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如何迅速解决高中三年数学中的指数对数方程题在高中三年的数学学习过程中，指数对数方程题是一个常见但又相对较难的考查内容。
这类题目要求我们解决指数和对数之间的方程，涉及到不少技巧和知识点。
在本文中，我将向大家介绍一些解决这类题目的有效方法，帮助大家迅速解决高中三年数学中的指数对数方程题。
1. 理解指数和对数的定义在解决指数对数方程题之前，我们首先要对指数和对数有一个基本的了解。
指数是表示一个数的乘方次数，而对数是指数运算的逆运算。
了解指数和对数的定义，可帮助我们更好地理解和解释方程中的指数和对数。
2. 运用指数和对数的基本性质在解决指数对数方程题时，我们需要灵活运用指数和对数的基本性质。
其中包括指数的乘法法则、指数的除法法则、指数的幂法则、对数的乘法法则和对数的除法法则等。
熟练掌握和灵活运用这些性质，可以简化方程的运算过程。
3. 使用指数和对数的换底公式在解决一些特殊的指数对数方程题时，我们可能会遇到底数不同的指数或对数。
此时，可使用指数和对数的换底公式进行转换。
指数的换底公式是将底数不同的指数转换成底数相同的指数，而对数的换底公式则是将底数不同的对数转换成底数相同的对数。
运用换底公式，可以使得方程中的指数或对数更容易处理。
4. 观察方程的特点和进行变量代换有时，我们可以通过观察方程的特点来简化解题过程。
例如，当方程中含有指数或对数的和、差、积、商等形式时，我们可以通过变量代换来简化方程。
将方程中的和、差、积、商用新的变量表示，可以使得方程更易于处理，并得到更简洁的解。
5. 利用图像解决方程在高中数学中，我们经常通过图像方法解决一些数学问题。
对于指数对数方程题，我们可以通过绘制指数函数和对数函数的图像，来更好地理解方程的解。
通过观察图像的特点，我们可以得到方程在坐标系中的交点，从而得到方程的解。
6. 反复练习和强化解题技巧除了以上的方法，反复练习和强化解题技巧也是解决指数对数方程题的关键。
通过大量的练习，我们可以熟悉各类题型的解题思路和方法，提高解题能力和速度。
如何解决高考数学中的指数与对数运算问题在高考数学中，指数与对数运算问题一直是考生们的难点之一。
本文将介绍一些解决这类问题的方法和技巧，帮助考生们更好地应对高考数学中的指数与对数运算。
一、指数运算问题的解决方法：1. 熟悉指数的基本运算法则：指数相乘，底数不变，指数相加；指数相除，底数不变，指数相减；指数的负指数是指数的倒数等。
掌握这些基本运算法则可以快速简化指数运算。
2. 注意指数运算的特殊情况：0的任何正指数都等于0，0的负指数为不存在；1的任何指数都等于1，1的负指数为1的倒数等。
遇到这些特殊情况，可以直接计算结果。
3. 运用指数运算的化简规则：当指数运算中有相同底数时，可以运用化简规则将指数部分合并或分解。
例如，指数相乘时可以将底数不变，指数相加；指数相除时可以将底数不变，指数相减。
灵活应用这些规则可以简化计算过程。
4. 运用对数函数化简指数：对数函数和指数函数是互逆关系，通过运用对数函数可以将指数运算转化为对数运算，并利用对数运算的性质来解决问题。
二、对数运算问题的解决方法：1. 了解对数的基本性质：对数的底数必须为正实数且不能等于1，对数的真数必须为正实数。
了解这些基本性质可以帮助我们正确应用对数运算。
2. 运用对数运算的基本公式：对数运算有两个基本公式，即对数公式和换底公式。
对数公式是ln(a/b) = ln(a) - ln(b)，换底公式是loga(b) = logc(b) / logc(a)。
根据具体情况灵活应用这些公式可以化简对数运算。
3. 善用常见对数与自然对数的计算：常见对数的底数为10，自然对数的底数为e。
掌握常见对数和自然对数的近似值，可以在计算过程中快速估算结果。
常见对数的近似值为log10(2)≈0.3010，log10(3)≈0.4771，自然对数的近似值为ln(2)≈0.6931，ln(3)≈1.0986。
4. 运用对数变换解决问题：对数变换是将原问题转化为以对数形式表示的问题，通过运用对数的性质解决问题。
高中数学难点解析教案——指数函数、对数函数问题一、教学目标1. 理解指数函数、对数函数的定义及性质。
2. 掌握指数函数、对数函数的图象和性质。
3. 学会运用指数函数、对数函数解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 指数函数的定义与性质2. 对数函数的定义与性质3. 指数函数、对数函数的图象4. 指数函数、对数函数的应用5. 难点解析与例题讲解三、教学重点与难点1. 教学重点：指数函数、对数函数的定义、性质、图象及应用。
