以25log 312+<，所以235log 6log 1222>>>， 所以()()235log 6log 122f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()()233log 6log 122f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选：A. 9．BC 【解析】 【分析】根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断A ；根据频率之和等于1，即可判断B ；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C ；根据题意得()()100.0040.01080780.0400.220.20⨯++-⨯=>，即可判断D.对于A ：因为成绩落在区间[)50,60内的人数为16，所以样本容量161000.01610n ==⨯，故A 不正确；对于B ：因为()0.0160.0400.0100.004101x ++++⨯=，解得0.030x =，故B 正确； 对于C ：学生成绩平均分为：0.0161055+0.0301065+0.04010750.01010850.004109570.6⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故C 正确；对于D ：因为()()100.0040.01080780.0400.220.20⨯++-⨯=>，即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D 不正确. 故选：BC. 10．BCD 【解析】 【分析】由图象求出函数()f x 的解析式，利用三角函数图象变换可判断A 选项；利用正弦型函数的对称性可判断B 选项；利用正弦型函数的周期性可判断C 选项；求出()12f x =在100,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时23x π+的可能取值，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由图可知，函数()f x 的最小正周期为4126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，则22πωπ==， 又因为sin 1126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为22ππϕ-<<，则2363πππϕ-<+<，所以，62ππϕ+=，则3πϕ=，所以，()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到，A 错；对于B 选项，11113sin sin 112632f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，直线1112x π=-是()f x 图象的一条对称轴，B 对； 对于C 选项，因为()()()()12max min 2f x f x f x f x -==-，所以，21x x -的最小值为22T π=，C 对； 对于D 选项，当1003x π≤≤时，2733x πππ≤+≤，由()1sin 232f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可知23x π+的可能取值集合为5131725293741,,,,,,6666666πππππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，所以，直线12y =与函数()y f x =在100,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有7个交点，D 对. 故选：BCD. 11．BC 【解析】 【分析】设2AOB θ∠=，可得04πθ<<，求得()4cos d θ=∈，利用点到直线的距离公式可得出关于b 的不等式，解出b 的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】设2AOB θ∠=，则022πθ<<，可得04πθ<<，设圆心到直线AB 的距离为d ，圆2216x y +=的圆心为原点，半径为4，所以，()4cos d θ=∈，由点到直线的距离公式可得2b d ==，所以，42b<，解得8b -<<-8b <. 故选：BC. 12．ACD 【解析】 【分析】根据题意得()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，即可判断A ；由A 知，n S ，所以n a =，1n a +=B ；因为1n S ≤1≤，令()10x x =≥，即()e 10xx x ≥+≥，构造函数()()e 10x f x x x =--≥，求解判断即可；根据题意得()22221log log 2log 2n n n S b n n S +==+-⎡⎤⎣⎦，求和得()()211log 122n T n n =-+++⎡⎤⎣⎦，再根据题意求解判断即可. 【详解】因为221n n n a S a =+，当1n =时，211121a S a =+，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，所以数列{}2n S 是首项为211S =，公差为1的等差数列，所以()2111n S n n =+-⨯=，又正项数列{}n a 的前n 项和为n S，所以=n S ，故A 正确；当1n =时，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即=n a 又111S a ==，所以n a ==1n a +=>1n n a a +<，故B 不正确；因为1n S ≤，n S1，令()10x x ≥，所以原不等式为：()e 10x x x ≥+≥，即()e 100xx x --≥≥，令()()e 10x f x x x =--≥，所以()e 1xf x '=-，当0x ≥时，e 10x -≥恒成立，所以()f x 在[)0,∞+单调递增，所以()()00f x f ≥=，所以1n S ≤成立，故C 正确；因为n S，所以2n S +=1222222log log log n n n S n b S n ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭()222121log log 2log 22n n n n +==+-⎡⎤⎣⎦，所以1231n n n T b b b b b -=+++++()()()22222222221log 3log 1log 4log 2log 5log 3log 1log 1log 2log 2n n n n =-+-+-+++--++-⎡⎤⎣⎦()()()()222111log 1log 21log 1222n n n n =-++++=-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 因为3n T ≥，即()()211log 1232n n -+++≥⎡⎤⎣⎦，化简整理得：231260n n +-≥， 当9n =时，2939126180+⨯-=-<，当10n =时，21031012640+⨯-=>， 所以满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10，故D 正确. 故选：ACD.给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 13．0.5##12【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性求得μ，即可得出答案. 【详解】解：因为随机变量()2~,X N μσ，()()02P X P X <=>，所以1μ=， 所以()10.5P X ≤=. 故答案为：0.5.14．18##0.125【解析】 【分析】利用函数()f x 的解析式可求得()2022f 的值. 【详解】因为()()2,05,0x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()31202220222025328f f f -=-=-==.故答案为：18.15 【解析】 【分析】根据题意得34AP mAC AD =+，求出14m =，所以1142AP AC AB =+，即21142AP AC AB ⎛⎫=+ ⎪，求解即可.因为23AD AB =，所以32AB AD =，又12AP mAC AB =+，即1324AP mAC AB mAC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上， 所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形， 所以222211111cos60421644AP AC AB AC AC AB AB ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故7AP = 16．32##1.5 【解析】 【分析】空1：设直线联立方程可得2124p y y =，根据题意可得211232p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，代入可解得32p =；空2：根据抛物线定义1sin MFMDMN MN MND==∠取到最大值即MND ∠最小，此时直线MN 与抛物线C 相切，利用导数求切线分析求解． 【详解】设过点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 为2py kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去x 得()2222104p y k py -++=，可得2124p y y = ∵33AF BF ==，则可得：211232p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得231224p p p ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得32p =过点M 作准线的垂线，垂足为D ，则可得1sin MFMDMN MN MND==∠若MN MF取到最大值即MND ∠最小，此时直线MN 与抛物线C 相切23x y =，即23x y =，则23y x '=设200,3x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率023k x =，切线方程为()2000233x y x x x -=-切线过30,4N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入得22023433x x --=-，解得032x =±，即33,24M ⎛⎫± ⎪⎝⎭则33,22MD ND ==，即π4MND ∠=则1sin MFMDMN MN MND==∠故答案为：32．17．(1)π【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭周期公式可求得函数()f x 的最小正周期；（2）由已知条件结合角A 的取值范围可求得角A 的值，利用余弦定理可求得AB 边的长，再利用三角形的面积公式可求得结果. (1)解：因为()21sin cos cos sin sin sin cos 332f x x x x x x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭)1cos 2111sin 2sin 22sin 244423x x x x x π-⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭ 所以，函数()f x 的最小正周期为22ππ=. (2)解：因为()1sin 223f A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 23A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为02A π<<，则22333A πππ-<-<，233A ππ∴-=，可得3A π=，由余弦定理可得222232cos23BC AB AC AB AC AB π==+-⋅=+，即210AB -=，因为0AB >，解得AB =， 此时，AB 为最长边，角C 为最大角，此时222cos 02AC BC AB C AC BC +-=>⋅，则角C 为锐角，所以，11sin 22ABC S AB AC A =⋅==△ 18．