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平面的概念知识点总结一、平面的概念平面是数学中的基本几何概念之一，是一个没有厚度的二维几何空间。
平面可以用来描述点、直线和其他几何图形的位置关系，是几何学中的基本工具之一。
二、平面的特征1. 平面是无限大的平面没有边界，没有限制，可以延伸到无限远的位置。
任何两点都可以在平面上找到直线连接，这也是平面的特征之一。
2. 平面是无厚度的平面是一个没有厚度的二维几何空间，没有高度和深度的概念，只有长度和宽度的概念。
3. 平面是无旋绕的平面上的任意两条直线不会相交于一个以上的点，也不会平行于一个以上的点，这是平面的另一重要特征。
4. 平面是无法弯曲的平面上的任意两点之间都可以画出唯一一条直线，这条直线不会弯曲或者有转折，也不会在平面之外。
以上几点是平面的主要特征，理解这些特征对于理解平面的性质和应用是非常重要的。
三、平面的表示方法平面可以用三种方法来表示：1. 平面的点集表示法这种方法是最基本的表示方法，平面可以用一组点的集合来表示。
例如，我们可以用A(1,2), B(3,4), C(5,6)来表示一个平面上的三个点。
2. 二维坐标系表示法这种方法是比较常用的表示方法，平面上的点可以用二维坐标系来表示，例如，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,4)。
3. 方程表示法这种方法是用代数方程来表示平面上的点，例如，平面上的点满足方程x+y=5，这就表示了一个平面。
以上三种表示方法可以根据具体情况和需要来选择使用，它们都可以很好地表示平面。
四、平面的性质1. 平面上的直线在平面上的两点可以确定一条直线，平面上的直线可以是任意方向的，可以与平面相交，也可以不相交。
平面上的直线有无限多条。
2. 平面上的角角是由两条不同的直线所围成的空间，平面上的角有不同的类型，例如，锐角、直角和钝角。
3. 平面上的图形平面上的图形有很多种，例如，三角形、正方形、矩形等等，它们都是在平面上的一些特殊的形状。
4. 平面的投影平面上的点和图形可以投影到另一个平面上，投影的形状和大小是与原来的形状和大小有关的。
课题：10.1平面的基本性质课题：10.1平面的基本性质【教学目标】1.知识目标：理解和掌握平面的三个基本性质，并学会应用性质进行一些简单的分析和判断。
2. 能力目标：通过实例和多媒体进行直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力。
通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养逻辑思维能力。
3.情感目标：（1）通过创设主题式故事情境，增强学习兴趣。
（2）结合生活，进行“数学来源于生活”的唯物主义观念教育。
（3）通过问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
【教学重点】平面的基本性质。
因为研究空间图形时，往往将有关点、线归结到一个平面内，再利用平面图形的性质解决。
所以要求学生对基本性质有较深刻的理解。
【教学难点】平面的基本性质的掌握与运用。
因为平面的基本性质既抽象又枯燥，而中职幼师专业的学生想象和思维都较弱，所以掌握与运用三个平面的基本性质会有一定的难度。
【教学方法】遵循学生的认知规律，结合多媒体将具体与抽象、感性与理性、动手与动脑有机地结合在一起。
进行思考、交流，师生共同讨论等学法。
根据中职学生想象能力、思维能力较弱的特点，尽量从直观入手，因此考虑通过创设既靠近生活，又体现数学本质，并且能从情感上激发学生主动、深入思考的有效情境（主题式故事情境）作为载体的启发式教法。
【教学过程】图9−5公理1作为判断和证明直线是否在平图9−8反映了只要“两面共一点”，就两面共一线，且过这一点，线唯把信封的一角竖立在桌面上，那么信封所在平面和桌面所在平面只交于一点，对吗？如图：在长方体ABCD—A1B1C1D1是棱A1B1上的中点，画出C1三点所确定的平面α与长方体表面的交线。
资源信息表（3）平面及其基本性质——三个公理三个推论的应用上海市南洋中学马亚萍一、教学内容分析本节课的重点是三个公理三个推论的应用.在上一节概念课的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个公理三个推论进行证明.公理2说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线.它的作用是：①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上.公理3及其三个推论是空间里确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.