【步步高】高考数学 考前3个月(上)专题复习 专题五 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线配套限时规范训练

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线(推荐时间：60分钟)一、填空题1．(2011·湖南改编)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________． 3．(2011·江西)若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________. 4．P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则PM －PN 的最大值为________．5．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于________．6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于________． 7．(2011·山东改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．8．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________．9．(2011·辽宁)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．10．已知抛物线y ＝2x 2上任意一点P ，则点P 到直线x ＋2y ＋8＝0的距离的最小值为________．11．已知椭圆长轴长为短轴长的3倍且经过点P (3,0)，则椭圆的标准方程是________________． 12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的离心率为e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点O ，则k 1·k 2的值为________．二、解答题13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 过点A (4,0)且与抛物线交于P 、Q 两点，并设以弦PQ 为直径的圆恒过原点．(1)求焦点坐标；(2)若FP →＋FQ →＝FR →，试求动点R 的轨迹方程．14. (2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD .(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 15．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝217，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．答 案1．2 2. 2 3. 48 4. 9 5. 133 6. 210 7.x 25－y 24＝1 8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 9．2 10. 127580 11. x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1 12. 3 13．解 (1)设直线的方程为x ＝ky ＋4，代入y 2＝2px ，得y 2－2kpy －8p ＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝2kp ，y 1y 2＝－8p .而OP →·OQ →＝0，故0＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋4)(ky 2＋4)－8p ＝k 2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)＋16－8p ， 即0＝－8k 2p ＋8k 2p ＋16－8p ，得p ＝2，所以焦点F (1,0)．(2)设R (x ，y )，由FP →＋FQ →＝FR →得(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(x －1，y )，所以x 1＋x 2＝x ＋1，y 1＋y 2＝y .而y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，可得y (y 1－y 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)． 又FR 的中点坐标为M (x ＋12，y 2)， 当x 1≠x 2时，由k PQ ＝k MA 得4y ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y2x ＋12－4， 整理得y 2＝4x －28.当x 1＝x 2时，R 的坐标为(7,0)，也满足y 2＝4x －28.所以y 2＝4x －28即为动点R 的轨迹方程．14. 解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x P ＝x ，y P ＝54y ， ∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25， 即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程， 得x 225＋x －225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412. ∴线段AB 的长度为 AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22 ＝＋1625x 1－x 22 ＝4125×41＝415. 15．(1)解 由e ＝12得c a ＝12， 即a ＝2c ，b ＝3c . 由右焦点到直线x a ＋yb ＝1的距离为d ＝217，得|bc －ab |a 2＋b 2＝217， 解得a ＝2，b ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 ①直线AB 斜率不存在时， 设A (m ，n )，B (m ，－n )，则n m ×－n m ＝－1，∴m 2＝n 2. 把m 2＝n 2代入x 24＋y 23＝1，得m 2＝127. ∴O 到直线AB 的距离为|m |＝2217. ②直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆x 24＋y 23＝1联立消去y 得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，x 1＋x 2＝－8km 3＋4k ，x 1x 2＝4m 2－123＋4k. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0.即(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k 2＋m 2＝0，整理得7m2＝12(k2＋1)，所以O到直线AB的距离d＝|m|k2＋1＝127＝2217.由①②可知，点O到直线AB的距离为定值．。

