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(课件1)4.2一元二次方程解法(3)

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学年新教材高中数学第一章预备知识4.2一元二次不等式及其解法课件北师大版必修第一册

学年新教材高中数学第一章预备知识4.2一元二次不等式及其解法课件北师大版必修第一册
。
解:(1)因为方程 2x2-3x-2=0 的 Δ=(-3)2-4×2×(-2)>0,
所以该方程x2=2.
画出函数 y=2x2-3x-2 的图象,
可知该函数的图象是开口向上的抛物线,
且与 x 轴有两个交点

- ,
和(2,0).
观察图象可得原不等式的解集为{x <

- ,或
x>2}.
第十四页，编辑于星期五：二十三点 四十五分
。
(2)原不等式可化为3x2-6x+2<0,因为方程3x2-6x+2=0的Δ=
(-6)2-4×3×2>0,所以该方程有两个不相等的实数根,
√
√


解得 x1=1- ,x2=1+ .
画出函数 y=3x2-6x+2 的图象可知
该函数的图象是开口向上的抛物
所以该方程有两个不相等的实数根,
解得x1=1,x2=6.
画出函数y=x2-7x+6的图象,
可知该函数的图象是开口向上的抛物线,
且与x轴有两个交点(1,0)和(6,0).
观察图象可得原不等式的解集为{x|1<x<6}.
第十九页，编辑于星期五：二十三点 四十五分
。
探究二 含参一元二次不等式的解法
【例2】 解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0(a≥0).
根.
第九页，编辑于星期五：二十三点 四十五分。
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是全体实数的条件是
什么?
提示:令y=ax2+bx+c,由题意知y>0恒成立,则一元二次函
数y=ax2+bx+c的图象应开口向上,与x轴无交点,即应满足

一元二次方程的解法-公式法》PPT课件

一元二次方程的解法-公式法》PPT课件
解：化简为一般形式：x 2 3 x 3 0
2
a 1、 b -2 3、 c 3 2 2 b 4ac （ 2 3 ） 4 1 3 0
（- 2 3 ） 0 2 3 x 3 21 2 ∴ x1 x2 3
结论：当b2-4ac=0时，一元二次方程有两 个相等 的实数根.
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数， 求这个三角形的三边长．
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x x 2 x 2 .
2 2 2
即x 8x 0.
2
B
解这个方程 ,得
x1 8, x2 0(不合题意 , 舍去).
x 2 6, x 2 10.
用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5
2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程：
x2 3 2 3 x
解： 原方程化为：x 2 2 3 x 3 0
a 1 ，b 2 3，c 3
b 4ac 2 3 4 1 3 0
2


2
（ 2 3） 0 2 3 x 3 21 2 x1 x2 3
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 1.化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系 数）; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
（a≠0）

解一元二次方程(公式法)(ppt课件)

解一元二次方程(公式法)(ppt课件)

这时
b
2
4ac 4a 2
＞0，
即
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
b b2 4ac
x
.
2a
b b2 4ac
b
x1
2a
, x2
b2 4ac .
2a
方程有两个不 相等实数根
探究新知
⑵b2-4ac=0
这时
b2 4ac 0， 4a 2
x1=x2=- b 2a
方程有两个相 等实数根
探究新知
解：方程化为 2x2－5x－9＝0.
a＝2，b＝－5，c＝－9.
Δ＝(－5)2－4×2×(－9)＝97＞0.
方程有两个不等的实数根
x＝－b±
b2－4ac＝5±
2a
4
97，
即
x1＝5＋4
97，x2＝5－4
97 .
随堂练习
3．用公式法解方程：x2－3x＋4＝0. 解：a＝1，b＝－3，c＝4. Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝－7<0. 方程无实数根．
课堂小结
公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: △=b2-4ac的值; 4.判断：若△=b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若△=b2-4ac<0，则方程没有实数根.
当堂测试
1. 关于 x 的一元二次方程 x2 2x m 2 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围
,
x2
1．
（2） x2 4x 7 0 ，
a 1， b 4 ， c 7 ，
b2 4ac (4)2 417 44 0 ，