二、教学目标设计理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决共面、共点、共线问题，培养严密的逻辑推理能力. 三、教学重点及难点利用三个公理三个推论解决共面、共点、共线问题四、教学流程设计五、教学过程设计（一）复习上节课的概念，三个公理三个推论 1）若B ,AB A C αα∈∈∈平面，平面直线，则（ A ） A 、C α∈ B 、C α∉ C 、AB α⊄ D 、AB C α⋂= 2）判断①若直线a 与平面α有公共点，则称a α⊄. （×）②两个平面可能只有一个公共点. （×） ③四条边都相等的四边形是菱形. （×） ④若A 、B 、C α∈，A 、B 、C β∈，则,αβ重合. （×） ⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线. （√） ⑥两两相交的三条直线必定共面. （×） 3）下列命题正确的是（ D ）A 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.B 、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形.C 、三条互相平行的直线一定共面.D 、梯形是平面图形.4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（ C ） A 、8个 B 、9个 C 、10个 D 、12个 5）两个平面可把空间分成 3或4 部分 ； 三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分.（二）证明 1、共面问题例1 已知直线123,,l l l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线123,l l l 和在同一平面上.证明：设13231213,,,,l l A l l B l l C l l A ⋂=⋂=⋂=⋂=l 3l 2B C l 1A1312131232,1,,,l l C C l l C l B BC l l l l ααααα⎫⇒⎫⇒∈⎬⎪=⋂⇒∈⎬⎭⎪∈⎭⇒⊂∈⇒（推论）可确定平面平面同理平面（公理）平面即平面直线在同一平面上【说明】证明共面问题的基本方法是归一法和同一法. 归一法：先根据公理3或其推论确定一个平面，然后再利用公理1证明其他的点或直线在这个平面内. 练习：l 4D FE l 3l 2B Cl 1A12341234123123424121212123343442,,,,,,,,,,,l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l E l l C l l l l A AB B l l A l l B l l l D DE l l l E αααααααα⋂=⋂=⋂=⋂=⋂=⋂=⇒⇒⊂∈⎫⎧⇒⇒⊂⎬⎨∈⋂=⋂=⎩⎭⇒⊂⎫⎪⋂=⇒⊂⇒⊂⎬⎪⋂=⎭⇒33已知：两两相交且无三线共点。
高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点平面的基本性质教学目标1、知识与能力：(1)巩固平面的基本性质即四条推断出公理和三条推论.(2)能使用公理和推论进行解题.2、过程与方法：(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。
3、情感成见与价值观：培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生审美能力和空间想象的能力。
教学重点平面的三条基本性质即三条推论.教学难点准确运用三条公理和推论解题.教学过程一、问题情境问题1：空间共点的三条直线二维能确定几个平面?空间互相对角线平行的三条直线呢?问题2：如何判断办公桌的四条腿内则的底端是否在一个平面内?二、温故知新公理1一处如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有两个一个公共设施点，那么它们还有其它公用点，这些公共点的集合是经过这个公共给定点的一条直线.公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2经过两条直角直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行平行线，有且只有一个平面.公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.把作出以上各公理及推论进行对比：三、数学运用基础训练：(1)已知：;求证：直线AD、BD、CD共面.证明：——公理3推论1——公理1同理可证，,直线AD、BD、CD共面【解题反思1】1。