2. 教学难点：指数函数、对数函数的图象特点，以及实际问题的解决方法。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究指数函数、对数函数的性质。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解指数函数、对数函数的图象。
3. 运用实例讲解法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4. 组织小组讨论，提高学生的合作交流能力。
五、教学过程1. 导入：通过回顾初中阶段学习的指数函数、对数函数知识，引发学生对高中阶段深入学习这些内容的兴趣。
2. 新课讲解：（1）讲解指数函数的定义与性质，让学生通过实例理解指数函数的单调性、奇偶性等性质。
（2）讲解对数函数的定义与性质，让学生了解对数函数与指数函数的互化关系，以及对数函数的单调性、奇偶性等性质。
（3）结合图象，讲解指数函数、对数函数的图象特点，以及它们之间的关系。
3. 应用拓展：通过实例让学生学会运用指数函数、对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
4. 难点解析：针对学生在学习过程中遇到的难点，如指数函数、对数函数的图象特点，以及实际问题的解决方法，进行详细讲解和分析。
5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调指数函数、对数函数的性质和应用。
7. 课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生对指数函数、对数函数概念和性质的理解程度。
高中数学难点解析教案——指数函数、对数函数问题一、教学目标：1. 理解指数函数、对数函数的定义及其性质。
2. 掌握指数函数、对数函数的图像和应用。
3. 能够解决实际问题中涉及指数函数、对数函数的问题。
二、教学内容：1. 指数函数的定义与性质2. 对数函数的定义与性质3. 指数函数、对数函数的图像4. 指数函数、对数函数在实际问题中的应用5. 常见指数函数、对数函数问题的解法及技巧三、教学重点与难点：1. 教学重点：指数函数、对数函数的定义、性质、图像及其应用。
2. 教学难点：指数函数、对数函数问题的解法及技巧。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解指数函数、对数函数的定义、性质、图像及其应用。
2. 利用例题，讲解指数函数、对数函数问题的解法及技巧。
3. 开展小组讨论，引导学生主动探究、发现规律。
4. 利用信息技术辅助教学，展示指数函数、对数函数的图像。
五、教学过程：1. 导入：通过复习初中阶段学习的指数函数、对数函数知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解：详细讲解指数函数、对数函数的定义、性质、图像及其应用。
3. 例题解析：分析、解答典型例题，讲解解题思路与技巧。
4. 练习与讨论：学生自主完成练习题，小组内讨论解题过程，交流心得。
5. 总结与拓展：对本节课内容进行总结，提出拓展性问题，激发学生课后思考。
6. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学评估：1. 课后收集学生的作业，评估学生对指数函数、对数函数知识的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，进行课堂测试，测试学生对指数函数、对数函数知识的掌握情况。
3. 观察学生在课堂讨论中的表现，了解学生对指数函数、对数函数问题的理解和应用能力。
七、作业布置：1. 请学生完成课后练习题，包括选择题、填空题和解答题。
2. 请学生准备一篇关于指数函数、对数函数应用的案例分析，下节课分享。
八、课后反思：1. 总结本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和作业完成情况。
高考数学难点突破_难点09__指数对数函数指数对数函数是高考数学中的一个重要的难点，也是学生普遍认为比较难理解和掌握的内容之一、本文将从基本概念、性质、解题技巧等方面进行详细介绍，帮助学生突破这一难点。
一、基本概念1.指数函数：指数函数是以指数为自变量，以底数为底的函数。
比如y=2^x就是一个指数函数，其中2是底数，x是指数。
2. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，也就是说，指数函数和对数函数互为反函数。
比如 y = log2(x) 就是一个对数函数，其中 2 是底数，y 是对数。