2024年秋新苏科版七年级上册数学 4.2 一元一次方程及其解法 教学课件

2024年秋新苏科版七年级上册数学 4.2 一元一次方程及其解法 教学课件
标准，其中“元”指未知数，“次”指未知数的次数， “整式”指分母不含未知数.
例1
知1－练
2 解题秘方：利用一元一次方程的特点进行判断.
知1－练
解：①等号右边不是整式；③未知数x的最高次数为2；④ 化简后x的系数为0且等式不成立；⑥含有两个未知数；只 有②⑤是一元一次方程.
知1－练
方法 判断一个方程是否为一元一次方程的方法：
知识点 4 解一元一次方程——去分母
知4－讲
1. 解含有分母的一元一次方程时，方程两边乘各分母的最 小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母.
2. 去分母解一元一次方程的步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
特别解读 1. 去分母的依据是等式的性质2. 2. 去分母的目的是将分数系数化为整数系数.
注意：(1)去分母时，若分子是多项式，去分母后，分 子需要加上括号. (2)去分母时，不要漏乘不含分母的项.
知识点 5 解一元一次方程的一般步骤
知5－讲
1. 解一元一次方程的一般步骤 一般地，解一元一次方程的步骤是：去分母、去括号、
移项、合并同类项、把未知数的系数化为1 . 通过这些步骤 可以将一元一次方程转化为x＝c(c为常数)的形式.
第4章 一元一次方程
4.2 一元一次方程及其解法
1 课时讲解 一元一次方程
解一元一次方程——移项 解一元一次方程——去括号 解一元一次方程——去分母
2 课时流程 解一元一次方程的一般步骤
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 一元一次方程
知1－讲
2. 一元一次方程的特点
知1－讲
(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是1；(3)是
知4－讲

《解一元二次方程》一元二次方程PPT(因式分解法)

《解一元二次方程》一元二次方程PPT(因式分解法)
分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法.
〔3〕9〔x+1〕2＝〔2x-5〕2 ；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
〔4〕9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝〔-12〕2-4×9×〔-1〕＝ 144+36
(x + m) 〔x + n〕＝0
解法选择根本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时〔ax2+c=0〕， 应选用直接开平方法； 2.假设常数项为0〔 ax2+bx=0〕，应选用因式分解法； 3.假设一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0〕，先化为 一般式，看一边的整式是否容易因式分解，假设容易，宜选 用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较 简单.
不过现在教同学们一个 小办法，左边我为大家准备 了一张视力保健“远眺图” ，看看图就能缓解眼疲劳， 起到远眺解乏的作用。
远眺图是利用心理学 空间知觉原理，在一张二维 空间平面上，强烈显示出三 维空间的向远延伸的立体图 形，远视和视力良好的人在 长时间近距离用眼情况下引 起的视力疲劳，可以通过此 种方法获得一定的缓解。
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置，熟悉 一下最远处几个框细微的纹路，
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。

一元二次方程的解法ppt课件

一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=

，x
2=1

观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室

一元二次方程的解法公式法PPT课件

∴当m-1=0时， 方程有两个相等的实数根；
当m-1≠0时， 方程有两个不相等的实数根；
第19页/共22页
应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围
(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有
两个实数根，则m的取值范围是 （ D ）
A 、 m ﹥0
B、 m≥0
C 、 m ﹥ 0 且m≠1 D m ≥0且m≠1
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
第4页/共22页
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方 程的一般步骤：
(a≠0, b2-4ac≥0)
例1.用公式法解方程2x2+5x-
3=0
①
解: a=2, b=5, c= -3, ②
∴ b2-4ac=52-4×2×(-
即 x1 = -2 , x2 =
. x 2 24 1 6 2
. x1 1 6, x2 1 6
第6页/共22页
例2 用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以3, 得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2.
例3 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x
含有字母系数时，将△配方后判断
第18页/共22页
根的判别式问题
1、不解方程，判断根的情况. (1)2x2-4x-5=0;
解：b2 4ac (4)2 4 2 (5) =56 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)x2-(m+1)x+m=0.
解：b2 4ac (m 1)2 41 m
m2 2m 1 4m (m 1)2 ≥0

一元二次方程课件ppt


• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

《用配方法解一元二次方程》数学教学PPT课件(4篇)