逻辑要严谨2.书写要规范3.证明共面的步骤：(1)确定平面——公理3及其3个推论(2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1(3)作出结论。
变式1、如果直线两两交汇，那么这三条直线是否共面?(口答)变式2、已知空间不共面的二点，过其中任意三点可以三维空间确定一个平面，由这四个一两个点能确知几个平面?变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面曲面图形吗?(口答)(2)已知直线满足：;求证：直线证明：——公理3推论3——公理1直线共面提高训练：已知，求证：四条直线在同一平面内.思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。
空间几何中的直线和平面的性质在空间几何中，直线和平面是两个基本的几何概念。
它们在数学研究和实际问题中起着重要作用。
本文将探讨直线和平面的性质，包括定义、性质以及二者之间的关系。
一、直线的性质直线是最简单的几何图形之一，可以由无限多个点组成，并且通过任意两点可以唯一确定一条直线。
直线有以下一些重要的性质：1. 直线的长度：由于直线是无限延伸的，因此直线没有长度。
直线只有方向，用箭头表示。
2. 直线的笔直性：直线上的任意两点之间的线段都位于直线上，直线没有弯曲和交叉。
3. 直线的平衡性：直线的两侧没有明显的倾向性，可以在任意一点作垂直于直线的线段，该线段在两侧长度相等。
4. 直线的延伸性：直线可以无限延伸，既可以向前延伸，也可以向后延伸。
5. 直线的平行性：直线可以与自身平行，也可以与其他直线平行。
当两条直线的斜率相等时，它们是平行的。
二、平面的性质平面是一个二维的几何概念，由无限多个点组成，并且任意三点不共线可以确定一个平面。
平面有以下一些重要的性质：1. 平面的无限延伸性：平面可以无限延伸，既可以在平面上平移，也可以在平面上旋转。
2. 平面的平直性：平面上的任意两点之间的线段都位于平面上，平面没有弯曲和折叠。
3. 平面的两面性：平面可以分为两个互相垂直的半平面，一侧为正面，另一侧为背面。
4. 平面的无限大性：平面没有大小之分，可以根据需要调整大小，但保持平面特性不变。
5. 平面的垂直性：平面可以与自身垂直，也可以与其他平面垂直。
当两个平面的法向量垂直时，它们是垂直的。
三、直线与平面的关系直线和平面在空间几何中有着紧密的联系，它们之间的关系如下：1. 直线与平面的交点：一条直线可以与一个平面相交于一个点，也可以与一个平面相交于多个点。
交点的位置取决于直线和平面的相对位置。
2. 直线与平面的平行关系：一条直线可以与平面平行，也可以与平面不平行。
当直线与平面平行时，它们没有交点。
3. 直线在平面上的投影：一条直线在平面上的投影是与该直线平行的平面上的线段。
平面的基本性质【教学目标】1.会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．2.理解关于平面的三个公理和三个推论【重点、难点】能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解关于平面的三个公理和三个推论．【核心素养】1. 通过对空间点、线、面位置关系的学习，培养学生直观想象素养．2．借助于三个基本事实与推论的应用，培养学生逻辑推理素养.【新课讲解】(1)平面的基本性质①公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．基本事实1也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．②公理2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 用符号表示为：⎭⎬⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α. ③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 用符号表示为： ⎭⎬⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l . (2)基本公理的推论①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． ②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．【深入学习】例．下列说法正确的是( )A ．三点可以确定一个平面B ．一条直线和一个点可以确定一个平面C ．四边形是平面图形D ．两条相交直线可以确定一个平面D [A 错误，不共线的三点可以确定一个平面．B 错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．C 错误，四边形不一定是平面图形．D正确，两条相交直线可以确定一个平面．]例2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．[解]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．。
