2020届江苏省泰州中学高三下学期五模考试数学试卷及解析

江苏省泰州市2019—2020学年度第二学期调研测试 高三数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{l ，2}，B ＝{2，4，8}，则A B ＝ ．2．若实数x ，y 满足x ＋y i ＝﹣1＋(x ﹣y )i （i 是虚数单位），则xy ＝ ．3．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为 ．4．根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为 ．5．若双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为 ．6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x ，y ，则1x y -=的概率是 ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为 ．8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是 里． 9．若定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，(1)1f =，则(6)f ＋(7)f ＋(8)f 的值为 ．10．将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R ＝ ．11．若函数2()1x a x a f x x x a+≥⎧=⎨-<⎩，，只有一个零点，则实数a 的取值范围为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )在圆O ：224x y +=上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的最小值是 ．13．在锐角△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，若AB 3AD =，AC AF λ=，且BC ED 2EF ED 6⋅=⋅=，ED 1=，则实数λ的值为 ．14．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD ，3tan 2B ﹣2tanA ＋3＝0，则BDCD的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P— ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分別是AB ，AC ，BC 的中点．（1）求证：BC ∥平面PDE ；（2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ．16．（本小题满分14分）已知函数21()sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()6f α=，α∈(8π-，38π)，求sin2α的值．17．（本小题满分14分）某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M ，N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为四心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM ，AN 分别交于点D ，E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV 区域为池内休息区，设∠MAB ＝θ．（1）当4πθ=时，求池内休息区的总面积（III 和IV 两个部分面积的和）；（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O ．当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b ，且AB ．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求矩形ABCD 面积S 的最大值；（3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．19．（本小题满分16分）定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”．（1）判断函数()1x xf x e=-是否为“YZ 函数”，并说明理由； （2）若函数()ln g x x mx =-(m ∈R)是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围；（3）已知32111()323h x x ax bx b =++-，x ∈(0，+∞)，a ，b ∈R ，求证：当a ≤﹣2，且0＜b ＜1时，函数()h x 是“YZ 函数”．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+．（1）若数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由； （2）若n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知列向量5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵M ＝ 3 41 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到列向量2 b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1M b a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=，点P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，2223a b c b c a++=，求证：3a b c ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE ＝2π，EF ⊥平面ADE ，EF ＝1． （1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值； （2）求二面角B —DF —C 的余弦值．23．（本小题满分10分）给定n (n ≥3，n N *∈)个不同的数1，2，3，…，n ，它的某一个排列P 的前k (k N *∈，1≤k ≤n )项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ．（1）若n ＝3，求3T ；（2）若n ＝4l ＋1，l N *∈，①证明：对任意的排列P ，都不存在k (k N *∈，1≤k ≤n )使得2k n S S =；②求n T (用n 表示)．2019～2020学年度第二学期调研测试高三数学答案一、填空题1. {}1,2,4,82.123. 804. 85.6.518 7. 128. 192 9. 1- 10. 611. (1](0,1]-∞- 12. - 13. 3 14. (1,2]二、解答题15.（本题满分14分）证明：（1）在ABC ∆中，因为,D E 分别是,AB AC 的中点，所以//DE BC ， ……………2分 因为BC PDE ⊄平面，DE PDE ⊂平面，所以//BC PDE 平面． ……………6分（2）因为PA ABC ⊥平面，DE PDE ⊂平面， 所以PA DE ⊥，在ABC ∆中，因为AB AC =，F 分别是BC 的中点，所以AF BC ⊥， ……………8分 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥， 又因为AFPA A =，,AF PAF PA PAF ⊂⊂平面平面，所以DE PAF ⊥平面，……………12分因为DE PDE ⊂平面，所以PAF PDE ⊥平面平面． ……………14分16.（本题满分14分）解：（1）因为21()sin sin cos 2f x x x x =+-， 所以1cos 211()sin 2222x f x x -=+-1(sin 2cos 2)2x x =- ……………2分(sin 2cos cos 2sin )244x x ππ=-)24x π=- ……………4分当2242x k πππ-=+(Z)k ∈，即3(8Z)x k k ππ=+∈时，()f x 取最大值2，所以()f x 的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8Z x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．………7分（2）因为()6f α=，则)246πα-=，即1sin(2)43πα-=， 因为3(,)88ππα∈-，所以2(,)πππα-∈-，则cos(2)43πα-===，……………10分所以sin 2sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 444444ππππππαααα=-+=-+-1432326=⋅+=……………14分17.（本题满分14分）解：（1）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，4πθ=，所以MB AM ==24cos12124MD π=-=，所以池内休息区总面积1212)144(22S MB DM =⋅⋅==． ……………4分 （2）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，MAB θ∠=， 所以24sin ,24cos MB AM θθ==， 24cos 12MD θ=-， 由24sin 0,24cos 120MB MD θθ=>=->得0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ……………6分 则池内休息区总面积1224sin (24cos 12)2S MB DM θθ=⋅⋅=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； ……………9分 设()()sin 2cos 1fθθθ=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为()()22cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos f θθθθθθθ'=--=--=⇒=又11cos 82θ+=>，所以00,3πθ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得01cos 8θ+=， 则当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>⇒在()00,θ上单调增，当0,3x πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f f θθ'<⇒在()00,θ上单调减， 即()0θf 是极大值，也是最大值，所以()()max 0f fθθ=，此时024cos 3AM θ==+ ……………13分 答：（1）池内休息区总面积为2144(2-m ；（2）池内休息区总面积最大时AM的长为(3AM =+m ．………14分18.（本题满分16分）解：（1）由题意：22212ab b a b c =⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,a b c ===，所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=． ……………4分 （2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >， 则直线AB 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，联立22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，2412B k y k=+，所以212AB k ==+， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y -=，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2881122k S k k k====++≤所以当且仅当k =时，矩形ABCD 面积S的最大值为11分 （3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，=，则322220k k k -+-= (0)k >，令32()222(0)f k k k k k =-+->，因为(1)10,(2)80f f =-<=>，又32()222(0)f k k k k k =-+->的图象不间断，所以32()222(0)f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形．……………16分19.（本题满分16分）解：（1）函数()1xxf x =-e是“YZ 函数”，理由如下： 因为()1x x f x =-e ，则1()x xf x -'=e，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以()1xx f x =-e 的极大值1(1)10f =-<e ， 故函数()1x xf x =-e是“YZ 函数”． ……………4分（2）定义域为(0,)+∞， 1()g x m x'=-，当0m ≤时，1()0g x m x '=->，函数单调递增，无极大值，不满足题意；当0m >时，当10x m <<时，1()0g x m x '=->，函数单调递增，当1x m >时，1()0g x m x'=-<，函数单调递减，所以()g x 的极大值为111()ln ln 1g m m m m m=-⋅=--，由题意知1()ln 10g m m =--<，解得1m >e． ……………10分（3）证明： 2()h x x ax b '=++，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以2()0h x x ax b '=++=有两个不等实根，设为12,x x ，因为12120x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以120,0x x >>，不妨设120x x <<，当10x x <<时，()0h x '>，则()h x 单调递增； 当12x x x <<时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()h x 的极大值为321111111()323h x x ax bx b =++-， ……………13分 由2111()0h x x ax b '=++=得3211111()x x ax b ax bx =--=--， 因为2a -≤，01b <<， 所以322211111111111111()()323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- 221111121121633333ax bx b x bx b =+-≤-+- 2111()(1)033x b b b =--+-<．所以函数()h x 是“YZ 函数”．……………16分（其他证法相应给分）20.（本题满分16分）解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则122(21)n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+， 当12q =-时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列， ……………2分 当12q ≠-时，因为0n c ≠，所以11(21)(21)n n n n c q a q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数 列． ……………5分 （2）因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ， 因为12n n a d d d =+++，所以1121n n n a d d d d ++=++++，两式相减得11n n n a a d ++-=， 因为2n n n a a b +=+，所以1312321()()()()n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a +++++++-=---=---312n n d d d ++=-=， 所以数列{}n b 是等差数列． ……………10分 （3）因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-，又因为12n n n c a a +=+，所以43322112(2)2(2)n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+， 即 423122()()()n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，则212n n n b b b ++=+， 又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，则2112n nn n b b b b +++=⋅， 即11()(2)0n n n n b b b b ++-+=，因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=， ……………13分 则312n n n n a a a a +++-=-， 即321n n n n a a a a +++=+-，又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=， 即32121(2)(2)2(2)n n n n n n a a a a a a ++++++++=+， 化简得3223n n n a a a +++=，将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 是等差数列． ……………16分 （其他证法相应给分）数学Ⅱ（附加题）21. A ． [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡b b a 252143，所以320210a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得64a b =-⎧⎨=⎩，……………4分 设1m p Mn q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则34101201m p n q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3413402021m n p q m n p q +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得112232m n p q =⎧⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩， 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-2321211M ， ……………8分所以11-2416=13-61122b M a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. ……………10分B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：由题：直线方程即为(sin coscos sin )44ππρθθ+= 由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线的直角坐标方程为80x y +-=，……………4分 设P点的坐标为()cos αα，∴点P到直线的距离d ==8分 当2()62Z k k ππαπ+=-∈，即22(3Z)k k αππ=-∈时，d取得最大值此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………10分C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 证明：由柯西不等式，得2223()()()a b c a b c b c a b c a++=++++222222]=++++ ………………5分22()a b c =++≥ 所以3a b c ++≤． ………………10分 22.（本小题满分10分）解：因为平面ADE ⊥平面ABCD ,又2ADE π∠=，即DE AD ⊥，因为DE ADE ⊂平面，ADEABCD AD =平面平面， DE ∴⊥平面ABCD ,由四边形ABCD 为边长为2的正方形, 所以,,DA DC DE 两两互相垂直．以D 为坐标原点，{,,}DA DC DE 为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2分 由EF ⊥平面ADE 且1EF =,()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,2,2,0,0,1,2,D A E C B F ∴（1）()2,0,2AE =-,()0,1,2DF =，则cos ,2AE DF AE DF AE DF⋅<===⋅>,所以AE 和DF 所成角的余弦值为5. ……………5分 （2）()2,2,0DB =,()0,1,2DF =,设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =，由2+2020n DB x y n DF y z ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩ ,取1z =,得)1,2,2(-=n , 平面DFC 的一个法向量为()1,0,0m =,22cos ,313m n m n m n ⋅∴<>===⋅⨯, 由二面角B DF C --的平面角为锐角,所以二面角B DF C --的余弦值为23.……10分23.（本小题满分10分）解：（1）1,2,3的所有排列为1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1，因为36S =，所以对应的P k 分别为2,1,2,1,1,1，所以38T =； ……………3分（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为12,,,n a a a ⋅⋅⋅，因为41,N n l l *=+∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =； ……………5分(ii) 因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+① 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②， 考虑排列P 的对应倒序排列:P '11,,,n n a a a -⋅⋅⋅，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++, 由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-； ……………8分 又1,2,3,,n ⋅⋅⋅，这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． ……………10分。