27
1. 方程x2-5x-6=0的两根为（ ）
4.2 用配方法解一元二次方程 第1课时
18
1.理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法. 2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 3.能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤. 4.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进 一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识 和能力.
② X2-3x+2=0
.
③ y2 6y 6 0 ④3x2 2 4x
1.移项 常数项移右边； 2.配方 两边同加一次项系数一半的平方； 3.求根 方程两边同时开平方.
配方法解一元二次方程
第2课时
1.填空
(1)x2+6x+_____=(x+3)2 (2)x2+8x+_____=(x+___)2
x2 ax ( a )2 (x a )2
2
2
将方程转化为（x+m)2=n(n≥0）的形式是本节的难
点，这种方法叫配方法. 23
例题
【例1】解方程：x2+4x=12 【解】两边都加上22，得 x2+4x＋22=12＋22. 即（x+2）2=16 开平方，得x+2=±4, 即x+2=4或x+2=-4. 所以x1=2,x2=-6.
26
2、利用配方法解一元二次方程的步骤： （1）移项:把常数项移到方程的右边； （2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； （3）变形:方程左边分解因式,右边合并同类项； （4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为
两个一元一次方程； （5）求解：解一元一次方程； （6）定解：写出原方程的解.
19

解一元二次方程PPT课件


2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程：
x 3 2 3x
2
2
解： 原方程化为：x 2 2 3x 3 0
a 1, b 2 3, c 3
2
x1 x2 0
结论：当 相等的实数根.
2 3 0 2 3 x 3 2 1 2
b 2 4ac 0
2