平面、平面的基本性质及应用一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线二、证明共面的两种方法：1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。
例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.求证：a,b及直线AB，AC共面。
思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。
因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。
思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。
另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：写法（一）：证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）∵A∈a, b∈b, c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直线ABα，直线ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。
写法（二）：证明：∵a//b（知）∵a,b确定一个平面α（推3）∴A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴a经过A，B，C三点，∵AB∩AC=A ∴直线AB，AC确定一个平面β（推论2）∴β经过A，B，C三点，∵A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知）∴A，B，C不共线∴α与β重合（公理3）∴a, b，AB，AC共面。
关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。
例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。
分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。
另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。
已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C求证：a,b,c,d共面。
平面的基本性质什么是平面？平面是指没有厚度的、笔直无限延伸的二维图形，它具有无限条直线，任意两条直线都可以被平面内一条直线所交叉，从而产生无限多个交点。
在平面上可以进行各种几何操作，如画直线、画线段、画射线、作图等。
平面的基本性质定义平面有以下基本性质：1.任意两点间只有一条直线与这两点相连。
2.任意一直线上有无数个点。
3.任意两条直线可以相交并在交点处确定一条平面。
4.三点不共线的情况下，可以确定一个唯一的平面。
相关概念在介绍平面的基本性质之前，我们需要先了解一些与平面相关的基础概念。
直线直线是无限长度、无限延伸的线段，任意一点到直线的距离都相等，直线上的任意两点可以通过直线相连。
线段线段是有限长度的部分直线，线段两端点可以通过线段连接。
射线射线是由一个起点开始，只有一个方向的无限长度的直线。
交点两条不平行的直线相交时，它们的交点是这两条直线的交点。
共面如果三个或多个点在同一个平面上，则这些点共面。
基本性质解析性质一：任意两点间只有一条直线与这两点相连。
任意两点之间距离不为零，因此这两点之间只能画出一条直线连接它们。
性质二：任意一直线上有无数个点。
对于一条直线上任意两点来说，直线上仍然可以找到一点，因此直线上有无数个点。
性质三：任意两条直线可以相交并在交点处确定一条平面。
任意两条直线可以在一点相交，如果在这一点的同时连上第三个点，那么这三个点可以确定一个平面。
性质四：三点不共线的情况下，可以确定一个唯一的平面。
如果三点不共线，那么它们会确定一个唯一的平面。
通过上述对平面的定义以及基本性质的解析，我们可以清晰地了解平面的基本概念和特征，从而更好地理解几何学中的相关概念和问题，为后续的学习奠定优秀的基础。
平面几何的性质与解题方法知识点总结平面几何是几何学的一个重要分支，研究平面上的点、线、面的性质以及它们之间的关系。
它在数学中有着广泛的应用，同时也是理工科学生必备的基础知识之一。