2019-2020学年江苏省泰州中学高三年级第五次模拟考试数 学I 卷一、填空题1．已知集合A={x ｜x ＞0}, B ={－1,0,1,2}, 则A ∩B 等于 ． 2．设i 是虚数单位， (34)i +复数z 满足，z=4-3i,则复数z 的虚部为 . 3．执行如图所示算法流程图，如果输入6i =，则输出的S 值为 ． 4． 函数232y x x =--的定义域是 ．5. 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ． 6．若,x y 满足不等式组1101x y x x y +⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≤, 则32x y +的最大值为 ．7． 已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出四个命题：①若//m n ，m α⊥，则n α⊥②若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ③若//m α，m β⊥，则αβ⊥④若αβ⊥，//m α，则m β⊥ 其中正确命题的序号是 ．8. 等差数列{}n a 的公差为2，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，若2040S =， 则135719a a a a a ++++= .9. 若双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为 ．10. 在平面直角坐标系xOy 中，直线1:40l kx y -+=与直线2:30l x ky +-=相交于点P ， 则当实数k 变化时，点P 到直线43100x y -+=的距离的最大值为 . 11．已知点P 在△ABC 内，且满足1134AP AB AC =+，并设△PCB, △PCA, △PAB 的面积 依次123,,,S S S 则123::S S S =__________．12. 已知函数24,0 ()3,0x x xf xxx⎧-⎪=⎨<⎪⎩，若函数()|()|3g x f x x b=-+有三个零点，则实数b的取值范围为．13．已知函数()sin(2)6f x xπ=-，若方程3()5f x=的解为1x，212(0)x x xπ<<<，12sin()x x-=．14. 已知1x，2x是函数2()2f x x mlnx x=+-，m R∈的两个极值点，若12x x<，则12()f xx的取值范围为．二解答题15．(本小题满分14分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b cos A﹣c cos B＝（c﹣a）cos B．（1）求B的大小；（2）若D在BC边上，BD＝2DC＝2，△ABC的面积为3；求sin∠CAD．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，M是PA上的点，△ABD为正三角形，CB＝CD，PA⊥BD.(1) 求证：平面MBD⊥平面PAC；(2) 若∠BCD＝120°，DM∥平面BPC，求证：点M为线段PA的中点．已知椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>的离心率为3焦距为斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．(1)求椭圆M的方程；(2)设(2,0)P-，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点71(,)42Q-共线，求k．18. (本小题满分16分)某市开发了一块等腰梯形的菜花风景区ABCD（如图）.经测量，AB长为2百米，CD长为6百米，AB与CD相距2百米，田地内有一条笔直的小路EF（E在BC上，F在AD 上）与AB平行且相距0.5百米.现准备从风景区入口处A出发再修一条笔直的小路AN与BC交于N，在小路EF与AN的交点P处拟建一座瞭望塔.（1）若瞭望塔P恰好建在小路AN的中点处，求小路AN的长；（2）两条小路EF与AN将菜花风景区划分为四个区域，若将图中阴影部分规划为观赏区.求观赏区面积S的最小值.已知函数()2(2)(x x f x ae e a x a R -=++-∈，e 是自然对数的底数）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()(2)cos f x a x +，求a 的取值范围．20. (本小题满分14分)已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1 的等比数列，且满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=(1) 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2) 令*2211 ()(1)(1)n n n n n n n a b c n N a b a b ++++=∈++，记数列{c }n 的前n 项和为n S ，求证：对任意的*n N ∈，都有413n S <<； (3) 若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nkn k kd T b ==∑，是否存在整数λ，使得对任意的*n N ∈都有212nn nd T b λ≤-<成立？若存在，求出λ 的值；若不存在，说明理由。

江苏省泰州市高考数学五模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·浙江期末) 已知集合，，则 =（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二下·阳江月考) 设，则（）A .B .C .D .3. （2分）已知非零向量与满足（）·=0,且·,则△ABC为（）A . 等腰非等边三角形B . 等边三角形C . 三边均不相等的三角形D . 直角三角形4. （2分） (2019高二上·中山月考) 设数列满足，且，则数列前项的和为（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·梅河口模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A . 9B . 31C . 156. （2分） (2017高二下·榆社期中) 某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会“、”演讲团“、”吉他协会“五个社团．若每个同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1个参加”演讲团“的不同参加方法为（）A . 4680B . 4770C . 5040D . 52007. （2分） (2020高二下·开鲁期末) 某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间分的考生人数近似为（）（已知若，则，，）A . 1140B . 1075C . 2280D . 21508. （2分） (2019高一上·惠来月考) 如图所示的几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的为（）A . ①②B . ②④C . ①④9. （2分） (2018高二上·湘西月考) 下列命题中正确的是（）A . 若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B . “ ”是“ ”的充分不必要条件C . 命题“ ，使得”的否定是“ ，都有”D . 命题“若，则”的否命题为“若，则”10. （2分） (2019高三上·湖南月考) 设，满足约束条件则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高二上·温州期末) 设双曲线（，）的左、右焦点分别为，.若左焦点关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e的值为（）A .B . 3C .D . 512. （2分）已知函数f（x）= ，其图象在区间[﹣a，a]（a＞0）上至少存在10对关于y轴对称的点，则a的值不可能为（）A .B . 5C .D . 6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）（2x+1）10的二项展开式中的第八项为________14. （1分） (2019高二上·开福月考) 已知函数的部分图象如图所示，则 ________.15. （1分） (2017高三下·鸡西开学考) 已知三棱锥P﹣ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=2，PB=PC=1，则三棱锥P﹣ABC的内切球半径为________．16. （1分） (2016高一下·安徽期中) 已知数列{an}的前n项的和为Sn=n2﹣2n+3，则数列的通项公式为________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分） (2019高二下·九江期末) 在某项体能测试中，规定每名运动员必需参加且最多两次，一旦第一次测试通过则不再参加第二次测试，否则将参加第二次测试.已知甲每次通过的概率为，乙每次通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立.(Ⅰ)求甲乙至少有一人通过体能测试的概率；(Ⅱ)记为甲乙两人参加体能测试的次数和，求的分布列和期望.18. （5分） (2019高二上·黄陵期中) 在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求sinC的值.19. （10分） (2019高二上·齐齐哈尔期末) 已知四棱锥﹣中，底面ABCD是矩形，⊥平面，，是的中点，是线段上的点．（1）当是的中点时，求证：∥平面．（2）当： = 2：1时，求二面角﹣﹣的余弦值．20. （15分）(2017·扬州模拟) 如图，已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的左顶点A（﹣2，0），且点（﹣1，）在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k（k＞0）的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若△C F1F2为等腰三角形，求点B的坐标；（3）若F1C⊥AB，求k的值．21. （10分）(2019·黑龙江模拟) 已知函数，记在点处的切线为 .（1）当时，求在上的最小值；（2）当时，求证：函数的图像（除切点外）均在切线的下方.22. （5分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23. （10分） (2018高三上·合肥月考) 已知函数 .（1）若，求实数的取值范围；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共60分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

2020届江苏省泰州市高三下学期调研测试数学试题一、填空题1．已知集合{}1,2A =，{}2,48B =,，则A B =U _______． 【答案】{}1,2,4,8【解析】利用并集的定义可求得集合A B U . 【详解】{}1,2A =Q ，{}2,48B =,，{}1,2,4,8A B ∴=U . 故答案为：{}1,2,4,8. 【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.2．若实数x 、y 满足()1x yi x y i +=-+-（i 是虚数单位），则xy =_______． 【答案】12【解析】根据复数相等建立方程组，求出x 、y 的值，进而可得出xy 的值. 【详解】()1x yi x y i +=-+-Q ，1x y x y =-⎧∴⎨=-⎩，解得112x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此，12xy =.故答案为：12. 【点睛】本题考查利用复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.3．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[)6,18内的频数为_______．【答案】80【解析】将样本数据落在区间[)6,18内的频率乘以100可得出结果. 【详解】由直方图可知，样本数据落在区间[)6,18内的频率为()0.080.090.0340.8++⨯=， 因此，样本数据落在区间[)6,18内的频数为1000.880⨯=. 故答案为：80. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数，解题时要明确频率、频数与总容量之间的关系，考查计算能力，属于基础题.4．根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为_______．【答案】8【解析】根据算法程序列举出算法的每一步，进而可得出输出的S 的值. 【详解】15I =<成立，123I =+=，336S =+=； 35I =<成立，325I =+=，538S =+=； 55I =<不成立，跳出循环体，输出S 的值为8.故答案为：8. 【点睛】本题考查利用算法程序计算输出的值，一般要求将算法的每一步计算出来，考查计算能力，属于基础题.5．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等于___.5【解析】根据双曲线方程得渐近线方程，再根据条件得ba＝2，最后得离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 所以，ba＝2，离心率为：c e a ==== 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程以及离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x 、y ，则1x y -=的概率是_______． 【答案】518【解析】计算出基本事件总数，列举出事件“1x y -=”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，基本事件总数为2636=，其中，事件“1x y -=”所包含的基本事件有：()1,2、()2,1、()2,3、()3,2、()3,4、()4,3、()4,5、()5,4、()5,6、()6,5，共10种情况，因此，所求事件的概率为1053618=. 故答案为：518. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为_______． 【答案】12【解析】设点P 的坐标为()00,x y ，根据抛物线的定义可得出关于0x 的方程，解出0x 的值即可得解. 【详解】设点P 的坐标为()00,x y ，则00x >，抛物线的准线方程为1x =-， 由于点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则0013x x +=，解得012x =. 因此，点P 的横坐标为12. 故答案为：12. 【点睛】本题考查抛物线上点的坐标的求解，考查了抛物线定义的应用，考查计算能力，属于基础题.8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________ 【答案】192【解析】根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为12的等比数列，又由6天走完378里，利用求和公式即可得出． 【详解】根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为12的等比数列， 又由6天走完378里，则S 6611[1)2112a ⎛⎤- ⎥⎝⎦==-378， 解可得：a 1＝192，即该人第一天走的路程为192里． 故答案为：192里． 【点睛】本题考查了等比数列求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，注重了数学文化的考查，属于基础题．9．若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()11f =，则()()()678f f f ++的值为_______．【答案】1-【解析】利用函数()y f x =的周期性和奇偶性分别求出()6f 、()7f 、()8f 的值，进而可得出结果. 【详解】由于定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()4f x f x +=，则该函数是周期为4的周期函数，且()11f =，则()()800f f ==，()()()7111f f f =-=-=-，()()()622f f f =-=， 又()()22f f -=-，()20f ∴=，则()60f =， 因此，()()()6781f f f ++=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值，考查计算能力，属于中等题.10．将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R =_______．【答案】6【解析】设圆锥的底面半径为r ，根据半圆弧长等于圆锥底面圆的周长可得出r 与R 的等量关系，并求出圆锥的高，得出圆锥的体积，由此可求得R 的值. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，由于半圆弧长等于圆锥底面圆的周长，则2r R ππ=，2R r ∴=，圆锥的高为2h R ==，则圆锥的体积为22311334224R V r h R R ππ==⨯⨯==，解得6R =.故答案为：6. 【点睛】本题考查由圆锥的体积求参数，考查计算能力，属于中等题. 11．若函数()2,1,x a x af x x x a +≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】(](],10,1-∞-U【解析】分1a ≤-、11a -<≤、1a >三种情况讨论，结合函数()y f x =只有一个零点得出关于实数a 的不等式（组），即可求得实数a 的取值范围. 【详解】函数21y x =-的零点为±1.①当1a ≤-时，函数()y f x =在区间(),a -∞上无零点，则函数()y f x =在区间[),a +∞上有零点a -，可得a a -≥，解得0a ≤，此时1a ≤-； ②当11a -<≤时，函数()y f x =在区间(),a -∞上有零点1-，则函数()y f x =在区间[),a +∞上无零点，则a a -<，解得0a >，此时01a <≤； ③当1a >时，函数()y f x =在区间(),a -∞上的零点为±1，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是(](],10,1-∞-U . 故答案为：(](],10,1-∞-U . 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，解答的关键就是对参数进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()11,A x y 、()22,B x y 在圆22:4O x y +=上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的最小值是_______．【答案】-【解析】求得23AOB π∠=，设点()2cos ,2sin A αα、()2cos ,2sin B ββ，设b a >，可得出()223k k N πβαπ=++∈，然后利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得1212x x y y +++的最小值. 