下载文档原格式
插值的基本定义及应用插值是数学中的一种数值计算方法，用于根据给定的有限数据点，构造出一个函数，该函数在这些数据点上与原函数具有相同的性质。
基本上，插值问题可以总结为如何利用已知数据点来估计未知数据点的数值。
插值问题的基本定义是：给定一些已知的数据点，我们需要找到一个函数或曲线，使得这个函数或曲线通过这些已知的数据点，并且在这些点附近具有某种特定的性质。
具体而言，插值函数要满足以下两个条件：1. 插值函数通过已知的数据点，即对于给定的数据点(x_i, y_i)，插值函数f(x)满足f(x_i) = y_i。
2. 插值函数在已知的数据点之间具有某种连续性或平滑性。
这意味着在已知的数据点之间，插值函数f(x)的一阶导数、二阶导数或其他导数连续或平滑。
插值方法可以用于解决各种实际应用问题，例如：1. 数据重构：在一些实际应用中，我们只能获得有限的数据点，但是我们需要整个函数的完整数据。
通过插值方法，我们可以从这些有限的数据点中恢复出整个函数的形状，以满足我们的需求。
2. 函数逼近：有时候，我们需要找到一个与已知数据点非常接近的函数或曲线，以便在未知点处进行预测。
通过插值方法，我们可以构造出一个逼近函数，在已知数据点附近进行预测。
3. 数据平滑：在一些实际问题中，我们的数据可能受到噪声或误差的影响，从而产生不规则或不平滑的曲线。
通过插值方法，我们可以使用平滑的插值曲线来去除噪声或误差，从而得到更加平滑的数据。
4. 图像处理：在图像处理中，插值方法被广泛应用于图像的放大、缩小、旋转、变形等操作中。
通过插值方法，可以在图像上生成新的像素值，以获得更高的图像质量。
常见的插值方法包括：1. 线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在已知数据点之间是线性的。
线性插值的插值函数是一条直线，通过已知数据点的两个端点。
2. 拉格朗日插值：拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它通过一个n 次的多项式来插值n+1个已知数据点，保证插值函数通过这些已知数据点。
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点推断出未知数据点的值。
在实际问题中，往往会遇到数据点不连续或者缺失的情况，这时就需要通过插值法来填补这些数据点，以便更准确地进行计算和分析。
插值法的最简单计算公式是线性插值法。
线性插值法假设数据点之间的变化是线性的，通过已知的两个数据点来推断出中间的未知数据点的值。
其计算公式为：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，需要插值的点为x，其在(x0, x1)之间，且x0 < x < x1，插值公式为：y = y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)y为插值点x对应的值，y0和y1分别为已知数据点x0和x1对应的值。
通过这个线性插值公式，可以方便地计算出中间未知点的值。
举一个简单的例子来说明线性插值法的应用。
假设有一组数据点为(1, 2)和(3, 6)，现在需要插值得到x=2时的值。
根据线性插值公式，我们可以计算出：y = 2 + (6 - 2) * (2 - 1) / (3 - 1) = 2 + 4 * 1 / 2 = 2 + 2 = 4当x=2时，线性插值法得到的值为4。
通过这个简单的例子，可以看出线性插值法的计算公式的简单易懂，适用于很多实际问题中的插值计算。
除了线性插值法，还有其他更复杂的插值方法，如多项式插值、样条插值等，它们能够更精确地拟合数据并减小误差。
在一些简单的情况下，线性插值法已经足够满足需求，并且计算起来更加直观和方便。
在实际应用中，插值法经常用于图像处理、信号处理、数据分析等领域。
通过插值法，可以将不连续的数据点连接起来，填补缺失的数据，使得数据更加完整和连续，方便后续的处理和分析。
插值法是一种简单而有效的数值计算方法，其中线性插值法是最简单的计算公式之一。
通过这个简单的公式，可以方便地推断出未知数据点的值，并在实际应用中发挥重要作用。
计算方法插值函数的应用插值函数是一种用于根据已知数据点的位置和取值来推测在这些数据点之间的位置上的函数。
在数学和工程领域中，插值函数的应用非常广泛。
本文将介绍插值函数的应用以及其中一些常见的方法和技术。
插值函数的应用领域包括数值分析、计算机图形学、信号处理、地理信息系统等等。
在这些领域中，插值函数常常用于填补数据点之间的空缺，以便进行更准确的计算和分析。
首先，插值函数在数值分析中发挥着重要作用。
在数学计算和模拟中，数据往往是离散的，而实际问题往往需要连续的函数来描述。
插值函数可以通过已知的数据点来构造一个连续的函数，从而进行更精确的数值计算。
其次，插值函数在计算机图形学中也得到了广泛应用。
计算机图形学用于生成和处理图像、动画和图形等视觉数据。
通过插值函数，计算机可以根据已知的数据点来生成平滑的曲线和表面。
这在绘制图像、设计动画和进行形状建模等方面非常有用。
信号处理是另一个应用插值函数的领域。
信号处理是一个广泛的概念，涉及到音频、视频和图像等各种类型的信号。
在信号处理中，插值函数可以用来重建缺失的信号数据，填补噪声或断裂的信号，从而改进信号的质量和可视化。
地理信息系统(GIS)也是插值函数的主要应用领域之一、GIS是一个将地理空间数据与属性数据进行关联和分析的系统。
插值函数可以通过已知的地理数据点来推测未知位置的属性值，从而生成连续的地图表面。
这在地形建模、区域分析和资源管理等方面非常重要。
在插值函数的应用中，有几种常见的方法和技术。
最简单的方法是线性插值，即通过两个已知的数据点之间的直线来推测未知位置的值。
线性插值适用于数据变化相对简单的情况，但对于复杂的数据变化则不够准确。
更精确的插值方法包括多项式插值和样条插值。