第2讲椭圆、双曲线、抛物线【高考考情解读】高考对本节知识的考查要紧有以下两种形式：1.以填空的形式考查，要紧考查圆锥曲线的标准方程、性质(专门是离心率)，和圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、大体技术，属于基础题.2.以解答题的形式考查，要紧考查圆锥曲线的概念、性质及标准方程的求解，常常在知识的交汇点处命题，有时以探讨的形式显现，有时以证明题的形式显现．该部份题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高级题．圆锥曲线的概念、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)|PF1－PF2|＝2a(2a<F1F2)PF＝PM点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)图形几何性质范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥a x≥0顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)(p2，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)e＝ca＝1＋b2a2(e>1)e＝1准线x＝±a2c x＝±a2c x＝－p2渐近线y＝±bax考点一 圆锥曲线的概念与标准方程例1 (1)设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共核心别离为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，那么PF 1·PF 2的值等于________．(2)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的核心．假设FA ＝2FB ，那么k ＝________. 答案 (1)3 (2)223解析 (1)核心坐标为(0，±2)，由此得m －2＝4，故m ＝6.依照椭圆与双曲线的概念可得PF 1＋PF 2＝26，PF 1－PF 2＝23，两式平方相减得4PF 1PF 2＝4×3，因此PF 1·PF 2＝3.(2)方式一 抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)恒过定点P (－2,0)． 如图，过A 、B 别离作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N .由FA ＝2FB ，那么AM ＝2BN ，点B 为AP 的中点． 连结OB ，那么OB ＝12AF ，∴OB ＝BF ，点B 的横坐标为1， 故点B 的坐标为(1,22)．∴k ＝22－01－－2＝223.方式二如图，由图可知，BB ′＝BF ，AA ′＝AF ， 又AF ＝2BF ， ∴BC AC ＝BB ′AA ′＝12， 即B 是AC 的中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x B ＝x A －2，2y B ＝y A 与⎩⎪⎨⎪⎧y 2A ＝8x A ，y 2B ＝8x B ，联立可得A (4,42)，B (1,22)．∴k AB ＝42－224－1＝223.(1)关于圆锥曲线的概念不仅要熟记，还要深切明白得细节部份：比如椭圆的概念中要求PF 1＋PF 2＞F 1F 2，双曲线的概念中要求PF 1－PF 2＜F 1F 2，抛物线上的点到核心的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，提倡画出合理草图．(1)(2021·山东改编)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为极点的四边形的面积为16，那么椭圆C 的方程为________．(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的核心F 的直线交抛物线于点A ，B ， 交其准线l 于点C ，假设BC ＝2BF ，且AF ＝3，那么此抛物线的方程为 ________．答案 (1)x 220＋y 25＝1 (2)y 2＝3x解析 (1)∵椭圆的离心率为32，∴c a＝a 2－b 2a＝32，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0， ∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部份的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.(2)如图，别离过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定 义知，AF ＝AA 1，BF ＝BB 1， ∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°.连结A 1F ，那么△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，那么F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，那么NF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .考点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2021·辽宁改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左核心为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF .假设AB ＝10，BF ＝8，cos∠ABF ＝45，那么C 的离心率为________．(2)(2021·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右核心为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.假设d 2＝6d 1，那么椭圆C 的离心率为________．答案 (1)57 (2)33解析 (1)在△ABF 中，由余弦定理得AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF cos∠ABF ，∴AF 2＝100＋64－128＝36，∴AF ＝6， 从而AB 2＝AF 2＋BF 2，那么AF ⊥BF . ∴c ＝OF ＝12AB ＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右核心， 则BF ′＝AF ＝6，∴2a ＝BF ＋BF ′＝14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57.(2)如图，F (c,0)，B (0，b )，那么直线BF 的方程为x c ＋yb＝1，即bx ＋cy－bc ＝0，d 1＝bcb 2＋c 2＝bc ad 2＝a 2c －c ＝b 2c，由已知条件d 2＝6d 1即b 2c＝6bca，整理得：6b 2＋ab －6a 2＝0解得b a＝26，∴e ＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝33.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键确实是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再依照a ，b ，c 的关系消掉b 取得a ，c 的关系式．成立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．(1)已知F 是椭圆C 的一个核心，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且B F →＝2 FD →，那么C 的离心率为________． (2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左核心F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，假设E 为PF 的中点，那么双曲线的离心率为________． 答案 (1)33 (2)102解析 (1)设椭圆C 的核心在x 轴上，如图，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )，则B F →＝(c ，－b )，FD →＝(x D －c ，y D )，∵B F →＝2FD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x D －c ，－b ＝2y D ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝3c 2，y D＝－b 2.又∵点D 在椭圆C 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22b 2＝1，即e 2＝13.∴e ＝33.(2)设c ＝a 2＋b 2，双曲线的右核心为F ′.则PF －PF ′＝2a ，FF ′＝2c .∵E 为PF 的中点，O 为FF ′的中点， ∴OE ∥PF ′，且PF ′＝2OE . ∵OE ⊥PF ，OE ＝a2，∴PF ⊥PF ′，PF ′＝a ， ∴PF ＝PF ′＋2a ＝3a . ∵PF 2＋PF ′2＝FF ′2， 即9a 2＋a 2＝4c 2，∴ca ＝102. ∴双曲线的离心率为102.