本文将就平面几何的性质和解题方法进行知识点总结。
一、点、线、面的基本性质1. 点：点是几何学的基本要素，没有大小和方向。
在坐标平面中，点可以用坐标表示，例如(x, y)。
2. 线：线是由无数个点组成的集合，具有长度但没有宽度。
根据点之间的位置关系，线可分为平行线、相交线、垂直线等。
3. 面：面是由无数个线段所围成的区域，具有长度和宽度。
平面上的常见几何图形，如三角形、矩形、圆等，都是由线和面组成的。
二、平面几何的性质1. 直角三角形的性质：- 勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
- 特殊直角三角形：45°-45°-90°和30°-60°-90°直角三角形，它们的边长比例是确定的。
2. 圆的性质：- 圆心与半径：圆心是圆的中心点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
- 圆周角：圆周角是以圆心为顶点的角，它对应的弧长是一定的。
3. 与角度相关的性质：- 垂直角：两个相交直线所夹的角互为垂直角，垂直角的度数之和是180°。
- 同位角：同位角是两条平行线被一条直线截取的对应角，它们的度数相等。
- 内错角：内错角是两条平行线被一条穿过它们的直线截取的对应角，它们的度数之和是180°。
4. 多边形的性质：- 三角形：三角形的内角和是180°，根据边长关系，可以判断三角形的形状，如等腰三角形、等边三角形等。
- 矩形：矩形的对角线相等且互相垂直，对边相等。
- 正方形：正方形是一种特殊的矩形，它的四条边相等且互相垂直。
- 平行四边形：平行四边形的对边相等且互相平行。
- 圆形图形：圆形的内外切性质，以及切线与半径的关系等。
三、解题方法1. 利用图形的对称性：在解决几何问题时，可以利用图形的对称性质，如对称轴、中心对称等进行分析。
平面的基本性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解平面的基本性质；（2）学会运用平面的基本性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、实践、交流等活动，培养学生的空间想象能力；（2）学会利用平面的基本性质进行几何图形的分析与判定。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对平面几何的兴趣；（2）培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）平面的基本性质；（2）运用平面的基本性质解决实际问题。
2. 教学难点：（1）平面的性质在实际问题中的应用；（2）空间想象能力的培养。
三、教学准备1. 教具准备：（1）平面模型；（2）几何画板；（3）多媒体课件。
2. 学具准备：（1）学生用书；（2）笔记本；（3）铅笔、橡皮。
四、教学过程1. 导入新课（1）利用多媒体课件展示生活中的平面实例，引导学生关注平面几何在实际生活中的应用；（2）提问：同学们，你们认为平面有什么特点？2. 探究平面的基本性质（1）引导学生观察平面模型，让学生直观感受平面的特点；（2）引导学生通过实践操作，发现平面的基本性质；（3）师生互动，共同总结平面的基本性质。
3. 巩固新知（1）利用几何画板展示平面的基本性质，加深学生对知识的理解；（2）出示例题，引导学生运用平面的基本性质解决问题；（3）学生分组讨论，交流解题心得，培养团队合作精神。
4. 拓展与应用（1）出示拓展题目，引导学生运用平面的基本性质解决实际问题；（2）学生独立思考，教师巡回指导；（3）学生展示解题过程，师生共同点评。
五、课后作业1. 必做题：完成学生用书上的练习题；2. 选做题：利用网络资源，搜集生活中的平面实例，分析其应用平面的基本性质。
教学反思：本节课通过观察、实践、交流等活动，使学生掌握了平面的基本性质，并能运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，注重培养了学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
但在时间安排上，感觉拓展环节稍显紧张，今后可以适当调整教学进度，给予学生更多思考和展示的机会。
平面的基本性质
1平面的定义
平面是指三维空间中的两维物体，它由一组点所组成，且任意两点间的距离都是一样的。
在数学中，可用直线和点表示平面，它分为平行于坐标轴的抽象平面和构成几何图形的实际平面。
2特征
（1）法线性质
所有点在一个平面上，且这个平面有一个通用的法线，法线的方向总是指着所有平面上的点的一边。
因此，法线在某种程度上可以作为这个平面的一个标识，可以用来找出某点在这个平面上的位置。
（2）子平面性质
在一个平面上，可以在任意方向上投射任意许多的点，从而得到任意子空间。
