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2020年云南省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 已知集合S ＝{x|2x ＝1}，T ＝{x|ax ＝1}．若S ∩T ＝T ，则常数a 的值为（ ） A.0或2 B.0或12C.2D.122. 已知i 为虚数单位，若(2+3i)z ＝1+i ，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 为得到函数y ＝6sin (2x +π3)的图象，只需要将函数y ＝6cos 2x 的图象（ ）A.向右平行移动π6个单位B.向左平行移动π6个单位C.向右平行移动π12个单位D.向左平行移动π12个单位4. 某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安排在星期三上午，数学必须比历史先上，则不同的排法有（ ） A.60种 B.30种 C.120种 D.24种5. 执行如图所示的程序框图．若输入的S ＝0，则输出的S ＝（ ）A.20B.40C.62D.776. 一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的体积为（ ）A.32−4πB.32−2πC.64−4πD.64−2π7. 已知实数x ，y 满足约束条件{−3≥x −4y3x +5y ≤25x ≥1，则z ＝2x +y 的最大值等于（ ）A.10B.12C.16D.228. 已知抛物线C:y 2＝4x 的焦点为F ，经过点Q(−1, 0)作直线l ，l 与抛物线C 在第一象限交于A 、B 两点．若点F 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为（ ） A.√33B.√22C.12D.19. 已知tan (π−α)＝2，则sin 4αsin (π2+2α)=( )A.±85B.85C.−85D.−6510. 已知正△ABC 的顶点都在球O 的球面上，正△ABC 的边长为2√3．若球心O 到△ABC 所在平面的距离为√5，则球O 的表面积为（ ） A.36π B.32πC.36√3πD.32√3π11. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 是双曲线C 的右顶点，点M 是双曲线C 的右支上一点，|MF 1|＝5a ．若△F 2MA 是以∠AMF 2为顶角的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A.3 B.√52C.√31−12D.√33−1212. 已知平行四边形ABCD 的面积为9√3，∠BAD =2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF →=λAB →+56AD →，则|AF →|的最小值为（ ）A.√11B.3C.√7D.√5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在(√x 3−√x)8的二项展开式中，x 的系数等于________（用数字作答）．已知离散型随机变量X的分布列如下：若X的数学期望等于4118，则a＝________．已知f(x)=13x3+m2x2−6x+1在(−1, 1)单调递减，则m的取值范围为________．在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．若a2+b(b−√3a)＝1，c＝1，则√3a−b的取值范围为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．某老师为了研究某学科成绩优良是否与学生性别有关系，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩（单位：分），得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定不低于80分为成绩优良．其中30名男生该学科成绩分成以下六组：[40, 50),[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]．（1）请完成下面的列联表（单位：人）：（2）根据（1）中的列联表，能否有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n＝a+b+c+d．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n＝a n+1，设b n=S n(1+S n)(1+S n+1)，数列{b n}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：T n<13．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB＝AC，M、N、D分别是A1B1、A1C1、BC的中点．（1）求证：AD⊥MN；（2）若三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，AB＝AA1，∠ABC=π6，求二面角M−AD−N的正弦值．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ax2−(a+1)x(ln x−1)，g(x)＝e x2−ax2．（1）若a＝e，求曲线y＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线方程；（2）若g(x)在(−1, 0)单调递增，判断函数f(x)是否有零点．若有，有多少个？若没有，说明理由．已知椭圆E的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为√32，F1，F2分别为椭圆E的左、右焦点，点P在椭圆E上，以线段F1F2为直径的圆经过点P，线段F1P与y轴交于点B，且|F1P|⋅|F1B|＝6．（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线l与椭圆E交于M、N两点，且OM→⋅ON→=0．在平面直角坐标系xOy中，是否存在定圆Q，动直线l与定圆Q都相切？若存在，求出圆Q所有的方程；若不存在，说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosαy=sinα（α为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程ρ=√3+cos 2θ−sin2θ．（1）直接写出曲线C2的普通方程；（2）设A是曲线C1上的动点，B是曲线C2上的动点，求|AB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知f(x)＝|2x+1|+|2x+3|，m是f(x)的最小值．（1）求m；（2）若a>0，b>0，且a+b=√3ab，求证：1a2+2b2≥m．参考答案与试题解析2020年云南省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】根据S∩T＝T可得出T⊆S，并得出S={12}，从而可讨论a是否为0:a＝0时，显然满足条件；a≠0时，可得出1a =12，从而可得出a的值．【解答】∵S∩T＝T，∴T⊆S，且S={12}，T＝{x|ax＝1}，∴ ①a＝0时，T＝⌀，满足T⊆S；②a≠0时，T={1a }，则1a=12，解得a＝2，综上得，a的值为0或2．2.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案．【解答】由(2+3i)z＝1+i，得z=1+i2+3i =(1+i)(2−3i)(2+3i)(2−3i)=513−113i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(513,−113)，位于第四象限．3.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由诱导公式先将y＝6cos2x转化成y＝6sin2x，然后在将y＝6sin2x平移得到y＝6sin(2x+π3)，先向右平移π4，再向左平移π6，即向右平移π12．【解答】∵y＝6cos2x，∴6cos2(x−π4)＝6cos(2x−π2)＝6cos(π2−2x)＝6sin2x∴y＝6cos2x先向由平移π4个单位得到y＝6sin2x，∵y＝6sin(2x+π3)＝6sin2(x+π6)是将y＝6sin2x向作平移π6个单位，综上所述将y＝6cos2x向右平移π12个单位得到y＝6sin(2x+π3)，4.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，先计算五门课程任意排列的情况数目，又由数学排在历史之前和数学排在历史之后的情况数目是相同的，据此分析可得答案．【解答】根据题意，把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安排在星期三上午，将五门课程任意排列，有A55＝120种情况，其中数学排在历史之前和数学排在历史之后的情况数目是相同的，则数学比历史先上的排法有1202=60种；5.【答案】B【考点】程序框图【解析】本题是一个直到型循环结构，算法功能是对数列{2n}、{n}求前4项的和．套公式计算即可．【解答】由题意可知，框图的算法功能是对数列{2n}、{n}求前4项的和，∴S=2(1−24)1−2+1+2+3+4=40．6.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为棱长为4的正方体挖去一个四分之一圆柱，圆柱的底面半径为2，高为4．再由棱柱与圆柱的体积公式求解．【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体为棱长为4的正方体挖去一个四分之一圆柱， 圆柱的底面半径为2，高为4．则该几何体的体积为4×4×4−14×π×22×4=64−4π． 7.【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】先根据约束条件画出可行域，设z ＝2x +y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z ＝2x +y 可行域内的点A 时，从而得到z ＝2x +y 的最值即可． 【解答】如图：作出可行域，目标函数：z ＝2x +y ，则y ＝−2x +z ， 当目标函数的直线过点A 时，Z 有最大值．A 点坐标由方程组{−3=x −4y3x +5y =25 解得A(5, 2)Z max ＝2x +y ＝12．故z ＝2x +y 的最大值为：12； 8.【答案】 B【考点】 抛物线的性质直线与抛物线的位置关系 【解析】设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用点F 在以AB 为直径的圆上，结合韦达定理转化求解即可． 【解答】设AB 的斜率为k ，直线方程为：y ＝k(x +1)，与抛物线y 2＝4x 联立，可得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2＝0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，可得x 1+x 2=4−2k 2k 2，x 1x 2＝1，则y 1y 2=√16x 1x 2=4， 点F 在以AB 为直径的圆上，FA →⋅FB →=0， 可得(x 1−1, y 1)⋅(x 2−1, y 2)＝0， 即x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2＝0， 即1+2k 2−4k 2+1+4＝0，解得k ＝±√22， l 与抛物线C 在第一象限交于A 、B 两点．所以k =√22． 9.【答案】 C【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】由已知利用诱导公式可求tan α，进而根据二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解． 【解答】∵ tan (π−α)＝−tan α＝2， ∴ tan α＝−2， ∴sin 4αsin (π2+2α)=2sin 2αcos 2αcos 2α=4sin αcos α=4sin αcos αsin 2α+cos 2α=4tan α1+tan 2α=4×(−2)1+(−2)2=−85．10.【答案】 A【考点】球的体积和表面积 【解析】由已知结合正弦定理可先求出三角形ABC 外接圆的半径，然后结合球的性质R 2＝r 2+d 2可求R ，代入球的表面积公式即可求． 【解答】解；设正△ABC 的外接圆半径r ， 由正弦定理可得，2√3sin 60=2r ，故r ＝2， 由球的性质可知，R 2＝r 2+d 2＝4+5＝9， 所以球的表面积S ＝4π×9＝36π． 11.【答案】 D【考点】双曲线的离心率 【解析】椭圆双曲线的定义，结合三角形是等腰三角形，列出关系式求解双曲线的离心率即可． 【解答】 双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 是双曲线C 的右顶点，点M 是双曲线C 的右支上一点，|MF 1|＝5a ．若△F 2MA 是以∠AMF 2为顶角的等腰三角形， 可得：√25a 2−(3c+a 2)2=√9a 2−(c−a 2)2， 可得：8a 2＝c 2+ac ，e 2+e −8＝0，e >1， 解得e =√33−12． 12.【答案】 D【考点】平面向量的基本定理 【解析】可根据条件得出AF →=λAE →+(56−12λ)AD →，然后根据E ，F ，D 三点共线即可得出λ=13，从而得出AF →=13AB →+56AD →，然后根据条件可得出|AB →||AD →|=18，从而可得出AF →2=(13|AB →|)2+(56|AD →|)2−5，然后根据不等式a 2+b 2≥2ab 即可求出|AF →|的最小值． 【解答】如图，连接AE ，则：BE →=12AD →，AE →=AB →+12AD →，∴ AF →=λ(AB →+12AD →)+(56−12λ)AD →=λAE →+(56−12λ)AD →，且E ，F ，D 三点共线，∴ λ+56−12λ=1，解得λ=13， ∴ AF →=13AB →+56AD →，∵ 平行四边形ABCD 的面积为9√3，∠BAD =2π3，∴ |AB →||AD →|sin2π3=√32|AB →||AD →|=9√3，∴ |AB →||AD →|=18， ∴ AF →2=19AB →2+2536AD →2+59|AB →||AD →|cos2π3=(13|AB →|)2+(56|AD →|)2−5≥2⋅13⋅56⋅|AB →||AD →|−5=59×18−5=5，当且仅当13|AB →|=56|AD →|，即|AB →|=52|AD →|=3√5时取等号，∴ |AF →|的最小值为√5．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】 28【考点】二项式定理及相关概念 【解析】利用二项展开式的通项公式求出第r +1项，令x 的指数为2求出展开式中x 2项的系数． 【解答】根据二项式定理(√x 3√x )8的通项为T r+1＝C 8r ⋅(−1)r ⋅x16−5r6，16−5r 6=1，即r ＝2时，可得T 3=∁82x ＝28x ；即x 项的系数为28，【答案】754【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】先根据数学期望的计算方法求得b 的值，再根据分布列的性质，即概率和为1，即可求得a 的值． 【解答】由分布列的性质可知，a +13+112+b +512=1，数学期望E(X)=0×a +1×13+2×112+3×b +4×512=4118，解得，b =127,a =754，【答案】[−5, 5] 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】f′(x)＝x 2+mx −6，根据f(x)在(−1, 1)单调递减，可得f′(x)≤0在(−1, 1)上恒成立．利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】f′(x)＝x 2+mx −6， ∵ f(x)=13x 3+m2x 2−6x +1在(−1, 1)单调递减， ∴ f′(x)＝x 2+mx −6≤0在(−1, 1)上恒成立．{m ≤01+m −6≤0 ，{m ≥01−m −6≤0 ， 解得：−5≤m ≤5，则m 的取值范围为[−5, 5]． 【答案】 (1, √3) 【考点】 余弦定理 【解析】先根据余弦定理求得角C ，结合正弦定理把√3a −b 转化为2(√3sin A −sin B)，再结合AB 之间的关系求出角A 的范围，与正弦函数相结合即可求得结论． 【解答】因为在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ．∵ a 2+b(b −√3a)＝1，c ＝1⇒a 2+b 2−√3ab ＝c 2⇒2cos C =√3⇒cos C =√32⇒C ＝30∘，∴ csin C =asin A =bsin B =1sin 30=2； ∴ a ＝2sin A ，b ＝2sin B ；∴√3a−b＝2(√3sin A−sin B)＝2[√3sin A−sin(150∘−A)]＝2[√3sin A−(12cos A+√32sin A)]＝2(√32sin A−12cos A)＝2sin(A−30∘)；∵0∘<A<90∘，0∘<B<90∘，A+B＝150∘；∴60∘<A<90∘；∴30∘<A−30∘<60∘⇒2sin(A−30∘)∈(1, √3)；故√3a−b∈(1, √3)；三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【答案】根据题意填写列联表如下；根据列联表中数据，计算K2=50×(9×9−21×11)220×30×30×20=258=3.125>2.706，所以有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．【考点】独立性检验【解析】（1）根据题意填写列联表即可；（2）根据列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论．【解答】根据题意填写列联表如下；根据列联表中数据，计算K2=50×(9×9−21×11)220×30×30×20=258=3.125>2.706，所以有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．【答案】S n＝a n+1，即为S n＝S n+1−S n，即S n+1＝2S n，则S n＝S1⋅2n−1＝a1⋅2n−1＝2n；又a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2n−1，则数列{a n}的通项公式为a n={2,n=12n−1,n≥2,n∈N∗；证明：由（1）可得S n＝2n，b n=S n(1+S n)(1+S n+1)=2n(1+2n)(1+2n+1)=11+2n−11+2n+1，则T n=11+2−11+22+11+22−11+23+⋯+11+2n−11+2n+1=13−11+2n+1，由n为正整数，可得11+2n+1>0，即13−11+2n+1<13，则T n<13．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）由数列的递推式和等比数列的通项公式可得S n＝2n，再由a1＝S1，当n≥2时，a n＝S n−S n−1，计算可得所求通项公式；（2）求得b n=2n(1+2n)(1+2n+1)=11+2n−11+2n+1，由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】S n＝a n+1，即为S n＝S n+1−S n，即S n+1＝2S n，则S n＝S1⋅2n−1＝a1⋅2n−1＝2n；又a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2n−1，则数列{a n}的通项公式为a n={2,n=12n−1,n≥2,n∈N∗；证明：由（1）可得S n＝2n，b n=S n(1+S n)(1+S n+1)=2n(1+2n)(1+2n+1)=11+2n−11+2n+1，则T n=11+2−11+22+11+22−11+23+⋯+11+2n−11+2n+1=13−11+2n+1，由n为正整数，可得11+2n+1>0，即13−11+2n+1<13，则T n<13．【答案】证明：∵D是BC的中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∵M，N分别是A1B1、A1C1的中点，∴MN // B1C1，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC // B1C1，∴MN // BC，∴AD⊥MN．如图，设AA1＝2，作AH // BC，由（1）知AD⊥BC，∴AD⊥AH，由已知得AH，AD，AA1两两互相垂直，由∠ABC=π6，得∠BAH=π6，∠BAD=π3，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，则A(0, 0, 0)，A1(0, 0, 2)，D(0, 1, 0)，B(√3,1,0)，B1(√3, 1, 2)，C(−√3, 1, 0)，C1(−√3, 1, 2)，M(√32, 12, 2)，N(−√32, 12, 2)，AD→=(0, 1, 0)，AM→=(√32, 12, 2)，AN→=(−√32, 12, 2)，设平面ADM的一个法向量为n→=(x, y, z)，则{n→⋅AD→=y=0n→⋅AM→=√32x+12y+2z=0，取z=−√3，得n→=(4, 0, −√3)，设平面ADN 的法向量m →=(a, b, c)，则{m →⋅AD →=b =0m →⋅AN →=−√32a +12b +2c =0 ，取c =√3，得m →=(4, 0, √3)， 设二面角M −AD −N 的平面角的大小为θ， 则|cos θ|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1319，∵ 0<θ<π，∴ sin θ=√1−cos 2θ=8√319， ∴ 二面角M −AD −N 的正弦值为8√319．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直 【解析】（1）推导出AD ⊥BC ，MN // B 1C 1，BC // B 1C 1，从而MN // BC ，由此能证明AD ⊥MN ．（2）设AA 1＝2，作AH // BC ，由AD ⊥BC ，得AD ⊥AH ，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法能求出二面角M −AD −N 的正弦值． 【解答】证明：∵ D 是BC 的中点，AB ＝AC ，∴ AD ⊥BC ， ∵ M ，N 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，∴ MN // B 1C 1， 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC // B 1C 1， ∴ MN // BC ，∴ AD ⊥MN ． 如图，设AA 1＝2，作AH // BC ， 由（1）知AD ⊥BC ，∴ AD ⊥AH ， 由已知得AH ，AD ，AA 1两两互相垂直， 由∠ABC =π6，得∠BAH =π6，∠BAD =π3，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ， 则A(0, 0, 0)，A 1(0, 0, 2)，D(0, 1, 0)，B(√3,1,0)，B 1(√3, 1, 2)， C(−√3, 1, 0)，C 1(−√3, 1, 2)，M(√32, 12, 2)，N(−√32, 12, 2)， AD →=(0, 1, 0)，AM →=(√32, 12, 2)，AN→=(−√32, 12, 2)， 设平面ADM 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅AD →=y =0n →⋅AM →=√32x +12y +2z =0，取z =−√3，得n →=(4, 0, −√3)， 设平面ADN 的法向量m →=(a, b, c)，则{m →⋅AD →=b =0m →⋅AN →=−√32a +12b +2c =0 ，取c =√3，得m →=(4, 0, √3)， 设二面角M −AD −N 的平面角的大小为θ， 则|cos θ|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1319，∵ 0<θ<π，∴ sin θ=√1−cos 2θ=8√319， ∴ 二面角M −AD −N 的正弦值为8√319．