考点三 圆锥曲线的综合问题 例3 已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，点F 为椭 圆的右核心，点A 、B 别离为椭圆的左、右极点，点M 为椭 圆的上极点，且知足MF →·FB →＝2－1.(1)求椭圆C 的方程；(2)是不是存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为△PQM 的垂心？假设存在，求出直线l的方程；假设不存在，请说明理由．解 (1)依照题意得，F (c,0)(c >0)，A (－a,0)，B (a,0)，M (0，b )， ∴MF →＝(c ，－b )，FB →＝(a －c,0)， ∴MF →·FB →＝ac －c 2＝2－1. 又e ＝c a＝22，∴a ＝2c ，∴2c 2－c 2＝2－1，∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在知足条件的直线l . ∵k MF ＝－1，且MF ⊥l ，∴k l ＝1.设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x22＋y 2＝1消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，那么有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0，即m 2<3， 又x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23，∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2 ＝2m 2－23－4m 23＋m 2＝m 2－23.又F 为△MPQ 的垂心，连结PF ，那么PF ⊥MQ ， ∴PF →·MQ →＝0，又PF →＝(1－x 1，－y 1)，MQ →＝(x 2，y 2－1)， ∴PF →·MQ →＝x 2＋y 1－x 1x 2－y 1y 2 ＝x 2＋x 1＋m －x 1x 2－y 1y 2＝－43m ＋m －2m 2－23－m 2－23＝－m 2－m 3＋43＝－13(3m 2＋m －4) ＝－13(3m ＋4)(m －1)＝0，∴m ＝－43或m ＝1(舍去)，经查验m ＝－43符合条件，∴存在知足条件的直线l ，其方程为3x －3y －4＝0.(1)关于弦中点问题经常使用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在利用根与系数的关系时，要注意利用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要查验直线与圆锥曲线是不是相交．(2)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过核心的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的概念求解．(2021·北京)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右极点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的极点时，判定四边形OABC 是不是可能为菱形，并说明理由． 解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1. 在菱形OABC 中，AC ⊥OB ， 将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴AC ＝|y 2－y 1|＝3.因此菱形的面积S ＝12OB ·AC ＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．因点B 不是W 的极点，且直线AC 只是原点，因此可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，那么x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2.∴线段AC 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2， ∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k .又k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ＝－14≠－1，∴AC 与OB 不垂直．故OABC 不是菱形，这与假设矛盾． 综上，四边形OABC 不是菱形．1． 对涉及圆锥曲线上点到核心距离或核心弦问题，恰被选用概念解题，会成效明显，概念中的定值是标准方程的基础．2． 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示核心在y轴上的椭圆；B >A >0时，表示核心在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3． 求双曲线、椭圆的离心率的方式：方式一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca；方式二：依照已知条件确信a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4． 通径：过双曲线、椭圆、抛物线的核心垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a，过椭圆核心的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线核心的弦中通径最短． 椭圆上点到核心的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5． 抛物线核心弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的核心弦，F 为抛物线的核心，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)S △AOB ＝p 22sin α；(4)1FA ＋1FB 为定值2p；(5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 1． 已知点F 是双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左核心，点E 是该双曲线的右极点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，△ABE 是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值范围是________． 答案 (1,2)解析 由AB ⊥x 轴，可知△ABE 为等腰三角形，又△ABE 是锐角三角形，因此∠AEB 为锐角，即∠AEF <45°，于是AF <EF ，b 2a<a ＋c ，于是c 2－a 2<a 2＋ac ，即e 2－e －2<0，解得－1<e <2.又双曲线的离心率e >1，从而1<e <2.2． 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右核心为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根别离为x 1和x 2，那么点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2________.(填“内”“外”“上”) 答案 内解析 ∵x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝－ca.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a＝b 2＋2ac a 2.∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝34a 2. ∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12aa 2＝74<2.∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内． (推荐时刻：70分钟) 一、填空题1． (2021·课标全国Ⅱ改编)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的核心为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，假设以MF 为直径的圆过点(0,2)，那么C 的方程为________________． 