二、性质1.指数函数的性质：(1)底数为正数且不等于1；(2)指数为任意实数；(3)当底数小于1时，指数函数是递减函数；(4)当底数大于1时，指数函数是递增函数。
2.对数函数的性质：(1)底数为正数且不等于1；(2)对数为任意正数；(3)对数函数的定义域是正数集合，值域是实数集合；(4)对数函数图象是一条过点(1,0)的上凸曲线。
三、解题技巧1.指数函数的解题技巧：(1)利用指数函数的性质进行函数图象的绘制；(2)将指数转化为对数的形式，利用对数的性质简化计算；(3)注意指数函数的定义域和值域，避免出现无解的情况；(4)利用指数函数的性质解决等式、不等式，注意正确应用换底公式。
2.对数函数的解题技巧：(1)利用对数函数的性质进行函数图象的绘制；(2)利用对数函数的反函数性质化简等式、不等式的解；(3)根据定义域和值域限制，判断函数是否有解；(4)注意合理利用换底公式，化简对数运算。
四、经典题型1. 解对数方程：如 log2(x+3) + log2(x-2) = 3，将对数方程转化为指数方程求解。
2.判断函数性质：如f(x)=5^(x-3)，要求判断指数函数f(x)的增减性和定义域。
3.运用指数对数函数求最值：如y=3^x-3^(1-x)，通过化简求函数的最值。
4. 判断指数函数与对数函数的关系：如 f(x) = 2^x 和 g(x) = log2(x)，要求判断两个函数的值域和定义域。
指数函数和对数函数的解题策略，高中学生需要知道的那些事
儿！
关于指数函数的图像和性质的综合应用，其解题策略我们一般需要抓住三点：
第一，利用指数函数的性质时，一般应画出函数y=a^x（a>0，且不等于1）的函数图象。
与此同时，抓住三个重要的点，分别是（1，a），（0，1），（-1，1/a），做到数形结合。
第二，利用指数函数的图像和性质研究函数的奇偶性，单调性时，对称性时，要特别注意底数a的范围。
按照a>1以及0<><> 第三，指数函数的底数中若含有参数，一般需要分情况讨论，指数函数与其他函数构成复合函数，讨论函数的单调性是解决题目的关键和途径之一。
下面，我们举一个例子：
题目
解体分析：可以先作出函数的y=f（x）的图像，从图像可以清楚知道f(x)=c最多只有4个不同实数解；这个时候，当我们结合一元二次方程最多两个不同的实数解就可以判断题目给出方程的解的范围。
当然，这里我们用到大家很熟悉的韦达定理。
解题过程如下，由于在平台发文公式很难输入，我们采用手写：
祝大家在未来的高考成功！。
剖析对数函数中的三大难点对数函数是高中数学中的一个重要函数，也是高考的热点知识之一．学习对数函数时会遇到一些难点，使解题思维陷入困境，究其原因主要有三大难点．难点一：底数不统一对数的运算性质及相关的知识都是建立在底数相同的基础上的，但在实际问题中，对数的运算、变形却经常要遇到底数不相同的情况，出现这种情形，该如何来突破呢？主要有三种处理方法：① 化指数式．对数函数与指数函数互为反函数，所以它们之间有着密切的关系：log a N b =即为b a N =，因此在处理有关对数中遇到的问题时，经常将对数式化为指数式来帮助解决． ②利用换底公式统一底数．换底公式的主要功能就是将底数不相同的对数通过换底把底数统一起来，然后再运用相关的性质与法则进行求解． ③ 利用函数图象．函数的图象是函数的另一重要方面，它可以将函数的有关性质直观显现，因此，当对数的底数不相同时，可以借助对数函数的图象的直观性来加以理解和寻求解题的思路．例1 若1100a b a b ≠≠>>，，，，且满足关系式2log 2log 4log 3a a b ==，求a b，的值．分析：已知关系式中包含三个别底数不相同的对数式， 因此可设2log 2log 4log 3a a b m ===，转化为指数式来解决．解：设2log 2log 4log 3a a b m ===，则2m a =，42ma ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22mm a a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即22m m m a a =． 由于0m a >，122m ∴=，1m ∴=-． log 2log 31a b ∴==-，1123a b ∴==，． 例2 设2log 3a =，3log 7b =，求42log 56的值．分析：两个已知对数式的底数不相同，无法直接进行计算，所以应该首先考虑统一底数，从条件看应该把底数统一为3．解：由2log 3a =，可得31log 2a =， 所以，33342333log 56log 73log 23log 56log 42log 2log 711ab ab a ++===++++． 例3 若log 2log 20a b <<，则a b ，满足的关系是（ ）Ａ．