【答案】若a ＝e ，y ＝f(x)g(x)＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](e x 2−ex 2)，∴ y′＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](e x 2−ex 2)′＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](2xe x 2−2ex)， ∴ 当x ＝1时，y′＝0，…2分∴ 曲线y ＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线的斜率k ＝0， ∴ 曲线y ＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线方程为y ＝0...4分 函数f(x)没有零点．∵ g(x)在(−1, 0)单调递增，∴ 当x ∈(−1, 0)时，g′(x)＝2xe x 2−2ax ≥0，即a ≥e x 2． ∴ a ≥e...6分由f(x)＝ax 2−(a +1)x(ln x −1)得f′(x)＝2ax −(a +1)ln x 且x >0， 设ℎ(x)＝2ax −(a +1)ln x ，则ℎ′(x)＝2a −a+1x=2a(x−a+12a)x，∴ 当0<x <a+12a时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x >a+12a时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增；∴ 当x =a+12a时，ℎ(x)取得最小值，即[ℎ(x)]min ＝ℎ(a+12a )＝a +1−(a +1)ln a+12a⋯9分∵ a ≥e ，∴a+12a<a+a 2a，即0<a+12a<1，∴ [ℎ(x)]min ＝ℎ(a+12a )＝a +1−(a +1)lna+12a>0．∴ ℎ(x)>0，即f′(x)>0，∴ f(x)在定义域(0, +∞)单调递增． ∵ f(1)＝2a +1>0， ∴ 当a >1时，f(x)>0，当0<x <1时，x(ln x −1)<0，f(x)＝ax 2−(a +1)x(ln x −1)>0． ∴ 当x ∈(0, +∞)时，f(x)>0，∴ f(x)＝0无实根，即函数f(x)没有零点．…12分 【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）若a ＝e ，可得y′＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](2xe x 2−2ex)，由x ＝1时，k ＝y′|x ＝1＝0，即可求得曲线y ＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线方程；（2）依题意，g(x)在(−1, 0)单调递增⇒a ≥e x 2，由f′(x)＝2ax −(a +1)ln x 且x >0，设ℎ(x)＝2ax −(a +1)ln x ，通过求导后，对x 分0<x <a+12a，x >a+12a及x =a+12a三类讨论，可求得[ℎ(x)]min ＝ℎ(a+12a )＝a +1−(a +1)lna+12a，再进一步分析即可得到函数f(x)没有零点．【解答】若a ＝e ，y ＝f(x)g(x)＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](e x 2−ex 2)，∴ y′＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](e x 2−ex 2)′＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](2xe x 2−2ex)， ∴ 当x ＝1时，y′＝0，…2分∴ 曲线y ＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线的斜率k ＝0， ∴ 曲线y ＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线方程为y ＝0...4分 函数f(x)没有零点．∵ g(x)在(−1, 0)单调递增，∴ 当x ∈(−1, 0)时，g′(x)＝2xe x 2−2ax ≥0，即a ≥e x 2． ∴ a ≥e...6分由f(x)＝ax 2−(a +1)x(ln x −1)得f′(x)＝2ax −(a +1)ln x 且x >0， 设ℎ(x)＝2ax −(a +1)ln x ，则ℎ′(x)＝2a −a+1x=2a(x−a+12a)x，∴ 当0<x <a+12a时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减； 当x >a+12a时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增； ∴ 当x =a+12a时，ℎ(x)取得最小值，即[ℎ(x)]min ＝ℎ(a+12a )＝a +1−(a +1)lna+12a⋯9分∵ a ≥e ，∴a+12a<a+a 2a，即0<a+12a<1，∴ [ℎ(x)]min ＝ℎ(a+12a)＝a +1−(a +1)ln a+12a>0．∴ ℎ(x)>0，即f′(x)>0，∴ f(x)在定义域(0, +∞)单调递增．∵ f(1)＝2a +1>0， ∴ 当a >1时，f(x)>0，当0<x <1时，x(ln x −1)<0，f(x)＝ax 2−(a +1)x(ln x −1)>0． ∴ 当x ∈(0, +∞)时，f(x)>0，∴ f(x)＝0无实根，即函数f(x)没有零点．…12分 【答案】设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，|F 1F 2|＝2c ，∵ ∠BF 1O ＝∠PF 1F 2，∠F 1OB ＝∠F 1PF 2=π2，∴ △F 1BO ∽△F 1F 2P ，∴ |F 1B||F 1F 2|=|F 1O||F 1P|，即|F 1P||F 1B|＝|F 1O||F 1F 2|＝2c 2＝6，∴ c =√3，根据e =c a=√32，解得a ＝2，所以b 2＝a 2−c 2＝1，则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；当动直线l 的斜率为0或不存在时，根据图象的对称性不难发现，若满足条件的定圆Q 存在，则圆心Q 只能为原点O ，设圆Q 的半径为r ，则斜率为0的动直线l 有两条，方程分别为y ＝r ，y ＝−r ， 斜率不存在的动直线l 有两条，方程分别为x ＝r 和x ＝−r ，这四条直线与定圆Q 都相切， 则点(r, r)在椭圆E 上，∴ r 24+r 2=1，解得r 2=45，解得r =2√55， ∴ 若满足条件的定圆Q 存在，则其方程只能是x 2+y 2=45， 下面证明方程为x 2+y 2=45的圆满足题设要求，①当直线l 的斜率不存在时，显然直线l 与圆x 2+y 2=45相切，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，即kx −y +m ＝0， M(x 1, kx 1+m)，N(x 2, kx 2+m)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1得x 2+4(kx +m)2−4＝0，即(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4＝0，∵ 动直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，∴ △＝64k 2m 2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0，即4k 2+1−m 2>0，且{x 1+x 2=−8km4k 2+1x 1x 2=4m 2−44k 2+1， ∵ OM →⋅ON →=0，∴ OM →⋅ON →=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)＝(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)(4m 2−4)4k 2+1−8m 2k 24k 2+1+m 2＝0， ∴ k 2+1=5m 24，∵ 圆心Q 即原点O 到直线l 的距离d =√k 2+1=√24=2√55=r ，∴ 直线l 与圆Q:x 2+y 2=45相切，综上，存在一个定圆Q ，动直线l 都与圆Q 相切，且圆Q 的方程为x 2+y 2=45．【考点】椭圆的标准方程 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）作图，根据条件结合圆的性质可证得△F 1BO ∽△F 1F 2P ，则可得2c 2＝6，再结合离心率可得a 的值； （2）考虑当直线l 的斜率不存在或者为0时，Q 存在，此时Q 的方程为x 2+y 2=45，下面证明方程为x 2+y 2=45的圆满足题设要求，①当直线l 的斜率不存在时，显然直线l 与圆x 2+y 2=45相切，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，利用根与系数关系已经点到直线距离证明即可． 【解答】 设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，|F 1F 2|＝2c ，∵ ∠BF 1O ＝∠PF 1F 2，∠F 1OB ＝∠F 1PF 2=π2， ∴ △F 1BO ∽△F 1F 2P ，∴ |F 1B||F 1F 2|=|F 1O||F 1P|，即|F 1P||F 1B|＝|F 1O||F 1F 2|＝2c 2＝6，∴ c =√3，根据e =ca =√32，解得a ＝2，所以b 2＝a 2−c 2＝1，则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；当动直线l 的斜率为0或不存在时，根据图象的对称性不难发现，若满足条件的定圆Q 存在，则圆心Q 只能为原点O ，设圆Q 的半径为r ，则斜率为0的动直线l 有两条，方程分别为y ＝r ，y ＝−r ， 斜率不存在的动直线l 有两条，方程分别为x ＝r 和x ＝−r ，这四条直线与定圆Q 都相切， 则点(r, r)在椭圆E 上，∴ r 24+r 2=1，解得r 2=45，解得r =2√55， ∴ 若满足条件的定圆Q 存在，则其方程只能是x 2+y 2=45， 下面证明方程为x 2+y 2=45的圆满足题设要求，①当直线l 的斜率不存在时，显然直线l 与圆x 2+y 2=45相切，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，即kx −y +m ＝0， M(x 1, kx 1+m)，N(x 2, kx 2+m)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1得x 2+4(kx +m)2−4＝0，即(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4＝0，∵ 动直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，∴ △＝64k 2m 2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0，即4k 2+1−m 2>0，且{x 1+x 2=−8km4k 2+1x 1x 2=4m 2−44k 2+1 ， ∵ OM →⋅ON →=0，∴ OM →⋅ON →=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)＝(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)(4m 2−4)4k 2+1−8m 2k 24k 2+1+m 2＝0，∴ k 2+1=5m 24，∵ 圆心Q 即原点O 到直线l 的距离d =|m|√k 2+1=|m|√5m24=2√55=r ，∴ 直线l 与圆Q:x 2+y 2=45相切，综上，存在一个定圆Q ，动直线l 都与圆Q 相切，且圆Q 的方程为x 2+y 2=45．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】曲线C 2的极坐标方程ρ=√2．整理得：3ρ2+3ρ2cos 2θ＝4，转换为直角坐标方程为x 2+y 24=1．曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos αy =sin α （α为参数）．转换为直角坐标方程为(x −2)2+y 2＝4，所以该曲线是以C(2, 0)为圆心2为半径的圆．A 是曲线C 1上的动点，B 是曲线C 2上的动点，设B(cos θ, 2sin θ)，则|BC|=√(cos θ−2)2+4sin 2θ=√cos 2θ−4cos θ+4+4sin 2θ=√−3cos 2θ−4cos θ+8 =√−3(cos θ+23)2+283，当cos θ=−23时．|BC|max =√283=2√213， 所以求|AB|的最大值为2√213+2．【考点】圆的极坐标方程 圆的参数方程 【解析】1)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果． （2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出最值． 【解答】曲线C 2的极坐标方程ρ=√2．整理得：3ρ2+3ρ2cos 2θ＝4，转换为直角坐标方程为x 2+y 24=1．曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos αy =sin α （α为参数）．转换为直角坐标方程为(x −2)2+y 2＝4，所以该曲线是以C(2, 0)为圆心2为半径的圆．A 是曲线C 1上的动点，B 是曲线C 2上的动点，设B(cos θ, 2sin θ)，则|BC|=√(cos θ−2)2+4sin 2θ=√cos 2θ−4cos θ+4+4sin 2θ=√−3cos 2θ−4cos θ+8 =√−3(cos θ+23)2+283，当cos θ=−23时．|BC|max =√283=2√213， 所以求|AB|的最大值为2√213+2．[选修4-5：不等式选讲]（10分）【答案】由绝对值不等式的性质得f(x)＝|2x +1|+|2x +3|≥|(2x +1)−(2x +3)|＝2， 又∵ f(−1)＝2， ∴ m ＝2；证明：∵ a >0,b >0,a +b =√3ab ， ∴ 1a +1b =√3， ∴ 1b =√3−1a ， ∴ 1b 2=1a 2−2√3a +3，∴ 1a 2+2b 2=3a 2−4√3a+6=(√3a −2)2+2≥2，∴1a2+2b 2≥2=m ．【考点】不等式的证明 绝对值三角不等式 【解析】（1）利用绝对值不等式的性质可得m ＝2； （2）根据题意1b =√3−1a ，进而1a 2+2b 2=3a 2−4√3a+6=(√3a −2)2+2≥2，由此得证．【解答】由绝对值不等式的性质得f(x)＝|2x +1|+|2x +3|≥|(2x +1)−(2x +3)|＝2， 又∵ f(−1)＝2， ∴ m ＝2；证明：∵ a >0,b >0,a +b =√3ab ，∴ 1a +1b=√3，∴ 1b=√3−1a，∴1b 2=1a 2−2√3a +3，∴ 1a 2+2b 2=3a 2−4√3a+6=(√3a −2)2+2≥2，∴ 1a 2+2b 2≥2=m ．。
云南民族大学附属中学2020届高三第一次高考仿真模拟数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2,x A yy x R ==∈∣，{}210B x x =-<∣，则A B =（ ） A ．(1,1)- B ．(0,1) C ．(1,)-+∞ D ．(0,)+∞ 2．复数z 满足21z i -+=，则||z 的值是（ ）ABCD．3．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足12AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（） A ．5163BA BC - B ．1536BA BC - C ．1536BA BC + D ．5163BA BC + 4．幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，b =，1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a << 5．“函数()2()311f x ax a x =--+在区间[)1+∞，上是增函数”是“01a ≤≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知x ，y 满足条件0{20x y x x y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( )A ．－16B ．－6C ．-83D ．67．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(),1-∞B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， 8．已知直线l 、m 与平面α、β，l α⊂，m β⊂，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//l m ，则必有//αβB ．若l m ⊥，则必有αβ⊥C ．若l β⊥，则必有αβ⊥D ．若αβ⊥，则必有m α⊥9．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为127，则判断框中可以填（ ）A ．5k <？B ．k 6<？C ．7k <？D ．8k <？10．设1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M .若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．13C ．12D ．2 11．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石12．函数22log (2),02()2(),20x x f x f x x --+≤<⎧=⎨---<<⎩，若(1)()f a f a -<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知三棱锥P ABC -，4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为______. 14．已知:64p x -≤，:11q a x a -<<+，a R ∈，且p 是q 成立的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________．15．在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y x P x y x y-++'； 当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C '关于y 轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.三、双空题16．“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n 天所织布的尺数为n a ，则14151617+++=a a a a ______．四、解答题17．已知函数2()sin cos f x x x x =（1）求()y f x =的最小正周期，并求其单调递减区间；（2）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2f A =-，且A 为钝角，2a =，求ABC 面积的最大值. 18．某学校高二年级共有1600人，现统计他们某项任务完成时间介于30分钟到90分钟之间，图中是统计结果的频率分布直方图.（1）求平均值、众数、中位数；（2）若学校规定完成时间在[30,50)分钟内的成绩为A 等；完成时间在[50,70)分钟内的成绩为B 等；完成时间在[70,90)分钟内的成绩为C 等，按成绩分层抽样从全校学生中抽取10名学生，则成绩为B 等的学生抽取人数为？（3）在（2）条件下抽取的成绩为B 等的学生中再随机选取两人，求两人中至少有一人完成任务时间在[60,70)分钟的概率.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//DC AB ，1PA =，2AB =，PD BC ==（1）求证：CD ⊥平面PAD ；（2）若棱PB 上存在异于P 、B 的一点E ，使得二面角E AC P --，求AE 与平面ABCD 所成角的正弦值.20．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，1F ，2F 分别为E 的左、右焦点，过E 的右焦点2F 作x 轴的垂线交E 于A ，B 两点，1F AB （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在与x 轴不垂直的直线l 与E 交于C ，D 两点，且弦CD 的垂直平分线过E 的右焦点2F ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数()21x f x e x =--（1）求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；（2）设()()(1)x g x af x a e =+-，若()g x 有两个零点，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程;（2）设曲线1C 、2C 交于点A 、B ，曲线2C 与x 轴交于点E ，求线段AB 的中点到点E 的距离.23．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-（1）当2a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围.参考答案1．C【分析】根据指数函数的性质化简集合A ，利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再求并集即可.【详解】集合A 表示函数2x y =的值域，故(0,)A =+∞.由210x -<，得11x -<<，故(1,1)B =-.所以(1,)A B =-+∞.故选：C.【点睛】本题主要考查指数函数的性质、一元二次不等式的解法以及并集的运算，属于基础题. 2．C【分析】结合复数的模长公式求解即可【详解】由213z i z i z -+=⇒=-⇒=故选：C【点睛】本题考查复数的模长公式，属于基础题3．B【分析】根据E 为中点，首先易得1122CE CB CD =+，再通过向量加法以及向量的减法和12AD DC =即可得到结果.【详解】如图所示：因为E 为BD 的中点，所以1122CE CB CD =+， 又12AD DC =，23CD CA =∴， 12CE CB =∴12111115()23232336CA CB CA CB BA BC BA BC +⨯=+=+-=-，故选B ． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，对向量加法和减法的运用较为灵活，属于基础题． 4．A【分析】根据题意求得参数α，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.