(1)3n n a =，2n n b =(2))187n -【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，可得出数列{}n a 的通项公式，利用前n 项和与通项的关系可求得数列{}n b 的通项公式；（2）设32313n n n n p c c c --=++，推导出数列{}n p 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列{}n c 的前3n 项和. (1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则3161216157a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a d ==，所以，()111333n na n =+-=，当1n =时，21222b ，当2n ≥时，112122n n n b b b b +-++++=-，可得12122n n b b b -+++=-，上述两个等式作差可得1222n n nn b +=-=，12b =也满足2n n b =，故对任意的N n *∈，2n n b =.(2)解：由（1）可得2tan3nn n c π=，设(323132323132202n n n n n n n p c c c -----=++=⨯+=，所以，18n n p p +=，所以，数列{}n p 是等比数列，且首项为1p =-为8，因此，数列{}n c的前3n项和为))31818187n n n T ---==-.19．(1)证明见解析(2)14【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合勾股定理可证得AD BD ⊥，结合平形四边形的几何性质可得出BC BD ⊥，利用勾股定理可得出PD CD ⊥，利用线面垂直的判定和定义可证得结论成立；（2）以点B 为坐标原点，BC 、BD 、DP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PE PC λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，解出λ的值，确定点E 的位置，然后利用锥体的体积公式可求得结果. (1)证明：在ABD △中，由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠43221=+-⨯=， 所以，222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥，又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以，BC BD ⊥，在PCD 中，PC =PD =2CD =，222PD CD PC ∴+=，则PD CD ⊥，因为PD BD ⊥，BD CD D ⋂=，PD ∴⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，PD BC ∴⊥. (2)解：因为BC BD ⊥，PD ⊥平面BCD ，以点B 为坐标原点，BC 、BD 、DP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B、)C 、()0,1,0D、(P ，设()1,,,PE PC λλλ==-=-，其中01λ≤≤，()),,,1BE BP PE λλ=+=+-=-，设平面BDE 的法向量为(),,m x y z =，()0,1,0BD =， 则())0310m BD y m BE x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-+=⎪⎩，取1x λ=-，可得()1,0,m λλ=-，易知平面BCD 的一个法向量为()0,0,1n =， 由已知可得cos ,22m n m n m nλ⋅<>===⋅01λ≤≤，解得12λ=，所以，E 为PC 的中点，因此，1111111223624E BCD P BCD BCD V V S PD --==⨯⋅=⨯⨯=△.20．(1)21100(2)分布列见解析；()630E X =. 【解析】 【分析】（1）根据题意包含两种情况，第一种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关失败，第二种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关成功，第三关闯关失败，分别求概率相加即可求解；（2）根据题意得X 的可能取值为：0，600，1500，3000，再分别求每个随机变量对应的概率，再求分布列和期望. (1)根据题意得，小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的事件分为两类情况：第一种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关失败，其概率为：13323145320P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭；第二种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关成功，第三关闯关失败，其概率为：233221314535250P ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭；记“小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零”为事件A ：则()1233212050100P A P P =+=+=. (2)根据题意得：X 的可能取值为：0，600，1500，3000，所以()33323322123011144534535250P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()33360014510P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，()33229150********P X ⎛⎫==⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()33221330004535250P X ==⨯⨯⨯⨯=，所以X 的分布列为：所以X 的期望为：()2339306001500300063050105050E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．(1)22143x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆E 的方程；（2）设点P 在x 轴上方，对直线PF 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线PF 的斜率存在时，分析可得221NFPF NFk k k =-，设出直线AP 、FN 的方程，求出点P 、M 、N 的坐标，由已知条件可得出M 、N 坐标之间的关系，可证得结论成立；在直线PF 的斜率不存在时，直接求出M 、N 的坐标，即可证得结论成立. (1)解：由已知可得max 222312QF a c c a a b c⎧=+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆E 的方程为22143x y +=. (2)证明：由对称性，不妨设点P 在x 轴上方.∵当直线PF 的斜率存在时，因为PFB ∠的角平分线为FN ，所以，2PFB NFB ∠=∠， 所以，22tan tan 1tan NFB PFB NFB∠∠=-∠，即221NF PF NF k k k =-， 设直线AP 的方程为()2y k x =+，其中0k ≠，联立()2223412y k x x y ⎧=+⎨+=⎩可得()2222431616120k x k x k +++-=， 设点()11,P x y ，则2121612243k x k --=+，所以，2126843k x k -=+，则()11212243ky k x k =+=+，即点2226812,4343⎛⎫- ⎪++⎝⎭k k P k k ， 所以，2122121243468114134PFky k k k k x k k +===----+， 设直线FN 的方程为()1y m x =-，则点()2,N m 、()2,4M k ，因为221NF PF NF k k k =-，则2242141k mk m=--，整理可得()()2210k m km -+=， 因为0km >，所以，2m k =，所以，142N M y m y k ==， 所以，点N 为线段BM 的中点；∵当直线PF 的斜率不存在时，不妨设点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AP 的方程为()122y x =+，所以点()2,2M ，又因为直线FN 的方程为1y x =-，所以点()2,1N ， 所以，点N 为线段BM 的中点. 综上可知，点N 为线段BM 的中点. 【点睛】关键点点睛：本题考查线段中点的证明，解题的关键就是对直线PF 的斜率是否存在进行分类讨论，通过设出直线方程，求出M 、N 的坐标，结合线段的中点坐标公式得以证明. 22．(1)证明见解析； (2)e 21a -<< 【解析】 【分析】（1）构造函数()()()()=e 21g x f x x ---，证得min ()0g x ≥即可； （2）根据零点存在性定理结合导函数与单调性、最值等关系进行判定. (1)证明：当0a =时，设()()()()=e 21(e 1)(ln 1)g x f x x x x ---=---，1()(e 1)x g x x-'=-，由()001g x x '<⇒<<，()01g x x '>⇒>，可得()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以min ()(1)0g x g ==，则()0g x ≥，即()()()e 21f x x ≥--； (2)函数()()2ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，(1)0,(e)0f f ==，若函数()f x 在()1,e 内有零点，则函数()f x 在()1,e 内至少有两个极值点，即()f x '在()1,e 内至少有两个变号零点.2ln e 12ln e 1()1a x a x a x a f x x x x----++'=--=，等价于()2ln e 1h x x a x a =--++在()1,e 内至少有两个变号零点，22()1a x a h x x x-'=-=，()1,e x ∈，当12a ≤或e 2a ≥时，()0h x '≥或()0h x '≤恒成立，则()h x 在()1,e 上单调，不合题意；当122ea <<时，由()012h x x a '<⇒<<，()02e h x a x '>⇒<<，可得()h x 在(1,2)a 单调递减，在(2,e)a 上单调递增，所以当(1)0)(e)0(2)0h h h a >⎧⎪>⎨⎪<⎩时，()h x 在()1,e 内有两个变号零点且最多两个，即答案第17页，共17页 2e 01032ln 2e 10a a a a a -+>⎧⎪->⎨⎪--+<⎩，令2t a =，()1,e t ∈，设31()ln e 1()ln 022F t t t t F t t t '=--+⇒=-=⇒=(t ∈时，()0F t '>，()F t 单调递增，当)t ∈时，()0F t '<，()F t单调递减，所以max ()e 1e 10F t F ==+=+<，即32ln 2e 10a a a --+<在122e a <<上恒成立，所以e 21a -<<.此时()0h x =即()0f x '=有两个零点，设为121e x x <<<，当()11,x x ∈和()2,e x 时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以1()(1)0f x f >=，2()(e)0f x f <=，则()f x 在()12,x x 上有零点，综上可得：e 21a -<<.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。