一个子空间不再是一个完整的平面，但它具有平面和空间的某些性质，如二维特性和空间平行性等。
3经典定理
（1）平面垂直于坐标轴的定理：如果一个平面的法线都垂直于每一个坐标轴，那么这个平面在每一个坐标轴上垂直于另一条坐标轴。
（2）平面平行定理：如果一个平面和另一个平面的法线之间没有成比例的关系，那么这两个平面就是平行的。
4应用
平面的知识可以被广泛应用于不同领域，如机械技术、建筑设计、工程计算、人体解剖学等。
特别地，工程技术中，借助平面的计算可以得到准确的结果，进而更好地解决工程问题。
此外，可以用平面的性质来进行仿射变换。
在人体解剖学上，也经常会用到平面的几何图形，比如重建人体器官的形状。
数学平面几何的性质与应用数学是一门抽象而精确的科学，而平面几何则是数学中的分支之一。
平面几何研究了平面上的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在这篇文章中，我们将探讨平面几何的性质以及它在实际生活中的应用。
一、点、线、面的基本性质在平面几何中，点是最基本的概念。
点没有长度、宽度和高度，只有位置。
它用一个大写字母来表示，如A、B、C等。
点之间可以进行连线，从而形成线段。
线段有起点和终点，可以用两个字母表示，如AB代表从点A到点B的线段。
线段的长度可以通过测量得到。
此外，还有无限延长的直线，没有起点和终点。
直线用一个小写字母来表示，如l、m、n等。
直线上的任意两点可以确定一条直线。
平面则是由无数个点和直线组成的，它是一个没有厚度的二维图形。
平面可以用一个大写字母表示，如平面α。
平面上的点和线都在平面上。
二、平行线与垂直线在平面几何中，平行线是指在同一个平面中永不相交的直线。
平行线具有以下性质：1. 平行线上的任意两条线段之间的距离相等；2. 平行线与同一条直线相交时，对应两边的内角和为180度；3. 平行线与平面上的两条相交线所形成的内、外、对顶角分别相等。
垂直线是指两条相交的线段或直线，相交时形成的内角为90度。
垂直线的性质如下：1. 垂直线上的两线段相互垂直；2. 垂直线与同一条直线相交时，对应两边的内角和为90度；3. 垂直线与平面上的两条相交线所形成的内、外、对顶角分别相等。
平行线与垂直线的性质在解决几何题目时经常用到。
三、三角形的性质三角形是由三条线段连接起来的图形，它是平面几何中最重要的形状之一。
三角形具有以下性质：1. 三角形的内角和为180度；2. 锐角三角形的三个内角都小于90度，直角三角形有一个内角等于90度，而钝角三角形则有一个内角大于90度；3. 三边都相等的三角形叫做等边三角形，两边相等的三角形叫做等腰三角形，而没有边相等的三角形叫做不等边三角形；4. 三角形的外角等于与之相对的内角之和。
平面、平面的基本性质和应用一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线二、证明共面的两种方法：1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。
例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.求证：a,b和直线AB，AC共面。
思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。
因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。
思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。
另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理和推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：写法（一）：证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）∵A∈a, b∈b, c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直线ABα，直线ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。
写法（二）：证明：∵a//b（知）∵a,b确定一个平面α（推3）∴A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴a经过A，B，C三点，∵AB∩AC=A ∴直线AB，AC确定一个平面β（推论2）∴β经过A，B，C三点，∵A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知）∴A，B，C不共线∴α与β重合（公理3）∴a, b，AB，AC共面。
关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。