上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
当 b 4ac >0 时，方程有两个不同的根 2 当 b 4ac =0 时，方程有两个相同的根 当 b 2 4ac <0 时，方程无实数根
2
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 . b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 . 4 24 4 2 6 x= = 2 1 = 2. 即 x1 = 2 6 , x2 = 2 6 .
练习:
用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5
2
2
即
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (1) b 4ac 0, 这时 0 4a
即
此时，方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x 2a 2a
完全平方公式？
配方法
我们通过配成完全平方式 （x n） a(a 0) ， 然后直接开平方，得到了一元二次方程的根,这种解 一元二次方程的方法称为配方法
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5 怎么转化? x − x +1 = 0 怎么转化 2
2
例 解 程 3x2 +8x −3 = 0. ： 方 ：
8 x + x −1= 0 3 8 x2 + x =1 3 8 42 42 2 x + x + ( ) =1+ ( ) 3 3 3 4 25 (x + )2 = 3 9 4 5 x+ = ± 3 3 4 5 x =− ± 3 3 − 4 +5 − 4 −5 即1 = x , x2 = 3 3
23 . 8
一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离 h(m)与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系：
h = 24t −5t
解 由 意 ： 题 得 16 = 24t −5t 2 24 16 即 2 − t =− . t 5 5 24 12 2 16 12 2 2 t − t +( ) = − +( ) 5 5 5 5 12 64 (t − )2 = 5 25
5 你 说 方 x − x +1= 0与 能 说 程 2 方 2x2 −5x + 2 = 0有 关 吗 程 何 系 ？
2
如 解 程 x −5x + 2 = 0? 何 方 2
2
如果能转化 （基本思想是:如果能转化为二次 基本思想是 如果能转化为二次 项系数为1的一元二次方程的形式 的一元二次方程的形式,则 项系数为 的一元二次方程的形式 则 问题即可解决.） 问题即可解决 ）
3 C.x2-2x+1= +1 2
D.
x2-2x+1=-
3 +1 2
4、用配方法解下列方程： 、用配方法解下列方程： 2 （1） 2t − 7t − 4 = 0 ） 2 （2） 3 x − 1 = 6 x ） 2 3） （3）- 2 x + 19 x = 20 （4） 3y2-y-2=0 ） 5、试用配方法证明：2x2-x+3的值不 、试用配方法证明： 的值不 小于
4.2一元二次方程的解法 一元二次方程的解法(3) 一元二次方程的解法 配方法
用配方法解下列方程： 用配方法解下列方程：
(1)x −6x −16 = 0;
2
(2)x +3x − 2 = 0.
2
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一 我们通过配成完全平方式的方法 得到了一 元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法 元二次方程的根 这种解一元二次方程的方法 称为配方法 称为配方法 用配方法解一元二次方程的方法的助手:
2经过多少时间后，小球在上抛点 Nhomakorabea距离是16m?
∴t = 12 8 ± 5 5 4 5
∴t1 = 4, t2 =
4 答: 在 s时小 达 16m;至 高 , 球 到 最 点 5 后 落在 s时其 度 为 m 下 , 4 , 高 又 16 .
本节课你又学会了哪些新知识呢？ 本节课你又学会了哪些新知识呢？ 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤 的一元二次方程的步骤: 用配方法解二次项系数不是 的一元二次方程的步骤 1.化1:把二次项系数化为 方程两边都除以二次项系数 把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数 化 把二次项系数化为 方程两边都除以二次项系数); 移项:把常数项移到方程的右边 2.移项 把常数项移到方程的右边 移项 把常数项移到方程的右边; 3.配方 方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方 配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方 配方 方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形 方程左边分解因式 右边合并同类 变形:方程左边分解因式 右边合并同类; 变形 方程左边分解因式,右边合并同类 5.开方 根据平方根意义 方程两边开平方 开方:根据平方根意义 方程两边开平方; 开方 根据平方根意义,方程两边开平方 求解:解一元一次方程 6.求解 解一元一次方程 求解 解一元一次方程; 7.定解 写出原方程的解 定解:写出原方程的解 定解 写出原方程的解. 用一元二次方程这个模型来解答或解决生活 中的一些问题(即列一元二次方程解应用题 即列一元二次方程解应用题). 中的一些问题 即列一元二次方程解应用题
2
解 3x +8x −3 = 0 ：
2
1.化1:把二次项系数化为 化 把二次项系数化为 把二次项系数化为1; 2.移项 把常数项移到方程的右边 移项:把常数项移到方程的右边 移项 把常数项移到方程的右边; 3.配方 方程两边都加上 配方:方程两边都加上 配方 一次项系数一半的平方; 一次项系数一半的平方 4.变形 方程左边分解因式 右 变形:方程左边分解因式 变形 方程左边分解因式,右 边合并同类项; 边合并同类项 5.开方 根据平方根意义 方程两 开方:根据平方根意义 开方 根据平方根意义,方程两 边开平方; 边开平方 6.求解 解一元一次方程 求解:解一元一次方程 求解 解一元一次方程; 7.定解 写出原方程的解 定解:写出原方程的解 定解 写出原方程的解.
1 解 程 -2x +19x = 20; 、 方 ：
2
2、 P88练 . 书 习
1 课 作 ： 成 标 试 、 堂 业 完 达 测 2、 后 业 完 创 课 练 课 作 ： 成 新 时 习
例 解 程 −3x + 4x +1= 0. ： 方 ：
2
解 −3x2 + 4x +1= 0 ：
2
二 项 次 4 1 x − x− =0 系 是 数 负 3 3 4 1 数 何 如 配 2 x − x= 方 ？ 呢 3 3 4 22 1 22 2 x − x +( ) = +( ) 3 3 3 3 2 7 22 7 x= ± (x − ) = 3 3 3 9 2 7 2+ 7 2− 7 x− = ± , x2 = 即 x1 = ： 3 3 3 3
1、填空： (1) x2-x+ =(x- )2, (2)2x2-3x+ =2(x)2 （3）a2+b2+2a-4b+5=(a+ )2+(b)2 2、用配方法解一元二次方程2x2-5x-8=0的步骤中 第一步是 。 3、用配方法解2x2-4x+3=0，配方正确的是（ ） A.2x2-4x+4=3+4 B. 2x2-4x+4=-3+4
平 根 意 ： 果x2 = a, 那么x = ± a. 方 的 义 如 完 平 式 式 a2 ± 2ab +b2叫 全 方 ， 全 方 ：子 完 平 式
且 ± 2ab +b = (a ±b) . a
2 2 2
用配方法解一元二次方程的步骤: 用配方法解一元二次方程的步骤: 步骤 1.移项:把常数项移到方程的右边; 1.移项:把常数项移到方程的右边; 移项 2.配方 配方: 2.配方:方程两边都加上一次项系数 一半的平方; 一半的平方; 3.变形 方程左边分解因式, 变形: 3.变形:方程左边分解因式,右边合并 同类项 4.开方 根据平方根意义, 开方: 4.开方:根据平方根意义,方程两边开 平方; 平方; 5.求解 解一元一次方程; 求解: 5.求解:解一元一次方程; 6.定解 写出原方程的解. 定解: 6.定解:写出原方程的解.