【详解】解：依题意，得35α=，故3log 5(1,2)α=∈，故3log 5101e a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1b =>，3log 51log 04c =<， 则c a b <<.故选：A .【点睛】 本题考查利用对数函数的单调性比较大小，以及根据幂函数的定义求参数值，考查推理论证能力，属于基础题.5．C【解析】0a <时，“函数()()2311f x ax a x =--+在区间[)1,+∞上不是增函数”，0a =时，()1f x x =+在[)1,+∞上是增函数，0a >时，令3112a a-≤，得01a <≤，∴“()()2311f x ax a x =--+在区间[)1,+∞上是增函数” 的充分必要条件“01a ≤≤”，故选C.6．B【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z ，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示， 因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.7．C【分析】先利用1,1,2n n n S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值，可得出实数λ的取值范围．【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=， 12n n a a -∴=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，由10n n S S λ+-<，得()()11111112121112221212221n nn n n n n S S λ+++++---<===----，所以，数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，其最小项为122211213S S -==-，所以，13λ<，因此，实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】 本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．8．C【分析】根据空间点、直线、平面之间的位置关系，结合线线、线面平行垂直的判定和性质，对四个选项逐一判断可得答案.【详解】解：A .如图所示，设⋂=c αβ，//l c ，//m c 满足条件//l m ，但是α与β不平行，故A 不正确；B .假设//αβ，n β⊂，//n l ，n m ⊥，则满足条件l m ⊥，但是α与β不垂直，故B 不正确；C .若l α⊂，l β⊥，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，故C 正确；D .设⋂=c αβ，若//l c ，//m c ，虽然αβ⊥，但是可有//m α，故D 不正确， 综上可知：只有C 正确.故选：C.【点睛】本题考查空间点、直线、平面之间的位置关系，以及线线、线面平行垂直的判定和性质，考查对命题的判断和推理证明思想，属于基础题. 9．C 【分析】写出每次循环的运行结果，即可求解. 【详解】由题意知，第一次循环，1S =，1k =；第二次循环，3S =，2k =； 第三次循环，7=S ，3k =；第四次循环，15S =，4k =； 第五次循环，31S =，5k =；第六次循环，63S =，6k =； 第七次循环，127S =，7k =；此时应退出循环，故判断框内可以填入的条件是“7k <？”. 故选：C 【点睛】本题考查了根据程序框图的运行结果补充条件，考查了基本运算能力，属于基础题. 10．C 【分析】根据已知求出M 坐标，利用1AB F M ⊥，建立,,a b c 关系，结合222a b c =+，即可求解. 【详解】设()0,M c y ，则1MF 的中点为00,2y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即N 在y 轴上，N 又在直线AB 上， 即点N 与B 重合，故1111AB BF b b AB BF k k a c ⎛⎫⊥⇒=-⇒⋅-=- ⎪⎝⎭222b ac a c ac ⇒=⇒-=210e e ⇒+-=，∴e =. 故选:C. 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质、点关于直线对称的应用，考查计算求解能力，属于中档题.11．B 【详解】设夹谷x 石，则281534254x =， 所以153428169.1254x ⨯=≈， 所以这批米内夹谷约为169石，故选B. 考点：用样本的数据特征估计总体. 12．D 【分析】结合复合函数单调性判断分段函数单增，再由函数的增减性解不等式去“f ”即可 【详解】由复合函数的单调性，可知，22log (2)y x =--+在[)0,2上单调递增，()()222()22log 2log 2y f x x x =--=--+=+⎡⎤⎣⎦在(2,0)-上单调递增，且函数()f x 在0x =处连续，所以()f x 在(2,2)-上是增函数，由(1)()f a f a -<，得121222a aa a -<⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解得122a <<，故选：D 【点睛】本题考查复合函数增减性的判断，由函数增减性解不等式，属于中档题 13．16π 【分析】取PC 中点D ，根据条件证明AD ⊥平面PBC ，即是棱锥的高，设棱长求出体积，然后等体积转化，可求得棱长，再确定球心，求得半径得到答案. 【详解】设2PC a =，因为PA AC ⊥，4APC π∠=，所以APC △为等腰直角三角形，PC 边上的高为a ，作AD PC ⊥，垂足为D ，因为平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC平面PBC PC =，AD ⊂平面PAC ，所以AD ⊥平面PBC ，所以点A 到平面PBC 的距离为a ，因为3BPC π∠=，PB BC ⊥，所以PB a =，BC =，2122PBC S a a ==△，所以21323P ABC A PBC V V a a --==⨯⋅=，解得2a =， 因为PA AC ⊥，PB BC ⊥，所以PC 的中点为外接球的球心，外接球的半径为2， 所以三棱锥P ABC -外接球的表面积为24216ππ⨯=. 故答案为：16π. 【点睛】本题主要考查空间几何体与球接、切问题的求解方法. 14．[]3,9 【分析】先解出不等式64x -≤得出解集为[]2,10，由题意得出()[]1,12,10a a -+，列出不等式组解出实数a 的取值范围. 【详解】解不等式64x -≤，即464x -≤-≤，得210x ≤≤，:210p x ∴≤≤.由于p 是q 成立的必要不充分条件，则()[]1,12,10a a -+，所以12110a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得39a ≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]3,9，故答案为[]3,9. 【点睛】本题考查利用充分必要性求参数的取值范围，涉及绝对值不等式的解法，解题的关键就是利用充分必要性转化为两集合间的包含关系，考查化归与转化思想，属于中等题. 15．②③ 【详解】试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故错误；对于②，设曲线0(),f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=对曲线0(),f x y =表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y xf x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y--=++也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y--=++的图象关于y 轴对称，所以正确；③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故正确；对于④，直线y kx b =+上取点后得其伴随点2222(,)y xx y x y -++消参后轨迹是圆，故错误.所以正确的为序号为②③.考点：对新定义的理解、函数的对称性. 16．162952 【分析】设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布,由等差数列前n 项和公式求出1629d =,由此利用等差数列通项公式能求出14151617a a a a +++. 【详解】设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布,则3030293053902S d ⨯=⨯+=, 解得1629d =,即每天增加的数量为1629， 14151617111113141516a a a a a d a d a d a d ∴+++=+++++++ 1458a d =+ 1645585229=⨯+⨯=，故答案为1629，52. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.17．（1）()f x 最小正周期T π=；单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（23【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简函数为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；利用2T πω=可求得最小正周期；令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈解出x 的范围即可得到单调递减区间；（2）由()f A =sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭A 的范围可求出A 的取值；利用余弦定理和基本不等式可求出bc 的最大值，代入三角形面积公式求得结果. 【详解】（1）()21sin cos sin 22sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭ ()f x ∴最小正周期：22T ππ== 令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得：()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ()f x ∴的单调递减区间为：()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间7,()1212k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由()f A =sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭472,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭ 5233A ππ∴+=，解得：23A π= 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2243b c bc bc =++≥（当且仅当b c =时取等号）43bc ∴≤1142sin sin 22333ABC S bc A π∆∴=≤⨯=即ABC ∆【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期和单调区间的求解、解三角形中三角形面积最值的求解问题；涉及到二倍角公式和辅助角公式的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识；求解正弦型函数单调区间的常用解法为整体代入的方式，通过与正弦函数图象的对应关系来进行求解.18．（1）平均数56.5=，众数为55，中位数为50656+=；（2）B 中抽7人； （3）两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟的概率为1121． 【解析】试题分析：（1）应用条形分布直方图求平均数的公式为350.1450.1550.5650.2750.05850.0556.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）根据系统抽样，按照比例抽得人数（3）用列举法，将满足条件的例子都写出来，根据离散型随机变量的概率计算公式得到1121． （Ⅰ）平均数为350.1450.1550.5650.2750.05850.0556.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 众数为55；因为完成时间在[30，50)分钟内的频率为0.2，在[50，60)分钟内的频率为0.5，所以中位数为50656+=．（Ⅱ）因为A ，B ，C 的频率比为2︰7︰1，共抽10人，所以B 中抽7人． （Ⅲ）抽出的成绩为B 等学生中完成任务时间[50，60)分钟的学生有5人，设为a ，b ，c ，d ，e ；在[60，70)分钟的学生人数为2人，设为x ，y ， 则7人中任选两人共有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，x )，(a ，y )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，e )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )共21种． 两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟内的有：(a ，x )，(a ，y )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )共11种．所以两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟的概率为1121．19．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）由AD AB ⊥，//CD AB ，推出CD AD ⊥，再根据PA ⊥平面ABCD ，推出CD PA ⊥，最后根据线面垂直的判定定理，从而可证CD ⊥平面PAD ；（2）根据题设条件建立以A 为坐标原点，以AD ，AB ，AP 所在射线分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系，设(),,E x y z ，由PE PB λ→→=得出()0,2,1E λλ-，分别求出平面PAC与平面EAC 的一个法向量，再根据二面角E AC P --λ，从而可得AE 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【详解】 （1）证明：AD AB ⊥，//CD AB ，CD AD ∴⊥，PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ，CD PA ∴⊥，AD PA A =，且,AD PA ⊂平面PAD ，CD 平面PAD .（2）解: 以A 为坐标原点，以AD ，AB ，AP 所在射线， 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则1AD ==，由点C 向AB 作垂线CH, 则1BH ==，∴1DC AH AB BH ==-=，∴()()()()0,0,0,0,0,1,0,2,0,1,1,0A P B C ， 设(),,E x y z ，则()(),,1,0,2,1PE x y z PB →→=-=-， ∵E 在棱PB 上，∴PE PB λ→→=（01λ<<），即()(),,10,2,1x y z λ-=-，解得：021x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴()0,2,1E λλ-，设平面PAC 的法向量()111,,u x y z →=，()()0,0,1,1,1,0AP AC →→==，∴ ·0·0u AP u AC ⎧=⎨=⎩，即()()()()111111,,0,0,10,,1,1,00x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100z x y =⎧⎨+=⎩，取11x =，则11y =-，则()1,1,0u →=-， 设平面EAC 的法向量()222,,v x y z →=，()()0,2,1,1,1,0AE AC λλ→→=-=，∴ ·0·0v AE v AC ⎧=⎨=⎩，即()()()()222222,,0,2,10,,1,1,00x y z x y z λλ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()22222100y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，取21,x =则22221,(0)11y z λλλλ=-=>--， ∴21,1,1v λλ→⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴()21,1,01,1,cos 33u u vv λθ→→→→⎛⎫-⋅- ⎪⋅====⋅，解得：12λ=， ∴10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，10,1,2AE →⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知平面ABCD 的法向量()0,0,1m →=，所以AE 与平面ABCD所成角的正弦值1sin Em AEm A α→→→→⋅===⋅【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用空间向量求二面角和线面角，空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两向量垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．（1）2212x y +=，（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据离心率得2c a =，根据1F AB．得21222b c a ⨯⨯=，从而解得221.2b a ==，可得椭圆E 的方程；（2）假设存在与x 轴不垂直的直线l 满足题意，设:(0)=+≠l y kx m k ，代入2212x y +=，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，根据判别式可得2212k m +>，根据韦达定理得弦CD 的中点坐标，可求得弦CD 的垂直平分线方程，将2F 代入可得212k m k+=-，将其代入2212k m +>，得210k +<无解，故不存在符合题意的直线l . 【详解】（1）依题意c a =，22||b AB a =，所以21222b c a ⨯⨯=，即21b =，所以2221a c b -==，所以22112a a -=，所以22a =， 所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）假设存在与x 轴不垂直的直线l 满足题意，设:(0)=+≠l y kx m k ，将其代入2212x y +=，整理得222(12)4220k x kmx m +++-=， 所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+->，所以2212k m +>， 设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则122412kmx x k +=-+，则1212y y kx m kx m +=+++2122242()221212k m mk x x m m k k =++=-+=++， 所以CD 的中点为M 222(,)1212km mk k -++，所以弦CD 的垂直平分线方程为2212()1212m kmy x k k k-=-+++， 因为弦CD 的垂直平分线过E 的右焦点2F (1,0)， 所以22120(1)1212m kmk k k -=--++，所以212k m k+=-，将其代入2212k m +>，得2222(12)12k k k ++>，化简得210k +<，此不等式不成立， 所以不存在符合题意的直线l . 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.21．（1）y x =-；（2）,2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭. 【分析】（1）求出()f x 的导数，根据切线的斜率即为函数在0x =处的导数值可求出斜率，求出切点坐标，即可写出切线方程；（2）求出()g x 的导数，讨论a 的范围以确定函数的单调性，令min ()0g x <即可求出a 的取值范围.【详解】（1）由题意知()2x f x e '=-，(0)121k f '==-=-， 又0(0)2010f e =-⨯-=，∴()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.（2）当时()2x g x e ax a =--，()2x g x e a '=-， 当0a ≤时，()0g x '>，∴()g x 在R 上单调递增，不符合题意.当0a >时，令()0g x '=，得ln(2)x a =，在(,ln(2))a -∞上，()0g x '<，在(ln(2),)a +∞上，()0g x '>，∴()g x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增，∴()()()()()min ln 22ln 22ln 2g x g a a a a a a a ==-=-，∵()g x 有两个零点，且当x →-∞时，()()2210x xg x e ax a e a x =--=-+>，当x →+∞时，()g x →+∞，∴min ()0g x <，即2ln(2)0a a a -<，∵0a >，∴1ln(2)2a >，解得a >，∴实数a的取值范围为2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的零点，属于中档题.22．（1）()221:24C x y +-=，2:40C x -=；（2）1.【分析】（1）将曲线1C 的极坐标方程变形为24sin 0ρρθ-=，将曲线2C的极坐标方程变形为cos sin 40ρθθ+-=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）可得出点()4,0E 以及直线2C 的倾斜角为56π，写出直线2C 的参数方程，并将直线2C 的参数方程与曲线1C 的直角坐标方程联立，列出韦达定理，可得出线段AB 的中点所对应的参数，进而可求得线段AB 的中点到点E 的距离.【详解】（1）曲线1C 的极坐标方程可以化为24sin 0ρρθ-=，所以曲线1C 的直角坐标方程为2240x y y +-=，即()2224x y +-=. 曲线2C的极坐标方程可以化为1cos sin 2022ρθρθ+-=， 所以曲线2C的直角坐标方程为40x +-=；（2）易知点E 的坐标为()4,0，直线2C 的倾斜角为56π， 所以2C的参数方程为412x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.将2C 的参数方程代入曲线1C的直角坐标方程得221+2442t ⎝⎛⎪⎫-= ⎪⎝ ⎪⎭⎛⎫-⎭，整理得()22160t t -+=，判别式()2264120∆=-=>，设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则线段AB 的中点对应的参数为1212t t +=+，所以线段AB 的中点到点E 的距离为1.【点睛】 本题考查极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用直线的参数方程解决实际问题，考查计算能力，属于中等题.23．（1）{12}x x ≤≤∣；（2）77,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）分段讨论可求出不等式的解集；（2）不等式()()f x g x ≥的解集包含11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦等价于当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()2f x ≥，列出不等式求解即可.【详解】（1）当2a =时，不等式()()f x g x ≥等价于224|1||1|0x x x x --+-++≤①， 当1x <-时，①式化为2440x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为2220x x --≤，解得11x ≤≤；当1x >时，①式化为240x -≤，解得12x <≤.综上，()()f x g x ≥的解集为{12}x x ≤≤∣.（2）当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()2g x =， 所以()()f x g x ≥的解集包含11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 等价于当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()2f x ≥. 又()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值必为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭与12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭之一，所以122f⎛⎫-≥⎪⎝⎭且122f⎛⎫≥⎪⎝⎭，得77 22a-≤≤，所以a的取值范围为77,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查含有绝对值不等式的解法，属于中档题.。