【详解】由题意可得()11,OA x y =u u u r 、()22,OB x y =u u u r ，12122OA OB x x y y ⋅=+=-u u u r u u u r，所以，1cos 2OA OB AOB OA OB ⋅∠==-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，0AOB π<∠<Q ，23AOB π∴∠=，设点()2cos ,2sin A αα、()2cos ,2sin B ββ，设b a >，则()223k k N πβαπ=++∈， 所以，12122cos 2cos 2sin 2sin x x y y αβαβ+++=+++222cos 2cos 22sin 2sin 233k k ππααπααπ⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()13sin 13cos 22sin αααϕ=-++=--，ϕ为锐角，且31tan 2331ϕ+==+-，因此，1212x x y y +++的最小值22-. 故答案为：22-. 【点睛】本题考查代数式最值的计算，考查了平面向量数量积的应用，同时也考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.13．在锐角ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =u u u r u u u r，AC AF λ=u u u r u u u r ，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，1ED =u u u r ，则实数λ的值为_______．【答案】3【解析】将EF u u u r表示为11133EF BC AC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，由题意得知ED u u u r 与AC u u u r 不垂直，由3ED EF ⋅=u u u r u u u r 可得出1103λ-=，进而可求得实数λ的值.【详解】 如下图所示：3AB AD =u u u r u u u r Q ，AC AF λ=u u ur u u u r ，13AD AB ∴=u u u r u u u r ，1AF AC λ=u u u r u u u r ，()11111333EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB ACλλ⎛⎫∴=-+=-+=+-+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11133ED BC AC λ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r，ABC QV 是锐角三角形，则ED u u u r 与AC u u ur 不垂直，即0ED AC ⋅≠u u u r u u u r ，1ED =u u u r Q ，6ED BC ⋅=u u u r u u u r，则21111113333ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED ACλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅++-=+⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11333ED AC λ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ，即1103ED AC λ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ， 0ED AC ⋅≠u u u r u u u r Q ，1103λ∴-=，因此，3λ=.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积求参数，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.14．在ABC V 中，点D 在边BC 上，且满足AD BD =，23tan 2tan 30B A -+=，则BDCD的取值范围为_______． 【答案】(]1,2 【解析】作出图形，由23tan 2tan 30B A -+=得出()23tan tan 12A B =+，利用正弦定理和三角恒等变换思想得出24tan 41133tan 2tan 33tan 2tan BD B CD B B B B=+=+-++-，然后利用不等式的性质和基本不等式可求得BDCD的取值范围. 【详解】 如下图所示：23tan 2tan 30B A -+=Q ，()23tan tan 12A B ∴=+， AD BD =Q ，BAD B ∴∠=，CAD A B ∠=-，且B 为锐角，在ACD V 中，()()sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin A B BD AD CA B A B CD CD CAD A B A B A B++====∠--()()222223tan 1tan tan tan 3tan 2tan 34tan 2113tan tan 3tan 2tan 33tan 2tan 3tan 1tan 2B BA B B B B A B B B B B B B +++++====+>--+-++-， 另一方面24tan 4111233tan 2tan 313tan 232tan 2tan tan BD B CD B B B B B B=+=+≤=-++-⨯⋅-， 当且仅当4B π=时，等号成立，因此，BDCD的取值范围是(]1,2. 故答案为：(]1,2. 【点睛】本题考查三角形中边长比值的取值范围的计算，考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，点D 、E 、F 分別是AB 、AC 、BC 的中点．（1）求证：//BC 平面PDE ； （2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）利用中位线的性质得出//DE BC ，然后利用线面平行的判定定理可证得//BC 平面PDE ；（2）证明出DE PA ⊥，DE AF ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得DE ⊥平面PAF ，再利用面面垂直的判定定理可得出平面PAF ⊥平面PDE ． 【详解】（1）在ABC V 中，因为D 、E 分别是AB 、AC 的中点，所以//DE BC ， 因为BC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//BC 平面PDE ； （2）因为PA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PA DE ⊥， 在ABC V 中，因为AB AC =，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥， 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥，又因为AF PA A =I ，AF ⊂平面PAF ，PA ⊂平面PAF ，所以DE ⊥平面PAF ， 因为DE ⊂平面PDE ，所以平面PAF ⊥平面PDE ． 【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题. 16．已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()2f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α+=. 【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()sin 224f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得出函数()y f x =的最大值，解方程()2242x k k Z πππ-=+∈可得出对应的x 的取值集合；（2）由()6f α=得出1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用同角三角函数的基本关系求得cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，然后利用两角和的正弦公式可求得sin 2α的值.【详解】 （1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值，所以函数()y f x =的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()6f α=，则sin 2246πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 24πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122224232326+=⋅+⋅=. 【点睛】本题考查正弦型函数最值的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.17．某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M 、N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为圆心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM 、AN 分别交于点D 、E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV 区域为池内休息区，设MAB θ∠=．（1）当4πθ=时，求池内休息区的总面积（III 和IV 两个部分面积的和）；（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长． 【答案】（1）2144(22)m -；（2）(3333)AM m =+【解析】（1）计算出BM 、DM 的长，利用三角形的面积公式可求得III 和IV 两个部分面积的和；（2）将BM 、DM 用含θ的代数式表示出来，可得出池内休息区的总面积S 关于θ的函数表达式，令()()sin 2cos 1fθθθ=-，利用导数求出()f θ的最大值，并求出对应的θ的值，由此可求得AM 的长. 【详解】（1）在Rt ABM V 中，因为24AB =，4πθ=，所以24cos1224MB AM π===24cos12122124MD π=-=，所以池内休息区总面积)(()2121214422S MB DM m =⋅⋅==；（2）在Rt ABM V 中，因为24AB =，MAB θ∠=， 所以24sin BM θ=，24cos AM θ=，24cos 12MD θ=-，由24sin 0BM θ=>，24cos 120MD θ=->得πθ0,3骣琪Î琪桫， 则池内休息区总面积()()1224sin 24cos 12288sin 2cos 12S MB DM θθθθ=⋅⋅=-=-，πθ0,3骣琪Î琪桫； 设()()sin 2cos 1f θθθ=-，πθ0,3骣琪Î琪桫， 因为()()221cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos 8f θθθθθθθ=--=--=⇒='又1cos 2θ=>，所以00,3πθ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得01cos 8θ+=， 则当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>⇒在()00,θ上单调增，当0,3x πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f f θθ'<⇒在()00,θ上单调递减， 即()0fθ是极大值，也是最大值，所以()()0max f f θθ=，此时024cos 3AM θ==+【点睛】本题考查导数的实际应用，涉及三角函数的应用，解答的关键就是求出函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O ．当点B 为椭圆M 的上顶点时，AOB V 的面积为b ，且AB =．（1）求椭圆M 的标准方程； （2）求矩形ABCD 面积S 的最大值； （3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．【答案】（1）22142x y +=；（2）22（3）ABCD 为正方形，理由见解析. 【解析】（1）根据题意得出关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，即可得出椭圆M 的标准方程；（2）设直线AB 的方程为()2y k x =+，其中0k >，将直线AB 的方程与椭圆M 的方程联立，求出点B 的坐标，利用两点间的距离公式求出AB ，并求出BC ，可得出四边形ABCD 的面积S 关于k 的表达式，然后利用基本不等式可求得S 的最大值； （3）由四边形ABCD 为正方形得出AB BC =，可得出()3222200k k k k -+-=>，构造函数()()322220f k k k k k =-+->，利用零点存在定理来说明函数()y f k =在()0,k ∈+∞时有零点，进而说明四边形ABCD 能成为正方形. 【详解】（1）由题意：22312a b b ab b +=⎨=⎪⎩，解得2a =，2b =所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=；（2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >，则直线AB 的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，联立()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222128840k x k x k +++-=，解得222412B k x k-=+，2412B k y k =+，所以AB ==， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y -=，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2881122k S k k k====++所以当且仅当2k =时，矩形ABCD面积S 取最大值为 （3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC==，则()3222200k k k k -+-=>，令()()322220f k k k k k =-+->，因为()110f =-<，()280f =>，又()()322220f k k k k k =-+->的图象不间断，所以()()322220f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了四边形面积最值的计算，以及动点问题的求解，考查运算求解能力，属于中等题.19．定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”． （1）判断函数()1x xf x e=-是否为“YZ 函数”，并说明理由； （2）若函数()()ln g x x mx m R =-∈是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围； （3）已知()32111323h x x ax bx b =++-，()0,x ∈+∞，a 、b R ∈，求证：当2a ≤-，且01b <<时，函数()h x 是“YZ 函数”．【答案】（1）()f x 是“YZ 函数”，理由见解析；（2）1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【解析】（1）利用导数求出函数()y f x =的极大值，结合题中定义判断即可；（2）分0m ≤和0m >两种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =的单调性，利用题中定义得出关于m 的不等式，进而可解得实数m 的取值范围；（3）求出函数()y h x =的导数()2h x x ax b =++'，利用导数分析函数()y h x =的单调性，设函数()y h x =的极值点分别为1x 、2x ，可知1x 、2x 是方程()0h x '=的两根，进而可列出韦达定理，结合韦达定理证明出函数()y h x =的极大值为负数，由此可证得结论. 【详解】（1）函数()1xxf x e =-是“YZ 函数”，理由如下： 因为()1x x f x e =-，则()1x xf x e='-，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<， 所以函数()1x x f x e =-的极大值()1110f e =-<，故函数()1xxf x e =-是“YZ 函数”；（2）函数()ln g x x mx =-的定义域为()0,+∞，()1g x m x'=-. 当0m ≤时，()10g x m x-'=>，函数()y g x =单调递增，无极大值，不满足题意； 当0m >时，当10x m<<时，()10g x m x -'=>，函数单调递增，当1x m>时，()10g x m x -'=<，函数单调递减，所以函数()y g x =的极大值为111ln ln 1g m m m m m ⎛⎫=-⋅=--⎪⎝⎭， 易知1ln 10g m m ⎛⎫=--<⎪⎝⎭，解得1m e >， 因此，实数m 的取值范围是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3） ()2h x x ax b =++'，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以()20h x x ax b =++='有两个不等实根，设为1x 、2x ，因为121200x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以1>0x ，20x >，不妨设120x x <<，当10x x <<时，()0h x '>，则函数()y h x =单调递增； 当12x x x <<时，()0h x '<，则函数()y h x =单调递减. 所以函数()y h x =的极大值为()321111111323h x x ax bx b =++-， 由()21110h x x ax b =++='得()3211111x x ax b ax bx =--=--， 因为2a ≤-，01b <<， 所以()()322211111111111111323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- ()()22211111121121111063333333ax bx b x bx b x b b b =+-≤-+-=--+-<． 所以函数()y h x =是“YZ 函数”． 【点睛】本题考查函数的新定义“YZ 函数”的应用，考查利用导数求函数的极值、利用极值求参数，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+． （1）若数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由； （2）若n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列； （3）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，分12q =-和12q ≠-两种情况讨论，结合等比数列的定义判断即可；（2）设n a 是公差为d 的等差数列{}n d 的前n 项和，推导出11n n n a a d ++-=，由2n n n a a b +=+推导出12n n b b d +-=，进而可证得结论成立；（3）利用数列{}n c 是等差数列结合12n n n c a a +=+推导出212n n n b b b ++=+，再结合数列{}n b 是等比数列，推导出1n n b b +=，由数列{}n c 是等差数列得出212n n n c c c +++=，推导出3223n n n a a a +++=，并将321n n n n a a a a +++=+-代入化简得212n n n a a a +++=，从而可证明出数列{}n a 是等差数列.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则()12221n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+， 当12q =-时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列； 当12q ≠-时，因为0n c ≠，所以()()112121n n n n q a c q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数列； （2）因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ， 因为12n n a d d d =+++L ，所以1121n n n a d d d d ++=++++L ， 两式相减得11n n n a a d ++-=， 因为2n n n a a b +=+， 所以()()()()1312321312n n n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++++-=---=---=-=，所以数列{}n b 是等差数列；（3）因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-， 又因为12n n n c a a +=+，所以()()43322112222n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+，即 ()()()423122n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，则212n n n b b b ++=+，又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，则2112n nn n b b b b +++=⋅， 即()()1120n n n n b b b b ++-+=，因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=， 则312n n n n a a a a +++-=-，即321n n n n a a a a +++=+-， 又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=，即()()()321212222n n n n n n a a a a a a ++++++++=+，化简得3223n n n a a a +++=， 将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 是等差数列． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的证明，考查了等差、等比中项法以及等差、等比数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.21．已知列向量5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵 3 41 2M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到列向量2 b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1b M a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【答案】1611⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】利用25a b M b -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦列出方程组求出a 、b 的值，求出矩阵M 的逆矩阵1M -，利用矩阵的乘法可求得矩阵1b M a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【详解】 因为342125a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以320210a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得64a b =-⎧⎨=⎩， 设1m p M n q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则34101201m p n q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3413402021m n p q m n p q +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得112232m n p q =⎧⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩， 所以1121322M --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦， 所以112416=1361122M b a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的变换，同时也考查了逆矩阵的求解以及矩阵乘法的应用，考查计算能力，属于中等题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．【答案】【解析】将直线l的极坐标方程化为普通方程，设点()cos P αα，利用点到直线的距离公式结合正弦型函数的有界性可求得点P 到直线l 距离的最大值． 【详解】由题：直线方程即为sin coscos sin44ππρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线l 的直角坐标方程为80x y +-=， 设P点的坐标为()cos αα，∴点P到直线的距离6d πα⎛⎫===+ ⎪⎝⎭， 当()262k k Z ππαπ+=-∈，即()223k k Z αππ=-∈时，d取得最大值 此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用椭圆的参数方程求点到直线距离的最值，同时也考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.23．已知实数a 、b 、c 满足0a >，0b >，0c >，2223a b c b c a++=，求证：3a b c ++≤． 【答案】见解析【解析】利用柯西不等式证明出()()2222a b c b c a a b c b c a ⎛⎫++++≥++⎪⎝⎭，由此可证明出3a b c ++≤. 【详解】由柯西不等式，得()()2223a b c a b c b c a b c a ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭()()()222222b c a b c a ⎡⎤⎡⎤=++⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22b c a a b c b c a ⎛≥⋅+⋅+⋅=++ ⎪⎝⎭， 所以3a b c ++≤．【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查推理能力，属于中等题.24．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ADE V 是等腰直角三角形，且2ADE π∠=，EF ⊥平面ADE ，1EF =．（1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值；（2）求二面角B DF C --的余弦值．【答案】（1）105；（2）23. 【解析】（1）利用面面垂直的性质定理证明出DE ⊥平面ABCD ，然后以D 为坐标原点，{},,DA DC DE u u u r u u u r u u u r为一组基底建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出异面直线AE 和DF 所成角的余弦值；（2）求出平面BDF 和CDF 的法向量，然后利用空间向量法可求出二面角B DF C --的余弦值．【详解】（1）2ADE π∠=Q ，即DE AD ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE I 平面ABCD AD =，DE ⊂平面ADE ， DE ∴⊥平面ABCD ，由于四边形ABCD 为边长为2的正方形, 所以DA 、DC 、DE 两两互相垂直．以D 为坐标原点，{},,DA DC DE u u u r u u u r u u u r为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.EF ⊥Q 平面ADE 且1EF =，()0,0,0D ∴、()2,0,0A 、()0,0,2E 、()0,2,0C 、()2,2,0B 、()0,1,2F ， ()2,0,2AE =-u u u r ，()0,1,2DF =u u u r ，则10cos ,225AE DF A AE DF E DF ⋅<===⨯⋅>u u u r u u u r u u u u r u u u u ur r u u u r ， 所以AE 和DF 10 （2）()2,2,0DB =u u u r ，()0,1,2DF =u u u r ，设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =r ， 由22020n DB x y n DF y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得()2,2,1n =-r ， Q 平面CDF 的一个法向量为()1,0,0m =u r ，22cos ,313m n m n m n ⋅∴<>===⨯⋅u r r u r r u r r ， 由二面角B DF C --的平面角为锐角，所以二面角B DF C --的余弦值为23. 【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成角和二面角的余弦值，解答的关键就是建立合适的空间直角坐标系，考查计算能力，属于中等题.25．给定()3,n n n N *≥∈个不同的数1、2、3、L 、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ．（1）若3n =，求3T ；（2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =； ②求n T （用n 表示）．【答案】（1）38T =；（2）①见解析；②()!12n n T n =-. 【解析】（1）列出1、2、3的所有排列，求出6个排列P 中P k 的值，进而可求得3T 的值；（2）①设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、L 、n a ，求得()()()141212n n n S l l +==++为奇数，再由2k S 为偶数可得出结论； ②由题意可得出2k n S S <，可得出1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+，考虑排列P 的对应倒序排列P '，推导出1P k n k '=--，由此可得出1P P k k n '+=-，再由1、2、3、L 、n 这n 个不同数可形成!2n 个对应组合(),P P '，进而可求得n T 的值. 【详解】（1）1、2、3的所有排列为1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1.因为36S =，所以对应的P k 分别为2、1、2、1、1、1，所以38T =；（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、L 、n a ，因为41n l =+，l N *∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S = （ii ）因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =， 所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+①， 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②，考虑排列P 的对应倒序排列:P 'n a 、1n a -、L 、1a ，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++，由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-；又1、2、3、L 、n 这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '，且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． 【点睛】本题考查数列中的新定义，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3）观察，分析寻找规律是难点，是难题.。

2020年江苏省泰州市姜堰中学高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 若集合A ={4,5，6，8}，B ={3,5，7，8}，则A ∪B = ______ ．2. 设复数z 满足(1+i)z =2i ，则|z|=________________3. 如图所示是一个算法的伪代码，其运行的结果S 为________．4. 甲、乙两人分别将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)抛掷1次．观察向上的点数，则甲的点数不大于乙的点数的概率为_________．5. 某工厂为了解一批产品的净重(单位：克)情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96,106]中，其频率分布直方图如图所示．在抽测的100件产品中，净重在区间[100,104)上的产品件数是___ ．6. 用半径为10√2cm ，面积为100√2πcm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(衔接部分忽略不计)，则该容器盛满水时的体积是__________．7. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4+a 5=25，S 6=57，则{a n }的公差为______．8. 如图，已知O 为矩形 P 1P 2P 3P 4 内的一点，满足 OP 1=4，OP 3=5，P 1P 3=7，则 OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______9.函数f(x)=x2+x−1的最小值是__________．10.已知曲线f(x)=ax2−lnx在点(2,f(2))处的切线斜率为32，则f(x)的最小值为_____．11.已知直线y=−x+1与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x−2y=0上，则此椭圆的离心率为______．12.函数f(x)=sin(2x−π6)，x∈[0,π]的递增区间是______ ．13.已知变量x1，x2∈(0,m)(m>0)，且x1<x2，若x1x2<x2x1恒成立，则m的最大值为______________．14.已知△ABC中，3(CA⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =4AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2，则tanAtanB=__________.二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．(1)求证：MN//平面ABB1A1；(2)线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．].16.设向量a⃗=(√3cosx,cosx),b⃗ =(sinx,cosx),x∈[0,π2(Ⅰ)若|a⃗|=|b⃗ |,求x的值:(Ⅱ)设函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ，求函数f(x)的值域．17.已知圆C:(x−1)2+y2=4内有一点P(1,1)，过点P作直线l交圆C于A,B两点．2(1)当点P为AB中点时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为45∘时，求弦AB的长．18.如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为两边夹角为120°的公路(长度均超过√3千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客上下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM=√3千米，AN=√3千米．(1)求线段MN的长度；(2)若∠MPN=60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．19.已知函数f(x)=ax3−3x2，a∈R．(1)若a>0，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，求a的取值范围．20.已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=25，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)b n=1S n (n∈N∗)，证明：对一切正整数n，有b1+b2+⋯+b n<74．21. 矩阵[1001]将直线y =2x +2变成了什么图形?并指出该变换是什么变换．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−2−ty =2−√3t (t 为参数)，直线l 与曲线C ：(y −2)2−x 2=1交于A ，B 两点；(1)求|AB|的长；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的直角坐标为(−2,2)，求点P 到线段AB 中点M 的距离．23. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，∠BAC =∠PAD =∠PCD =90°．(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)若AB =AC =PA =3，E 为BC 的中点，F 为棱PB 上的点，PD//平面AEF ，求二面角A −DF −E 的余弦值．24.在(2x−3y)10的展开式中(2x−3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+⋯+a10y10，求：(1)各项二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项的系数和与偶数项的系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．-------- 答案与解析 --------1.答案：{3,4，5，6，7，8}解析：解：∵集合A={4,5，6，8}，B={3,5，7，8}，∴A∪B={3,4，5，6，7，8}．故答案为：{3,4，5，6，7，8}．利用并集的性质求解．本题考查并集的求法，解题时要认真审题，是基础题．2.答案：√2解析：【分析】本题主要考查的是复数的运算及模的求法，可先求出复数z再求模．【解答】解：由(1+i)z=2i得z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2(1+i)2=1+i，所以|z|=√12+12=√2，故答案为√2．3.答案：25解析：【分析】本题考查了伪代码的应用问题，解题时应根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是基础题目．根据题意，可知该循环变量的初值为3，终值为9，步长为2，代入模拟程序的运行过程，即可得出答案．【解答】解：由题意可得，运行的结果为S=1+3+5+7+9=25．故答案为25．4.答案：712解析：【分析】本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题．先求出基本事件总数为36，甲的点数不大于乙的点数包含的基本事件数为21，再利用古典概型的计算公式即可．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，甲的点数不大于乙的点数包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)，共21个，∴甲的点数不大于乙的点数的概率2136=712．故答案为712．5.答案：55解析：【分析】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=频数样本容量的应用问题，是基础题目．【解答】解：根据频率分布直方图，得：净重在区间[100,104]上的产品频率是(0.150+0.125)×2=0.55，∴对应的产品件数是100×0.55=55．故答案为55．6.答案：1000π3解析：【分析】本题考查圆锥的体积公式、扇形的面积公式的实际应用，以及方程思想，属于基础题．【解答】解：设圆锥形容器的底面半径是r ，高为h ，由题意得，12×2πr ×10√2=100√2π，解得r =10(cm)，则ℎ=√(10√2)2−102=10(cm)， 所以圆锥形容器的体积V =13πr 2ℎ=13π×102×10=1000π3(cm 3)， 故答案为1000π3．7.答案：3解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4+a 5=25，S 6=57，∴2a 1+7d =25，6a 1+6×52d =57，解得d =3．故答案为：3． 8.答案：−4解析：【分析】建立坐标系，根据条件列方程得出各点坐标的关系，从而得出 OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．本题考查了平面向量的数量积运算与坐标运算，属于中档题．【解答】解：以P 1为原点建立平面坐标系如图所示：设P 2(a,0)，P 4(0,b)，O(x,y)，则P 3(a,b)，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x,−y)，OP 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,b −y)，∵OP 1=4，OP 3=5，P 1P 3=7，∴{x 2+y 2=16a 2+b 2=49(x −a)2+(y −b)2=25，整理可得ax +by =20．