答案 y 2＝4x 或y 2＝16x解析 由题意知：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，那么由抛物线的概念知，x M ＝5－p2，设以MF为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2，因此圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，因此y M ＝4，又因为点M 在C 上，因此16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，因此抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .2． 与椭圆x 212＋y 216＝1共核心，离心率互为倒数的双曲线方程是____________．答案y 2－x 23＝1解析 椭圆x 212＋y 216＝1的离心率为16－1216＝12，且核心为(0，±2)，因此所求双曲线的核心为(0，±2)且离心率为2，因此c ＝2，2a ＝2得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线方程是y 2－x 23＝1.3． (2021·江西改编)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的核心为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，那么FM ∶MN ＝________. 答案 1∶5解析 由抛物线概念知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH . 即FM ∶MN ＝MH ∶MN ＝FO ∶AF ＝1∶ 5.4． 过双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右核心F ，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM 交y 轴于点P ，切圆于点M,2OM →＝OF →＋OP →，那么双曲线的离心率是________． 答案2解析 由已知条件知，点M 为直三角形OFP 斜边PF 的中点，故OF ＝2OM ，即c ＝2a ，因此双曲线的离心率为2.5． (2021·山东改编)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的核心与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右核心的连线交C 1于第一象限的点M .假设C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，那么p 等于________． 答案433解析 抛物线C 1的标准方程为x 2＝2py ，其核心F 为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线C 2的右核心F ′为(2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33p ，p 6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.6． (2021·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，假设双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，那么m 的值为________．答案 2解析 成立关于m 的方程求解． ∵c 2＝m ＋m 2＋4， ∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 7． 椭圆M ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右核心别离为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，那么椭圆M 的离心率e 的取值范围是________．答案 [12，22]解析 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 则PF →1＝(－c －x ，－y )，PF →2＝(c －x ，－y )，PF →1·PF →2＝x 2＋y 2－c 2.又x 2＋y 2可看做P (x ，y )到原点的距离的平方， 因此(x 2＋y 2)max ＝a 2，因此(PF 1→·PF 2→)max ＝b 2， 因此c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12， 因此12≤e ≤22.8． (2021·福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右核心别离为F 1，F 2，焦距为2c .假设直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 知足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，那么该椭圆的离心率等于________． 答案3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°， 又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， 因此∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2，因此MF 1＝c ，MF 2＝3c ， 因此MF 1＋MF 2＝c ＋3c ＝2a .即e ＝ca＝3－1.9． (2021·辽宁)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左核心，P ，Q 为C 上的点．假设PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，那么△PQF 的周长为________． 答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右核心， 且PQ ＝QA ＋PA ＝4b ＝16，由双曲线概念，PF －PA ＝6，QF －QA ＝6. ∴PF ＋QF ＝12＋PA ＋QA ＝28，因此△PQF 的周长为PF ＋QF ＋PQ ＝28＋16＝44.10．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 别离为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，那么PM＋PN 的最小值为________． 答案 7解析 由题意知椭圆的两个核心F 1，F 2别离是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7.二、解答题11．(2021·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右核心的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，假设四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 21a 2＋y 21b 2＝1 ①x 22a 2＋y 22b 2＝1 ②①－②，得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2y 1＋y 2b 2＝0.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，因此y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．