云南民族中学2020届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACBCCBBDCDAD【解析】1．由(1)(2)0x x +-<，得12x -<<，又x ∈Z ，所以{01}B =，，因此{1}A B =，故选A ．2．∵21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2z ---====-++-，∴||1z =，故选C ． 3．依题意得1(2)210AC BD =⨯-+⨯=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 的面积为115||||55222AC BD =，故选B ． 4．因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以60B =︒，由正弦定理得13sin A =，解得1sin 2A =，因为0180A ︒<<︒，所以30A =︒或150︒(舍去)，此时90C =︒，所以2c =，故选C ．5．基本事件共有24C 6=(种)，设取出2个球颜色不同为事件A ，A 包含的基本事件有1122C C +1111C C 5=(种)，故5()6P A =，故选C ． 6．由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为平面PAD ，且EC 投影在平面PAD 上且为实线，点E 的投影点为PA 的中点，故选B ．7．由题意知，6587M =，所以输出的结果为89，故选B ．8．由题意知，当(02)x ∈，时，()f x 的最大值为2-，令1()0f x a x '=-=，得1x a =，当10x a<<时，()0f x '>；当1x a >时，()0f x '<，∴max 1()ln 12f x f a a ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭，解得e a =，故选D ．9．先根据约束条件画出可行域，找到边界的点，求得BP k ，AP k 数形结合可得结论．不等式组表示的平面区域是如图1所示阴影部分，图1直线20x y -+=与直线360x y --=的交点为(46)A ，，直线20x y -+=与y 轴的交点为(02)B ，，只需求出过P 点的直线经过可行域内的点A 或B 时的斜率，92710BP k -==-，96114AP k -==--，所以结合图象可得7k ≥或1k -≤，故选C ． 10．椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1(0)F c -，且斜率为1的直线为y x c =+，交椭圆于A ，B ，代入椭圆方程，化简可得22222222()20a b y cb y c b a b +-+-=，设11()A x y ，，22()B x y ，，则212222cb y y a b +=+，22221222c b a b y y a b -=+，且112F B AF =，可得212y y =-，21222cb y a b -=+，222221222c b a b y a b --=+，可得22222222222cb c b a b a b a b ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，可得2292c a =，e =，故选D ． 11．∵CD CA AB BD =++，∴2||()3616642CD CA AB BD CA BD =++=+++=2217CA BD =||||cos 24CA BD CA BD CABD ==-<，>， ∴1cos 2CA BD =-<，>，而二面角与CABD <，>互补，∴所求二面角为60°，故选A ． 12．∵(1)(1)()()ln 11m x m x x f x x x x ϕ--=-=-++在[12]，上是增函数，∴()x ϕ'= 22(22)10(1)x m x x x -+--+≥在[12]，上恒成立，即2(22)10x m x --+≤在[12]，上恒成立，则122m x x -+≥，[12]x ∈，，∴5222m -≥，94m ≥，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由232n=，得5n =，常数项为4425C 80x =．14．因为πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππcos cos 44αα⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=．15．13[(20)][(1)]24f f f f f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．16．设直线AB 的方程为2x my =+，点11()A x y ，，22()B x y ，，由22x my y x=+⎧⇒⎨=⎩，220y my --=，根据韦达定理有122y y =-，不妨令点A 在x 轴的上方，则10y >，又104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴ABO S +△1211112()224AFO S y y y =⨯⨯-+⨯△111192238y y y =+=≥，当且仅当11928y y =，即143y =时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解：（1）由题意知，{1}n a -是等比数列且112a -=， 214a -=，21122a a -=-， ∴11222n n n a --==，∴21n n a =+． ……………………………………（4分）（2）2n n n b na n n ==+，故23123(222322)(123)n n n T b b b b n n =++++=+⨯+⨯+++++++………． 令23222322n T n =+⨯+⨯++…， 则23412222322n T n +=+⨯+⨯++…， 两式相减，得23112(12)22222212n nn n T n n ++--=++++-=--…，∴112(12)22(1)2n n n T n n ++=-+=+-， ∵(1)1232n n n +++++=…， ∴214(1)22n n n n T n +++=-+． …………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴， 可得πsin 2π16ω⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，∴ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ．又12ω<<，∴13ω=，∴函数()f x的最小正周期为3π．…………………………………………（5分）（2）由（1）知2π()2sin36f x x m⎛⎫=-+⎪⎝⎭，∵(π)0f=，∴2ππ2sin036m⎛⎫-+=⎪⎝⎭，∴2m=-，∴2π()2sin236f x x⎛⎫=--⎪⎝⎭，当3π2x≤≤时，π2π5π6366x--≤≤，12πsin1236x⎛⎫--⎪⎝⎭≤≤，∴3()0f x-≤≤，故函数()f x在3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域为[30]-，．………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）设观众评分的平均数为x，则10.0320.0230.0240.0450.0460.0570.0880.1590.21 x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯100.368.04+⨯=（分）．……………………………………………………（3分）（2）①设A表示事件：“1位观众评分不小于8分”，B表示事件：“1位观众评分是10分”，∴()0.361(|)()0.150.210.362P ABP B AP A===++，…………………………（6分）②由题知ξ服从142B⎛⎫⎪⎝⎭，，4444111()C1C(01234)222k kk kP k kξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，…………………………………………………………………（9分）分布列如下表，1()422Eξ=⨯=．…………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：∵MN BC∥，BC AD∥，∴MN AD∥，∵PA⊥平面ABCD，∴PA AD⊥，又∵AD AB ⊥，PA AB A =，∴AD ⊥平面PBA ，∴MN ⊥平面PBA ， 又∵MN ⊂平面AMN ， ∴平面AMN ⊥平面PBA ．……………………………………………（6分）（2）解：如图2，建立空间直角坐标系A xyz -，不妨设1AB =， 则(000)A ，，，(110)C ，，，11022M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， ∴(110)AC =，，，11022AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，设平面AMC 的法向量为()n x y z =，，，则011022x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 令1x =，则1y =-，1z =-，∴(111)n =--，，， 易得平面ADC 的一个法向量为(001)m =，，，∴13cos ||||3m n m n m n ==-=<，>∴二面角M AC D --的余弦值为3……………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）由题意，得3a c -=，则221()3a c b -=， 结合222b a c =-，得2221()()3a c a c -=-，即22230c ac a -+=，亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =， 所以椭圆C 的离心率为12． ………………………………………………（4分）（2）由（1）得2a c =，则223b c =，将33M ⎭，代入椭圆方程2222143x y c c +=，解得1c =， 所以椭圆方程为22143x y +=．易得直线OM 的方程为12y x =，图2当直线l 的斜率不存在时，线段AB 的中点不在直线12y x =上，故直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，与22143x y +=联立，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=， 由题意得222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->，设11()A x y ，，22()B x y ，，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+， 因为121226()234my y k x x m k +=++=+，所以线段AB 的中点N 的坐标为22433434km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，， 因为点N 在直线12y x =上， 所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =-，所以248(12)0m ∆=->，解得m -<0m ≠，2112|||()AB x x x x =-=+24m m =-又原点O 到直线l 的距离d =所以2211222OABm m S -+===△当且仅当2212m m -=，即m =m -<0m ≠，所以△OAB …………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）（1）解：∵()2e ln(2)x f x x a =-+，∴2()2e 2x f x x a '=-+，∴2(0)2f a'=-， ∴221a-=，∴2a =，∴(0)2ln 2f =-， ∴l ：(2ln 2)y x --=，即l ：2ln 2y x =+-．…………………………（4分）（2）证明：∵1a =，∴()2e ln(21)x f x x =-+，12x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，，∴2()2e 21x f x x '=-+， ∴24()2e 0(21)x f x x ''=+>+， ∴()f x '在12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，又∵(0)0f '=，∴当102x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，当(0)x ∈+∞，时，()0f x '>，∴()f x 在102⎛⎫- ⎪⎝⎭，上递减，在(0)+∞，上递增，∴当0x =时，()f x 取得最小值2， ∴()2f x ≥恒成立．……………………………………………………（12分）小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2x+1≤3}，B＝|x|lnx≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，e]B．（﹣1，1]C．（﹣1，0）D．（0，e]2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．2B．C．D．33．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值≤50（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日﹣20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是（）A．该市10月的前半个月的空气质量越来越好B．这20天中的中度污染及以上的天数占C．这20天中AQI指数值的中位数略高于100D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量差4．若1717+a（a∈Z，0≤a＜4）能被3整除，则a＝（）A．0B．1C．2D．35．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝sin2x﹣cos2x+2sin x cos x的图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a＝（）A．2B．1C．﹣1D．8．已知圆锥SO的底面半径为3，母线长为5．若球O1在圆锥SO内，则球O1的体积的最大值为（）A．B．9πC．D．12π9．若数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，则这个数列的通项公式为（）A．B．C．a n＝3n﹣2D．10．已知点A（3，4）是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若以F1F2为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．511．设函数，若f（0）是函数f（x）的最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]12．已知平面向量满足，且{||，||，||}＝{1，2，4}，则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x，y满足，则z＝3x+2y的最大值为．14．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k+2﹣S k＝20，则k＝．15．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝﹣恰好有三个不等的实根，则实数a的取值范围为．16．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，高为，侧棱长均为5，O为侧面△PCD的内心，则四棱锥O﹣ABCD的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cos2C+3cos（A+B）＝1．（1）求角C；（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．18．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站数x0＜x≤1010＜x≤2020＜x≤30票价（元）369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站．甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为，．（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．如图所示的几何体中，正方形ABCD所在平面垂直于平面APBQ，四边形APBQ为平行四边形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，AB＝2．（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；（2）当三棱锥P﹣ABC体积最大时，求平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值．20．过点（0，2）的直线l与抛物线C：x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB（O 为坐标原点）．（1）求抛物线C的方程；（2）在y轴上是否存在定点M，使得∠OMA＝∠OMB？并说明理由．21．已知函数f（x）＝x﹣lnx．（1）求f（x）的最小值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），抛物线C的普通方程为y2＝2x．（1）求抛物线C的准线的极坐标方程；（2）设直线l与抛物线C相交于A，B两点，求|AB|的最小值及此时α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|ax﹣4|﹣|ax+8|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）＜2；（2）求f（x）的最大值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|﹣2x+1≤3}，B＝|x|lnx≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，e]B．（﹣1，1]C．（﹣1，0）D．（0，e]【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|x≥﹣1}，B＝{x|0＜x≤e}，∴A∩B＝（0，e]．故选：D．2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．2B．C．D．3【分析】设出复数z，利用复数相等的条件求出a，b的值，然后由复数模的公式计算得答案．解：设z＝a+bi（a，b∈R），∵，∴2（a+bi）+a﹣bi＝3﹣i，即3a+bi＝3﹣i，解得a＝1，b＝﹣1，∴复数z＝1﹣i的模为．故选：C．3．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值≤50（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日﹣20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是（）A．该市10月的前半个月的空气质量越来越好B．这20天中的中度污染及以上的天数占C．这20天中AQI指数值的中位数略高于100D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量差【分析】根据AQI指数值越小，表明空气质量越好，及其折线图即可判断出正误．解：由图知，前半个月中，空气质量先变好再变差，处于波动状态，A错误，这20天中的中度污染及以上的天数有5天，B错误，10月上旬大部分AQI指数在100以下，10月中旬大部分AQI指数在100以上，D错误，故选：C．4．若1717+a（a∈Z，0≤a＜4）能被3整除，则a＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据若1717+a＝（18﹣1）17+a，把（18﹣1）17按照二项式定展开，分析可得a 的值．解：若1717+a＝（18﹣1）17+a＝1817﹣•1816+•1815﹣•1814+…+•18﹣+a（a∈Z，0≤a＜4）能被3整除，则﹣+a＝0，则a＝1，故选：B．5．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．【分析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程．解：抛物线y2＝﹣4x的焦点为（﹣1，0），∴c＝1，由离心率可得a＝2，∴b2＝a2﹣c2＝3，故椭圆的标准方程为+＝1，故选：A．6．函数f（x）＝sin2x﹣cos2x+2sin x cos x的图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．【分析】先结合二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求解：因为f（x）＝sin2x﹣cos2x+2sin x cos x＝﹣cos2x+＝2sin（2x﹣），又f（）＝2sin＝2取得函数的最大值，所以函数f（x）的图象的一条对称轴为x＝，故选：C．