山东省2022届高三毕业班5月模拟考数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：题号12345678答案DADBCCAB二、多项选择题：题号9101112答案ABBDACACD12.著名的伯努利（Bernoulli）不等式为：1212(1)(1)(1)1n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+，其中实数1x ，2x ，...，n x 同号，且均大于1-.特别地，当*n ∈N ，且1x >-时，有(1)1n x nx +≥+.已知伯努利不等式还可以推广为：设x r ∈R ，，若1r ≥，且1x >-，则(1)1r x rx +≥+.设a ，b 为实数，则下列结论正确的为A ．任意(0,)a ∈+∞，且任意[1,)b ∈+∞，都有1(1)(1)2(1)b b a b a +++≥+B ．任意(1,)b ∈+∞，存在(0,)a ∈+∞，使得1b a b ab +<+C ．任意(0,1]a ∈，且任意(1,)b ∈-+∞，都有(1)1a b ab +≤+D ．任意[1,)b ∈+∞，存在*a ∈N ，且a b ≤，使得1()1b b a a b ≤-+解析：（1）考查选项A ：若1b ≥，则(1)1b a ab +≥+，且1(1)1bb a a+≥+，∴11(1)(12(b b a a b a a +++≥++，又0a >，由基本不等式可知12a a+≥，∴1(1)(1)2(1)b b a b a+++≥+，故选项A 正确；（2）考查选项B ：∵0a >，∴11a ->-，又1b >，∴(11)1(1)b b a a b a =+-≥+-，∴1b a b ab +≥+恒成立，故选项B 错误；（3）考查选项C ：∵01a <≤，且1b >-，∴11a≥，且1ab >-，∴11(1)11aab ab b a+≥+⋅=+，即101(1)a b ab <+≤+，∴(1)1ab ab +≤+，故选项C 正确；（4）考查选项D ：①若*b ∈N ，则当a b =时，不等式1()1b b aa b ≤-+显然成立，②若*b ∉N ，∵1b ≥，∴([1()]1b ba ab a b b b -=+≥+-，∴当(1,)a b b ∈-时，(10b a a b b ≥+->，∴1()1b ba ab ≤-+，记[]b 为不超过b 的最大整数，易知[](1,)b b b ∈-，∴当[]a b =时，1(1b ba ab ≤-+成立，∴任意[1,)b ∈+∞，存在*a ∈N ，且a b ≤，使得1(1b ba ab ≤-+，故选项D 正确；综上所述，应选ACD .三、填空题：13.22x -或（42x -，2||x -等）；14.；15.0或1；16.2-.16.已知等边△ABC 的边长为2，将其绕着BC 边旋转角度θ，使点A 旋转到A '位置.记四面体A ABC '的内切球半径和外接球半径依次为r ，R ，当四面体A ABC '的表面积最大时，A A '=，rR=.（注：本题第一空2分，第二空3分.）解析：显然当π2A BA '∠=时，四面体A ABC '的表面积最大，此时A A '=，故应填；当四面体A ABC '的表面积最大时（易知四面体A ABC '的表面积最大值为4+，设A A '的中点为O ，易知12OB OC AA '==，∴OB OC OA OA '====，即O 为四面体A ABC '的外接球球心，∴四面体A ABC '的外接球半径R =，∵OB OC ==，且2BC =，∴222BC OB OC =+，∴π2BOC ∠=，易知OC ⊥平面A AB '，∴不难求得四面体A ABC '的体积为12233A AB V S OC '=⋅⋅=，又1(43V r =⋅+⋅=r =，∴2r R ==-，故应填2-.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{}n a 的首项13a =，其前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，点1(,)n n S a +均在直线83y x =+上.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设log 3n n a b =，求数列1{}n n b b +的前n 项和n T .解：(1)（法一）∵对任意的*n ∈N ，点1(,)n n S a +均在直线83y x =+上，∴183n n a S +=+，………………………………………………………………………………1分∴当2n ≥时，183n n a S -=+，………………………………………………………………2分∴118()8n n n n n a a S S a +--=-=，即19n n a a +=(2)n ≥，……………………………………3分又∵113S a ==，∴218327a S =+=，∴219a a =，………………………………………4分∴19n n a a +=*()n ∈N ，∴数列{}n a 是以3为首项，9为公比的等比数列，……………5分∴121393n n n a --=⨯=.………………………………………………………………………6分（法二）∵对任意的*n ∈N ，点1(,)n n S a +均在直线83y x =+上，∴183n n a S +=+，………………………………………………………………………………1分∴183n n n S S S +-=+，即193n n S S +=+，…………………………………………………2分∴1339()88n n S S ++=+，又113327888S a +=+=，∴数列3{}8n S +是以278为首项，9为公比的等比数列，…………………………………3分∴21132739888n n n S +-+=⨯=，∴21338n n S +-=，…………………………………………4分∴当2n ≥时，21212113333388n n n n n n a S S +-----=-=-=，………………………………5分又13a =，亦满足上式，∴213n n a -=*()n ∈N .……………………………………………6分(2)311log 3log 21n n a n b a n ===-，………………………………………………………7分∴11111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+，…………………………………………9分∴12231111111[(1)(()]2335212121n n n n T b b b b b b n n n +=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-++，即21n nT n =+.………………………………………………………………………10分18．（12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 1b C c Ba c+=+．(1)求角B 的大小；(2)设D ，E 分别为边AB ，BC 的中点，已知△BCD的周长为3+且2AE CD =，若5c a <，求a .解：(1)由正弦定理，得sin cos sin sin sin B C C B A C =+，……………………1分∵A ，B ，C 为△ABC 的内角，∴πA B C ++=，∴sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，i n c n s s os s n i i n C B C C B +=，………………………………………………………3分∵(0,π)B ∈，(0,π)C ∈，∴sin 0C ≠cos 1B B -=，…………………………4分∴2πsin 1(6B -=，……………………………………………………………………………5分易知ππ5π66(6,B --∈，∴ππ66B -=，即π=3B .…………………………………………6分(2)设BE m =，BD n =，则2a m =，2c n =，在△ABE 中，由余弦定理，得222222cos 42AE BE BA BE BA B m n mn =+-⋅⋅=+-，…………………………………7分在△BCD 中，同理有222222cos 42CD BC BD BC BD B m n mn =+-⋅⋅=+-，…………8分∵2AE CD =，∴22194AE CD =，即22224219=424m n mn m n mn +-+-，…………………………………9分整理得221024=0n mn m -+，解得=4n m ，或=6n m ，∵5c a <，即210n m <，∴=4n m ，且CD =，……………11分∵△BCD 的周长为3+，∴2(63m n m ++=+=+∴12m =，∴21a m ==.…………………………………………………………………12分19．（12分）某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动，凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人PK 赢取“购书劵”的游戏.游戏规则为：游戏共三局，每局游戏开始前，在不透明的箱中装有5个号码分别为1，2，3，4，5的小球（小球除号码不同之外，其余完全相同）.每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球（摸球者无法摸出小球号码）.若双方摸出的两球号码之差为奇数，则甲被扣除2个积分，乙增加2个积分；若号码之差为偶数，则甲增加*()n n ∈N 个积分，乙被扣除n 个积分.PK 游戏开始时，甲、乙的初始积分均为零，PK 游戏结束后，若双方的积分不等，则积分较大的一方视为获胜方，将获得“购书劵”奖励；若双方的积分相等，则均不能获得奖励.(1)设PK 游戏结束后，甲的积分为随机变量ξ，求ξ的分布列；(2)以(1)中的随机变量ξ的数学期望为决策依据，当游戏规则对甲获得“购书劵”奖励更为有利时，记正整数n 的最小值为0n .(i)求0n 的值，并说明理由；(ii)当0n n =时，求在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书劵”奖励的概率.解：(1)记“一局游戏后甲被扣除2个积分”为事件A ，“一局游戏后乙被扣除n 个积分”为事件B ，由题可知3()5P A =，2()5P B =，…………………………………………………2分当三局均为甲被扣除2个积分时，6ξ=-，当两局为甲被扣除2个积分，一局为乙被扣除n 个积分时，4n ξ=-，当一局为甲被扣除2个积分，两局为乙被扣除n 个积分时，22n ξ=-，当三局均为乙被扣除n 个积分时，3n ξ=，∴3327(6)()5125P ξ=-==，2233254(4)(55125P n C ξ=-=⋅⋅=，1233236(22)(55125P n C ξ=-=⋅⋅=，328(3)(5125P n ξ===，∴ξ的分布列为ξ6-4n -22n -3nP2712554125361258125………………………6分(2)(i)由(1)易知2754368618()(6)+(4)+(22)31251251251255n E n n n ξ-=-⋅-⋅-⋅+⋅=，显然甲、乙双方的积分之和恒为零，当游戏规则对甲获得“购书劵”奖励更为有利时，则需618()05n E ξ-=>，…………8分∴3n >，即正整数n 的最小值04n =.……………………………………………………9分(ii)当4n =时，记“甲至少有一局被扣除积分”为事件C ，则32117()1()5125P C =-=，………………………………………………………………10分由题设可知，若甲获得“购书劵”奖励，则甲被扣除积分的局数至多为1，记“甲获得“购书劵”奖励”为事件D ，易知事件CD 为“甲恰好有一局被扣除积分”，∴1233236()(55125P CD C =⋅⋅=，……………………………………………………………11分∴36()4125()117()13125P CD P D C P C ===，即在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书劵”奖励的概率为413.……………………………………………………………………12分20．（12分）如图，平面⊥ABCD 平面ABE ，点E 为半圆弧 AB 上异于A ，B 的点，在矩形ABCD中，=AB ，设平面ABE 与平面CDE 的交线为l .(1)证明：∥l 平面ABCD ；(2)当l 与半圆弧 AB 相切时，求二面角--A DE C 的余弦值.解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴∥AB CD ，………1分∵⊂AB 平面ABE ，⊄CD 平面ABE ，∴∥CD 平面ABE ，………………………………………………2分又⊂CD 平面CDE ，平面 ABE 平面=CDE l ，………………3分∴∥l CD ，………………………………………………………………………………………4分∵⊂CD 平面ABCD ，⊄l 平面ABCD ，∴∥l 平面ABCD .