∴OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x(a −x)−y(b −y)=x 2+y 2−(ax +by)=16−20=−4．故答案为：−4．9.答案：−54解析：f(x)=x 2+x −1=(x +12)2−54≥−54． 10.答案：12解析：【分析】本题主要考查导数的应用，属基础题．利用导数的几何意义，先求出a 的值，再利用导数求函数的最小值．【解答】解：∵f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率是32，∴f′(2)=32，又f′(x)=2ax −1x ，∴32=4a −12，得a =12，所以f′(x)=x −1x=x 2−1x ， 当0<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x >1时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f (x )min =f (1)=12，故答案为12．11.答案：√22解析：解：联立{y =−x +1x −2y =0，得x =23，y =13，∴直线y =−x +1与x −2y =0的交点为M(23,13)，∴线段AB 的中点为(23,13)， 设y =−x +1与x 2a2+y 2b 2=1的交点分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=43，y 1+y 2=23， 分别把A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)代入椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，得：{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，两式相减， 得(y 1−y 2)⋅(y 1+y 2)(x1−x 2)⋅(x 1+x 2)=−12=−b 2a 2，a 2=2b 2，∴a =√2b =√2c ，∴e =√22． 故答案为：√22．联立{y =−x +1x −2y =0，得到线段AB 的中点为(23,13)，设y =−x +1与x 2a 2+y 2b 2=1的交点分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用点差法能求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．12.答案：[0,π3]，[5π6,π]解析：解：由−π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ，解得−π6+kπ≤x ≤kπ+π3，(k ∈Z)， 令k =0，可得−π6≤x ≤π3；令k =1，可得5π6≤x ≤π+π3． 又x ∈[0,π]，可得函数f(x)的单调递增区间为：[0,π3]，[5π6,π]． 故答案为：[0,π3]，[5π6,π]．由−π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ，解得−π6+kπ≤x ≤kπ+π3，(k ∈Z)，对k 取值即可得出． 本题考查了正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：e解析： 【分析】对不等式取对数，构造函数，利用导数研究函数单调性，进一步求最值，本题考查函数导数研究函数单调性及恒成立问题，属中档题目． 【解答】解：由题意若x 1x 2<x 2x 1恒成立， 则，即，∵x 1，x 2∈(0,m )(m >0)，在(0,m )单调递增，从而，∴x <e故答案为e ．14.答案：−7解析： 【分析】本题主要考查向量的计算，以及正弦定理，余弦定理的应用． 【解答】解：由已知得：3(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，即3(a 2−b 2)=4c 2，即故答案为−7．15.答案：解：(1)证明：取A 1B 1的中点D ，连接DN ，AD ，因为点N 为B 1C 1的中点，所以在△A 1B 1C 1中，DN //A 1C 1,DN =12A 1C 1，又因为点M 为AC 的中点，所以AM //A 1C 1,AM =12A 1C 1， 所以AM //DN,AM =DN ，故四边形AMND 为平行四边形， 所以MN//AD ，又因为AD ⊂平面ABB 1A 1，，所以．(2)解：线段CC 1上存在点Q ，且Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ. 证明如下：连接BC 1，B 1C ，在正方形BB 1C 1C 中，B 1C ⊥BC 1,QN //B 1C ， 所以QN ⊥BC 1．在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥AC ，BC ⊥AC ， BC ∩CC 1=C ，，所以AC⊥平面BCC1B1，又因为AC//A1C1，所以A1C1⊥平面BB1C1C，所以A1C1⊥QN，，所以NQ⊥平面A1BC1，又因为，所以A1B⊥QN.同理可得A1B⊥MQ，，所以A1B⊥平面MNQ．故线段CC1上存在点Q，使得A1B⊥平面MNQ.解析：本题考查直线与平面平行于垂直的判定，熟练掌握判定定理是解决问题的关键，属中档题．(1)取A1B1的中点D，连接DN，AD，可得四边形AMND为平行四边形，可得MN//AD，由线面平行的判定定理可得MN//平面ABB1A1；(2)当Q为CC1中点时，有A1B⊥平面MNQ.连接BC1，易证QN⊥BC1.可得A1B⊥QN，A1B⊥MQ，由线面垂直的判定可得．16.答案：解：(Ⅰ)向量a⃗=(√3cosx,cosx),b⃗ =(sinx,cosx),x∈[0,π2]．由于：|a⃗|=|b⃗ |，则：(√3cosx)2+cos2x=sin2x+cos2x，解得：4cos2x=1，由于：x∈[0,π2]，则：cosx=12，解得：x=π3．(Ⅱ)函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ，=√3cosx⋅sinx+cos2x，=√32sin2x+12cos2x+12，=sin(2x+π6)+12．由于：x∈[0,π2]，则：2x+π6∈[π6,7π6]，则：−12≤sin(2x+π6)≤1，故：f(x)的值域为[0,32]．解析：本题考查的知识要点：平面向量数量积的应用，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用向量的模的运算求出角的值．(Ⅱ)利用平面向量的数量积和三角函数关系式的恒等变变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．17.答案：解：(1)已知圆C:(x −1)2+y 2=4的圆心为C(1,0)，∵k CP =1−012−1=−2，直线l 的方程为y =12(x −12)+1，即y =12x +34 ．(2)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y =x +12， 圆心C 到直线l 的距离为d =1−0+12√2=3√24，又∵圆的半径为2，∴弦AB 的长为2(3√24)=√462.解析：本题主要考查直线与圆的位置关系，高考中对直线与圆的方程的考查以基础题为主，故平时就要注意基础知识的积累和应用．(1)先求出圆的圆心坐标，从而可求得直线l 的斜率，再由点斜式方程可得到直线l 的方程，最后化简为一般式即可；(2)先根据点斜式方程求出方程，再由点到线的距离公式求出圆心到直线l 的距离，进而根据勾股定理可求出弦长．18.答案：解：(1)在△AMN 中，由余弦定理得，MN 2=AM 2+AN 2−2AM ⋅ANcos120°=3+3−2×√3×√3×(−12)=9，所以线段MN 的长度为3千米．(2)设∠PMN =α，因为∠MPN =60°，所以∠PNM =120°−α， 在△PMN 中，由正弦定理得，MNsin∠MPN =PMsin(120∘−α)=PNsinα． 因为MNsin∠MPN =3sin60∘=2√3，所以PM =2√3sin(120°−α)，PN =2√3sinα， 因此PM +PN =2√3sin(120°−α)+2√3sinα=2√3(√32cosα+12sinα)+2√3sinα=3√3sinα+3cosα=6sin(α+30°)，因为0°<α<120°，所以30°<α+30°<150°．所以当α+30°=90°，即α=60°时，PM +PN 取到最大值6．答：两条观光线路距离之和的最大值为6千米．解析：本题考查解三角形的实际应用；关键是正确建模，然后利用正弦定理、余弦定理解三角形． (1)在△AMN 中，利用余弦定理得到MN ；(2)设∠PMN =α，得到∠PNM =120°−α，利用正弦定理将PM +PN 用α表示，结合三角函数的有界性求最值．19.答案：解：(1)若a >0，∵f(x)=ax 3−3x 2，∴f′(x)=3ax 2−6x =3x(ax −2)=3ax(x −2a).当x ∈(−∞,0)∪(2a ,+∞)时，f′(x)>0，当x ∈(0,2a )时，f′(x)<0 故函数的减区间为∈(0,2a )，增区间为(−∞,0)，(2a ,+∞)； (2)若函数f(x)在区间[0,1]上单调递减， 则f′(x)=3ax 2−6x ≤0在[0,1]上恒成立， 即3ax 2≤6x 在[0,1]上恒成立， 当x =0时，满足条件，当x ≠0时，不等式等价为a ≤6x3x 2=2x ， ∵0<x ≤1，∴2x ≥2， 则a ≤2．法2：若函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，则f′(x)=3ax 2−6x =3x(ax −2)≤0在[0,1]上恒成立， 则只需要ax −2≤0， 即只需{a ×0−2≤0a ×1−2≤0，解得a ≤2．解析：(1)求出原函数的导函数，由导函数的符号确定原函数的单调区间．(2)根据函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，转化为f′(x)=3ax 2−6x ≤0在[0,1]上恒成立，即可求出a 的取值范围．本题考查了函数单调性和导数之间的关系，考查学生的运算能力．20.答案：(1)解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 5=25，且S 1，S 2，S 4成等比数列，得{5a 1+5×42d =25(2a 1+d)2=a 1⋅(4a 1+4×32d)，解得：{a 1=5d =0或{a 1=1d =2．∵d ≠0， ∴{a 1=1d =2， 则a n =1+2(n −1)=2n −1； (2)证明：若a n =5，则b n =1S n=15n ，b 1+b 2+⋯+b n =74． 若a n =2n −1，则S n =n +2n(n−1)2=n 2，b n =1S n=1n 2．∴b 1+b 2+⋯+b n =112+122+132+⋯+1n 2<1+14+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1−1n ) =74−1n <74．解析：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意列方程组求得首项和公差，则数列{a n }的通项公式可求；(2)求出等差数列的前n 项和，代入b n =1S n，放缩后列项相消求和，则结论可证．本题考查了等差数列的通项公式，考查了放缩法证明数列不等式，是中档题．21.答案：解：设A(x,y)为直线上的任意一点，经过变换后的点为Aˈ(x′,y′)．因为[1001][xy ]=[x y ]=[x′y′]， 所以x =xˈ，y =yˈ，所以变换后的方程仍为y =2x +2， 所以该变换是恒等变换．解析：本题考查了二阶矩阵和二阶矩阵的乘法，由[1001][xy ]=[x y ]=[x′y′]，所以x =xˈ，y =yˈ，从而得出恒等变换．22.答案：解：(1)直线l 的参数方程为标准型{x =−2+12ty =2+√32t(t 为参数)， 代入曲线C 方程得t 2+4t −10=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=−4，t 1t 2=−10， ∴|AB|=|t 1−t 2|=2√14．(2)点P 在直线l 上，中点M 对应参数为t 1+t 22=−2，由参数t 几何意义，∴点P 到线段AB 中点M 的距离|PM|=2．解析：(1)直线l 的参数方程为标准型{x =−2+12ty =2+√32t(t 为参数)，代入曲线C 的方程，利用参数的几何意义即可得出．(2)点P 在直线l 上，中点M 对应参数为t 1+t 22=−2，利用参数t 几何意义，即可得出|PM|．本题考查了曲线的参数方程及几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：解：(1)证明：∵AB//CD ，PC ⊥CD ，∴AB ⊥PC ，∵AB ⊥AC ，AC ∩PC =C ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， ∴AB ⊥平面PAC ， ∴AB ⊥PA ，又∵PA ⊥AD ，AB ∩AD =A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)连接BD 交AE 于点O ，连接OF ， ∵E 为BC 的中点，BC//AD ，∴BOOD =BEAD =12， ∵PD//平面AEF ，PD ⊂平面PBD ， 平面AEF ∩平面PBD =OF ， ∴PD//OF ，∴BFFP =BOOD =12，以AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ， 则A(0,0，0)，B(3,0，0)，C(0,3，0)，D(−3,3，0)，P(0,0，3)，E(32,32,0)，F(2,0，1)， 设平面ADF 的法向量m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， ∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3，0)， 由{m ⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{2x 1+z 1=0−3x 1+3y 1=0取m ⃗⃗⃗ =(1,1，−2)．设平面DEF 的法向量n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， ∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(92,−32,0)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−32,1)， 由{n ·⃗⃗⃗⃗ DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{92x 2−32y 2=012x 2−32y 2+z 2=0取n ⃗ =(1,3，4)，，∵二面角A−DF−E为钝二面角，∴二面角A−DF−E的余弦值为−2√39．39解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．属于中档题．(1)证明AB⊥PC，AB⊥平面PAC，即可得PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面ABCD．(2)以AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A−xyz，利用向量法能求出面PDF与面EFD所成二面角的余弦值．24.答案：解：各项系数和为a0+a1+⋯+a10，奇数项系数和为a0+a2+⋯+a10，偶数项系数和为a1+a3+a5+⋯+a9，x的奇次项系数和为a1+a3+a5+⋯+a9，x的偶次项系数和a0+a2+a4+⋯+a10．(1)二项式系数和为C100+C101+⋯+C1010=210．(2)令x=y=1，各项系数和为(2−3)10=(−1)10=1．(3)奇数项的二项式系数和为C100+C102+⋯+C1010=29，偶数项的二项式系数和为C101+C103+⋯+C109=29．(4)因为(2x−3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+⋯+a10y10令x=y=1，得到a0+a1+a2+⋯+a10=1①令x=1，y=−1，得a0−a1+a2−a3+⋯+a10=510②①+②得2(a0+a2+⋯+a10)=1+510，∴奇数项的系数和为1+510；2①−②得2(a1+a3+⋯+a9)=1−510，∴偶数项的系数和为1−510．2(5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+⋯+a9=1−510；2x的偶次项系数和为a0+a2+a4+⋯+a10=1+510．2解析：本题考查二项式系数的性质，考查了利用特值法求二项展开式中项的系数，是中档题．由(2x−3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+⋯+a10y10得各项系数和为a0+a1+⋯+a10，奇数项系数和为a0+a2+⋯+a10，偶数项系数和为a1+a3+a5+⋯+a9，x的奇次项系数和为a1+a3+a5+⋯+a9，x的偶次项系数和a0+a2+a4+⋯+a10.可用“赋值法”求出相关的系数和．。

江苏省泰州市2019-2020学年高考数学五模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（ ） A ．[﹣3，2） B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0）【答案】C 【解析】 【分析】先化简N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}， 又因为M ＝{x|﹣1＜x ＜2}， 所以M∩N ＝{x|﹣1＜x≤0}. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m=>，320x y +=可化为32y x =-32=，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.3．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.4．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-r r，则3m =是//a b r r 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A 【解析】 【分析】向量1a m =r （，），32b m =-r（，），//a b r r ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出即可． 【详解】解：向量1a m =r （，），32b m =-（,）r ， //a b r r，则32mm =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.5．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，112A P PB =u u u r u u u r，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=uu r uuu r（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质，可知TP PB ⊥；结合112A P PB =u u u r u u u r即可证明11PTA BPB ∆≅∆，进而求得1TA .由线段关系及平面向量数量积定义即可求得1TP B B ⋅uu r uuu r .【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==， 点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则TP PB ⊥，112A P PB =u u u r u u u r则11PTA BPB ∠=∠，所以11PTA BPB ∆≅∆， 则111TA PB ==，所以11cos TP B B TP B B PTA ⋅=⋅⋅∠uu r uuu r uu r uuu r2222212221⎛⎫=+⨯=- +⎝， 故选：D. 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.6．设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r （O 为坐标原点），且123PF =u u u v u u u v，则双曲线的离心率为（） A 21+ B 21C 31+ D 31【答案】D 【解析】利用向量运算可得220OA F P ⋅=u u u v u u u u v，即2OA F P ⊥u u u r u u u u r ，由OA 为12PF F ∆的中位线，得到12PF PF ⊥，所以()222122PF PF c +=，再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取2PF 的中点A ，则由()220OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r 得220OA F P ⋅=u u u v u u u u v，即2OA F P ⊥u u u r u u u u r ；在12PF F ∆中，OA 为12PF F ∆的中位线， 所以12PF PF ⊥， 所以()222122PF PF c +=；由双曲线定义知122PF PF a -=，且123PF PF =，所以()312c a -=，解得31e =+， 故选：D 【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.7．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 【答案】D 【解析】采用逐一验证法，根据图表，可得结果. 