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a＝（）A．2B．1C．﹣1D．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出a的取值是以3为周期而变化的，从而得出程序运行后输出的a值．解：n＝1，a＝；n＝2，a＝﹣1；n＝3，a＝2；n＝4，a＝；…，a的值构成3为周期的数列，因为2020＝3×673+1，所以当n＝2020时，a＝．故选：D．8．已知圆锥SO的底面半径为3，母线长为5．若球O1在圆锥SO内，则球O1的体积的最大值为（）A．B．9πC．D．12π【分析】由题意可得当球O1的轴截面是△SAB的内切圆时，内切球等体积最大，由题意求出轴截面的内切圆的半径，进而求出内切球的体积．解：设圆锥SO的轴截面为等腰△SAB，则球O1的体积最大时，球O1的轴截面是△SAB 的内切圆，所以S△SAB＝＝（SA+SB+AB）•r，解得：r＝，所以球O1的体积的最大值为（）3＝，故选：A．9．若数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，则这个数列的通项公式为（）A．B．C．a n＝3n﹣2D．【分析】利用数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，可得n≥2时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣2，两式相减，证明数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，即可求出这个数列的通项公式．解：∵数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，①∴n≥2时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣2，②①﹣②可得a n＝3a n﹣3a n﹣1，∴a n＝a n﹣1，∵n＝1，S1＝3a1﹣2，∴a1＝1，∴数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，∴，故选：A．10．已知点A（3，4）是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若以F1F2为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．5【分析】根据圆周角定理得到AF1⊥AF2，所以|F1F2|＝2|AO|＝10＝2c，由此求得c＝5；结合双曲线的定义求得a＝，所以根据双曲线离心率的公式解答．解：由已知得AF1⊥AF2，所以|F1F2|＝2|AO|＝10，所以c＝5，又﹣＝2a，所以a＝，所以双曲线C的离心率e＝＝＝，故选：C．11．设函数，若f（0）是函数f（x）的最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【分析】讨论a＜0和a≥0时，得出f（0）是函数f（x）的最小值时满足的不等式，求出解集即可．解：当a＜0时，函数f（x）的最小值为f（a），不满足题意；当a≥0时，要使f（0）是函数f（x）的最小值，只须≥a2+2，即4+a≥a2+2，解得﹣1≤a≤2，综上知，实数a的取值范围是[0，2]．故选：D．12．已知平面向量满足，且{||，||，||}＝{1，2，4}，则的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由⊥知，当满足与+同向时，|++|取得最大值，讨论||＝1、2、3时，求出|+|的值，即可得出|++|的最大值．解：因为⊥，所以当满足与+同向时，|++|取得最大值，当||＝1时，|+|＝＝2，所以|++|的最大值为1+2；当||＝2时，|+|＝＝，所以|++|的最大值为2+；当||＝4时，|+|＝＝，所以|++|的最大值为4+；综上知，|++|的最大值是4+．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x，y满足，则z＝3x+2y的最大值为6．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，解得B（2，0），化目标函数z＝3x+2y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为z＝3×2+2×0＝6．故答案为：614．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k+2﹣S k＝20，则k＝4．【分析】求出＝n2，从而（k+2）2﹣k2＝20，由此能求出k的值．解：因为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，所以＝n2，因为S k+2﹣S k＝20，所以（k+2）2﹣k2＝20，解得k＝4．故答案为：4．15．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝﹣恰好有三个不等的实根，则实数a的取值范围为1＜a＜．【分析】画出函数的图象，利用方程根的个数，转化为直线与曲线位置关系，转化为方程，解出即可．解：要满足方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰好有三个不等的实根，则直线y＝x+a与y＝在x＞0相切以上（不含相切）和直线y＝﹣x+a过点（1，1）以下（不含过该点的直线），当直线y＝﹣x+a与y＝相切时，即＝﹣x+a，所以1＝﹣x2+ax，所以△＝0，所以a＝1（﹣1舍去），当直线y＝﹣x+a过点（1，1）时，a＝，所以1＜a＜．故答案为：1＜a＜．16．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，高为，侧棱长均为5，O为侧面△PCD的内心，则四棱锥O﹣ABCD的体积为．【分析】由题意可得，底面ABCD的边长为6，在△PCD中，作PE⊥CD于E，通过角平分线的性质，＝＝，设底面正方形的边长为x，则＝2×，解得x．可得四棱锥O﹣ABCD的体积为V P﹣ABCD．解：由题意可得，底面ABCD的边长为6，在△PCD中，作PE⊥CD于E，通过角平分线的性质，＝＝，所以＝，设底面正方形的边长为x，则＝2×，解得x＝6．所以四棱锥O﹣ABCD的体积＝V P﹣ABCD＝×××62＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cos2C+3cos（A+B）＝1．（1）求角C；（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由已知可得（cos C﹣2）（2cos C+1）＝0，由于cos C≠2，可求cos C＝﹣，进而可求C的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）由cos2C+3cos（A+B）＝1，可得2cos2C﹣3cos C﹣2＝0，（cos C﹣2）（2cos C+1）＝0，因为cos C≠2，所以cos C＝﹣，可得C＝．（2）由c2＝a2+b2﹣2ab cos C，得a2+b2+ab＝4，4﹣ab＝a2+b2≥2ab，ab≤，所以S△ABC＝ab sin C≤×＝，当a＝b＝时，△ABC面积的最大值为．18．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站数x0＜x≤1010＜x≤2020＜x≤30票价（元）369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站．甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为，．（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）利用古典概型，求解概率，设“甲、乙两人付费相同”为事件A，转化求解即可．（2）由题意可知X的所有可能取值为：6，9，12，15，18．求解概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为，乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为，设“甲、乙两人付费相同”为事件A，则，所以甲、乙两人付费相同的概率是．（2）由题意可知X的所有可能取值为：6，9，12，15，18.，，×，×，．因此X的分布列如下：X69121518P所以X的数学期望．19．如图所示的几何体中，正方形ABCD所在平面垂直于平面APBQ，四边形APBQ为平行四边形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，AB＝2．（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；（2）当三棱锥P﹣ABC体积最大时，求平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值．【分析】（1）通过证明AP⊥BC，AP⊥BG，得到AP⊥平面PBC，面PAD⊥平面PBC．（2）利用V P﹣ABC＝V C﹣APB＝，求三棱锥P﹣ABC体积的最大值，只需求PA•PB的最大值．令PA＝m，PB＝n，由AP⊥PB，可得以m2+n2＝4，当且仅当m＝n＝，再建立空间直角坐标系求解．【解答】（1）证明：因为平面ABCD⊥平面APBQ，平面APBQ∩平面ABCD＝AB，四边形ABCD为为正方形，即BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面APBQ，又因为AP⊂平面APBQ，所以AP⊥BC，因为BG⊥面APC，AP⊂平面PAC，所以AP⊥BG，因为BC∩BG＝B，BC，BG⊂平面PBC，所以AP⊥平面PBC，因为AP⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PBC．（2）解：V P﹣ABC＝V C﹣APB＝，求三棱锥P﹣ABC体积的最大值，只需求PA•PB的最大值．令PA＝m，PB＝n，由（1）知AP⊥PB，所以m2+n2＝4，当且仅当m＝n＝，即PA＝PB＝时，（V P﹣ABC）min＝mn≤•＝．以AB中点O为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（0，1，2），P（1，0，0）．设为平面APC的一个法向量，则，可取x＝1，则，因为四边形APBQ为平行四边形，△APB为等腰直角三角形，所以四边形APBQ为正方形，取平面BCQ的一个法向量为，所以cos，＞＝＝，所以sin，＞＝，即平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值为20．过点（0，2）的直线l与抛物线C：x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB（O 为坐标原点）．（1）求抛物线C的方程；（2）在y轴上是否存在定点M，使得∠OMA＝∠OMB？并说明理由．【分析】（1）设直线l：y＝kx+2，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件x1x2+y1y2＝0，即可求出p＝1，从而求出抛物线C的方程；（2）假设存在满足条件的点M（0，t），设A（x1，y1），B（x2，y2），由∠OMA＝∠OMB得k MA+k MB＝0，由（1）知，代入上式化简得到＝0，显然k ≠0，所以t＝﹣2，故存在M（0，﹣2）满足条件．解：（1）设直线l：y＝kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立得x2﹣2pkx﹣4p＝0，则，所以y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4＝4，由OA⊥OB得，∴x1x2+y1y2＝0，∴﹣4p+4＝0，∴p＝1，所以抛物线C的方程为x2＝2y．（2）假设存在满足条件的点M（0，t），设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知，若∠OMA＝∠OMB，则k MA+k MB＝0，∴＝＝＝＝＝0，显然k≠0，∴t＝﹣2，∴存在M（0，﹣2）满足条件．21．已知函数f（x）＝x﹣lnx．（1）求f（x）的最小值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求函数的最小值；（2）结合（1）对x进行赋值，然后结合数列的裂项求和及不等式的放缩法即可求．解：：（1），当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）单调递增；故f（x）≥f（1）＝1，故f（x）的最小值为1．（2）由（1）可得，f（x）＝x﹣lnx≥1即lnx≤x﹣1，所以ln（1+）≤＝＝，k∈N*，n≥2，则ln（1+）+ln（1+）+＝＜ln2，即ln（1+）（1+）…（1+）＜ln2，所以（1+）（1+）…（1+）＜2．又因为（1+）（1+）…（1+）＞1，故对任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m的整数m的最小值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），抛物线C的普通方程为y2＝2x．（1）求抛物线C的准线的极坐标方程；（2）设直线l与抛物线C相交于A，B两点，求|AB|的最小值及此时α的值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．解：（1）依题意可得，抛物线C的普通方程为y2＝2x．则抛物线的准线的普通方程为x ＝﹣，化为极坐标方程即是．（2）将直线的参数方程程为（t为参数，0＜α＜π），代入抛物线的普通方程y2＝2x，化简整理得t2sin2α﹣2t cosα﹣1＝0，所以，．所以＝，当时，|AB|取得最小值2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|ax﹣4|﹣|ax+8|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）＜2；（2）求f（x）的最大值．【分析】（1）将a＝2代入f（x）中，然后利用零点分段法解不等式f（x）＜2即可；（2）直接利用绝对值三角不等式求出f（x）的最大值．解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣4|﹣|2x+8|＝．∵f（x）＜2，∴x＞2或，∴x＞2或，∴，∴不等式的解集为{x|}．（2）∵f（x）＝|ax﹣4|﹣|ax+8|≤|（ax﹣4）﹣（ax+8）|＝12，∴f（x）的最大值为12．。
云南省2020年高考数学一模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·丽水期末) 已知集合，，则等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·张家口期末) 已知复数（是虚数单位），则（是的共轭复数）的虚部为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一下·淮安期末) 组数据，，…，的平均值为3，则，，…，的平均值为（）A . 3B . 6C . 5D . 24. （2分） |a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b ，且c⊥a ，则向量a与b的夹角为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°5. （2分） (2018高二上·石嘴山月考) 设等差数列的前项和为且满足 ,则中最大的项为（）A .B .C .D .6. （2分）阅读如图所示的程序框图，执行框图所表达的算法，则输出的结果是（）A . 2B . 6C . 24D . 487. （2分） (2019高三上·汉中月考) 已知函数（，）的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（）A . 有一个对称中心B . 有一条对称轴C . 在区间上单调递减D . 在区间上单调递增8. （2分） (2020高一下·惠山期中) 在中，，，是方程的根，则（）A . 4B . 6C . 12D . 249. （2分） (2019高一下·长春期末) 设且，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .10. （2分）已知曲线C：﹣y2=1的左右焦点分别为F1F2 ，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为（）A .B . 5C .D . 411. （2分） (2019高一上·成都期中) 给出下列命题，其中正确的命题的个数（）①函数图象恒在轴的下方；②将的图像经过先关于轴对称，再向右平移1个单位的变化后为的图像；③若函数的值域为，则实数的取值范围是；④函数的图像关于对称的函数解析式为A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分）(2018·重庆模拟) 某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几何体的体积等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·彭州期中) 若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为________．14. （1分） (2016高一下·亭湖期中) =________．15. （1分） (2017高三上·湖南月考) 若的展示式中的系数为4，则________．16. （1分） (2018高二上·玉溪期中) 由直线x+2y﹣7=0上一点P引圆x2+y2﹣2x+4y+2=0的一条切线，切点为A ，则|PA|的最小值为________三、解答题 (共7题；共60分)17. （15分） (2019高三上·天津月考) 数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn＝n(n+1)(n∈N*).（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的通项公式；（3）令(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.18. （10分） (2015高三上·承德期末) 某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]产品A81240328产品B71840296（1）试分别估计产品A，产品B为正品的概率；（2）生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下．记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．19. （10分）(2016·湖南模拟) 如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．20. （10分）(2019·天河模拟) 已知椭圆C：的左右焦点分别为，，左顶点为A，上顶点为B，离心率为，的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，求内切圆半径的最大值．21. （5分） (2018高二下·温州期中) 已知 ,函数 .(I)若函数在上单调递减,求的取值范围；(Ⅱ)若 ,当时,求证: .22. （5分）(2017·衡水模拟) [选修4-4：参数方程与极坐标系]已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标系方程；（Ⅱ）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．23. （5分）(2017·大连模拟) 已知a，b∈（0，+∞），且2a4b=2．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式成立，求实数x的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、。
2020年云南省名校联考高考数学模拟试卷1（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1，2，3，4)，B={x||x|≤1}，则A∩B=()A. {−1,0，1}B. {0,1}C. {0}D. {1}2.复数z=a+i1−i(i为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是()A. (−12,1) B. (−1,12) C. (−1,1) D. (−1,+∞)3.命题“∀x≥0且，2x>x2”的否定是()A. ∃x0≥0且，2x0>x02B. ∀x≥0且，2x≤x2C. ∃x0≥0且，2x0≤x02D. ∃x0<0且，2x0≤x024.将一根长为4的绳子对折后，随机选一点剪断为三根绳，则每根绳子的长度都大于1的概率为A. 14B. 13C. 12D. 235.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为()A. 12.25%B.C.D.6.执行如图的程序框图，如果输入的x为3，那么输出的结果是()A. 8B. 6C. 1D. −17.已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n−1+1(n≥2)，则a6=()A. 15B. 31C. 62D. 638.圆心在直线x−y+2=0上，且与两坐标轴都相切的圆的方程为()A. (x+1)2+(y−1)2=1B. (x−1)2+(y+1)2=1C. (x−1)2+(y+1)2=2D. (x−1)2+(y−1)2=19.若实数x，y满足{y−2≤0x+y≥1x−y≤1，则3x+y的最小值是()A. −2B. 1C. −1D. 310.如图是一个几何体的三视图，图中每个小正方形边长均为12，则该几何体的体积是()A. 83B. 323C. 8√23D. 4311.函数f(x)=(1−x2)sin6x1+x2的部分图象大致是()A. B. C. D.12.已知正方形AP1P2P3的边长为4，点B，C分别是边P1P2，P2P3的中点，沿AB，BC，CA折叠成一个三棱锥P−ABC(使P1，P2，P3重合于点P)，则三棱锥P−ABC的外接球的体积为()A. 24πB. 8√6πC. 4√6πD. 4π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(x,6)，且a⃗//b⃗ ，则|a⃗−b⃗ |=______．14.垂直于直线2x−6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2−5相切的直线方程是__________．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2−4x+2=0有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是______．16.已知数列{a n}满足，对于任意的m，n∈N∗，都有a m+a n=a m+n−2mn，若a1=1，则a10=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2+c2−b2+2bccosA−4c=0，且ccosA=b(1−cosC)．(1)求c的值及判断△ABC的形状；(2)若C=π，求△ABC的面积．618.如图，在空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD，点G为ED的中DE．点，AD=AE，CF//DE，CF=12(1)求证：AG⊥平面CDEF；(2)若AD=2，求四棱锥B−CDEF的体积．19.随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响，现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到2×2列联表如下：室外工作室内工作合计有呼吸系统疾病150无呼吸系统疾病100合计200(2)判断是否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关．