………………………………5分(2)（法一）取AB ，CD 的中点分别为O ，F ，连接OE ，OF ，则⊥OF AB ，∵平面⊥ABCD 平面ABE ，且交线为AB ，∴⊥OF 平面ABE ，又⊂OE 平面ABE ，⊥OF OE ，当l 与半圆弧 AB 相切时，⊥OE l ，即⊥OE AB ，…………………………………………7分以OE ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设=BC ，易得(0,1,0)-A，C，(0,-D ，(1,0,0)E ，则(1,1,=DE，= AD ，(0,2,0)= DC ，……………………………………8分设111(,,)=m x y z 为平面DAE 的一个法向量，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，AD m DE m即111100=+-=⎪⎩，，x y ∴1110=⎧⎨=-⎩，，z x y 令1=1x ，则(1,1,0)=- m ，…………………9分设222(,,)= n x y z 为平面DCE 的一个法向量，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，DC n DEn (第20题图)即2222200=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，y x y∴2220=⎧⎪⎨=⎪⎩，，y x 令2=1z -，则(1)n =- ，…………………10分∴3cos ,3||||m n m n m n ⋅<>===，………………………………………………11分易知二面角--A DE C 的平面角大小即为,m n <>，∴二面角--A DE C的余弦值为3-.……………………………………………………12分（法二）当l 与半圆弧 AB 相切时，⊥AE EB ，=AE EB，∴=AB ，…………6分∵平面⊥ABCD 平面ABE ，平面ABCD 平面ABE AB =，且⊥DA AB ，DA ⊂平面ABCD ，∴⊥DA 平面ABE ，又⊂AE 平面ABE ，∴⊥DA AE ，同理，⊥CB BE ，……………………………………………7分不妨设=BC，则===BE AE AD 2==AB DC ，∴由勾股定理得2==DE CE ，……………………………8分取DE 的中点F ，连接AF ，FC ，AC ，则⊥DE AF ，⊥DE CF ，∴∠AFC 是二面角--A DE C 的平面角，…………………………………………………9分易知112==AF DE，32=CF DEAC ==，……………10分∴在△AFC中，有2223cos 3∠==-AFC ，…………………………11分∴二面角--A DE C 的余弦值为33-.……………………………………………………12分21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A -，(1,0)B ，设△ABC 的内切圆与AC 相切于点D ，且||1CD =，记动点C 的轨迹为曲线T .(1)求T 的方程；(2)设过点11(,)32R 的直线l 与T 交于M ，N 两点，已知动点P 满足1PM MR λ= ，且2PN NR λ=，若120λλ+=，且动点Q 在T 上，求||PQ 的最小值.解：(1)不妨设△ABC 的内切圆与BC ，BA 分别相切于点E ，F ，由切线长相等可知，||||1CD CE ==，||||AD AF =，||||BE BF =，……………………1分∴||||||||2AD BE AF BF +=+=，∴||||||||||||4||CA CB CD AD CE BE AB +=+++=>，…………………………………2分∴动点C 的轨迹为以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆（且C 不在直线AB 上），设动点C 的轨迹方程为：22221(0)x y y a b+=≠，易知2a =，且221a b -=，解得23b =，∴T 的方程为：221(0)43x y y +=≠.………………………………………………………4分(2)设11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)P x y ，∵1PM MR λ= ，∴101011111(,)(,)32x x y y x y λ--=--，若11λ=-，则21λ=，PM MR =-，即P 与R 重合，与PN NR = 矛盾，∴11λ≠-，∴1011131x x λλ+=+，1011121y y λλ+=+，∴1010111132(,)11x y M λλλλ++++，…………………………6分代入22143x y +=，化简得22210010032(61272)912360x y x y λλ-++-++-=，…………7分同理可得，22220020032(61272)912360x y x y λλ-++-++-=，…………………………8分∴1λ，2λ为方程222000032(61272)912360x x y x x y -++-++-=的两根，∵120λλ+=，∴00612720x y +-=，即002120x y +-=，即动点P 在定直线1:2120l x y +-=上，…………………………………………………9分显然直线1l 与T 没有交点，令直线2:20(0)l x y m m +-=>，当2l 与T 相切时，记1l ，2l 的距离为d ，则||PQ d ≥，联立2220,1,43x y m x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2242120x mx m -+-=，由22(2)16(12)0m m =---=∆，解得4m =±，又0m >，∴4m =，………………10分此时，解得1x =，32y =，即切点为3(1,2，且直线1l ,2l的距离为d ==||5PQ ≥，当Q 点坐标为3(1,)2，且1PQ l ⊥时，经计算，得1347(,510P ，此时，|PQ ，且不难知道直线PR 即直线l 不过点(2,0)和(2,0)-，符合题设条件，∴||PQ的最小值为5.…………………………………………………………………12分（注：本题未说明点P ，Q 的存在性及未论证直线l 不过点(2,0)和(2,0)-总共扣1分.）22．（12分）已知函数()ln(1)1axf x x x =+-+()a ∈R .(1)若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；(2)证明：*n ∀∈N，1(1(1e n--⋅⋅⋅-.解：(1)221(1)()1(1)(1)a x a f x x x x --'=-=+++，………………………………………………1分当1a ≤时，(0,)x ∀∈+∞，(1)0x a -->，∴当0x >时，()0f x '>，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，……………………………2分当1a >时，(0,1)x a ∀∈-，(1)0x a --<，∴当01x a <<-时，()0f x '<，……………………………………………………………3分∴()f x 在区间(0,1)a -上单调递减，不合题意，∴若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为(,1]-∞.…………………4分(2)欲证1(1(1en -⋅⋅⋅-，只需证e n<，………………………………5分即证e (1(1n <++⋅⋅⋅+，…………………………6分只需证<ln(1ln(1ln(1n ++++⋅⋅⋅++，……………7分由(1)可知当1a =时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，∴()(0)0f x f >=，∴当0x >时，不等式ln(1)01xx x +->+恒成立，即ln(1)1x x x +>+恒成立，…………8分∴1>+，即>，…………………9分同理>，…，ln >将上述不等式累加得：ln(1ln(1ln(1++⋅⋅⋅+………………………………………………………………………10分n =++⋅⋅⋅+==，∴不等式<ln(1ln(1ln(1n +++⋅⋅⋅++得证，∴不等式1(1(1e n-⋅⋅⋅-得证.………………………12分。

山东省济宁市2021届新高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e x f x x+= B ．()21x f x x -= C ．()x e x f x x -= D ．()21x f x x += 【答案】A【解析】【分析】 由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【详解】对于选项B, ()21x f x x-=为 奇函数可判断B 错误; 对于选项C,当1x <-时, ()0x e x f x x-=<,可判断C 错误; 对于选项D, ()22111=+x f x x x x +=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A.【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ） A ．5B ．10C ．15D ．20 【答案】C【解析】【分析】【详解】令()11n a a n d +-=，则11113232d a a a a d ⨯⨯++=++，136a d +=，∴13a =-，3d =，∴()55310315S =⨯-+⨯=.【点睛】本题考查等差数列的求和问题，属于基础题3．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-【答案】D【解析】【分析】 根据已知有333b c a b c a ++++=，可得13131c a b +=+-，只需求出3a b +的最小值，根据333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以333a b a b +=+=≥，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.又+a b 与c 为函数()3xf x =的“线性对称点， 所以333b c a b c a ++++=， 所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--， 从而c 的最大值为3log 41-.故选:D.【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆A ．(]1,2B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】B【解析】【分析】 先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】 由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=， ∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点，则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离4a d c ==， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4c e a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4，故选：B ．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．二项式22)n x +的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180B ．90C ．45D ．360 【答案】A【解析】试题分析：因为22)n x +的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n =，551021101022•?()2r rr r r r r T C C x x--+==，令5502r -=，则2r =，23104180T C ==. 考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.6．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】 先求得222sin 111n 1n n n n n θ==-++，再求得左边的范围，只需2221t t --≥，利用单调性解得t 的范围. 【详解】由题意知sinn θ=，∴222sin 111n 1n n n n n θ==-++， ∴22223122222sin sin sin sin 111111111112322334n 1n 1n n n θθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+⋯+-=-++，随n 的增大而增大，∴11112n 1≤-<+, ∴2221t t --≥，即2210t t --≥，又f(t)=221t t --在t 1≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数t 的最小值为3.【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题. 7． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）A ．56383B ．57171C ．59189D ．61242【答案】C【解析】【分析】根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为5735⨯=的等差数列，记数列{}n a令35122020n a n =-≤，解得25835n ≤. 故该数列各项之和为5857582335591892⨯⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】 本题考查等差数列的应用，属基础题。