【详解】A 正确，从图表二可知，3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大 B 正确，从图表二可知，4月份只有北京市居民消费价格指数低于102 C 正确，从图表一中可知，只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大 D 错误，从图表一可知上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 故选：D 【点睛】本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.8．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A B ．C D 【答案】A 【解析】 【分析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r. 因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =.因为321OD OC CD =-=-=，所以DM ==. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥.因为QP QB ==即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径R QB ===【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题 9．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则化简可得()3+223a a i +-，根据纯虚数的概念可得结果. 【详解】由题可知原式为()3+223a a i +-，该复数为纯虚数，所以3+2032302a a a =⎧⇒=-⎨-≠⎩. 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题. 10．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限.故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.11．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性即可求出答案． 【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知1212OA c F F ==，1290F AF ∠=︒，再结合双曲线第一定义，可得122AF AF a =+，对1Rt AF B V 有22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAF aa +++=，解得2AF a =，再对12Rt AF F △，由勾股定理可得()()22232a a c +=，化简即可求解【详解】如图，因为15BF a =，所以2523BF a a a =-=.因为1212OA c F F ==所以1290F AF ∠=︒. 在1Rt AF B V 中，22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAF aa +++=，得2AF a =，则123AF a a a =+=.在12Rt AF F △中，由()()22232a a c +=得c e a =.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省泰州市姜堰中学高考数学模拟试卷（5月份）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.集合A={0，e x}，B={-1，0，1}，若A∪B=B，则x=______．2.若复数z=（1+i）（1-ai）（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=2，则a=______．3.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为______．4.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值是2的概率为______．5.对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为______．6.现用一半径为10cm，面积为80πcm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为______cm3．7.设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），其前n项和为S n．若，2S12=S2+10，则d的值为______．8.如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA=2，OC=4，AC=5，则=______．9.已知函数f（x）=x2+bx，若函数y=f（f（x））的最小值与函数y=f（x）的最小值相等，则实数b的取值范围是______．10.已知y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，且f′（x）=ln x+1，则函数f（x）的最小值为______．11.已知椭圆M：（a＞b＞0）与双曲线N：有公共焦点，N的一条渐近线与以M的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若M恰好将线段AB三等分，则椭圆M的短轴长为______．12.函数f（x）=2sin（2x+φ）+1（），当x∈（0，）时，f（x）＞0，则的最小值是______．13.已知变量x1，x2∈（0，m）（m＞0），且x1＜x2，若恒成立，则m的最大值______．14.已知△ABC的周长为6，且cos2B+2sin A sin C=1，则的取值范围是______．二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C；（2）若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN．16.已知△ABC中，，，，．（1）求；（2）设∠BAC=θ，且已知，，求sin x．17.在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4，直线l：4x+3y-20=0，A（，）为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．（1）若MN∥l，求△PMN的面积．（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．18.如图1，某小区中有条长为50米，宽为6.5米的道路ABCD，在路的一侧可以停放汽车，已知小型汽车的停车位是一个2.5米宽，5米长的矩形，如GHPQ，这样该段道路可以划出10个车位，随着小区居民汽车拥有量的增加，停车难成为普遍现象．经过各方协商，小区物业拟压缩绿化，拓宽道路，改变车位方向增加停车位，如图2，改建后的通行宽度保持不变，即G到AD 的距离不变．（1）绿化被压缩的宽度BE与停车位的角度∠HPE有关，记d=BE，∠HPE=θ，为停车方便，要求30°＜θ＜60°，写出d关于θ的函数表达式d（θ）；（2）沿用（1）的条件和记号，实际施工时，BE=3米，问改造后的停车位增加了多少个？19.设区间D=[-3，3]，定义在D上的函数f（x）=ax3+bx+1（a＞0，b∈R），集合A={a|∀x∈D，f（x）≥0}．（1）若b=，求集合A；（2）设常数b＜0①讨论f（x）的单调性；②若b＜-1，求证：A=∅．20.定义：从数列{a n}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{a n}的一个子数列．设数列{a n}是一个公差不为零的等差数列．（1）已知a4=6，自然数k1，k2，…，k t，…满足4＜k1＜k2＜…＜k t＜…．①若a2=2，且a2，a4，，，…，，…是等比数列，求k2的值；②若a2=4，求证：数列a2，a4，，，…，，…不是等比数列．（2）已知存在自然数k1，k2，…，k t，…，其中k1＜k2＜…＜k t＜…．若，，…，，…是{a n}的一个等比子数列，若（m为正整数），求k t的表达式（答案用k1，k2，m，t表示）．21.在平面直角坐标系xOy中，先对曲线C作矩阵A=（0＜θ＜2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B=（0＜k＜1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为，求k，θ的值．22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=3，求点M轨迹的直角坐标方程．23.如图，四棱锥S-ABCD的底面是平行四边形，AD=BD=2，AB=，SD⊥平面ABCD．SD=2，点E是SD上的点，且（0≤λ≤1）．（1）求证：对任意的0≤λ≤1，都有；（2）若二面角C-AE-D的大小为60°，求λ的值．24.设函数f n（θ）=sin nθ+cos nθ，n∈N*，且f1（θ）=a，其中常数a为区间（0，1）内的有理数．（1）求f n（θ）的表达式（用a和n表示）（2）求证：对任意的正整数n，f n（θ）为有理数．-------- 答案与解析 --------1.答案：0解析：解：因为集合A={0，e x}，B={-1，0，1}，A∪B=B，所以A⊆B，又e x＞0，所以e x=1，所以x=0．故答案为：0．推导出A⊆B，e x＞0，从而e x=1，由此能求出结果．本题考查实数值的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：±1解析：解：∵z=（1+i）（1-ai），∴|z|=•=2，∴1+a2=2，∴a=±1，故答案为：±1由复数求模公式计算得答案．本题考查了复数模的计算，考查了运算能力，属于基础题3.答案：40解析：解：模拟程序的运行过程如下，I=2，S=100，I=5，S=95，I=14，S=81，I=41，S=40，此时不满足循环条件，则输出S=40．故答案为：40．模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．4.答案：解析：解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之差的绝对值是2包含的基本事件有8个，分别为：（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），则向上的点数之差的绝对值是2的概率为：p=．故答案为：．基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之差的绝对值是2包含的基本事件有8个，由此能求出向上的点数之差的绝对值是2的概率．本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.答案：50解析：解：根据频率分布直方图可知，三等品总数n=[1-（0，05+0.0375+0.0625）×5]×200=50．故答案为：50．由频率分布直方图可知，算出三等品所占的比例乘以样本容量得出三等品的件数．本题主要考查频率分布直方图的读图能力，属于简单题型，注意纵坐标意义．6.答案：128π解析：解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r，则由题意得R=10，由Rl=80π得l=16π；由2πr=l得r=8；由R2=r2+h2得h=6；由V锥=πr2h=•π•64•6=128π（cm3）．所以该容器最多盛水128πcm3．故答案为：128π．由圆锥的几何特征，我们可得用半径为10cm，面积为80πcm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可示出答案．本题考查的知识点是圆锥的体积，其中根据已知制作一个无盖的圆锥形容器的扇形铁皮的相关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键．7.答案：-10解析：解：由，2S12=S2+10，得，解得d=-10．故答案为：-10．由已知条件结合等差数列的通项公式和求和公式，可得，求解即可得答案．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．8.答案：-解析：解：以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设O（m，n），B（a，0），D（0，b），则C（a，b），∵OA=2，OC=4，AC=5，∴，整理可得：am+bn=．又=（a-m，-n），=（-m，b-n），∴=m（m-a）+n（n-b）=m2+n2-（am+bn）=4-=-．故答案为：-．建立坐标系，设O（m，n），C（a，b），根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算的值．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．9.答案：{b|b≥2或b≤0}．解析：解：由于f（x）=x2+bx+2，x∈R．则当x=-时，f（x）min=-，又函数y=f（f（x））的最小值与函数y=f（x）的最小值相等，则函数y必须要能够取到最小值，即-≤-，得到b≤0或b≥2，所以b的取值范围为{b|b≥2或b≤0}．故答案为：{b|b≥2或b≤0}．首先这个函数f（x）的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是大于等于它的最小值．y=f （f（x））它的图象只能是函数f（x）上的一段，而要这两个函数的值域相同，则函数y必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要f（x）的最小值小于-本题考查函数值域的简单应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10.答案：-解析：解：由f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，可得f（1）=0，f′（1）=1，f′（x）=ln x+1，可设f（x）=x lnx+t，由f（1）=0，可得t=0，即f（x）=x lnx，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=，f（x）取得极小值也为最小值，且为-．故答案为：-．由切线的方程，可得f（1）=0，f′（1）=1，f′（x）=ln x+1，可设f（x）=x lnx+t，求得t=0，求出f（x）的单调区间、极小值，即为最小值．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．11.答案：解析：解：由题意可得：a2-b2=10．取双曲线N的一条渐近线y=3x，联立，解得=．联立，解得=．由题意可得：=4×．化为：31b2=a2．∴31b2=b2+10．∴b=∴椭圆M的短轴长为．故答案为：．由题意可得：a2-b2=10．取双曲线N的一条渐近线y=3x，联立，解得A点坐标．联立，解得与椭圆交点坐标．根据M恰好将线段AB三等分，即可得出．本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：2解析：解：解：∵f（x）=2sin（2x+φ）+1＞0，∴sin（2x+φ）＞，∴，k∈z，解可得，φ+kπ＜x＜kφ，k∈z，当k=0时，φ＜x＜，∵当x∈（0，）时，f（x）＞0，∴，∴∴，则f（）=2sin（φ）+1=2cosφ+1∈[2，3]，即最小值为2．故答案为：2．由f（x）＞0，结合正弦函数的性质求出符合条件的x，然后结合x∈（0，）时，f（x）＞0，可求满足条件的φ，进而可求．本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，解题中要善于利用函数的图象是关键，属基础题．13.答案：e解析：解：∵x1，x2∈（0，m）（m＞0），∴x1＞0，x2＞0，由恒成立可得x2ln x1＜x1ln x2恒成立，即＜恒成立，令f（x）=，则f（x）在（0，m）上单调递增，对f（x）求导可得f′（x）=，∴当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴m的最大值为e．故答案为：e．不等式可化为＜，于是f（x）=在（0，m）上单调递增，根据f（x）的单调性即可得出m的最大值．本题考查了函数的单调性判断，函数单调性与不等式恒成立问题，属于中档题．14.答案：[2，）解析：解：由cos2B+2sin A sin C=1，得2sin A sin C=1-cos2B=2sin2B，利用正弦定理可得b2=ac，又a+b+c=6，∴b=≤=，从而0＜b≤2．再由|a-c|＜b，得（a-c）2＜b2，（a+c）2-4ac＜b2，∴（6-b）2-4b2＜b2，得b2+3b-9＞0，又b＞0，解得b＞，∴＜b≤2，∵cos B=，∴=ac•cos B====-（b+3）2+27．则2≤＜．∴的取值范围是[2，）．故答案为：[2，）．由cos2B+2sin A sin C=1得b2=ac，且a+b+c=6，由基本不等式及三角形中的边角关系求得b的范围得到b的范围，代入数量积公式可得=-（b+3）2+27．则的取值范围可求．本题考查平面向量的数量积运算，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属难题．15.答案：证明：（1）取A1C1的中点P，连接AP，NP．因为C1N=NB1，C1P=PA1，所以NP∥A1B1，NP=A1B1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1=AB．故NP∥AB，且NP=AB．因为M为AB的中点，所以AM=AB．所以NP=AM，且NP∥AM．所以四边形AMNP为平行四边形．所以MN∥AP．因为AP⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C．（2）因为CA=CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB．因为CC1=CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN⊥BC．因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC=BC．CN⊂平面CC1B1B，所以CN⊥平面ABC．因为AB⊂平面ABC，所以CN⊥AB．因为CM⊂平面CMN，CN⊂平面CMN，CM∩CN=C，所以AB⊥平面CMN．解析：（1）取A1C1的中点P，连接AP，NP．证得四边形AMNP为平行四边形．再由线面平行的判定定理即可得到；（2）运用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质和判定定理，即可得证．本题考查线面平行的判定定理和线面、面面垂直的判定和性质定理，考查逻辑推理能力，注意定理的条件的全面性，属于基础题．16.答案：解：（1）由已知，即，∵，∴，（2分）∵，∴CD⊥AB，（3分）在Rt△BCD中，BC2=BD2+CD2，又CD2=AC2-AD2，∴BC2=BD2+AC2-AD2=196，（5分）∴．（6分）（2）在△ABC中，，∴．（7分）即，，（9分）而，（10分）则，（12分）∴，∴．（14分）解析：（1）先由已知，得到再根据向量的数量积为0得到CD⊥AB最后利用直角三角形：在Rt△BCD中，求得BC的长度即可；（2）先在△ABC中，，得到从而，利用角的限制条件得出，最后结合三角变换公式即可求得sin x．本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值，解答的关键是灵活应用三角变换的公式进行转换．17.答案：解：（1）∵MN∥l，∴可设直线MN的方程为4x+3y+m=0∵点A在MN上，代入坐标可求得m=-5∴直线MN的方程为4x+3y-5=0由点到直线距离公式可得点O到直线MN的距离为1从而MN=2=2两平行线MN，l之间的距离为∴S△PMN==3（2）直线PM与圆O相切，证明如下：设M（x0，y0），则直线MN的斜率为k==，∵OP⊥MN，∴直线OP的方程为：y=-x，与直线l的方程4x+3y-20=0联立，解得P点的坐标为（），∴=（），又∵=（x0，y0），且x02+y02=4，∴=，==0，∴，∴MP⊥OM，∴直线PM与圆O相切．解析：第一步利用点到直线距离公式，平行线间距离公式求解三角形底和高；第二步利用点的坐标和垂直关系设直线方程，解方程组得交点坐标，利用数量积证垂直，得相切．此题考查了圆的弦长，点到直线距离公式，平行线间距离公式，直线与圆位置关系等，其中对运算能力考查力度也不小，整体难度适中．18.答案：解：（1）由题意，∠HPE=θ，HP=2.5，∴EP=HP×cosθ=2.5cosθ，HE=2.5sinθ；又∠HPE=θ，得∠RHG=∠HPE=θ，RH=HG×cos∠RHG=5cosθ，又RH+HE=RB+BE=2.5+d，得5cosθ+2.5sinθ=d+2.5，∴d（θ）=5cosθ+sinθ-，30°＜θ＜60°；（2）由（1）得d=5cosθ+sinθ-，∵BE=3，∴cosθ+sinθ=，解得sinθ=或；由30°＜θ＜60°，∴sinθ=不合题意舍去；由sinθ=，得RG=3，sinθ=，cosθ=，EP=2；图2改造后的停车位n个，由题意得n×+EP+RG≤50，2+n×+3≤50，n取整数为14，又n≤，图（1）车位数为10个，则改造后的停车位增加了4个．解析：（1）由题意知∠HPE=θ，利用三角形的边角关系，求出d关于θ的函数表达式d（θ）；（2）根据d关于θ的解析式，求出cosθ、sinθ的值，计算图2改造后的停车位个数，从而得出改造后的停车位增加了多少个．