1a b << Ｂ．1b a << Ｃ．01a b <<< Ｄ．01b a <<< 分析：此题由于两个对数式底数不同，但是真数相同，所以可以把两个对数式看成是两个对数函数在自变量取同一个值时的两个不同的函数值，可通过图象来分析．解：log 2log 2a b ，可以看成是对数函数log a y x =，log b y x =在2x =时的两个函数值，画出它们的大致图象（如右图），显然a b ，均小于1，根据对数函数的底数和图象的关系可得：01b a <<<，故选（Ｄ）．难点二：真数是和差的形式 对数的运算性质的主要功能是将运算级别较高的降低为级别较低的运算，而和与差是运算中的最低级别，所以在处理真数是和差形式的对数问题时，难度就较大，主要有两种处理方法：①整体考虑；②对真数因式分解．例4 若实数x 满足222log (21)log (24)3x x +--=，求x 的值．分析：已知关系式既有对数的相乘，又有真数的差，要将此式进行转化，可以把2log (21)x -看成整体，再对22log (24)x +-的真数因式分解．解：由222log (21)log (24)3x x +--=，得22log (21)log 4(21)3x x ⎡⎤--=⎣⎦，所以22log (21)2log (21)3x x ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以222log (21)2log (21)30x x -+--=，解得2log (21)1x -=，或2log (21)3x -=-，故有2log 3x =，或29log 8x =． 难点三：对数与对数相乘对于对数与对数相乘，运用对数的运算性质是很难解决的．因此，在解决此类问题时，要根据所给的关系式认真分析其结构特点．其求解主要有三种方法：①利用换底公式；②整体考虑；③化各对数为和差的形式．例5 设23456783log 3log 4log 5log 6log 7log 8log log 27m =，求m 的值． 分析：已知等式是七个对数之积，其特点是：从第二个对数开始的每一个对数的底数是前一个对数的真数，因此，我们可以采用换底公式将各对数换成以2为底的两个对数的商，然后约分达到目的．解：2345678log 3log 4log 5log 6log 7log 8log m22222222222222log 4log 5log 6log 7log 8log log 3log log 3log 4log 5log 6log 7log 8m m ==． 23log log 273m ∴==，8m ∴=．例6 已知2222(log )7log 30x x -+≤，求函数22log log 24x x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域． 分析：所求函数的解析式是两个对数的积的形式，可利用对数的运算性质将其化为两个差的积．解：由2222(log )7log 30x x -+≤，得21log 32x ≤≤． 函数22222231log log (log 1)(log 2)log 2424x x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 当23log 2x =，即x =min 14y =-； 当2log 3x =，即8x =时，max 2y =．所以函数的值域为124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．。
如何应对高考数学中的指数与对数运算题目随着高考的临近，数学科目中的指数与对数运算题目成为了考生们备战的重点之一。
这类题目既考验了学生对基本概念的理解，又要求他们具备灵活的运算能力。
为了帮助考生们更好地应对高考数学中的指数与对数运算题目，下面将从知识梳理、解题技巧和练习方法三个方面进行讲解。
一、知识梳理指数与对数是数学中重要的概念，对应于实际生活中的很多现象和应用。
在应对高考数学中的指数与对数运算题目时，考生首先要对相关概念进行梳理和理解。
指数运算是将一个数与自己连乘若干次的运算，用表达式表示为a^n。
在指数运算中，考生需要了解指数的性质，例如指数相等时底数相等，指数相加时底数相乘等。
此外，考生还要熟悉指数运算的基本法则，如乘方法则、幂函数的运算等。
对数运算是指数运算的逆运算，用表达式表示为loga(x)。
在对数运算中，考生需要了解对数的性质，例如对数的底数应为正数且不等于1，对数的定义域和值域等。
同时，考生还需掌握对数运算的基本法则，如对数的乘法法则、除法法则、换底公式等。
这些知识对于高考数学中的指数与对数运算题目至关重要。