2019-2020学年高三第二学期第五次考试数学试卷一、选择题1．设集合A＝{x|0≤log3x≤2}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．[1，3]B．[6，9]C．[3，9]D．[﹣3，6]2．已知复数，则|z|＝（）A．B．C．D．3．设，，，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b4．函数f（x）＝cos2（x+）的最小正周期为（）A．B．2πC．πD．5．“lnm＜lnn”是“m2＜n2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|＝（）A．16B．10C．12D．87．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，则曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x+2C．y＝x D．y＝x﹣28．在四面体ABCD中，且AB⊥AC，AC⊥CD，AB，CD所成的角为30°，AB＝5，AC＝4，CD＝3，则四面体ABCD的体积为（）A．5B．6C．7D．8二、填空题9．已知向量，的夹角为θ，则sinθ＝．10．（2x3﹣）8的展开式中常数项是．（用数字表示）11．左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为．12．已知抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点为H，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且|PH|＝k|PF|，当k最大时，点P恰好在以H，F为焦点的双曲线上，则k的最大值为，此时该双曲线的离心率为．三、多项选择题13．一组数据2x1+l，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的平均值为7，方差为4，记3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x n+2的平均值为a，方差为b，则（）A．a＝7B．a＝ll C．b＝12D．b＝914．设m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下面结论不正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，m⊥n，则a⊥βC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若m∥α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α15．在三棱锥D﹣ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝l，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N分别是棱BC，CD的中点，下面结论正确的是（）A．AC⊥BDB．MN∥平面ABDC．三棱锥A﹣CMN的体积的最大值为D．AD与BC一定不垂直16．定义：若函数F（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则称区间[a，b]是函数F（x）的“完美区间”，另外，定义区间[a，b]的“复区间长度”为2（b﹣a），已知函数f（x）＝|x2﹣1|，则（）A．[0，1]是f（x）的一个“完美区间”B．[，]是f（x）的一个“完美区间”C．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+2四、解答题17．在①cos2B﹣sin B+2＝0②2b cos C＝2a﹣c③＝三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且a，b，c成等差数列，则△ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知数列{a n}满足+++…+＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：≤T n＜．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F 分别为AB，SC的中点．（l）证明：EF∥平面SAD．（2）若SD＝8，求二面角D﹣EF﹣S的正弦值．20．生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60．（1）完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望．附：P（K2≥k）0.150.050.010.001 k 2.072 3.841 6.63510.828（其中n＝a+b+c+d）．21．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦，直线m：x＝4与x轴交于点A，直线MF2与直线AN的交点为B．（1）证明：点B恒在椭圆C上．（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣1，g（x）＝ax2﹣（a﹣2）x．（1）设函数H（x）＝f'（x）﹣g（x），讨论H（x）的单调性；（2）设函数G（x）＝g（x）+（a﹣2）x，若f（x）的图象与G（x）的图象有A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的交点，证明：In（x l x2）＞2+ln2．参考答案一、选择题1．设集合A＝{x|0≤log3x≤2}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．[1，3]B．[6，9]C．[3，9]D．[﹣3，6]【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|0≤log3x≤2}＝{x|1≤x≤9}，B＝{x|y＝}＝{x|x≤﹣3或x≥6}，∴A∩B＝{x|6≤x≤9}＝[6，9]．故选：B．2．已知复数，则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求|z|．解：∵，∴．故选：B．3．设，，，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：因为，，，所以b＜c＜a，故选：C．4．函数f（x）＝cos2（x+）的最小正周期为（）A．B．2πC．πD．【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性得出结论．解：因为，所以它的最小正周期为＝π，故选：C．5．“lnm＜lnn”是“m2＜n2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】判断条件和结论，互推关系即可解：lnm＜lnn，则0＜m＜n，故m2＜n2，反之，m2＜n2，得|m|＜|n|，故前者是后者的充分不必要条件，故选：A．6．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|＝（）A．16B．10C．12D．8【分析】根据题意可知AD⊥BD，利用抛物线的定义，可得∠ABD＝30°，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12．解：因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD．由抛物线定义知，所以∠ABD＝30°．因为F到准线的距离为6，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12．故选：C．7．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，则曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x+2C．y＝x D．y＝x﹣2【分析】依题意，可求得x＜0时的解析式为f（x）＝﹣xln（﹣x）+1，求导，可得曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线的斜率，继而可得答案．解：因为函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，所以当x＜0时，﹣x＞0，所以f（x）＝f（﹣x）＝﹣xln（﹣x）+1，所以f（﹣1）＝1，又f'（x）＝﹣ln（﹣x）﹣1，所以f'（﹣1）＝﹣1，所以曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为y＝﹣x．故选：A．8．在四面体ABCD中，且AB⊥AC，AC⊥CD，AB，CD所成的角为30°，AB＝5，AC＝4，CD＝3，则四面体ABCD的体积为（）A．5B．6C．7D．8【分析】在平面BCD中，过B作BE∥CD，且BE＝CD，连接DE，AE，运用异面直线所成角的定义和棱锥的体积公式，结合等积法，计算可得所求值．解：在平面BCD中，过B作BE∥CD，且BE＝CD，连接DE，AE，可得四边形BCDE为平行四边形，则V A﹣BCDE＝2V A﹣BCE＝2V C﹣BAE，由AC⊥AB，AC⊥CD，可得AC⊥BE，则CA⊥平面ABE，由AB，CD所成的角为30°，可得∠ABE＝30°，S△ABE＝AB•BE•sin30°＝×5×3×＝，则V C﹣BAE＝AC•S△ABE＝×4×＝5，而V A﹣BCDE＝2V A﹣BCD，可得V A﹣BCD＝V C﹣BAE＝5，故选：A．二、填空题9．已知向量，的夹角为θ，则sinθ＝．【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得sinθ的值．解：∵向量，的夹角为θ，则cosθ＝＝＝﹣，∴sinθ＝＝，故答案为：．10．（2x3﹣）8的展开式中常数项是112．（用数字表示）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．解：（2x3﹣）8的展开式的通项为：T r+1＝C8r（2x3）8﹣r（﹣）r＝28﹣r（﹣1）r C8r x24﹣4r，令24﹣4r＝0，解得r＝6，则（2x3﹣）8的展开式中常数项是28﹣6（﹣1）6C86＝112，故答案为：112．11．左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为．【分析】基本事件总数n＝6×2＝12，事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”包含的基本事件个数m＝1，由此能求出事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率．解：左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，基本事件总数n＝6×2＝12，事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”包含的基本事件个数m＝1，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率P＝．故答案为：．12．已知抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点为H，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且|PH|＝k|PF|，当k最大时，点P恰好在以H，F为焦点的双曲线上，则k的最大值为1，此时该双曲线的离心率为．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PH|＝k|PF|，可得＝，设PAE的倾斜角为α，则当k取得最大值时，sinα最小，此时直线PH与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|＝|PF|，∵|PH|＝k|PF|，∴|PH|＝k|PN|，∴＝，设PH的倾斜角为α，则cosα＝，当k取得最大值时，cosα最小，此时直线PH与抛物线相切，设直线PH的方程为y＝kx+k，代入y2＝4x，可得k2x2+2（k2﹣2）x+k2＝0，∴△＝4（k2﹣2）2﹣4k4＝0，∴k＝±1，∴P（1，±2），∴双曲线的实轴长为PH﹣PF＝2﹣2，∴双曲线的离心率为＝+1．