本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了计算与推理能力，是中档题．19.答案：（1）解：当b=时，f（x）=，f′（x）=＞0，∴f（x）在[-3，3]上为增函数，则=．由，解得a．∴A={a|∀x∈D，f（x）≥0}=（0，]；（2）①解：f（x）=ax3+bx+1，f′（x）=3ax2+b，∵a＞0，b＜0，∴由f′（x）=3ax2+b=0，得＞0，则x=．若27a+b≤0，则，则f′（x）≤0在[-3，3]上恒成立，f（x）在[-3，3]上为减函数；若27a+b＞0，则当x∈[-3，）∪（，3]时，f′（x）＞0，当x∈（）时，f′（x）＜0．∴函数的增区间为[-3，），（，3]，减区间为（）；②证明：当b＜-1时，由①可知，当0＜a≤时，f（x）在[-3，3]上单调递减，∴f（x）min=f（3）=27a+3b+1≤-b+3b+1=2b+1＜-1＜0，这与∀x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；当a＞-时，f（x）在[-3，），（，3]上递增，在（）上递减，∴f（x）min={f（-3），f（）}，若f（-3）=-27a-3b+1＜0，这与∀x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；若f（-3）=-27a-3b+1＞0，令，此时f（x1）=．又f′（x1）=，则．f（x1）==．下面证明，也即证-4b3＞27a，∵a＞-，且-27a-3b+1＞0，即27a＜-3b+1．再证-4b3＞-3b+1，令g（b）=4b3-3b+1，则g′（b）=12b2-3＞0（b＜-1），∴g（b）在（-∞，-1]上单调递增，则g（b）＜g（-1）=0．即f（x1）＜0，这与∀x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在．综上所述，A=∅．解析：（1）把b=代入函数解析式，求出导函数，由f′（x）=＞0，可知f（x）在[-3，3]上为增函数，求出函数的最小值，由最小值大于0求得a的取值范围；（2）①求出函数的导函数，解得导函数的零点，然后根据与3的关系分类求得函数的单调区间；②当b＜-1时，由①可知，当0＜a≤时，f（x）在[-3，3]上单调递减，求得函数的最小值小于0，这与∀x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；当a＞-时，由①可得f（x）min={f（-3），f（）}，若f（-3）=-27a-3b+1＜0，这与∀x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；若f（-3）=-27a-3b+1＞0，证明f（）＜0，这与∀x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法、逻辑思维能力、灵活变形能力及推理运算能力，难度较大．20.答案：解：（1）①设数列{a n}的公差为d，因为a2=2，a4=6，所以2d=4，d=2，a n=a2+（n-2）d=2n-2．设无穷等比数列公比为q，q==3，所以，故k2=28．②假设数列a2，a4，，，…，，…是无穷等比数列，则a2，a4，成等比，a4，，成等比，所以得．因为2d=a4-a2=1，d=1，a n=a2+（n-2）d=n+2，所以，k2=∈N*这与k2为自然数矛盾，所以数列a2，a4，，，…，，…不是无穷等比数列．（2）因为，所以d=，又，，，…，，…是{a n}的一个等比子数列，=+（k t-k1）d，将d=代入，得，解得．解析：（1）由已知条件利用等差和等比数列知识可求k2的值，然后用反证法证明即可；（2）次子数列是原等差数列的子数列，结合等差和等比数列的双重身份，列式子，可求出d，同样结合等差和等比定义列式子=+（k t-k1）d，将d代入化简可求得结果．此题考查了等差数列和等比数列的定义，两种概念交叉使用，容易混淆，另外此题运算复杂也容易出错．21.答案：解：∵A=（0＜θ＜2π），B=（0＜k＜1），∴由题意可得：BA==，∴=，解得：，∵0＜θ＜2π，0＜k＜1，∴解得：k=，θ=．解析：由题意及矩阵乘法的意义可得：BA==，由矩阵的相等及参数的范围即可求解．本题主要考查了矩阵乘法的意义，相等矩阵等知识的应用，属于基础题．22.答案：解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为，消去参数θ，可得曲线C：x2+y2=1，（2）设点M（x0．y0）及过点M的直线为，由直线L1与曲线C相交可得：，因为|MA|•|MB|=3所以，即：，由故点M的轨迹的直角坐标方程为：x2+y2=4（夹在两直线之间的两段圆弧）解析：（1）根据题意，由极坐标方程的定义可得直线l的方程，对于曲线C的参数方程，消去参数计算即可得答案；（2）设点M（x0．y0）及过点M的直线为，结合题意直线L1与曲线C相交可得：，又由题意可得，将其变形可得答案．本题考查极坐标以及参数方程的应用，涉及极坐标方程、参数方程与直角坐标系方程的转化，关键是掌握极坐标方程、参数方程的意义．23.答案：证明：（1）∵AD=BD=2，AB=2，∴AD⊥DB，故以D为原点，DA、DB、DS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，2，0），S（0，0，2），E（0，0，2λ），∴=（-2，2，-2），=（2，0，-2λ），=（-4，2，0），=（0，-2，2λ），则==-4+4λ-（-4+0）=4λ≥0，即≥．解：（2）设平面ACE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=λ，得=（λ，2λ，1），平面ADE的一个法向量为=（0，1，0），∵二面角C-AE-D的大小为60°，∴cos60°=||==，解得λ=．解析：（1）以D为原点，DA、DB、DS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明≥．（2）求平面ACE的一个法向量和平面ADE的一个法向量，利用向量法能求出λ的值．本题主要考查向量不等式的证明，考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．24.答案：（1）解：由题意，sinθ+cosθ=a，sin2θ+cos2θ=1，所以2sin2θ-2a sinθ+a2-1=0，所以sinθ=，所以f n（θ）=（）n+（）n；（2）证明：f n（θ）=（）n+（）n=2•+2•+…+…∈Q．解析：（1）利用sinθ+cosθ=a，sin2θ+cos2θ=1，求出sinθ，可得f n（θ）的表达式（用α和n表示）（2）利用二项式的展开式，即可得出结论．本题考查同角三角函数关系，考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

江苏省泰州市2020届高三下学期5月高考模拟数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1.已知集合1,2A =，{}2,48B =,，则A B =_______．2.若实数x 、y 满足()1x yi x y i +=-+-（i 是虚数单位），则xy =_______．3.如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[)6,18内的频数为_______．4.根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为_______．5.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等于___.6.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x 、y ，则1x y -=的概率是_______．7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为_______．8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________ 9.若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()11f =，则()()()678f f f ++的值为_______．10.将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R =_______．11.若函数()2,1,x a x af x x x a+≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()11,A x y 、()22,B x y 在圆22:4O x y +=上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的最小值是_______．13.在锐角ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =，AC AF λ=，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=，1ED =，则实数λ的值为_______．14.在ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD BD =，23tan 2tan 30B A -+=，则BDCD的取值范围为_______．二、解答题（题型注释）ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，点D 、E 、F 分別是AB 、AC 、BC 的中点．（1）求证：//BC 平面PDE ；（2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ． 16.已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．17.某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M 、N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为圆心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM 、AN 分别交于点D 、E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV区域为池内休息区，设MAB θ∠=．（1）当4πθ=时，求池内休息区的总面积（III 和IV 两个部分面积的和）；（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O ．当点B 为椭圆M 的上顶点时，AOB 的面积为b ，且AB =．（1）求椭圆M 的标准方程； （2）求矩形ABCD 面积S 的最大值； （3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．19.定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”． （1）判断函数()1x xf x e=-是否为“YZ 函数”，并说明理由； （2）若函数()()ln g x x mx m R =-∈是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围； （3）已知()32111323h x x ax bx b =++-，()0,x ∈+∞，a 、b R ∈，求证：当2a ≤-，且01b <<时，函数()h x 是“YZ 函数”．20.已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+．（1）若数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由； （2）若n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．21.已知列向量5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵 3 41 2M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到列向量2 b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1b M a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．23.已知实数a 、b 、c 满足0a >，0b >，0c >，2223a b cb c a++=，求证：3a b c ++≤．24.如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ADE 是等腰直角三角形，且2ADE π∠=，EF ⊥平面ADE ，1EF =．（1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值； （2）求二面角B DF C --的余弦值． 25.给定()3,n n n N*≥∈个不同的数1、2、3、、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ． （1）若3n =，求3T ； （2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =；②求n T （用n 表示）．参考答案1.{}1,2,4,8【解析】1.利用并集的定义可求得集合AB .{}1,2A =，{}2,48B =,，{}1,2,4,8A B ∴=. 故答案为：{}1,2,4,8. 2.12【解析】2.根据复数相等建立方程组，求出x 、y 的值，进而可得出xy 的值.()1x yi x y i +=-+-，1x y x y =-⎧∴⎨=-⎩，解得112x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此，12xy =.故答案为：12. 3.80【解析】3.将样本数据落在区间[)6,18内的频率乘以100可得出结果.由直方图可知，样本数据落在区间[)6,18内的频率为()0.080.090.0340.8++⨯=， 因此，样本数据落在区间[)6,18内的频数为1000.880⨯=. 故答案为：80. 4.8【解析】4.根据算法程序列举出算法的每一步，进而可得出输出的S 的值.15I =<成立，123I =+=，336S =+=； 35I =<成立，325I =+=，538S =+=； 55I =<不成立，跳出循环体，输出S 的值为8.故答案为：8.【解析】5.根据双曲线方程得渐近线方程，再根据条件得ba＝2，最后得离心率. 双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 所以，ba＝2，离心率为：c e a ==== 6.518【解析】6.计算出基本事件总数，列举出事件“1x y -=”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，基本事件总数为2636=，其中，事件“1x y -=”所包含的基本事件有：()1,2、()2,1、()2,3、()3,2、()3,4、()4,3、()4,5、()5,4、()5,6、()6,5，共10种情况，因此，所求事件的概率为1053618=. 故答案为：518. 7.12【解析】7.设点P 的坐标为()00,x y ，根据抛物线的定义可得出关于0x 的方程，解出0x 的值即可得解. 设点P 的坐标为()00,x y ，则00x >，抛物线的准线方程为1x =-， 由于点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则0013x x +=，解得012x =. 因此，点P 的横坐标为12.故答案为：12. 8.192【解析】8.根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为12的等比数列，又由6天走完378里，利用求和公式即可得出．根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为12的等比数列， 又由6天走完378里， 则S 6=a 1[1−(12)6]1−12=378，解可得：a 1＝192，即该人第一天走的路程为192里． 故答案为：192里． 9.1-【解析】9.利用函数()y f x =的周期性和奇偶性分别求出()6f 、()7f 、()8f 的值，进而可得出结果.由于定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()4f x f x +=，则该函数是周期为4的周期函数，且()11f =，则()()800f f ==，()()()7111f f f =-=-=-，()()()622f f f =-=， 又()()22f f -=-，()20f ∴=，则()60f =， 因此，()()()6781f f f ++=-. 故答案为：1-. 10.6【解析】10.设圆锥的底面半径为r ，根据半圆弧长等于圆锥底面圆的周长可得出r 与R 的等量关系，并求出圆锥的高，得出圆锥的体积，由此可求得R 的值.设圆锥的底面半径为r ，由于半圆弧长等于圆锥底面圆的周长，则2r R ππ=，2R r ∴=，圆锥的高为2h R ==，则圆锥的体积为22311334R V r h R R ππ==⨯==，解得6R =.故答案为：6. 11.(](],10,1-∞-【解析】11.分1a ≤-、11a -<≤、1a >三种情况讨论，结合函数()y f x =只有一个零点得出关于实数a 的不等式（组），即可求得实数a 的取值范围. 函数21y x =-的零点为±1.①当1a ≤-时，函数()y f x =在区间(),a -∞上无零点，则函数()y f x =在区间[),a +∞上有零点a -，可得a a -≥，解得0a ≤，此时1a ≤-； ②当11a -<≤时，函数()y f x =在区间(),a -∞上有零点1-，则函数()y f x =在区间[),a +∞上无零点，则a a -<，解得0a >，此时01a <≤； ③当1a >时，函数()y f x =在区间(),a -∞上的零点为±1，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是(](],10,1-∞-.故答案为：(](],10,1-∞-.12.-【解析】12. 求得23AOB π∠=，设点()2cos ,2sin A αα、()2cos ,2sin B ββ，设，可得出()223k k N πβαπ=++∈，然后利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得1212x x y y +++的最小值.由题意可得()11,OA x y =、()22,OB x y =，12122OA OB x x y y ⋅=+=-， 所以，1cos 2OA OB AOB OA OB⋅∠==-⋅，0AOB π<∠<，23AOB π∴∠=， 设点()2cos ,2sin A αα、()2cos ,2sin B ββ，设，则()223k k N πβαπ=++∈， 所以，12122cos 2cos 2sin 2sin x x y y αβαβ+++=+++222cos 2cos 22sin 2sin 233k k ππααπααπ⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭((()1sin 1cos αααϕ=++=--，ϕ为锐角，且tan 2ϕ==因此，1212x x y y +++的最小值-.故答案为：-. 13.3【解析】13. 将EF 表示为11133EF BC AC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由题意得知ED 与AC 不垂直，由3ED EF ⋅=可得出1103λ-=，进而可求得实数λ的值. 如下图所示：3AB AD =，AC AF λ=，13AD AB ∴=，1AF AC λ=， ()11111333EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB ACλλ⎛⎫∴=-+=-+=+-+- ⎪⎝⎭11133ED BC AC λ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，ABC 是锐角三角形，则ED 与AC 不垂直，即0ED AC ⋅≠，1ED =，6ED BC ⋅=，则21111113333ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED AC λλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅++-=+⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11333ED AC λ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭，即1103ED AC λ⎛⎫-⋅=⎪⎝⎭， 0ED AC ⋅≠，1103λ∴-=，因此，3λ=. 故答案为：3. 14.(]1,2【解析】14.作出图形，由23tan 2tan 30B A -+=得出()23tan tan 12A B =+，利用正弦定理和三角恒等变换思想得出24tan 41133tan 2tan 33tan 2tan BD B CD B B B B=+=+-++-，然后利用不等式的性质和基本不等式可求得BDCD的取值范围. 如下图所示：23tan 2tan 30B A -+=，()23tan tan 12A B ∴=+， AD BD =，BAD B ∴∠=，CAD A B ∠=-，且B 为锐角，在ACD 中，()()sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin A B BD AD CA B A B CD CD CAD A B A B A B++====∠--()()222223tan 1tan tan tan 3tan 2tan 34tan 2113tan tan 3tan 2tan 33tan 2tan 3tan 1tan 2B BA B B B B A B B B B B B B +++++====+>--+-++-，另一方面24tan 4111233tan 2tan 33tan 2tan BD B CD B B B B =+=+≤=-++-， 当且仅当4B π=时，等号成立，因此，BDCD的取值范围是(]1,2. 