公式与临界值表：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d，P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.7063.8415.0246.63510.82820.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0,−√3)，点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F的直线l交椭圆于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当MF =2FN 时，求直线l 的方程．21. 已知13≤a ≤1，若函数f(x)=ax 2−2x +1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)−N(a)． (1)求g(a)的函数表达式；(2)判断函数g(a)在a ∈[13,1]上的单调性，并求出g(a)的最小值．22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是{x =√32t +my =12t (t 为参数)． (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；(2)设点P(m,0)，若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA|⋅|PB|=1，求实数m 的值．23.已知a、b、c都是正数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】此题考查了交集及其运算，属于基础题，求出B中绝对值不等式的解集，确定出B，找出A与B的公共元素即可求出交集．熟练掌握交集的定义是解本题的关键．【解答】解：由B中的不等式|x|≤1，解得：−1≤x≤1，即B=[−1,1]，∵A={0,1，2，3，4}，∴A∩B={0,1}．故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=a+i1−i =(a+i)(1+i)(1−i)(1+i)=a−12+a+12i，共轭复数a−12−a+12i在复平面内对应的点在第三象限，∴a−12<0,−a+12<0，解得−1<a<1，则实数a的取值范围是(−1,1)．故选C.3.答案：C解析：【分析】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．利用全称命题的否定是特称命题，去判断．解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：∃x0≥0且，2x0≤x02，故选C．4.答案：A解析：【分析】本题给出4米长的绳子，求使剪出的三段绳子的长都不小于1m的概率．着重考查了几何概型及其计算公式等知识，属于基础题．【解答】解：记“三段绳子的长都不小于1m”为事件A，∵绳子的总长为4米，对折后为2米，而剪得三段绳子的长都大于1m，∴如图所示，只能在如图中的虚线部分剪断，才能使剪出的三段符合条件根据几何概型的概率公式，可得事件A发生的概率P(A)=122=14.故选A.5.答案：B解析：【分析】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题．结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为450200+450+150×20%=11.25%，得解．【解答】解：由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为450200+450+150×20%=11.25%，故选B．解析：【分析】本题考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟程序运行即可求解．【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行x=3−2=1；第二次运行x=1−2=−1，满足x<0，∴执行y=(−1)3=−1．∴输出−1．故选：D．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查等比数列的定义和通项公式，属于中档题.先证得数列{a n+1}是以2为公比，a1+1=2为首项的等比数列，结合等比数列的通项公式可得结果．【解答】解：由题可得：a n+1=2a n−1+2=2(a n−1+1)，即a n+1a n−1+1=2，故数列{a n+1}是以2为公比，a1+1=2为首项的等比数列，则数列{a n+1}的通项公式为a n+1=2×2n−1=2n，即a n=2n−1，所以a6=26−1=63．故选D．8.答案：A解析：【分析】本题考查圆的标准方程，考查学生的计算能力，确定圆心与半径是关键．确定圆心坐标与半径，即可得出圆的标准方程．【解答】解：因为圆与两坐标轴都相切，故圆心在直线y=x或y=−x上，设圆心的坐标为(a,a)或(b,−b)代入直线y=x+2中，得a=a+2无解，b=−1，故圆心坐标为(−1,1)，半径为1，故圆的标准方程为：(x +1)2+(y −1)2=1． 故选A ．9.答案：C解析：解：作出不等式对应的平面区域如图， 设z =3x +y ，得y =−3x +z ，平移直线y =−3x +z ，由图象可知当直线y =−3x +z ，经过点A 时，直线y =−3x +z 的截距最小， 此时z 最小．由{y =2x +y =1，解得{x =−1y =2，即A(−1,2)，此时z 的最小值为z =−1×3+2=−1， 故选：C作出不等式对应的平面区域，设z =3x +y ，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10.答案：D解析： 【分析】本题考查由几何体的三视图求几何体的体积，属于基础题． 【解答】解：该几何体为三棱锥，底面是等腰三角形，高为2， 故体积V =13×12×2×2×2=43， 故选D ．11.答案：C解析： 【分析】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力． 直接利用函数的性质和函数的取值求出结果． 【解答】解：因为f(−x)=−f(x)，所以f(−x)是奇函数，排除A，D．当0<x<π6时，0<x2<1，sin6x>0，所以f(x)>0；当π6<x<π4时，x2<π216<1，sin6x<0，所以f(x)<0．故选C．12.答案：B解析：解：根据题意，得三棱锥P−ABC中，AP=2，BP=CP=1∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴三棱锥P−ABC的外接球的直径2R=√AP2+BP2+CP2=√4+4+16=2√6，可得三棱锥P−ABC的外接球的半径为R=√6，根据球的体积公式，得三棱锥P−ABC的外接球的体积为43π×(√6)3=8√6π，故选：B，根据题意，得折叠成的三棱锥P−ABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥P−ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP=4、BP=CP=2算出外接球的半径R=12×√4+4+16=√6，结合球的积公式即可算出三棱锥P−ABC的外接球的体积．本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、三棱锥的外接球和球的表面积公式等知识，属于中档题．13.答案：2√5解析：【分析】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，求向量的模，属于基础题．根据两个向量共线的性质求得x的值，由此求得a⃗−b⃗ 的坐标，从而求得|a⃗−b⃗ |的值．【解答】解：∵a⃗=(1,2)，b⃗ =(x,6)，且a⃗//b⃗ ，∴2x−1×6=0，解得x=3．∴a⃗−b⃗ =(−2,−4)，∴|a⃗−b⃗ |=√4+16=2√5，故答案为2√5．14.答案：3x+y+6=0解析：解：设切点为P(a,b)，函数y=x3+3x2−5的导数为y′=3x2+6x切线的斜率k=y′|x=a=3a2+6a=−3，得a=−1，代入到y=x3+3x2−5，得b=−3，即P(−1,−3)，y+3=−3(x+1)，3x+y+6=0．故答案为：3x+y+6=0．欲求切线方程，只须求出切点坐标即可，设切点为P(a,b)，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率列出等式求出a，b值．从而问题解决．本小题主要考查互相垂直的直线的斜率间的关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15.答案：(1,√2]解析：解：由圆x2+y2−4x+2=0化为(x−2)2+y2=2，得到圆心(2,0)，半径r=√2．∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线y=±bax与圆x2+y2−4x+2=0有交点，∴√a2+b2≤√2，化为b2≤a2．∴1<e=ca =√1+b2a≤√2．∴该双曲线的离心率的取值范围是(1,√2]．故答案为(1,√2]．双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2−4x+2=0有交点⇔圆心(2,0)到渐近线的距离≤半径r.解出即可．熟练掌握双曲线的渐近线方程、离心率的计算公式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式是解题的关键16.答案：100解析：解：令m=1得a n+1=a n+1−2n，∴a n+1−a n=2n+1，令b n=a n+1−a n=2n+1，则b n+1−b n=2(n+1)+1−2n−1=2，∴{b n}是以3为首项，以2为公差的等差数列，∴a10−a1=a10−a9+a9−a8+⋯+a2−a1=b1+b2+b3+⋯+b9=9×3+9×82×2=99，∴a10=99+a1=100．故答案为：100令m=1即可得出通项公式，令b n=a n+1−a n，则{b n}是等差数列，求出此数列的前9项和即可得出a10．本题考查了等差数列的判断，数列求和，属于中档题．17.答案：解：(1)由a2+c2−b2+2bccosA−4c=0，根据余弦定理得a2+c2−b2+2bc×b2+c2−a22bc−4c=0，整理得c=2，又ccosA=b(1−cosC)，根据正弦定理得sinCcosA=sinB(1−cosC)，即sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA+sinBcosC，所以sinBcosC=sinAcosC，故cosC=0或sinA=sinB，当cosC=0时，C=π2，故△ABC为直角三角形，当sinA=sinB时，A=B，故△ABC为等腰三角形，所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．(2)由(1)知c=2，A=B，则a=b，因为C=π6，所以由余弦定理得4=a2+a2−2a2cosπ6，解得a2=8+4√3，所以△ABC的面积S=12a2sinπ6=2+√3．解析：本题主要考察解三角形的应用，利用正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式求解即可．(1)利用余弦定理求出c，再由正弦定理得出sinBcosC=sinAcosC，进而判断出三角形的形状；(2)由(1)及余弦定理求出a2，利用三角形面积公式求出面积即可．18.答案：解：(1)∵AE⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AE⊥AB，∵AB⊥AD，AD∩AE=A，AD，AE⊂平面ADE，∴AB⊥平面ADE，又∵AG⊂平面ADE，∴AB⊥AG，∵CD//AB，∴CD⊥AG，∵AE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AE⊥AD，又AD=AE，点G为ED的中点，∴AG⊥DE，∵CD∩DE=D，CD，DE⊂平面CDEF，∴AG⊥平面CDEF．(2)∵AB//CD，AB⊄平面CDEF，CD⊂平面CDEF，∴AB//平面CDEF，∴点B到平面CDEF的距离是AG，在等腰Rt△EDA中，AG=√2，DE=2√2，∴FC=12DE=√2，∵AB⊥平面ADE，ED⊂平面ADE，故AB，又AB//CD，故CD，又CF//DE，∴四边形CDEF是直角梯形，其面积S=12×(√2+2√2)×2=3√2，∴V B−CDEF=13×S CDEF×AG=13×3√2×√2=2．解析：本题考查了线面垂直的判定及棱锥的体积，属于中档题．(1)由题意得，CD⊥AG，AG⊥DE，从而可得AG⊥平面CDEF；(2)由题意可得点B到平面CDEF的距离是AG，根据棱锥的体积计算公式可得，V B−CDEF=13×S CDEF×AG=2．19.答案：解：(1)列联表如下k=500×(150×100−200×50)2 350×150×200×300≈3.968>3.841所以有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关，即能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关解析：本题考查独立性检验的应用，考查根据列联表求出观测值，根据所给的临界值表进行比较，属于基础题．(1)由所给数据，结合总调查人数500，即可补全2×2列联表；(2)根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，求出观测值，同所给的临界值表进行比较，即可得出结论．20.答案：解：(1)设椭圆的焦距为2c，由椭圆经过点(0,−√3)得b=√3，①由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c=a2c−c，②又a2=b2+c2，③由①②③可得a=2，c=1，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)当直线l与x轴重合时，M(−2,0)，N(2,0)，此时MF=3FN，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，将直线l与椭圆x24+y23=1联立并消去x得，(3m2+4)y2+6my−9=0．因为，所以y1+y2=−6m3m2+4，④y1y2=−93m2+4，⑤由MF=2FN得y1=−2y2，⑥由④⑥解得y1=−12m3m2+4,y2=6m3m2+4，代入⑤得−72m 2(3m2+4)2=−93m2+4，所以m=±2√55，所以直线方程为√5x±2y−√5=0.解析：本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的综合应用，难度较大．(1)由题意列出关于a，b，c的式子解出即可得到结果；(2)由MF=2FN得y1=−2y2联立方程即可得到关于m的式子，解出即可得到结果．21.答案：解：(1)∵13≤a≤1，∴y=f(x)的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x=1a∈[1,3]．∴y=f(x)有最小值N(a)=1−1a．当2≤1a ≤3时，a∈[13,12]，y=f(x)有最大值M(a)=f(1)=a−1；当1≤1a <2时，a∈(12,1],y=f(x)有最大值M(a)=f(3)=9a−5；∴g(a)={a−2+1a,13≤a≤12, 9a−6+1a,12<a≤1.(2)任取a1，a2，且13≤a1≤a2≤12，则g(a1)−g(a2)=(a1−a2)(1−1a1a2)>0，∴g(a1)>g(a2)，∴g(a)在[13,12]上是减函数．任取a1，a2，且12<a1<a2≤1，则g(a1)−g(a2)=(a1−a2)(9−1a1a2)<0，∴g(a1)<g(a2)，∴g(a)在(12,1]上是增函数，∴当a =12时，g(a)有最小值12．解析：本题考查二次函数的最值及函数的单调性，属于中档题．(1)13≤a ≤1，y =f(x)的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x =1a ∈[1,3]． y =f(x)有最小值N(a)=1−1a .分类讨论求函数f(x)的最大值为M(a)，(2)利用单调性的定义判定g(a)在a ∈[13,1]上的单调性． 22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x 2+y 2=2x ．直线L 的参数方程是{x =√32t +m y =12t(t 为参数)，消去参数t 可得x =√3y +m ． (2)把{x =√32t +m y =12t(t 为参数)，代入方程：x 2+y 2=2x 化为：t 2+(√3m −√3)t +m 2−2m =0， 由△>0，解得−1<m <3．∴t 1t 2=m 2−2m ．∵|PA|⋅|PB|=1=|t 1t 2|，∴m 2−2m =±1，解得m =1±√2，1.又满足△>0．∴实数m =1±√2，1．解析：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用{x =ρcosθy =ρsinθ可得直角坐标方程．直线L 的参数方程是{x =√32t +m y =12t(t 为参数)，把t =2y 代入x =√32t +m 消去参数t 即可得出． (2)把{x =√32t +m y =12t (t 为参数)，代入方程：x 2+y 2=2x 化为：t 2+(√3m −√3)t +m 2−2m =0，由△>0，得−1<m <3.利用|PA|⋅|PB|=t 1t 2，即可得出．23.答案：证明：∵a 、b 、c 都是正数，∴a +b ≥2√ab >0(当且仅当a =b 时，取等号)，b +c ≥2√bc >0(当且仅当b =c 时，取等号)，c+a≥2√ca>0(当且仅当c=a时，取等号)，∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2√ab⋅2√bc⋅2√ca=8abc，(当且仅当a=b=c时，取等号)，即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc．解析：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．利用基本不等式，得出三个不等式，再相乘，即可证得结论．。
精品文档2020 年 4 月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120 分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合A2, 1,0,1,2 ，B x | y x ，则A I B（）A．1,2B．0,1,2C．2,1D．2, 1,02．已知复数z a i a R 是纯虚数，则a的值为（）2i11C．2D．2A ．B．223．已知 a 3ln2， b2ln3 ， c3ln 2 ，则下列选项正确的是（）A ．B．C．D．4．已知函数f (x)1），则 y= f (x) 的图象大致为（x ln x 1A ．B ．C ．D ．uuuvuuuv1uuuvuuuvuuuv ，ABAC ，则（）5．在 ABC中， D 为 BC 上一点， E 是 AD 的中点，若 BDDC CE31B ．17D ．7A ．3C ．6366．已知数列 { a n } 满足 a 1 1， a 21 ，若 a n a n 1 2a n 1 3a n 1an 1n 2, nN * ，则数列 { a n } 的通3项 a n（）1B ．1C ．1D ．1 A ． n12n 12n 1 123n 17．已知函数f ( x) 2sin(x)(06,) 的图象经过点 ( , 2) 和 ( 2, 2) .若函数263g( x)f ( x) m 在区间 [,0] 上有唯一零点，则实数 m 的取值范围是（ ）2A ． ( 1,1]B ． { 1}U(1,1]2 2 C ． (1,1]D ． { 2} U(1,1]28．已知 A3,2 ，若点 P 是抛物线 y 28x 上任意一点，点 Q 是圆 (x2) 2 y 2 1上任意一点，则PAPQ 的最小值为 ()A ． 3B ． 4C ． 5D ． 69．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A ．B．C．D．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1, x2 , x3, x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1, y2 , y3 , y4,如图所示 .将小圆盘逆时针旋转i i1,2,3,4次，每次转动90，记T i i 1,2,3,4 为转动 i次后各区域内两数乘积之和，例如 T1x1 y2x2 y3x3 y4x4 y1.若 x1 +x2+x3x40 ， y1 +y2 +y3 +y40 ，则以下结论正确的是A ．T1, T2,T3,T4中至少有一个为正数B．T1,T2, T3,T4中至少有一个为负数C．T1, T2,T3,T4中至多有一个为正数D．T1,T2, T3,T4中至多有一个为负数11．已知集合A={1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9），在集合 A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如＝219，则（）＝129，D（）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出 b 的值为（）A ． 792B． 693C． 594D． 49512．如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1， CC1的中点，点 O 为上底面的中心，过 E、 F、 O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 A1的部分为 V1，不含 A1的部分为 V2，连接 A1和 V2的任一点 M ，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为，则 sin 的最大值为（）．A ．2B．2 5C．2 6D．2 62556二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13．已知函数 f x ln 1 x2x 1 ， f a 4 ，则 f a________．14．已知随机变量X 服从正态分布N 2,1 ，若P X a 2 P X 2a 3 ，则a__________ ．精品文档15．已知双曲线x2y2中， A1 , A2是左、右顶点， F 是右焦点，B是虚轴的上端点．若在2b2 1(a 0,b 0)a线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点P i (i 1,2)uuuuv uuuuv，使得 PA i 1PA i 2 0 ，则双曲线离心率的取值范围是____________.16．四面体 A BCD 中，AB底面 BCD ，AB BD 2 ，CB CD 1 ，则四面体A BCD 的外接球的表面积为______三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1n 1满足 b n 2n a n.17（．本小题满分12 分）已知数列a n的前n项和S n a n 2 n N *，数列b n2（Ⅰ）求证：数列b n是等差数列，并求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设 c nn n1c n的前n项和为T n，求满足T n124n N *的 n 的最大nn a n，数列2n 1 a n 163值 .18．（本小题满分12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维修费1000 元.