二、解题技巧在应对高考数学中的指数与对数运算题目时，考生可以采用以下解题技巧，帮助他们更好地理解和解决问题。
1. 灵活运用变换法考生可以通过变换法来处理指数与对数运算题目。
例如，在化简指数表达式时，可以将指数转化为相同底数的乘方形式，以便进行运算。
在解对数方程时，可以通过变换底数的方法，将方程转化为相同底数的对数方程，从而简化计算过程。
2. 利用指数和对数的性质指数和对数具有一些重要的性质，考生可以充分利用这些性质来解题。
例如，在求指数和的数值时，可以利用指数加法性质将指数相加，从而得到最终结果。
在解决对数运算题目时，可以应用对数乘法法则或对数换底公式将复杂的运算转化为简单的形式。
3. 注意问题中的限制条件在解答数学题目时，考生需要仔细阅读问题并注意其中的限制条件。
指数与对数运算题目中常常会给出一些条件，这些条件对于解题过程以及最终结果的求取都具有重要的指导作用。
高中数学中的指数与对数问题解析与解题技巧在高中数学中，指数与对数问题是一个重要且常见的话题。
指数与对数是描述数的幂运算与反运算的工具，广泛应用于科学、工程和经济等领域。
掌握指数与对数的解析与解题技巧，对于提高数学能力和解决实际问题具有重要作用。
一、指数的基本概念与性质指数是用于表示幂运算的一个数。
在指数运算中，指数表示幂的次数，底数表示被乘的数。
例如，2³中的2是底数，3是指数，表示将2连乘3次。
在解决指数问题时，常用到以下几个基本性质：1. 指数相同，底数相乘。
例如，2² × 2³ = 2⁵。
2. 底数相同，指数相加。
例如，2³ × 2² = 2⁵。
3. 乘方的乘法法则。
例如，(2²)³ = 2⁶。
掌握这些基本概念与性质，对于解决指数问题是非常重要的。
二、对数的基本概念与性质对数是指数运算的反运算。
在解决对数问题时，常用到以下几个基本概念与性质：1. 对数的定义。
设a为正实数，b为正实数且不等于1，若满足a = b^x，则称x为以b为底a的对数，记作log_ba。
2. 对数的换底公式。
log_ba = log_ca / log_cb，其中c为任意正实数且不等于1。
3. 对数的性质。
log(a × b) = loga + logb，log(a / b) = loga - logb，log(a^x) = x × loga。
掌握这些基本概念与性质，对于解决对数问题是至关重要的。
三、解析与解题技巧在解析指数与对数问题时，可以运用以下几个常见的解题技巧。
1. 化简。
将复杂的指数或对数式子化简为简单形式，以便于后续计算。
例如，将2⁴ × 2²化简为2⁶。
2. 转化。
将指数问题转化为对数问题，或将对数问题转化为指数问题，利用对数与指数的互逆关系求解。
例如，将2⁴ = 16转化为log216 = 4。
3.高中数学难点突破---指数与对数函数图像性质解题策略卷I（选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分，）1. y=a x+b+1(a>0)的图象经第一、三、四象限，则一定有（）A.a>1且b<1B.0<a<1且b<0C.0<a<1且b>0D.a>1且b<−22. 已知定义在R上的函数f(x)=2|x−m|−1（m为实数）为偶函数，记a=f(2−3)，b=f(3m)，c= f(log0.53)，则（）A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a3. 若关于x的方程|a x−1|＝2a(a>0, a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是（）A.(0, 1)∪(1, +∞)B.(0, 1)C.(1, +∞)D.(0, 12)4. 已知在同一坐标系下，指函数y=a x和y=b x的图象如图，则下列关系中正确的是（）A.a<b<1B.b<a<1C.a>b>1D.b>a>15. 已知函数f(x)=log a 1−mxx−1(a>0，且a≠1)在其定义域上是奇函数，则m=()A.1−32B.−1 C.−23D.−326. 已知函数f(x)=|x|+cos x，设a=f(20.3),b=f(0,32),c=f(log0.32)，则( )A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b7. 一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；低于500mg，病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么再向该病人的血液补充这种药的时间范围（精确到0.1ℎ）是( )（附：log 0.80.2=7.2，log 0.80.6=2.4，log 28=3；log 68=1.2） A.