故答案为：1；+1．三、多项选择题13．一组数据2x1+l，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的平均值为7，方差为4，记3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x n+2的平均值为a，方差为b，则（）A．a＝7B．a＝ll C．b＝12D．b＝9【分析】2x1+l，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的平均值为7，方差为4，设X＝（x1，x2，x3，…，x n），E（2X+1）＝2E（X）+1＝7，得E（X）＝3，再求出结论．解：2x1+l，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的平均值为7，方差为4，设X＝（x1，x2，x3，…，x n），E（2X+1）＝2E（X）+1＝7，得E（X）＝3，D（2X+1）＝4D（X）＝4，D（X）＝1，3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x n+2的平均值为a，方差为b，a＝E（3X+2）＝3E（X）+2＝11，b＝D（3X+2）＝9D（X）＝9，故选：BD．14．设m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下面结论不正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，m⊥n，则a⊥βC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若m∥α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【分析】直接利用线面垂直和线面平行之间的转换求出结果．解：对于选项A选项中，m，n可能异面；故错误．对于选项B选项中，α，β也可能平行或相交；故错误．对于选项D选项中，只有m，n相交才可推出l⊥α．故错误．对于选项C，由于m⊥α，n⊥β，则，直线m和n可以看做是平面α和β的法向量，由于α⊥β，所以m⊥n，故正确．故选：ABD．15．在三棱锥D﹣ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝l，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N分别是棱BC，CD的中点，下面结论正确的是（）A．AC⊥BDB．MN∥平面ABDC．三棱锥A﹣CMN的体积的最大值为D．AD与BC一定不垂直【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间中的平行与垂直关系，判断选项中的命题是否正确即可．解：设AC的中点为O，连接OB、OD，如图所示；则AC⊥OB，AC⊥OD，又OB∩OD＝O，所以AC⊥平面OBD，所以AC⊥BD，故A正确；因为MN∥BD，所以MN∥平面ABD，故B正确；当平面DAC与平面ABC垂直时，V三棱锥A﹣CMN最大，最大值为V三棱锥A﹣CMN＝V三棱锥N﹣ACM＝××＝，故C错误；若AD与BC垂直，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥BD，又BD⊥AC，所以BD⊥平面ABC，所以BD⊥OB，因为OB＝OD，所以显然BD与OB不可能垂直，故D正确．综上知，正确的命题为ABD．故选：ABD．16．定义：若函数F（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则称区间[a，b]是函数F（x）的“完美区间”，另外，定义区间[a，b]的“复区间长度”为2（b﹣a），已知函数f（x）＝|x2﹣1|，则（）A．[0，1]是f（x）的一个“完美区间”B．[，]是f（x）的一个“完美区间”C．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+2【分析】根据题意，因为f（x）＝|x2﹣1|≥0恒成立，所以函数f（x）的值域为：[0，+∞）；设区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间“，则当x∈[a，b]时，f（x）∈[a，b]，所以a≥0；则0≤a＜b；根据定义，即可判断A，B；再根据“完美区间”和“复区间长度”的定义求复区间长度，判断C，D即可．解：因为f（x）＝|x2﹣1|≥0恒成立，所以函数f（x）的值域为：[0，+∞）；设区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间“，则当x∈[a，b]时，f（x）∈[a，b]，所以a ≥0；则0≤a＜b；∵函数f（x）＝|x2﹣1|在区间[0，1]上时，f（x）＝1﹣x2，故f（x）在[0，1]上单调递减，f（0）＝1，f（1）＝0，故值域为[0，1]；故[0，1]是f（x）的一个“完美区间”，故A 正确；∵＜0，故B错误①当b≤1时，[a，b]⫋[0，1]，此时f（x）＝|x2﹣1|＝1﹣x2，则函数f（x）在[0，1]上单调递减；所以函数f（x）在区间[a，b]上单调递减；因为函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，所以，所以a2+b＝b2+a＝1，则a2﹣a＝b2﹣b，所以a2﹣a+＝b2﹣b+，即（a﹣）2＝（b﹣）2，所以a﹣＝b﹣，整理得a＝b（舍去）；或a﹣＝﹣b，整理得a+b＝1，因为a+b2＝1，所以b＝b2解得b＝0（舍去）或b＝1；则a＝1﹣b＝0，此时a2+b＝0+1＝1，满足原方程组，所以a＝0，b＝1是方程组的唯一解；故此情况下存在a＝0，b＝1使得区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间”，此区间[a，b]的“复区间长度”为2（1﹣0）＝2；②当b＞1时，（1）若0≤a＜1，则1∈[a，b]，此时f（x）min＝f（1）＝0，若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则a＝0，f（b）＝b；因为b＞1，所以f（b）＝|1﹣b2|＝b2﹣1＝b，即b2﹣b﹣1＝0，解得b＝（舍去）或b＝；故此情况下存在a＝0，b＝，使得区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间”，此区间[a，b]的“复区间长度”为2（﹣0）＝1+；（2）当a≥1时，f（x）＝x2﹣1，x∈[a，b]；此函数f（x）在[a，b]上单调递增，若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则，所以此时a与b是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不等实根，解x2﹣x﹣i＝0得x1＝，x2＝，所以，因为a＝＜1，所以此情况不满足题意．综上所述，函数f（x）＝|x2﹣1|的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2+（1+）＝3+；故C正确；D错误；故选：AC．四、解答题17．在①cos2B﹣sin B+2＝0②2b cos C＝2a﹣c③＝三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若①，且a，b，c成等差数列，则△ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】选择①cos2B﹣sin B+2＝0，利用倍角公式可得：1﹣2sin2B﹣sin B+2＝0，化简解得：sin B＝，又a，b，c成等差数列，可得2b＝a+c，B为锐角．结合余弦定理即可得出．解：选择①cos2B﹣sin B+2＝0，则：1﹣2sin2B﹣sin B+2＝0，化为：2sin2B+sin B﹣3＝0，解得sin B＝，又a，b，c成等差数列，∴2b＝a+c，B为锐角．∴B＝．∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣3ac，化为：b2＝ac．∴＝ac，可得a＝c．∴△ABC是等边三角形．故答案为：①．18．已知数列{a n}满足+++…+＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：≤T n＜．【分析】（1）运用数列的递推式，计算可得所求；（2）运用数列的裂项相消求和，以及不等式的性质即可得证．【解答】（1）解：+++…+＝，①当n＝1时，a1＝4．当n≥2时，+…+＝，②由①﹣②，得a n＝，因为a1＝4符合上式，所以a n＝，（2）证明：＝＝（﹣）T n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣），因为0＜≤，所以≤T n＜．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F 分别为AB，SC的中点．（l）证明：EF∥平面SAD．（2）若SD＝8，求二面角D﹣EF﹣S的正弦值．【分析】（1）取SD中点M，连接AM，MF，证明四边形AEMF为平行四边形，可得EF∥AM，由此得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面DEF及平面EFS的法向量，利用向量公式及同角三角函数的基本关系即可求得所求正弦值．解：（1）证明：取SD中点M，连接AM，MF，∵M，F分别为SD，SC的中点，∴MF∥CD，且，又底面ABCD为正方形，且E为AB中点，∴MF∥AE，且MF＝AE，∴四边形AEMF为平行四边形，∴EF∥AM，∵EF不在平面SAD内，AM在平面SAD内，∴EF∥平面SAD；（2）以点D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），E（4，2，0），F（0，2，4），S（0，0，8），故，设平面DEF的一个法向量为，则，可取，设平面EFS的一个法向量为，则，可取，设二面角D﹣EF﹣S的平面角为θ，则，∴，即二面角D﹣EF﹣S的正弦值为．20．生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60．（1）完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望．附：P（K2≥k）0.150.050.010.001 k 2.072 3.841 6.63510.828（其中n＝a+b+c+d）．【分析】（1）由头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的概率为0.525，计算可得头胎为女孩的总户数和生二孩的总户数，可得2×2列联表，再由K2的计算公式可判断结论；（2）按照分层抽样的方法，计算可得X的可能取值为1，2，3，4．再由古典概率的计算公式，以及数学期望公式，计算可得所求．解：（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为200×0.5＝100．因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为200×0.525＝105．2×2列联表如下：生二孩不生二孩合计头胎为女孩6040100头胎为男孩4555100合计10595200K2＝＝＞3.841，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关．（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X的可能取值为1，2，3，4．P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝；P（X＝4）＝＝．X的分布列为X1234PEX＝1×+2×+3×+4×＝．21．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦，直线m：x＝4与x轴交于点A，直线MF2与直线AN的交点为B．（1）证明：点B恒在椭圆C上．（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意求出A，F2点的坐标，设M，N的坐标，求出直线MF2，AN的方程，两条直线联立求出交点B，代入椭圆方程恰好成立，证得B在椭圆上；（2）分直线n的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线n的方程，与直线m联立求出Q点的坐标，与椭圆联立，由题意判别式为0，可得参数之间的关系，及切点P的坐标，假设存在定点T，设T的坐标，由恒成立，则＝0，可得T的坐标的关系，与判别式等于0联立求出存在T使得恒成立．解：（1）证明：由题意知F2（1，0），A（4，0），设M（s，t），N（s，﹣t），则＝1，t2＝3（1﹣）．