某医院准备一次性购买 2 台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求 X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分 12分）如图，在四棱柱ABCD A1 B1C1 D1中，侧棱A1 A 底面ABCD，AB AC ，AB 1，AC AA12，AD CD5，且点 M 和N分别为B1C和D1D 的中点.（1）求证：MN / /平面ABCD；（ 2）求二面角D1AC B1的正弦值；（ 3）设E为棱A1B1上的点，若直线NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为1，求线段A1E的长. 320．（本小题满分12 分）已知 A x1 , y1 , B x2 , y2是抛物线 C : x2 2 py p 0 上不同两点.（ 1）设直线l : y py x 1，且直线 l : yp与 y 轴交于点M，若A, B两点所在的直线方程为恰好平44分AFB，求抛物线 C 的标准方程.（ 2）若直线AB与x轴交于点P，与y轴的正半轴交于点Q，且y1 y2p2，是否存在直线AB ，使得4113PA PB PQ？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12 分）已知函数 f x ln x 1 x2ax a R ， g x e x3 x2x .22（1）讨论f x的单调性；（ 2）定义：对于函数 f x ，若存在x0，使f x0x0成立，则称x0为函数f x 的不动点.如果函数F x f x g x 存在不动点，求实数 a 的取值范围.请考生在第22、 23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程x 3t x 2 2cos 在直角坐标系 xOy 中，直线l的参数方程为（ t 为参数），曲线 C1的参数方程为2siny3t y（为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2 3cos2sin．（1）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求| AB |的长．23．（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲已知 a 0， b0， c 0 设函数 f (x)x b x c a ， x R（ I ）若a b c1，求不等式 f ( x)5的解集；（ II ）若函数 f(x) 的最小值为1，证明：149（ a b c ）a b b c18c a一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合A2,1,0,1,2 ，B x | y x ，则A I B（）A．1,2B．0,1,2C．2,1D．2,1,0【答案】 D【解析】因为A2, 1,0,1,2, B x x0，所以 AI B2,1,0.故选 D.2．已知复数z a i a R是纯虚数，则 a 的值为（）2i1B．1C．2D．2A ．2 2【答案】 A【解析】 Q z a i a i2i2a 1 2ai 是纯虚数2i2i2i552a151，解得： a2a 本题正确选项： A0253．已知 a 3ln2 ， b 2ln3， c3ln 2 ，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】 D【解析】，，，∵ 6π＞0，∴ a， b， c 的大小比较可以转化为的大小比较．设 f（ x），则f′（x），当 x＝ e 时， f′（ x）＝ 0，当 x＞ e 时， f′（x）＞ 0，当 0＜ x＜ e 时， f′（ x）＜ 0∴ f （x）在（ e， +∞）上， f（ x）单调递减，∵ e＜ 3＜π＜ 4∴，∴ b＞c＞a，故选：D．14．已知函数 f (x)，则y= f (x)的图象大致为（）x ln x1A．B．C．D．【答案】 A【解析】由于f11220，排除 B 选项.2112ln 1 ln 222由于 f e2, f e22， f e f e2，函数单调递减，排除C选项.e2e23由于 f e10021010 ，排除D选项.故选A.e100uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 5．在ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若BDDC，CE1 AB AC ，则31B．17D．7A ．3C．636【答案】 B 精品文档（）精品文档uuur 1 uuur uuuruuur1 uuur1 uuur 1 uuur1 uuur【解析】 CE 3 CB CAAC3 CB3 CA3 CD 3CA ，因为 E 是 AD 的中点， 所以1 1 ， 1 1 ，解得1 , 5 ， 1 .故选 B.3 2 3 22636．已知数列 { a n } 满足 a 1 1， a 21 ，若 a nan 12a n 13a n 1an 1n 2, n N * ，则数列 { a n } 的通3项 a n（ ）1111A．2n 1B ．2n 1C ．3n 1D ．2n 1 1【答案】 B【解析】 a n a n 12a n a n 1 3a n 1 a n 1 , 1 2 3 , 1 1 2(11 ) ,an 1an 1a nan 1a na nan 111则an 1a n 2 ,数列 11 是首项为 2，公比为2 的等比数列，11a na n 1a n an 11122n 12n ，利用叠加法，a n 1 a n1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ...... ( 1 1 ) 1 222 .......2n 1 ，a 1a 2a 1a 3a 2a n an 11 2n 1 2n 1 ，则 a n 1 1 .选 B.a n 2 12n7．已知函数f ( x)2sin( x)(06,) 的图象经过点 ( ,2)和(2, 2) .若函数2 63g( x)f ( x) m 在区间 [2 ,0] 上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（）A ． ( 1,1]B ． { 1}U(1,1]2 2C ． (1,1]D ． { 2} U( 1,1]【答案】 D【解析】由题意得21N，得T，故24k2，因为0 6 ，36k T ，kT22k 1k N ，所以2.由f62sin32 ，得2k，因为2，故，所以326f x2sin2x，从而当 x,052x，令 t2x，则由题意得6时，626662sint m 0在 t 5,上有唯一解，故由正弦函数图象可得m1或1m16222，解得62m21,1故选D.8．已知A 3,2，若点P是抛物线y28x 上任意一点，点Q 是圆(x2) 2y21上任意一点，则PA PQ 的最小值为()A ． 3B． 4C． 5D． 6【答案】 B【解析】抛物线 y28x 的焦点F 2,0，准线l：x 2 ，圆 (x 2) 2y21的圆心为F 2,0，半径r 1 ，过点 P 作PB垂直准线l，垂足为 B ，由抛物线的定义可知PB PF |，则 PA PQ PA PF r PA PB1，当 A,P,B三点共线时PA PB 取最小值 3 2 5，PA PQ PA PB 1 5 1 4．即有 PA PQ 取得最小值4，故选 B．9．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A．B．C．D．【答案】 D【解析】提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设 5 个区域依次为,分 4 步进行分析：，对于区域，有 5 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 4 种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有 3 种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有 5 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 4 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 2 种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为,故选 D．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1, x2 , x3 , x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1, y2 , y3 , y4,如图所示 .将小圆盘逆时针旋转i i 1,2,3,4 次，每次转动90，记 T i i 1,2,3,4为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1x1 y2x2 y3x3 y4x4 y1.若 x1 +x2 +x3x40 ，y1 +y2 +y3 +y40 ，则以下结论正确的是A ．T1, T2,T3,T4中至少有一个为正数B．T1,T2, T3,T4中至少有一个为负数C．T1, T2,T3,T4中至多有一个为正数D．T1,T2, T3,T4中至多有一个为负数【答案】 A【解析】根据题意可知：（x1+ x2+x3x4）（ y1 +y2 +y3 +y4）>0,又（ x1 +x2 + x3x4）（ y1+y2 +y3 +y4）去掉括号即得：（ x1 +x2 +x3x4）（ y1 +y2 +y3 +y4）= T1T2T3T4>0,所以可知 T1 ,T2 ,T3, T4中至少有一个为正数，故选A11．已知集合A={1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9），在集合 A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如＝219，则（）＝129，D（）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出 b 的值为（）A ． 792B． 693C． 594D． 495【答案】 D【解析】试题分析： A，如果输出的值为792，则，不满足题意．B，如果输出的值为693，则，，不满足题意．C，如果输出的值为594，则，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则，，满足题意．故选D．12．如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1， CC1的中点，点 O 为上底面的中心，过 E、 F、 O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 A1的部分为 V1，不含A1的部分为 V2，连接 A1和 V2的任一点 M ，设A1M与平面 A1 B1C1D1所成角为，则 sin 的最大值为（）．A ．2B．2 5C．2 6D．2 62556【答案】 B【解析】连接EF，因为 EF//面 ABCD, 所以过 EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O 作 GH //BC 交 CD 于点 G,交 AB 于 H 点，则 GH //EF,连接 EH，FG,则平行四边形 EFGH 为截面，则五棱柱 A1B1 EHA D1C1 FGD 为 V1，三棱柱EBH -FCG为 V2，设M点为 V2的任一点，过M 点作底面 A1 B1C1D1的垂线，垂足为N，连接A1N ,则MA1N即为A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以MN,要使α的正弦最大，必须 MN 最大，A1M最小，当点 M 与点 H 重合时符合MA1 N =α，因为sinα=A1M题意，故 sin α的最大值为MN=HN=25,故选B A1M A1H5二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13．已知函数 f x ln 1 x2x 1 ， f a 4 ，则 f a________．【答案】2【解析】因为 f x f x ln 1 x2x 1 ln 1 x2x 1 ln 1 x2x22 2 ，f a f a 2 ，且 f a 4 ，则 f a 2 .故答案为-214．已知随机变量X 服从正态分布N 2,1 ，若P X a 2 P X 2a 3 ，则a__________ ．【答案】 1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为X 2 ，a22a3a 1.故答案为1．结合题意有：22,15．已知双曲线x2y20,b 0)中， A1 , A2是左、右顶点， F 是右焦点，B是虚轴的上端点．若在22 1(aa b线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点P (i 1,2)uuuuv uuuuv ，使得PA i 1 PA i 2 0 ，则双曲线离心率的取值范围是i____________.【答案】2，512【解析】设 c 为半焦距，则F c,0 ，又 B 0,b ，所以 BF : bxcy bc 0，uuuur uuuur以 A 1 A 2 为直径的圆的方程为e O ： x2y 2 a 2 ，因为 PA i 1 PA i 2 0 ，i1,2 ，所以 e O 与线段 BF 有两个交点（不含端点） ，bcac 4 3a 2c 2a4e 4 3e 21 0 所以b 2c 2即2a 2，故，c 2e 2 2b a解得 2 e5 1.故填2，5 1.2216．四面体A BCD 中， AB 底面 BCD ， AB BD2 ， CB CD 1 ，则四面体A BCD 的外接球的表面积为 ______【答案】 4【解析】如图，在四面体A BCD 中， AB 底面 BCD ， ABBD 2， CB CD 1，可得BCD 90 ，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1， 1，2 ，则长方体的对角线长为1212 ( 2) 2 2，则三棱锥 A BCD 的外接球的半径为 1．其表面积为 412 4 ．故答案为： 4 ．三、解答题（本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分 12 分）1 n 1b n 满足 b n 2n a n .已知数列a n 的前 n 项和 S na n2 n N * ，数列2（Ⅰ）求证：数列b n 是等差数列，并求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）设 c nn n1c n 的前 n 项和为 T n ，求满足 T n124 n N * 的 n 的最大nn a n，数列 2 n 1 a n 163值 .n 1【解析】 (Ⅰ ) Q S n a n12 n N ，2n 21n 1当 n2时，S n 1 12 ，a nS nS n 1anan 1an 12，2化为 2n a n 2n 1 a n 11，Q b n2n a n , b nb n 1 1 ，即当 n 2时 , b n b n 1 1 ，令 n 1 ,可得 Sa 1 2 a ,即 1.a 11112又 b 1 2a 1 1 , 数列 b n 是首项和公差均为 1 的等差数列 .于是 b n1 n 1 1 nna nn2 a n ，n .2( Ⅱ)由( Ⅰ )可得c nn n 12 nn n nn 12n 12n 12n 1112n 1 2n 1 1 2,2n 1 2n 1 1T n1111 111242 11 23 1...1 2n 1 12 1,221222n2n 1 163可得 2n 164 26 ， n 5 ，因为 n 是自然数，所以 n 的最大值为 4.18．（本小题满分 12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修2 次，超过 2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修4 次，超过 4 次每次收取维修费 1000元 . 某医院准备一次性购买2 台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0 1 2 3台数5 10 20 15以这 50 台机器维修次数的频率代替1 台机器维修次数发生的概率， 记 X 表示这2 台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（ 1）求 X 的分布列；（ 2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【解析】（Ⅰ） X 所有可能的取值为0，1， 2，3， 4，5， 6，P X 0 1 11， P X11 1 21，PX211212 3 ，1010100105255551025P X 3 1 3212211，P X 42 2 3127 ，101055505510525P X 52326， P X339，5106101002510∴ X 的分布列为X012345611311769 P2525502525100 100（Ⅱ）选择延保一，所需费用Y1元的分布列为：Y170009000110001300015000P 1711769 100502525100EY117700011900071100061300091500010720（元）.100502525100选择延保二，所需费用Y2元的分布列为：Y2100001100012000P 6769 10025100EY26710000611000910420 （元）. 1002512000100∵ EY EY，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12 分）如图，在四棱柱ABCD A1 B1C1 D1中，侧棱 A1 A底面ABCD，AB AC ，AB 1，AC AA12， AD CD5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点 .（1）求证：MN / /平面ABCD；（ 2）求二面角 D1AC B1的正弦值；（ 3）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为1，求线段 A1E 的长. 3【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0), C (2,0,0), D (1, 2,0) ，又因为 M , N 分别为B1C和 D1D 的中点，得M 1,1,1 , N (1, 2,1). 2r uuuur5,0 ，（Ⅰ）证明：依题意，可得n (0,0,1) 为平面ABCD的一个法向量，MN0,2 uuuur r由此可得，MN n 0，又因为直线 MN 平面 ABCD ，所以 MN / / 平面 ABCD精品文档urur uuuurn 1 AD 1 0（Ⅱ），设n 1( x, y, z) 为平面 ACD 1 的法向量，则 { uruuur ，即n 1 ACx 2 y 2z 0ur(0,1,1)，{，不妨设 z1，可得 n 12xuuruur uuuruuur( x, y, z) 为平面 ACB 1n 2 AB 1 0 (0,1,2)y 2z 0设n 2的一个法向量，则 { uur uuur 0，又 AB 1，得 { ，不妨设n 2 AC2x 0uurz 1，可得 n 2(0, 2,1)，ur uurur uurn 1 n 210ur uur310 ，因此有 cos n 1 , n 2uruur，于是sin n 1, n 2n 1 n 21010所以二面角 D 1AC B 1 的正弦值为310 .uuur uuuur10uuur（Ⅲ）依题意，可设A 1EA 1B 1，其中[0,1] ，则 E(0, ,2) ，从而 NE( 1,2,1) ，r (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量，由已知得又 nuuur r uuur r 1 1NE n2cos NE ,n uuur r，整理得43 0 ，( 1)2 ( 2)2 12NE n 3又因为[0,1] ，解得7 2 ，所以线段 A 1E 的长为7 2 .20．（本小题满分 12 分）已知 Ax 1 , y 1 , B x 2 , y 2 是抛物线 C : x 2 2 py p 0 上不同两点 .（ 1）设直线 l : ypy x 1，且直线 l : yp 与 y 轴交于点 M ，若 A, B 两点所在的直线方程为恰好平44分 AFB ，求抛物线 C 的标准方程 .（ 2）若直线 AB 与 x 轴交于点 P ，与 y 轴的正半轴交于点 Q ，且 y 1 y 2p 2 ，是否存在直线 AB ，使得411 3 AB 的方程；若不存在，请说明理由.PAPB？若存在，求出直线PQ【解析】（1）设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2, M 0, px 22 py2px 2p0 ，，由 {，消去 y 整理得 x24y x 14p 2 8 p 0p则 { x 1 x 2 2 p ， ∵直线 y AFB ， ∴ k AF k BF0 ，平分x 1x 2 2 p 4∴y1p y 2 p，即：x 11px 2 1 pp x 1 x 24 44421 0 ，x 1x 2x 1x 24 x 1 x 2∴ p4 ，满足0 ，∴抛物线 C 标准方程为 x 2 8y ．（ 2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，设直线 AB 的方程为： ykxb(k0， b0) ，y kx b4p 2 k 2 8 pb 02pkx2pb0， ∴{x 1x 2 2 pk由 { 2 ，得 x 2 ，x 2 pyx 1x 22 pb2 22pb 2∴y 1 y 2x 1 ?x 2b 2 ，4p 22p 2p∵y 1 y 2p 2 ， ∴ b 2 p 2 ， ∵ b 0 ， ∴ b p ．442∴直线 AB 的方程为： ykxp．2AB ，使得11 3PQPQ 假设存在直线PBPQ ，即PA3 ，PAPB作 AA x 轴， BB x 轴，垂足为A 、B ，∴ PQPQOQ OQ pp p y 1 y 2 2 2 ，PAPB AABB·y 1y 22 y 1y 2∵ y 1 y 2 k x 1 x 2 p 2pk 2p ， y 1y 2p 2，PQ PQ p 2pk 2 p21 ∴PAPB2·p 24k2，由4k22 3 ，得 k，4211 3 1 x p ． 故存在直线 AB ，使得PB，直线 AB 方程为 yPAPQ2 221 ．（本小题满分12 分）已知函数 f xln x1 x2 ax a R ， g xe x 3 x 2x .22（ 1）讨论 f x的单调性；（ 2）定义：对于函数f x ，若存在 x 0 ，使 f x 0x 0 成立，则称 x 0 为函数f x 的不动点 .如果函数F x f x g x 存在不动点，求实数a 的取值范围 .【解析】 (1) fx 的定义域为 0,x 2 ax 1， f xx 0 ，x对于函数 yx 2 ax 1 0 ，①当a 2 4 0 时，即 2 a 2 时， x 2 ax 1 0 在 x 0 恒成立 .fx 2 ax10,恒成立 .f x 在 0,为增函数；xx0 在②当0 ，即 a 2 或 a 2 时，当 a2 时，由 f x0 ，得 xaa 24或xa a 24，0aa 2 4 aa 2 4 ，222 2f x 在 0,aa 2 4 为增函数， aa 2 4 , a a 2 4 减函数 .222aa 2 4 , 为增函数，2当 a2x2ax 10,恒成立，时，由 f x0 在xf x 在 0,为增函数。