(2.4,7.2) B.(3,7.2) C.(1.2,3) D.(2.4,3)8. 若函数f(x)=log 2(x +1)且a >b >c >0，则f(a)a、f(b)b、f(c)c的大小关系是（ ）A.f(a)a>f(b)b >f(c)c B.f(c)c >f(b)b >f(a)aC.f(b)b>f(a)a>f(c)cD.f(a)a>f(c)c>f(b)b9. 设方程2−x =|lg x|的两个根为x 1，x 2，则下列关系正确的是（ ） A.0<x 1x 2<1 B.x 1x 2=1 C.x 1x 2>1 D.x 1x 2<010. 偶函数f(x)满足f(x +4)=f(x)，且f(x)={3x ，1<x <2log 3x ，0<x <1，设a =f(−9.3)，b =f(−2.8)，c =f(−7.3)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >c D.c >a >b11. 三个数70.2，0.35，ln 0.7的大小关系是（ ） A.70.2>0.35>ln 0.7 B.70.2>ln 0.7>0.35 C.0.35>ln 0.7>70.2 D.ln 0.7>0.35>70.212. 已知函数f(x)=|log a |x −1||(a >0, a ≠1)，若x 1<x 2<x 3<x 4，x 1x 2x 3x 4≠0且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，则x 1+x 2+x 3+x 4=( ) A.2B.4C.8D.随a 值变化卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ， ）13. 若函数f(x)=4x −m2x +1，存在x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)，则m 的取值范围为________．14. 若a >0,a 23=49，则log 23a =________．15. 方程lg x2=lg(4x−3)的解为________．16. 函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在区间[1, 2]上的最大值比最小值大a2，则a的值为________．17. 设α，β分别是关于x的方程log2x+x−4=0和2x+x−4=0的根，则α+β=________．18. 设函数f(x)=mx2009−2008⋅x3+x2，且f(−3)=−1992，则f(3)=________．三、解答题（本题共计 5 小题，每题 12 分，共计60分，）19. 已知函数f(x)=tan x，x∈(0,π2)，若x1，x2∈(0,π2)，且x1≠x2，tan x1+x22=sin(x1+x2)1+cos(x1+x2)，求证：1 2[f(x1)+f(x2)]>f(x1+x22).20. 已知f(x)=log4(4x+1)−kx(k∈R)为偶函数．（1）求k的值；（2）若函数f(x)与函数g(x)=log4(−a⋅2x−a)的图象有两个交点，求实数a的取值范围．21. 作出相应函数的图象（1）y=2x+1−1（2）y=x2−2|x|−322. 已知函数y=2|x|（1）作出其图象；（2）由图象指出单调区间；（3）由图象指出当x取何值时函数有最小值，最小值为多少？23. 已知函数f(x)是定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x．（1）求当x<0时，函数f(x)的表达式；（2）求满足f(x+1)<−1的x的取值范围；（3）已知对于任意的k∈N，不等式2k≥k+1恒成立，求证：函数f(x)的图象与直线y=x没有交点．参考答案与试题解析3.高中数学难点突破---指数与对数函数图像性质解题策略一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【解答】解：因为函数f(x)=a x+b+1(a>0且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，则根据指数函数的图象可知，a>1，当x=0时，y<0，即1+b+1<0，解得b<−2．故选：D．2.【解答】解：∵定义在R上的函数f(x)=2|x−m|−1（m为实数）为偶函数，∴f(−1)=f(1)，即2|−1−m|−1=2|1−m|−1，解得m=0，∴f(x)=2|x|−1在(0, +∞)单调递增，在(−∞, 0)单调递减，∵2−3=18∈(0, 1)，3m=1，|log0.53|=log23>1，∴f(2−3)<f(3m)<f(log0.53)，即a<b<c故选：A3.