因此能够解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2， 又因为c ＝3，因此a 2＝6，因此M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0，因此设直线CD 方程为y ＝x ＋m ， 将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得：3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫433，－33，因此可得AB ＝463；将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得：3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 则CD ＝2x 3＋x 42－4x 3x 4＝22318－2m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，因此当m ＝0时，CD 取得最大值4，因此四边形ACBD 面积的最大值为12AB ·CD ＝863.12．(2021·江西)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)通过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是通过右核心F 的任一弦(不通过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA 、PB 、PM 的斜率别离为k 1、k 2、k 3.问：是不是存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？假设存在，求λ的值；假设不存在，说明理由．解 (1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，得1a 2＋94b 2＝1， ①又e ＝c a ＝12，得a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，②②代入①得，c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1x 24＋y23＝1得，(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝kx 1－1－32x 1－1＋kx 2－1－32x 2－1＝2k －32⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1 ＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1＝2k －32·8k 24k 2＋3－24k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1.又将x ＝4代入y ＝k (x －1)得M (4,3k )， ∴k 3＝3k －323＝k －12，∴k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．13．已知中心在原点，核心在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个极点的抛物线x 2＝－43y 的核心．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)假设过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标；(3)是不是存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，且知足PA →·PB →＝PM →2？假设存在，求出直线l 1的方程；假设不存在，请说明理由． 解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，因此直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1 (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k x －2＋1得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0. ①因为直线l 与椭圆C 相切，因此Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得32(6k ＋3)＝0，解得k ＝－12.因此直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，能够解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(3)假设存在直线l 1知足条件，那么直线l 1的斜率存在，设其方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，因此Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0. 因此k 1>－12.x 1＋x 2＝8k 12k 1－13＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21.因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，因此(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝54， 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 12k 1－13＋4k 21＋4(1＋k 21) ＝4＋4k 213＋4k 21＝54， 解得k 1＝±12.因为A ，B 为不同的两点，因此k 1＝12.于是存在直线l 1知足条件，其方程为y ＝12x .。

2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第2讲 椭圆 双曲线 抛物线教案自主学习导引真题感悟1．(2012·江西)椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为A.14B.55C.12D.5－2解析 利用等比中项性质确定a ，c 的关系．由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，所以e ＝55.答案 B2．(2012·山东)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析 根据离心率的大小和距离列出方程或方程组求解．∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案 D考题分析椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质、方程一直是每年高考必要内容．近几年命题更加注意知识的融合创新，涉及导数、函数、不等式、数列、向量等知识，同时注意思想方法的运用．网络构建高频考点突破考点一：圆锥曲线的定义及应用【例1】(2012·潍坊二模)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则PF 1→·PF 2→等于A ．24B ．48C ．50D ．56[审题导引] 据已知条件和双曲线的定义可以求出|PF 1|与|PF 2|的长，在△PF 1F 2中利用余弦定理可求两向量夹角的余弦值，即得PF 1→·PF 2→.[规范解答] 如图所示，|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，由双曲线定义可得，|PF 1|＝10. 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋62－622×10×6＝56.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2＝10×6×56＝50.[答案] C 【规律总结】焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形．(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识： ①椭圆或双曲线的定义； ②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式． 【变式训练】1．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为A ．8B ．9C ．16D ．20解析 由双曲线的定义可知，|AF 2|－|AF 1|＝2m ， |BF 2|－|BF 1|＝2m ，所以(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4m ， |AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4m ， |AF 2|＋|BF 2|＝4＋4m . 