例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。
分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。
另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。
已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C求证：a,b,c,d共面。
分析由a//b可确定一个平面α；由b//c可确定一个平面β。
因为α，β都经过两条相交的直线b和d,所以由推论2可知，α与β重合。
（注意：α和β都经过的元素，还可有其它的选取办法，请同学们自己试一试）。
证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）∵b//c（已知）∴b,c确定一个平面β（推论3）∵A∈a,B∈b, ∴A∈α, B∈α, ∴直线ABα即dα（公理1）同理可证：dβ, ∴α，β都经过b和d，∵b∩d=B ∴α与β重合（推论2）。
三、证明三线共点，三点共线的方法1．三线共点：证其中两条直线的交点在第三条直线上；2．三点共线：证三点都是两平面的公共点。
例3：已知如图，α∩β=l, aα, bβ, a∩b=A.求证：A∈l（或者a,b,l共点）分析：只需证明A为α，β的公共点。
证明：∵a∩b=A, aα, bβ, ∴A∈aα,A∈bβ, 即A为α，β的一个公共点，∵l是α和β的交线，∴A∈l.例4：如图，已知延长ΔABC三边，AB∩α=D，BC∩α=E，AC∩α=F。
求证：D，E，F共线。
证明：∵ΔABC顶点不共线，∴A，B，C可确定平面β,∵D∈α且D∈ABβ, ∴D是α，β的公共点。
同理可证：E，F也是α，β的公共点，∴D，E，F都在α，β支线上，即D，E，F共线。
典型例题一．求证两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.已知:直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C。
求证:直线AB、BC、CA共面。
证明:∵直线AB和AC相交于点A, ∴直线AB和AC确定一个平面α(推论2).∵B∈AB,C∈AC, ∴BCα(公理1). 因此直线AB、BC、CA都在平面α内,即它们共面.说明:证明几条直线共面,就是要找到一个平面,使得它们都在这个平面内,关键是如何找到这个平面。
也就是如何确定这个平面。
(由公理3和它的三个推论我们知道确定平面有四种方法).当平面确定以后,再证明都在这个平面内,即完成了这个证明.二.证明:如果一条直线和三条平行直线都相交,那么这四条直线在同一平面内.已知:直线a、b、c、l,a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B, l∩c=C.求证:a、b、c、l共面。
证明:∵a∥b. ∴a与b确定一个平面(推论3).∵l∩a=A,l∩b=B, ∴A∈α,B∈α, ∴直线AB,即lα.也就是a、b、l共面于α。
同法可证明b、c、l共面于β.这就是说b、l既在平面α内又在平面β内.而l∩b=B. 由公理3的推论2可知α,β是同一个平面. ∴a、b、c、l在同一平面内.说明:当确定一个平面后,说明其余直线也在这个平面内发生困难后,往往可采用“间接法”证明.本题采用了“同一法”,也可采用“反证法”来证明.三．已知:延长△ABC三边.AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R.求证:P、Q、R共线。
证明:∵△ABC三顶点为不共线的三点. ∴A、B、C三点可以确定一个平面β.∵P∈AB,ABβ, ∴P∈β.又∵AB∩α=P,即P∈α。
∴P∈αβ=l.同理可证Q∈l, R∈l,即P、Q、R共线。
说明:在空间几何中,证明几点共线.往往要用到公理2.四.证明:三个平面两两相交得到三条直线.(1)如果其中两条直线交于一点,那么第三条直线也过这点.(2)如果其中两条直线平行.那么第三条直线也和它们平行.已知: α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c。
(1)若a∩b=0,求证:0∈c. (2)若a∥b,求证:a∥c, b∥c。
证明:(1)∵α∩β=a,α∩γ=b,a∩b=0。
∴0∈β，0∈γ。
而β∩γ=c. ∴0∈c(公理2)。
(2)∵α∩β=a,β∩γ=c，∴aβ,cβ,即a、c共面于β。
∴a或c成平行或相交.假设a∩c=P,则由(1)的结论可知P∈b.即a∩b=P,这与a∥b矛盾,∴假设不成立，故a∥c,同理可知b∥c。