故答案为：(]1,2.15.（1）见解析；（2）见解析.【解析】15.（1）利用中位线的性质得出//DE BC ，然后利用线面平行的判定定理可证得//BC 平面PDE ；（2）证明出DE PA ⊥，DE AF ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得DE ⊥平面PAF ，再利用面面垂直的判定定理可得出平面PAF ⊥平面PDE ．（1）在ABC 中，因为D 、E 分别是AB 、AC 的中点，所以//DE BC ， 因为BC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//BC 平面PDE ； （2）因为PA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PA DE ⊥， 在ABC 中，因为AB AC =，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥， 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥， 又因为AFPA A =，AF ⊂平面PAF ，PA ⊂平面PAF ，所以DE ⊥平面PAF ，因为DE ⊂平面PDE ，所以平面PAF ⊥平面PDE ． 16.（1）()f x的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】16.（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()sin 224f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得出函数()y f x =的最大值，解方程()2242x k k Z πππ-=+∈可得出对应的x 的取值集合；（2）由()6f α=得出1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用同角三角函数的基本关系求得cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，然后利用两角和的正弦公式可求得sin 2α的值.（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()f α=24πα⎛⎫-=⎪⎝⎭1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=⋅+=.17.（1）2144(2m -；（2）(3AM m =+【解析】17.（1）计算出BM 、DM 的长，利用三角形的面积公式可求得III 和IV 两个部分面积的和； （2）将BM 、DM 用含θ的代数式表示出来，可得出池内休息区的总面积S 关于θ的函数表达式，令()()sin 2cos 1fθθθ=-，利用导数求出()f θ的最大值，并求出对应的θ的值，由此可求得AM 的长.（1）在Rt ABM 中，因为24AB =，4πθ=，所以24cos4MB AM π===24cos12124MD π=-=，所以池内休息区总面积)(()2121214422S MB DM m =⋅⋅==；（2）在Rt ABM 中，因为24AB =，MAB θ∠=， 所以24sin BM θ=，24cos AM θ=，24cos 12MD θ=-，由24sin 0BM θ=>，24cos 120MD θ=->得πθ0,3， 则池内休息区总面积()()1224sin 24cos 12288sin 2cos 12S MB DM θθθθ=⋅⋅=-=-，πθ0,3； 设()()sin 2cos 1fθθθ=-，πθ0,3，因为()()221cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos 8f θθθθθθθ=--=--=⇒='，又1cos 2θ=>，所以00,3πθ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得0cos θ=， 则当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>⇒在()00,θ上单调增，当0,3x πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f f θθ'<⇒在()00,θ上单调递减，即()0fθ是极大值，也是最大值，所以()()0max f f θθ=，此时024cos 3AM θ==+18.（1）22142x y +=；（2）3）ABCD 为正方形，理由见解析.【解析】18.（1）根据题意得出关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，即可得出椭圆M 的标准方程； （2）设直线AB 的方程为()2y k x =+，其中0k >，将直线AB 的方程与椭圆M 的方程联立，求出点B 的坐标，利用两点间的距离公式求出AB ，并求出BC ，可得出四边形ABCD 的面积S 关于k 的表达式，然后利用基本不等式可求得S 的最大值；（3）由四边形ABCD 为正方形得出AB BC =，可得出()3222200k k k k -+-=>，构造函数()()322220f k k k k k =-+->，利用零点存在定理来说明函数()y f k =在()0,k ∈+∞时有零点，进而说明四边形ABCD 能成为正方形.（1）由题意：12ab b =⎨=⎪⎩，解得2a =，b =所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=；（2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >，则直线AB 的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，联立()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222128840k x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，2412Bk y k =+，所以AB ==， 直线CD 的方程为y kx =，即0kxy，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2881122k S k k k====++≤所以当且仅当k =ABCD 面积S 取最大值为； （3）若矩形ABCD 为正方形，则ABBC =，即212k =+，则()3222200k k k k -+-=>，令()()322220f k k k k k =-+->，因为()110f =-<，()280f =>，又()()322220f k k k k k =-+->的图象不间断，所以()()322220f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形.19.（1）()f x 是“YZ 函数”，理由见解析；（2）1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【解析】19.（1）利用导数求出函数()y f x =的极大值，结合题中定义判断即可；（2）分0m ≤和0m >两种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =的单调性，利用题中定义得出关于m 的不等式，进而可解得实数m 的取值范围；（3）求出函数()y h x =的导数()2h x x ax b =++'，利用导数分析函数()y h x =的单调性，设函数()y h x =的极值点分别为1x 、2x ，可知1x 、2x 是方程()0h x '=的两根，进而可列出韦达定理，结合韦达定理证明出函数()y h x =的极大值为负数，由此可证得结论. （1）函数()1xxf x e =-是“YZ 函数”，理由如下： 因为()1x x f x e =-，则()1xxf x e='-， 当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<， 所以函数()1x x f x e =-的极大值()1110f e =-<，故函数()1x xf x e=-是“YZ 函数”； （2）函数()ln g x x mx =-的定义域为()0,+∞，()1g x m x'=-. 当0m ≤时，()10g x m x-'=>，函数()y g x =单调递增，无极大值，不满足题意； 当0m >时，当10x m<<时，()10g x m x -'=>，函数单调递增，当1x m>时，()10g x m x -'=<，函数单调递减，所以函数()y g x =的极大值为111ln ln 1g m m m m m ⎛⎫=-⋅=-- ⎪⎝⎭， 易知1ln 10g m m ⎛⎫=--<⎪⎝⎭，解得1m e >， 因此，实数m 的取值范围是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3） ()2h x x ax b =++'，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以()20h x x ax b =++='有两个不等实根，设为1x 、2x ，因为121200x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以1>0x ，20x >，不妨设120x x <<，当10x x <<时，()0h x '>，则函数()y h x =单调递增； 当12x x x <<时，()0h x '<，则函数()y h x =单调递减. 所以函数()y h x =的极大值为()321111111323h x x ax bx b =++-，由()21110h x x ax b =++='得()3211111x x ax b ax bx =--=--，因为2a ≤-，01b <<， 所以()()322211111111111111323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- ()()22211111121121111063333333ax bx b x bx b x b b b =+-≤-+-=--+-<． 所以函数()y h x =是“YZ 函数”．20.（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】20.（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，分12q =-和12q ≠-两种情况讨论，结合等比数列的定义判断即可；（2）设n a 是公差为d 的等差数列{}n d 的前n 项和，推导出11n n n a a d ++-=，由2n n n a a b +=+推导出12n n b b d +-=，进而可证得结论成立；（3）利用数列{}n c 是等差数列结合12n n n c a a +=+推导出212n n n b b b ++=+，再结合数列{}n b 是等比数列，推导出1n n b b +=，由数列{}n c 是等差数列得出212n n n c c c +++=，推导出3223n n n a a a +++=，并将321n n n n a a a a +++=+-代入化简得212n n n a a a +++=，从而可证明出数列{}n a 是等差数列.（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则()12221n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+， 当12q =-时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列； 当12q ≠-时，因为0n c ≠，所以()()112121n n nn q a c q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数列； （2）因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ， 因为12n n a d d d =+++，所以1121n n n a d d d d ++=++++，两式相减得11n n n a a d ++-=， 因为2n n n a a b +=+，所以()()()()1312321312n n n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++++-=---=---=-=， 所以数列{}n b 是等差数列；（3）因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-，又因为12n n n c a a +=+，所以()()43322112222n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+， 即 ()()()423122n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，则212n n n b b b ++=+，又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，则2112n nn n b b b b +++=⋅， 即()()1120n n n n b b b b ++-+=，因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=， 则312n n n n a a a a +++-=-，即321n n n n a a a a +++=+-， 又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=，即()()()321212222n n n n n n a a a a a a ++++++++=+，化简得3223n n n a a a +++=，将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得212n n n a a a +++=， 所以数列{}n a 是等差数列．21.1611⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】21.利用25a b M b -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦列出方程组求出a 、b 的值，求出矩阵M 的逆矩阵1M -，利用矩阵的乘法可求得矩阵1b M a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为342125a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以320210a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得64a b =-⎧⎨=⎩，设1m p M n q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则34101201m p n q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3413402021m n p q m n p q +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得112232m n p q =⎧⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩， 所以1121322M --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，所以112416=1361122M b a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.22.【解析】22.将直线l的极坐标方程化为普通方程，设点()cos P αα，利用点到直线的距离公式结合正弦型函数的有界性可求得点P 到直线l 距离的最大值．由题：直线方程即为sin coscos sin44ππρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线l 的直角坐标方程为80x y +-=， 设P点的坐标为()cos αα，∴点P到直线的距离6d πα⎛⎫===+ ⎪⎝⎭， 当()262k k Z ππαπ+=-∈，即()223k k Z αππ=-∈时，d取得最大值 此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 23.见解析【解析】23.利用柯西不等式证明出()()2222a b c b c a a b c b c a ⎛⎫++++≥++⎪⎝⎭，由此可证明出3a b c ++≤.由柯西不等式，得()()2223a b c a b c b c a b c a ⎛⎫++=++++⎪⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤=++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()22a b c ≥=++， 所以3a b c ++≤．24.（1）5；（2）23.【解析】24.（1）利用面面垂直的性质定理证明出DE ⊥平面ABCD ，然后以D 为坐标原点，{},,DA DC DE 为一组基底建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出异面直线AE 和DF 所成角的余弦值；（2）求出平面BDF 和CDF 的法向量，然后利用空间向量法可求出二面角B DF C --的余弦值． （1）2ADE π∠=，即DE AD ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，DE ⊂平面ADE ，DE ∴⊥平面ABCD ，由于四边形ABCD 为边长为2的正方形, 所以DA 、DC 、DE 两两互相垂直． 以D 为坐标原点，{},,DA DC DE 为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.EF ⊥平面ADE 且1EF =，()0,0,0D ∴、()2,0,0A 、()0,0,2E 、()0,2,0C 、()2,2,0B 、()0,1,2F ，()2,0,2AE =-，()0,1,2DF =，则cos ,22AE DF A AE DFE DF ⋅<===⋅>，所以AE 和DF 所成角的余弦值为5； （2）()2,2,0DB =，()0,1,2DF =，设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =，由22020n DB x y n DF y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1z =，得()2,2,1n =-，平面CDF 的一个法向量为()1,0,0m =，22cos ,313m nm n m n ⋅∴<>===⨯⋅， 由二面角B DF C --的平面角为锐角，所以二面角B DF C --的余弦值为23. 25.（1）38T =；（2）①见解析；②()!12n n T n =-.【解析】25. （1）列出1、2、3的所有排列，求出6个排列P 中P k 的值，进而可求得3T 的值； （2）①设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、、n a ，求得()()()141212n n n S l l +==++为奇数，再由2k S 为偶数可得出结论； ②由题意可得出2k n S S <，可得出1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+，考虑排列P 的对应倒序排列P '，推导出1P k n k '=--，由此可得出1P P k k n '+=-，再由1、2、3、、n 这n 个不同数可形成!2n 个对应组合(),P P '，进而可求得n T 的值. （1）1、2、3的所有排列为1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1.因为36S =，所以对应的P k 分别为2、1、2、1、1、1，所以38T =；（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、、n a ， 因为41n l =+，l N *∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S = （ii ）因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =， 所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+①， 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②，考虑排列P 的对应倒序排列:P 'n a 、1n a -、、1a ，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++， 由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-；又1、2、3、、n 这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '，且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-．。