又|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝20， 即4＋4m ＋4＝20. 所以m ＝9. 答案 B2．(2012·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，当△FAB的周长最大时，△FAB 的面积是________．解析 根据椭圆的定义结合其几何性质求解．直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △FAB ＝12×2×3＝3.答案 3考点二：圆锥曲线的性质【例2】(2012·咸阳二模)已知椭圆C 1：x 2m ＋2＋y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m －y 2n＝1共焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C ．(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [审题导引] 根据椭圆与双曲线的方程确定其焦点位置，进而求出m 、n 的范围，可求离心率e 的取值范围．[规范解答] 由双曲线的方程知，椭圆与双曲线的焦点在x 轴，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2－n ＝m ＋nm ＋2＞0m ＞0n ＞0m ＋2＞n，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1m ＞0.设椭圆C 1的离心率为e ，∴e 2＝1－nm ＋2＝1－1m ＋2. ∵m ＞0，∴e 2＞12，e ＞22，即离心率的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. [答案] A【规律总结】离心率的求法双曲线与椭圆的离心率就是ca的值，有些试题中可以直接求出a 、c 的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出a 、c 的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于a 、c或a 、b 的方程，通过这个方程解出c a 或b a ，利用公式e ＝ca求出，对双曲线来说，e ＝1＋b 2a2，对椭圆来说，e ＝1－b 2a2.【变式训练】3．(2012·日照模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为A ．y ＝±32xB ．y ＝±32x C ．y ＝±33xD ．y ＝±3x解析 抛物线y 2＝16x 的焦点为(4,0)，∴c ＝4，e ＝c a ＝4a ＝2，∴a ＝2，b ＝c 2－a 2＝16－4＝23，故渐近线方程为y ＝±3x . 答案 D4．(2012·济南三模)已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为 A.52B.32C.352D.23解析 易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±bax ，即±bx －ay ＝0.不妨设双曲线的焦点为F (c,0)， 据题意，得53c ＝|±bc |a 2＋b2，∴b ＝53c ， ∴a 2＋b 2＝a 2＋59c 2＝c 2，即a 2＝49c 2，∴e 2＝c 2a 2＝94，∴e ＝32.答案 B考点三：求圆锥曲线的方程【例3】(1)(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 (2)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x[审题导引] (1)利用焦距为10与P (2,1)在双曲线的渐近线上可列出关于a ，b 的方程组，解出a 与b ，得双曲线的方程．(2)求出各点的坐标，就可以根据三角形的面积列出关于a 的方程，解方程即得．[规范解答] (1)∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b ax ，且P (2,1)在渐近线上， ∴2ba＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝5，故应选A.(2)抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，它与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，所以△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2＝4，解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x .故选B. [答案] (1)A (2)B 【规律总结】求圆锥曲线方程的方法(1)定义法：在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及其上一点的坐标时常用此方法．(2)待定系数法：①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义．②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)．这样可以避免繁琐的计算．利用以上设法，根据所给圆锥曲线的性质求出参数，即得方程．【变式训练】5．若点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P (x ，y )的轨迹方程为 A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y解析 点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0,2)和到直线y ＋2＝0的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x 2＝2py ，其中p ＝4，故所求的轨迹方程为x 2＝8y . 答案 C6．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 解析 依题意得抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是(2,0)，则椭圆的右焦点坐标是(2,0)，由题意得m 2－n 2＝22且e ＝2m ＝12，m ＝4，n 2＝12，椭圆的方程是x 216＋y 212＝1，选B.答案 B名师押题高考【押题1】设F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝45，则双曲线的渐近线方程为A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析 在△PF 1F 2中，由余弦定理得 cos ∠PF 1F 2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1|·|F 1F 2|＝|PF 1|24c ·|PF 1|＝|PF 1|4c ＝45. 所以|PF 1|＝165c .又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即165c －2c ＝2a ，a ＝35c .代入c 2＝a 2＋b 2得b a ＝±43.因此，双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0.答案 C[押题依据] 对于圆锥曲线，定义是非常重要的，高考中常以选择题或填空题的形式灵活考查圆锥曲线的定义以及由定义所涉及的几何性质．本题是典型的焦点三角形问题，突出了定义，同时考查了余弦定理，方法较灵活，故押此题．【押题2】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 解析 根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，∴椭圆方程为x 216＋y 28＝1.答案x216＋y28＝1 [押题依据] 椭圆的方程、几何性质与定义是解析几何的重要内容，是高考的热点问题，通常的考查方式是把椭圆的几何性质、椭圆的定义相互综合．本题难度较小，属基础题目，故押此题．。