【解答】据题意，函数y＝|a x−1|(a>0, a≠1)的图象与直线y＝2a有两个不同的交点．a>1时0<a<1时由图知，0<2a<1，所以a∈(0, 12)，4.【解答】解：很显然a，b均大于1；且y=b x函数图象比y=a x变化趋势小，故b <a ，综上所述：a >b >1． 故选：C ． 5.【解答】解：∵ 函数f(x)=log a 1−mx x−1(a >0，且a ≠1)在其定义域上是奇函数，∴ f(−x)+f(x)=0，即log a 1+mx−x−1+log a 1−mx x−1=0∴1+mx −x−1×1−mx x−1=1∴ 1−m 2x 2=1−x 2 ∴ m 2=1 ∴ m =±1 当m =1时，1−mx x−1=−1，不合题意；当m =−1时，f(x)=log a 1+xx−1，符合题意故选B ． 6.【解答】解：由题意得，f(x)是偶函数， 所以f(log 0.32)=f(|log 0.32|) 当x >0时， f(x)=x +cos x ， f ′(x)=1−sin x ，当x >0时，f ′(x)≥0恒成立， 所以当x >0时，f(x)单调递增， 20.3>1，0<0.32<1，0<|log 0.32|<1 0.3−1=103，0.3−12>53，所以0.3−12<0.3log 0.32<0.3−1 所以−1<log 0.32<−12所以12<|log 0.32|<1，∵ 0.32=0.09<|log 0.32| ∴ 20.3>|log 0.32|>0.32 所以a >c >b ， 故选D . 7.【解答】解：设应在病人注射这种药x 小时后再向病人的血液补充这种药， 依题意，可得500<2500×(1−20%)x <1500， 整理，得 15<(45)x <35，∴ log 4535<x <log 4515，∴ 2.4<x <7.2. 故选A . 8.【解答】 解：由题意可得，f(a)a、f(b)b、f(c)c分别看作：函数f(x)=log 2(x +1)图象上的点(a, f(a))，(b, f(b))，(c, f(b))与原点连线的斜率， 结合图象可知当a >b >c 时，f(c)c>f(b)b>f(a)a.故选B .9.【解答】解：∵ 方程2−x =|lg x|的两个根为x 1和x 2，由题意知，0<x 1<1，x 2>1． 根据y =2−x 是减函数，可得2−x 1>2−x 2，即|lg x 1|>|lg x 2|， ∴ −lg x 1>lg x 2，∴ 1x 1>x 2，∴ 0<x 1x 2<1，故选A ． 10.【解答】解：由题意，a =f(−9, 3)=f(1.3)=31.3，b =f(−2.8)=f(1.2)=31.2，∴ a >b >0 c =f(−7.3)=f(0.7)=log 30.7<0， ∴ c <b <a ， 故选：A ． 11.【解答】解：∵ 70.2>1，0<0.35<1，ln 0.7<0， ∴ 70.2>0.35>ln 0.7， 故选：A ．12.【解答】解：函数f(x)=|log a |x −1||的图象如下图所示：有图可知，函数f(x)=|log a |x −1||的图象关于直线x =1对称， 又∵ x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)， 则x 1+x 2+x 3+x 4=4． 故选：B二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 13.【解答】解：令t =2x ，t >0，则y =f(x)=t 2−mt +1，若存在x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)，则存在t >0使t 2−mt +1=(1t )2−m 1t +1， 则m =t +1t ≥2√t ⋅1t =2， 故t 的取值范围为[2, +∞)， 故答案为：[2, +∞) 14.【解答】解：由a 23=49得a =(49)32=(23)3，所以log 23a =log 23(23)3=3故答案为：3 15.【解答】解：∵ lg x 2=lg (4x −3)， ∴ x 2=4x −3>0， ∴ x 24x +3=0，∴ x =3或x =1，经验证，均符合题意． ∴ 方程lg x 2=lg (4x −3)的解为1或3． 故答案为：1或3． 16.【解答】解：由题意可得：∵ 当a >1时，函数f(x)在区间[1, 2]上单调递增，∴f(2)−f(1)=a2−a=a2，解得a=0（舍去），或a=32．∵当0<a<1时，函数f(x)在区间[1, 2]上单调递减，∴f(1)−f(2)=a−a2=a2，解得a=0（舍去），或a=12．综上可得，a=32，或a=12．17.