直线MF2的方程为y＝（x﹣1），直线AN的方程为y＝（x﹣4），联立可得x B＝，y B＝，即B的坐标为（，）．因为+＝＝＝＝1，所以B点恒在椭圆C上．（2）解：．当直线n的斜率不存在时，不符合题意．不妨设直线n的方程为y＝kx+b，由对称性可知，若平面内存在定点T，使得∠PTQ＝恒成立，则T一定在x轴上，故设T（x0，0），由可得（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12＝0．因为直线n与椭圆C只有一个公共点，所以△＝64k2b2﹣4（3+4k2）（4b2﹣12）＝48（4k2﹣b2+3）＝0，可得b2＝3+4k2，所以x P＝﹣，y P＝kx P+b＝．又因为Q（4，4k+b），∠PTQ＝，所以＝（﹣﹣x0，）•（4﹣x0，4k+b）＝0，即（x0+）（x0﹣4）+＝0，所以x02﹣4x0+3+（4x0﹣4）＝0，对于任意的满足4k2﹣b2+3＝0 的k，b恒成立，所以解得x0＝1．故在平面内存在定点T（1，0），使得∠PTQ＝恒成立．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣1，g（x）＝ax2﹣（a﹣2）x．（1）设函数H（x）＝f'（x）﹣g（x），讨论H（x）的单调性；（2）设函数G（x）＝g（x）+（a﹣2）x，若f（x）的图象与G（x）的图象有A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的交点，证明：In（x l x2）＞2+ln2．【分析】（1）对函数H（x）求导，分a≥0，﹣2＜a＜0，a＝﹣2及a＜﹣2讨论即可得出单调性情况；（2）依题意，有两个不同的根，且，，再通过构造新函数，利用导数求证．解：（1）H（x）＝f′（x）﹣g（x）＝lnx﹣ax2+（a﹣2）x+1，则，当a≥0时，H（x）在上单调递增，在上单调递减；当﹣2＜a＜0时，令H′（x）＞0，得或，令H′（x）＜0，得，∴H（x）在上单调递增，在上单调递减；当a＝﹣2时，H′（x）≥0，H（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣2时，令H′（x）＞0，得或，令H′（x）＜0，得，∴H（x）在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：G（x）＝g（x）+（a﹣2）x＝ax2，依题意，关于x的方程ax2＝xlnx﹣1，即有两个不同的根，由题知，①，②，①+②得，③，②﹣①得，④，由③④得，，不妨设0＜x1＜x2，记，令，则，∴F（t）在（1，+∞）上单调递增，故F（t）＞F（1）＝0，∴，即，∴，∵＝，∴，即，令，易知φ（x）在（0，+∞）上单调递增，又，∴，即，∴，即，∴ln（x1x2）＞2+ln2，即得证．。

山东省济宁市2020届高三下学期第五次线上考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设集合{}{30log 2,||A x x B x y =≤≤==,则A B ⋂=( ) A.[]1,3 B.[]6,9C.[]3,9D.[]3,6-2.已知复数552iz i i=+-,则z =( ) AB.C.D.3.设11231313,log 2,3a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则( ) A .b a c <<B .c b a <<C .b c a <<D .c a b <<4.函数()2πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为( )A .π4B .2πC .π2D .π5.“ln ln m n <”是“22m n <”的（ ） A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.已知抛物线2:12C y x =的焦点为,F A 为C 上一点且在第一象限,以F 为圆心,FA 为半径的圆交C 的准线于,B D 两点,且,,A F B 三点共线,则AF =（ ） A .16B .10C .12D .87.已知函数()f x 是偶函数,当0x >时,()ln 1f x x x =+ ,则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A .y x =-B .2y x =-+C .y x =D .2y x =-8.在四面体ABCD 中,且,,,AB AC AC CD AB CD ⊥⊥所成的角为30,5,4,3AB AC CD ︒===,则四面体ABCD 的体积为（ ）A .5B .6C .7D .8二、填空题9.已知向量()()4,3,1,2,,a b a b =-=-的夹角为θ,则sin θ=___________. 10.382()1x x-的展开式中的常数项为__________.11.左手掷一粒骰子,右手掷一枚硬币,则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为__________.12.已知抛物线24y x =的准线与x 轴的交点为H ,点F 为抛物线的焦点,点P 在抛物线上且PH k PF =,当k 最大时,点P 恰好在以,H F 为焦点的双曲线上,则k 的最大值为__________,此时该双曲线的离心率为_________.三、多项选择题13.一组数据12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7,方差为4,记12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ,方差为b ,则（ ）A .7a =B .11a =C .12b =D .9b =14.设,,m n l 为三条不同的直线,,αβ为两个不同的平面,则下面结论不正确的是（ ） A .若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m n B .若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥ C .若,,,m n αβαβ⊥⊥⊥则m n ⊥D .若//,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥15.在三棱锥D ABC -中,1AB BC CD DA ==== ,且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱,BC CD 的中点,下面结论正确的是( ) A .AC BD ⊥ B .//MN 平面ABDC .三棱锥A CMN -D .AD 与BC 一定不垂直16.定义:若函数()F x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ,则称区间[],a b 是函数()F x 的“完美区间”.另外,定义区间[],a b 的“复区间长度”为()2b a -,已知函数()21||f x x =-,则（ ）A .[]0,1是()f x 的一个“完美区间”.B.⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”. C .()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D .()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+四、解答题17.在①cos220B B +=,②2cos 2b C a c =-,③b a =三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若__________,且,,a b c 成等差数列,则ABC ∆是否为等边三角形?若是,写出证明;若不是,说明理由. 18.已知数列{}n a 满足12122525253n n na a a +++=---L . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,证明:11226n T ≤<.19.如图,在四棱锥S ABCD -中,ABCD 是边长为4的正方形,SD ⊥平面,,ABCD E F 分别为,AB SC 的中点.(1)证明://EF 平面SAD .(2)若8SD =,求二面角D EF S --的正弦值.20.生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中,头胎为女孩的频率为0.5,生二孩的频率为0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.(1)完成下列22⨯列联表,并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关;生二孩不生二孩 合计 头胎为女孩 60 头胎为男孩 合计200(2)在抽取的200户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户,进一步了解情况,在抽取的7户中再随机抽取4户,求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望. 附:()2P K k ≥ 0.150.05 0.01 0.001k2.0723.841 6.635 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ (其中n a b c d =+++).21.已知12,F F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点,MN 为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦,直线:4m x =与x 轴交于点A ,直线2MF 与直线AN 的交点为B.(1)证明:点B 恒在椭圆C 上.(2)设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ,直线n 与直线m 相交于点Q ,在平面内是否存在定点T ,使得π2PTQ ∠=恒成立?若存在,求出该点坐标;若不存在,说明理由. 22.已知函数()()()2ln 1,2f x x x g x ax a x =-=--.(1)设函数()()()'H x f x g x =-,讨论()H x 的单调性;(2)设函数()()()2G x g x a x =+-,若()f x 的图象与()G x 的图象有()()1122,,,A x y B x y 两个不同的交点,证明:()12ln 2ln2x x >+.参考答案1.答案：B解析：因为{|}19,6{|A x x B x x =≤≤=≥或}3x ≤-,所以{|69}A B x x ⋂=≤≤. 2.答案：B 解析：()52551725i i iz i i i +=+==+-,故z =3.答案：C解析：因为11231313,log 20,013a b c ⎛⎫==<<=< ⎪⎝⎭,所以b c a <<. 4.答案：D解析：因为()22πcos 21π12π13cos cos 232232x f x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以最小正周期为π. 5.答案：A解析：若ln ln m n <,则0m n <<,从而22m n <; 若22m n <,则m n <，推不出ln ln m n <. 6.答案：C解析：因为,,A F B 三点共线, 所以AB 为圆F 的直径,AD BD ⊥. 由抛物线定义知12AD AF AB ==, 所以30ABD ∠=︒. 因为F 到准线的距离为6, 所以2612AF BF ==⨯=. 7.答案：A解析：因为()()()()()()()0,ln 1,11,'ln 1,'11x f x f x x x f f x x f <=-=--+-==----=-, 所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为y x =-. 8.答案：A解析：由题意,如图所示,,AC AB AC CD ⊥⊥,过点A 作CD 的平行线AE ,则AC ⊥平面ABE ,且EAB ∠为30︒或150︒,从B 点向AE 作垂线,垂足为E ,易证BE ⊥平面ACD . 点B 到平面ACD 的距离15sin 522BE AB EAB =⋅∠=⨯=, 162ACD S AC CD =⋅=V ,则四面体ABCD 的体积为1·53ACD V S BE =⋅=V . 9.解析：cos a b a b θ⋅===,sin θ=. 10.答案：112解析：382()1x x-的展开式的通项为()()838244188221r r r r r r r T C x C x---+==-,令6r =,得()()866636862248748221112T C x C x ---==-=.11.答案：12解析：112骰子向上为6点的概率为16,硬币向上为正面的概率为12,故所求事件的概率为12. 12.1解析：过P 作准线的垂线交准线于M (图略),则PM PF =, 由PH k PF =,可得PH PH k PFPM==.设200,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭,则014PH k PM==+令2014y t =+,则PH k PM ===,当2t =时,k ,即当2124y t =+=时,k ,此时02y =±.。