说明:本题的结论是对三个平面两两相交,交线的位置关系的判定,它对今后的画图有着很重要的作用.应给予重视.[习题]：1．a,b,c交于同一点O，直线d与a,b,c分别交于A，B，C三点。
求证：a,b,c,d共面。
2．已知：平面α，β，γ，α∩β=a, α∩γ=b, β∩γ=c,且a//b=M。
求证：a,b,c三线共点。
3.已知:α∩β=l, aα,bβ,a∩b=A. 求证:A∈l.4.如图:α∩β=l,A∈α,B∈α,c∈β.试在β内找一点D.使A、B、C、D四点为一梯形的四个顶点,这样的点D共有几个？1（提示：由a与d相交可知，a,d确定一个平面α，再证：b,c在α内）2 提示：由于a,b的交点已经存在，所以只需证M点在C上即可。
要证M在C上，由于C是β，γ的交线，所以只需证M同在β，γ内3.证明:∵a∩b=A,aα,bβ. ∴A∈α且A∈β, 又∵α∩β=l, ∴A∈l.4.分析:因为梯形是平面图形,所以D在A、B、C三点确定的平面γ内,但D又在β内,所以D在平面β与γ的交线上,因为α与γ的交线AB与l交于点P,易知β与γ的交线也过P点,连CP, 则D在直线CP上。
连BC,在平面γ内过A作AD ∥BC交CP于D.连AC,在平面γ内过B作BD′∥AC交CP于D′,D与D′即为所求.这样的点只有两个。
在线测试选择题1．A, B, C为空间三点，经过这三点（）A．能确定一个平面B．能确定无数个平面C．能确定一个或无数个平面D．能确定一个平面或不能确定平面2．空间交于一点的四条直线最多可以确定平面（）A．4个B．5个C．6个D．7个3．空间不共线四个点 A, B, C, D, 在同一平面内的射影A', B', C', D'在同一条直线上，那么A, B, C, D可确定平面个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．四个平面互不平行，也不重合，则它们交线的数目不能是（）A．6 B．4 C．2 D．15．过直线l外两点作与直线l平行的平面，可以作（）A．0个B．1个C．无数个D．0个，1个或无数个6．空间四点可以确定几个平面？A． 1个B． 4个C．无数个D．以上情况都可能7．三条直线两两相交，最多可以确定几个平面？A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个8．三条直线两两平行，最多可以确定几个平面？A． 1个B． 2个C． 3个D． 1个或3个9．下列几种说法中，正确的是：A．空间的三个点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．六边形一定是平面图形D．梯形一定是平面图形答案与解析解析：1．如果这三点不在一条直线，则可以确定一个平面；如果这三点在一条直线上，则不能确定平面。
故本题应选（D）。
2．确定最多平面的情况应是每两条直线所确定的平面都不重合，这样若把四条直线依次编号，则相邻两号码（1与4也看成相邻）共确定4个平面，而相对两号码共确定2个平面，最多时能确定6个平面。
故本题应选（C）。
3．四个点在同一平面内的射影若在一条直线上，则这四个点在同一平面内，故这四个点所确定的平面是一个。
故本题应选（A）。
4．若四个平面交于一条直线，则交线有一条，若四个平面中每三个平面共点，则共有交线C=6条。
若四个平面交于一点，但无公共交线，则共有交线四条，所以不可能有2条交线。
故本题应选（C）。
5.若两点连线与l相交，则可以作O个；若两点连线与l平行，则可以作无数个；若两点连线与l异面，则可以作1个。
故本题应选（D）。
6.四点若在同一直线上，经过这四点可以有无数多个平面；四点若在同一平面内，不论是否有三个点在同一直线上，都只能确定一个平面；不在同一平面内的四个点可以确定四个平面，因此四个点确定平面的个数可能是1个、4个或无数多个,故本题应选（D）。
7.三条直线两两相交，若共点且在同一平面内，只能确定一个平面；若共点不在同一平面内，能确定三个平面。
若不共点，两两相交有三个公共点，只能确定一个平面。
故最多可以确定三个平面，故本题应选（C）。
8.三条直线两两平行，如果一条直线在其他两平行直线确定的平面内，这三条直线只能确定一个平面；如果三条平等线不在同一平面内，则可以确定三个平面，故最多可以确定三个平面,故本题应选（C）。
9.若三个点在同一直线上，则可以有无数个平面，所以（A）不对。
四边形、六边形不一定是平面图形，所以（B）、（C）不对,故本题应选（D）。
事实上，由于梯形的一组对边互相平行，所以确定一个平面，于是得四个顶点在这个平面内，从而推知梯形的两腰也在这个平面内，即梯形是一个平面图形。
评注：从上述的分析和解答中可以看出，由已知条件找出确定平面的个数问题，其依据是确定平面的条件。
分析问题时，首先要在空间中考虑问题，并全面考虑所有可能出现的情况。
平面的基本性质平面的概念：是一个不加定义的基本概念，对于平面概念的理解主要应注意两个基本特征，即很平和可以无限延展。