【解答】解：分别作出函数y=log2x，y=2x，y=4−x的图象，相交于点P，Q．∵log2α=4−α，2β=4−β．而y=log2x(x>0)与y=2x互为反函数，直线y=4−x与直线y=x互相垂直，∴点P与Q关于直线y=x对称．∴α=2β=4−β．∴α+β=4．故答案为：4．18.【解答】解：若令函数g(x)=mx2009−2008⋅x3，ℎ(x)=x2，则函数g(x)为奇函数，函数ℎ(x)为偶函数．由于f(−3)=g(−3)+ℎ(−3)=g(−3)+9=−1992，故g(−3)=−1992−9=−2001，所以f(3)=g(3)+ℎ(3)=−g(−3)+9=2010，故答案为：2010三、解答题（本题共计 5 小题，每题 12 分，共计60分）19.【解答】证明：要证明12[f(x1)+f(x2)]>f(x1+x22)，只需证12(tan x1+tan x2)>tan x1+x22，只需证12(sin x1cos x1+sin x2cos x2)>sin(x1+x2)1+cos(x1+x2)，只需证sin (x 1+x 2)2cos x 1cos x 2>sin (x 1+x 2)1+cos (x1+x 2).由于x 1，x 2∈(0,π2)， 故x 1+x 2∈(0,π)，所以cos x 1cos x 2>0，sin (x 1+x 2)>0， 1+cos (x 1+x 2)>0.即证1+cos (x 1+x 2)>2cos x 1cos x 2，即证1+cos x 1cos x 2−sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2， 即证cos (x 1−x 2)<1.由x 1，x 2∈(0,π2)，且x 1≠x 2，知上式显然成立. 因此12[f(x 1)+f(x 2)]>f(x 1+x 22).20.【解答】 解：（1）∵ f(x)=log 4(4x +1)−kx(k ∈R)为偶函数，∴ f(−x)=f(x)，即log 4(4−x +1)+kx =log 4(4x +1)−kx ，化简可得2kx =log 44x ，∴ 4x =42kx ，∴ 2k =1，∴ k =12． （2）若函数f(x)与函数g(x)=log 4(−a ⋅2x −a)的图象有两个交点， 则方程log 4(4x +1)−kx =log 4(−a ⋅2x −a)有2个实数根，即方程log 44x +14kx=log 4(−a ⋅2x −a)有2个实数根， 即4x +12x=−a ⋅2x −a 有2个实数根，即4x +1=−a ⋅22x −a ⋅2x 有2个实数根，即(1+a)22x +a ⋅2x +1=0有2个实数根．令t =2x ，则(1+a)t 2+at +1=0有2个正实数根， ∴ {△=a 2−4(1+a)>0t 1+t 2=−aa+1>0t 1⋅t 2=1a+1>0，求得−1<a <2−2√2．21.【解答】解：考虑由指数函数y =2x 得图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位 （2）y =x 2−2|x|−3={x 2−2x −3，x ≥0x 2+2x −3，x <0，结合二次函数的图象即可其图象如下图所示22.【解答】解：（1）函数y=2|x|的是偶函数，在(0, +∞)上是增函数，且它的图象经过点(0, 1)，它的图象关于y轴对称，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为(−∞, 0]，增区间为(0, +∞)．（3）数形结合可得，当x=0时，y miin=20=1．23.【解答】解：（1）当x<0时，则有−x>0，故f(−x)=log2(−x)=−f(x)，∴f(x)=−log2(−x)．------（2）由于f(x)={log2x(x>0)−log2(−x)(x<0)，∴f(x+1)={log2(x+1)(x+1>0)−log2[−(x+1)](x+1<0)={log2(x+1)(x>−1)−log2[−(x+1)](x<−1)，因为f(x+1)<−1，∴{x>−1log2(x+1)<−1，或{x<−1−log2[−(x+1)]<−1．解得x<−3，或−1<x<−12．----（3）根据对称性，只要证明函数f(x)的图象与直线y=x在x∈(0, +∞)上无交点即可．令x∈(0, +∞)，函数y1=log2x，y2=x，①当x∈(0, 1]时，y1≤0，y2>0，则y1<y2，②当x∈(2k，2k+1](k∈N)时，y1≤k+1，y2>2k≥k+1，则y1<y2，则在x∈(0, +∞)上直线y=x始终在y=log2x的图象之上方．综上所述，由于对称性可知，函数f(x)的图象与直线y=x没有交点．---------。