2020年云南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i2．已知平面向量，如果，那么=（）A．B．C．3 D．3．函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为（）A．﹣4 B．C．D．﹣24．（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（）A．45 B．20 C．﹣30 D．﹣905．若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．566．如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A．B．C．﹣2 D．27．为得到y=cos（2x﹣）的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．在数列{a n}中，a1=，a2=，a n a n+2=1，则a2020+a2020=（）A．B．C．D．59．“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣2 B．3 C．7 D．1211．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（）A．B．C．D．12．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且，如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么=（）A．21 B．14 C．7 D．0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x﹣90）=则f（10）﹣f（﹣100）的值为．14．已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．15．△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．16．已知实数a、b常数，若函数y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，y=+be2x﹣1与y=k（x﹣1）3的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，3a n﹣2S n=2．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：S n+2S n＜．18．某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P（A）；（Ⅱ）设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（I）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．20．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=λ．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在m，使+λ=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知f（x）=2x+3﹣．（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是的中点，BD 的延长线与CE交于E．（Ⅰ）求证：BC•CD=BD•CE；（Ⅱ）若，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=．（I）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程；（II）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（Ⅰ）求证：f（x）≥5；（Ⅱ）若对任意实数都成立，求实数a的取值范围．2020年云南省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z1=1+i，z2=1﹣i，得=，故选：D．2．已知平面向量，如果，那么=（）A．B．C．3 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平行向量的坐标关系便可求出x=，从而得出，这便可得出的值．【解答】解：∵；∴3•（﹣1）﹣6x=0；∴；∴；∴．故选B．3．函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为（）A．﹣4 B．C．D．﹣2【考点】三角函数的最值．【分析】利用倍角公式降幂，然后利用辅助角公式化积，则答案可求．【解答】解：y=2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin2x+cos2x﹣1==，∴函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为．故选：C．4．（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（）A．45 B．20 C．﹣30 D．﹣90【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．【解答】解：（﹣+）10的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）10﹣r•，令=2，求得r=2，可得展开式中x2的系数为=45，故选：A．5．若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．56【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1i=2，S=4不满足条件i＞5，i=3，S=10，不满足条件i＞5，i=4，S=22，不满足条件i＞5，i=5，S=46，不满足条件i＞5，i=6，S=94，满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为94．故选：A．6．如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A．B．C．﹣2 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是半圆锥体与直三棱锥的组合体，求出该几何体的体积，再求出圆柱的体积，即可求出被削掉的那部分体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面半径为1，高为2的半圆锥体，与底面为等腰三角形高为2的三棱锥的组合体，其体积为•πr2h+Sh=π×12×2+××2×1×2=；又圆柱的体积为πr2h=π×12×2=2π，所以被削掉的那部分的体积为2π﹣=．故选：B．7．为得到y=cos（2x﹣）的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=sin（2x﹣+）=sin（2x+）=sin2（x+），∴将y=sin2x 的图象向左平移个单位，可得y=cos （2x ﹣）的图象，故选：D ．8．在数列{a n }中，a 1=，a 2=，a n a n+2=1，则a 2020+a 2020=（ ） A ．B ．C ．D ．5【考点】数列递推式．【分析】a 1=，a 2=，a n a n+2=1，可得：a 4n ﹣3=，a 4n ﹣1=2，a 4n ﹣2=，a 4n =3．即可得出． 【解答】解：∵a 1=，a 2=，a n a n+2=1， ∴a 3=2，a 5=，…，可得：a 4n ﹣3=，a 4n ﹣1=2． 同理可得：a 4n ﹣2=，a 4n =3． ∴a 2020+a 2020=3+=．故选：C ．9．“a +b=2”是“直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线与圆相切的充要条件，可得“直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的等价命题“a +b=±2”，进而根据充要条件的定义，可得答案． 【解答】解：若直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切 则圆心（a ，b ）到直线x +y=0的距离等于半径 即=，即|a +b |=2即a +b=±2故“a +b=2”是“直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的充分不必要条件 故选A10．已知变量x 、y 满足条件，则z=2x +y 的最小值为（ ）A ．﹣2B ．3C ．7D ．12【考点】简单线性规划．【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．【解答】解：如图即为满足不等式组的可行域，将交点分别求得为（1，1），（5，2），（1，）当x=1，y=1时，2x+y=3当x=1，y=时，2x+y=当x=5，y=2时，2x+y=12∴当x=1，y=1时，2x+y有最小值3．故选：B11．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为3，基本事件的区域长度为1，代入几何概率公式可求【解答】解：设“长为3m的线段AB”对应区间[0，3]“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件A，则满足A的区间为[1，2]根据几何概率的计算公式可得，故选：B12．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且，如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么=（）A．21 B．14 C．7 D．0【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，可得c=4，即a2+b2=16，由渐近线方程可得=，解得a，b，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4，由题意可得双曲线M的一个焦点为（﹣4，0），设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得c=4，即a2+b2=16，直线是双曲线M的一条渐近线，可得=，解得a=3，b=，可设P为右支上一点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=6，①由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=64，②②﹣①2，可得|PF1|•|PF2|=14．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x﹣90）=则f（10）﹣f（﹣100）的值为﹣8．【考点】函数的值．【分析】根据所给解析式凑数计算f（10）和f（﹣100）．【解答】解：f（10）=f=lg100=2，f（﹣100）=f（﹣10﹣90）=﹣（﹣10）=10．∴f（10）﹣f（﹣100）=2﹣10=﹣8．故答案为：﹣8．14．已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】求出球心O到平面ABC的距离，即可求出P到平面ABC距离的最大值．【解答】解：△ABC是边长为的等边三角形，外接圆的半径为1，球O的表面积为36π，球的半径为3，∴球心O到平面ABC的距离为=2，∴P到平面ABC距离的最大值为．故答案为：．15．△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．【考点】正弦定理．【分析】求出sinB，利用三角形的面积公式求出c的长度，进一步利用余弦定理求出b的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果．【解答】解：△ABC中，∵tanB=﹣，∴sinB=，cosB=﹣．又S==2c=8，∴c=4，∴b==．∴==．故答案为：．16．已知实数a、b常数，若函数y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，y=+be2x﹣1与y=k（x﹣1）3的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．【考点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出a，b的值，利用数形结合判断两个函数的交点个数进行求解即可．【解答】解：当x＜1时，函数y=+be2x+1=+be2x+1，则函数的导数f′（x）=+2be2x+1，∵若函数y=y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，∴f（0）=，且f′（0）=﹣，即a+be=，﹣a+2be=﹣，得a=1，b=0，即y=+be2x+1=，由=k（x﹣1）3得当x=1时，方程成立，当x≠1时，若x＞1得=k（x﹣1）3得=k（x﹣1）2，若x＜1得﹣=k（x﹣1）3得﹣=k（x﹣1）2，若k=0，则两个方程无解，若k＞0时，作出对应函数的图象如右图：此时满足当x＞1时，有一个交点，当x＜1时，有一个交点，此时满足两个函数共有3个交点．若k＜0时，作出对应函数的图象如图：此时满足当x＞1时，没有交点，当x＜1时，则需要有2个交点，由﹣=k（x﹣1）2，得k（x+2）（x﹣1）2+1=0，x＜1，设g（x）=k（x+2）（x﹣1）2+1，则g′（x）=3k（x﹣1）（x+1），x＜1，k＜0，由g′（x）=0，x=﹣1，当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当﹣1＜x＜1时，g′（x）＞0，即当x=﹣1函数取得极小值g（﹣1）=4k+1，要使当x＜1时，则g（x）要有2个交点，则极小值g（﹣1）=4k+1＜0，得k＜﹣，此时满足两个函数共有3个交点．综上k的取值范围是k＞0或k＜0，故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，3a n ﹣2S n =2． （I ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求证：S n+2S n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I ）对任意正整数n ，3a n ﹣2S n =2，可得3a 1﹣2a 1=2，解得a 1．当n ≥2时，3a n ﹣1﹣2S n ﹣1=2，可得a n =3a n ﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）证明：由（I ）可得：S n =3n ﹣1．作差代入S n+2S n ﹣＜0，即可证明．＜．【解答】（I ）解：∵对任意正整数n ，3a n ﹣2S n =2，∴3a 1﹣2a 1=2，解得a 1=2． 当n ≥2时，3a n ﹣1﹣2S n ﹣1=2，可得3a n ﹣3a n ﹣1﹣2a n =0，化为a n =3a n ﹣1， ∴数列{a n }是等比数列，公比为3，首项为2． ∴a n =2×3n ﹣1．（2）证明：由（I ）可得：S n ==3n ﹣1．∴S n+2S n ﹣=（3n+2﹣1）（3n ﹣1）﹣（3n+1﹣1）2=﹣4×3n ＜0， ∴S n+2S n ＜．18．某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P（A）；（Ⅱ）设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式能求出事件A的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛，设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，由已知，得，所以事件A的概率为．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．由已知得．…P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以随机变量X的分布列为：X 1 2 3 4P…随机变量X的数学期望．…19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（I）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理进行证明即可．（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．【解答】证明：（I）∵AB=AD，E为BC的中点，∴取BD的中点0，连接AO，OE，则OA⊥BD，OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，∵CD⊥BD，∴OE⊥BD，∵BD∩OA=O，∴AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，∵OA⊥BD，∴OA⊥面BCD，建立以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AD=CD=2，BC=4，∴OA=OB=OD=，OE=1，则B（0，﹣，0），D（0，，0），E（1，0，0），A（0，0，），C（2，，0），则=（0，，），=（2，，﹣），=（﹣2，0，0），设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=﹣1，x=﹣，即=（﹣，1，﹣1），设平面ACD的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=1，x=0，则=（0，1，1），cos＜，＞==0，即＜，＞=90°则二面角B﹣AC﹣D的正弦值sin90°=1．20．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=λ．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在m，使+λ=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）运用向量的加减运算，可得λ=3，由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线的坐标表示和直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得m2==1+，再由不等式的性质，可得所求范围．【解答】解：（I）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得e==，4=4，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+x2=1；（Ⅱ）=λ，可得﹣=λ（﹣），+λ=（1+λ），由+λ=4，可得λ=3，由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由=3，可得﹣x1=3x2，①由直线y=kx+m代入椭圆方程y2+4x2=4，可得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0，即有x1+x2=﹣，x1x2=，②由①②可得m2==1+，由1+k2≥1，可得0＜≤3，即有1＜m2≤4，由于m∈（﹣2，2），当m=0时，O，P重合，λ=1显然成立．可得m的取值范围是（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}．21．已知f（x）=2x+3﹣．（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（I）求函数的导数，利用函数极值和导数的关系即可证明当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）判断函数的单调性，根据函数的单调性和值域之间的关系转化为f（x）=x有两个不同的解，构造函数，利用数形结合进行判断即可．【解答】解：（I）由2x+1＞0得x＞﹣，函数的导数f′（x）=2﹣=2﹣==，设g（x）=8x2+8x+2ln（2x+1），则g′（x）=16x+8+=8（2x+1）+，∵2x+1＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在x＞﹣上为增函数，∵g（0）=0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，此时f′（x）＞0，函数f（x）递增，当x＜0时，g（x）＜g（0）=0，此时f′（x）＜0，函数f（x）递减，故当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x＞0时，函数f（x）递增，若存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则满足，即m，n是方程f（x）=x的两个不同的根，即2x+3﹣=x，则x+3=．即（x+3）（2x+1）=ln（2x+1），设y=（x+3）（2x+1），y=ln（2x+1），作出两个函数的图象，由图象知当x＞﹣时，两个函数没有交点，即方程f（x）=x不存在两个不同的根，即不存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是的中点，BD 的延长线与CE交于E．（Ⅰ）求证：BC•CD=BD•CE；（Ⅱ）若，求AB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据切线的性质、直径所对的圆周角是直角得到角之间的关系，由三角形相似判定定理和性质，证明结论成立；（Ⅱ）根据等弧所对的圆周角相等得∠ABD=∠CBD，由直径所对的圆周角、三角形全等判定定理得△BDC≌△BDF，得到CD=FD，BC=BF，根据勾股定理、射影定理求出CD、BC，由割线定理得求出AB．【解答】证明：（Ⅰ）∵BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，D是AC弧的中点，∴∠CBD=∠ECD，∠BDC=∠CDE=∠BCE=90°，∴△BCD∽△CED．…∴，∴BC•CD=BD•CE．…解：（Ⅱ）设BA的延长线与CD的延长线交于F，∵D是AC弧的中点，∴∠ABD=∠CBD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BDF=90°，∴△BDC≌△BDF．∴CD=FD，BC=BF，在Rt△CDE中，．∴．∵∠BDC=∠BCE=90°，∴CD2=BD•DE，∴，∴，∴BF=4．…由割线定理得（FB﹣AB）•FB=FD•FC，即，解得．∴．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=．（I）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程；（II）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）将直线的参数方程相减消去参数t，得到直线l的普通方程，将曲线的极坐标方程两边平方，得出曲线C的普通方程；（II）求出曲线C的参数方程，把参数方程代入点到直线的距离公式，利用三角函数的性质解出d的最值．【解答】解：（I）∵（t为参数），∴x﹣y=﹣3，即x﹣y+3=0．∴直线l的直角坐标方程是x﹣y+3=0．∵ρ=，∴ρ2=，即ρ2+2ρ2cos2θ=3．∴曲线C的直角坐标方程为3x2+y2=3，即．（II）曲线C的参数方程为（α为参数），则曲线C上的点到直线l的距离d==．∴当cos（）=1时，d取得最大值，当cos（）=﹣1时，d取得最小值．∴d的取值是[，]．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（Ⅰ）求证：f（x）≥5；（Ⅱ）若对任意实数都成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于f（x）的分段函数，从而求出f（x）的最小值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出a的范围即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴f（x）的最小值为5，∴f（x）≥5．…（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：15﹣2f（x）的最大值等于5．…∵，“=”成立，即，∴当时，取得最小值5．当时，，又∵对任意实数x，都成立，∴．∴a的取值范围为．…2020年8月2日。