山东省济宁市第五中学2021-2022学年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】直线与平面所成的角．【分析】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由A1A⊥平面ABCD，推导出∠ACA1是AC1与平面ABCD所成角，由此能求出结果．【解答】解：如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AB=BC=2，AA1=1，∴AC==2，A1C==3，∵A1A⊥平面ABCD，∴∠ACA1是AC1与平面ABCD所成角，∴sin∠ACA1=．故选：A．2. 等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4等于（）A．16 B．15 C．8 D．7参考答案：B3. 集合，，若，则的值为（）A．1 B．2 C．-4 D．4参考答案：C试题分析：由于，当，解得，符合题意；当，解之得无解，故答案为C．考点：1、集合中元素的性质；2、集合的并集．4. 按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为（）A．k≥16B．k＜8 C．k＜16 D．k≥8参考答案：A考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加k 值到S并输出S．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前 0 1/第一圈 1 2 是第二圈 3 4 是第三圈 7 8 是第四圈 15 16 否故退出循环的条件应为k≥16故选A点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5. 已知等比数列{z n}中，，，（其中i为虚数单位，，且y＞0），则数列{z n}的前2019项的和为（）A．B．C．D．参考答案：D6. 已知是R上的奇函数，若，当x>0，是增函数，且对任意的x，y都有，则在区间[-3，-2]的最大值为A．-5 B．-6 C．-2 D．-4参考答案：D7. 若直线，始终平分圆的周长，则的最小值为A.1B.C.D.参考答案：D略8. 等差数列的前n项和为，且，则(A)8 (B)9 (C)1 0 (D) 11参考答案：B略9. 右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于 ( )A． B．C． D．参考答案：A略10. 设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为（）A．（，）B．（1，）C．（，2）D．（0，2）参考答案：A锐角中,，，，，，，，，，,则的取值范围为．所以A 选项是正确的．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数，则z 的虚部为．参考答案：112. 设等差数列{a n }前n 项和为S n ，若S m －1＝－1，S m ＝0，S m ＋1＝2，则m ＝________.参考答案：3解法1：∵等差数列{a n }前n 项和为S n ，满足S m －1＝－1，S m ＝0，S m ＋1＝2， ∴解得m ＝3.解法2：a m ＝S m －S m －1＝1，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝2，d ＝a m ＋1－a m ＝1， a m ＝a 1＋(m －1)d ＝a 1＋m －1＝1，∴a 1＝2－m ，∴S m ＝ma 1＋d ＝m(2－m)＋＝0，∴m＝3. 13.的展开式中的项的系数是____________.（用数字作答）参考答案：14. 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n =a n +1﹣a n （n ∈N *）．若b 3=﹣2，b 10=12，则a 8= ．参考答案：315.已知(1 - 2x )n 的展开式的二项式系数和为64, 则它的展开式的中间项是 .参考答案：答案：- 160x 316. 定义在R 上的函数f(x)满足：f(1)=1，且对任意x∈R，都有，则不等式的解集为参考答案：（0，3） 略17. 若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为__________.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2022年济宁市高考模拟考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.一、单项选择题1.已知集合{}22A x x =-≤>，{}ln 0B x x =≥，则A B =（ ）A.[)2,2-B.()0,1C.[)1,2D.[]1,22.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i -=，则z 的虚部为（ ） A.1B.1-C.12-D.123.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y -+=垂直，则该双曲线C 的离心率为（ ）C.24.随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（ ） A.240 B.480C.1440D.28805.已知二次函数()()22f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则14a c+的最小值为（ ） A.3- B.3C.4-D.46.已知1cos 64πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.8 B.8-C.78D.78-7.若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ） A.2:1B.3:2C.7:3D.7:48.若函数()2f x +为偶函数，对任意的[)12,2,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则（ ）A.()()233log 6log 122f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭B.()()323log 12log 62f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭C.()()233log 6log 122f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭D.()()323log 12log 62f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭二、多项选择题9.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n .按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.其中，成绩落在区间[)50,60内的人数为16.则下列结论正确的是（ ）A.样本容量100n =B.图中0.030x =C.估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分D.该市要对成绩由高到低前20%的学生授子“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号10.已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A.函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移3π个单位得到 B.1112x π=-是()f x 图象的一条对称轴 C.若()()122f x f x -=，则21x x -的最小值为2π D.直线12y =与函数()y f x =在100,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有7个交点11.已知直线y b =+与圆2216x y +=交于,A B 两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），则实数b 的取值可以是（ ） A.5 B.6C.7D.812.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若221n n n a S a =+，22log n n nS b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A.{}2n S 是等差数列B.1n n a a +<C.1n S ≤D.满足3n T ≥的n 的最小正整数解为0三、解答题13.设随机变量()2~,X Nμσ，若()()02P X P X <=>，则()1P X ≤=________.14.已知函数()()2,05,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2022f =________.15.在边长为4的等边ABC △中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP =________.16.已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且33AF BF ==，则p =________；设点M 是抛物线C 上的任意一点，点N 是C 的对称轴与准线的交点，则MNMF的最大值为________. 四、解答题17.已知函数()sin cos 3f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）在锐角ABC △中，若()2f A =，AC =BC =，求ABC △的面积. 18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31a =，67S =； （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记()tan n n n c b a π=⋅，求数列{}n c 的前3n 项和. 19.如图1，在平行四边形ABCD 中，2AB =，AD =30BAD ∠=︒，以对角线BD为折痕把ABD △折起，使点A 到达图2所示点P的位置，且PC =（1）求证：PD BC ⊥；（2）若点E 在线段PC 上，且二面角E BD C --的大小为45︒，求三棱锥E BCD -的体积.20.某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为600元、900元、1500元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束，选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为34，23，12，第一关闯关成功选择继续闯关的概率为35，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为25，且每关闯关成功与否互不影响.（1）求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；（2）设小李所得总奖金为X ，求随机变量X 的分布列及其数学期望.21.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆E 的右焦点，点Q 在椭圆E 上，且QF 的最大值为3，椭圆E 的离心率为12.（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点A 的直线与椭圆E 交于另一点P （异于点B ），与直线2x =交于一点M ，PFB ∠的角平分线与直线2x =交于点N ，求证：点N 是线段BM 的中点.22.已知函数()()2ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，a ∈R .（1）当0a =时，证明：()()()e 21f x x ≥--； （2）若函数()f x 在()1,e 内有零点，求实数a 的取值范围.。