多项式插值使用一个多项式函数来拟合通过已知数据点的曲线，从而生成一个连续的函数。
样条插值则利用分段函数来逼近已知的数据点，以获得更平滑和准确的结果。
最后，还有一些高级的插值技术，如径向基函数插值和Kriging插值。
插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是数值分析领域中常用的一种方法，它可以用来估计未知函数在给定点处的值。
插值法的基本思想是基于已知数据点，构建一个多项式函数来逼近未知函数的值。
在实际应用中，插值法常常被用来对离散数据进行平滑处理，或是用来预测未来的数据。
最简单的插值方法之一是线性插值法。
线性插值法假设未知函数在两个已知数据点之间是线性变化的，即可以通过这两个点之间的直线来估计未知函数在中间点处的值。
线性插值的计算公式如下：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，要估计中间点x处的函数值y，则线性插值公式为：\[y = y0 + \frac{x - x0}{x1 - x0} * (y1 - y0)\]这个公式的推导比较简单，可以通过代入已知数据点计算出来。
如果已知数据点为(0, 1)和(2, 3)，要估计在x=1处的函数值，根据线性插值公式，计算如下：在x=1处的函数值为2。
线性插值法的优点是简单易懂，计算速度快，并且可以比较精确地估计函数值。
但是线性插值法的精度受限于已知数据点之间的线性关系，如果函数在两个数据点之间发生了急剧变化，线性插值法可能无法准确估计函数值。
除了线性插值法，还有许多其他更复杂的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等。
这些方法在不同的情况下可以提供更精确的函数估计值，但也需要更复杂的计算步骤。
插值法是一种常用的数值分析方法，可以帮助我们更好地处理数据和预测未知函数的值。
在实际应用中，可以根据具体情况选取合适的插值方法来进行计算。
第二篇示例：插值法是一种用于估算未知数值的方法，它基于已知数据点之间的关系进行推断。
在实际应用中，插值法经常用于数据处理、图像处理、数学建模和预测等领域。
插值法的计算公式通常比较复杂，但是我们可以通过简化的方式来理解和计算插值结果。
最简单的插值方法之一是线性插值法。
在线性插值法中，我们假设已知数据点之间的关系是线性的，然后通过线性方程来估算未知点的数值。
《计算机数学基础(2)》辅导第9章 数值分析中的误差 (2002级(秋季)用) 中央电大 冯 泰 《计算机数学基础》是中央广播电视大学开放本科教育计算机科学与技术专业教学中重要的核心基础课程，它是学习专业理论不可少的数学工具. 通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法以及计算机上常用数值分析的构造思想和计算方法. 同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力.本学期讲授数值分析部分，包括数值分析中的误差、线性方程组的数值解法、函数插值和最小二乘拟合、数值积分与微分、方程求根和常微分方程的数值解法. 通过本课程的学习，使学生熟悉数值计算方法的基本原理，掌握常见数值计算的方法. 依据教学大纲，我们对本学期的教学内容，逐章进行辅导，供师生学习参考.第9章 数值分析中的误差一、重点内容绝对误差－设精确值x *的近似值x ， 差e =x －x *称为近似值x 的绝对误差(误差). 绝对误差限―绝对误差限ε是绝对误差e 绝对值的一个上界，即ε≤-=*x x e . 相对误差e r ―绝对误差e 与精确值x *的比值，***-==xx x xe e r .常用xe e r =计算.相对误差限r ε―相对误差e r 绝对值的一个上界，r r e ≥ε，常用xε计算.绝对误差限的估计式：)()()(2121x x x x εεε+=±)()()(122121x x x x x x εεε+≈22122121+=x x x x x x x )()()(εεε相对误差限的估计式：⎪⎪⎭⎫⎝⎛≠-±±≤±21212212121121)()()(x x x x x x x x x x x x x x r r r 时εεε112221)()()(x x x x x x r r r εεε+≤，221121)()()(x x x x x x r r r εεε+≤有效数字―如果近似值x 的绝对误差限ε是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字.关于有效数字的结论有： (1)设精确值x *的近似值x ，若mn a a a x 10.021⨯±=a 1,a 2,…,a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0，n l x x l m ≤≤110⨯50=≤--,.*ε 则x 有l 位有效数字.(2)设近似值mn a a a x 10.021⨯±= 有l 位有效数字，则其相对误差限111021+-⨯≤l r a ε(3) 设近似值m n a a a x 10.021⨯±= 的相对误差限不大于1110)1(21+-⨯+l a则它至少有l 位有效数字.(4) 要求精确到10－k(k 为正整数)，则该数的近似值应保留k 位小数. 二、实例例1 设x *= π=3.1415926…，求x *的近似值及有效数字.解 若取x *的近似值x =3.14＝0.314×101, 即m =1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有31105.06592001.0-*⨯≤=- x x ，即l =3，故近似值x =3.14有3位有效数字．或x ＝3.14的绝对误差限0.005，它是x *的小数后第2位的半个单位，故近似值x =3.14准确到小数点后第2位，有3位有效数字． 若取近似值x =3.1416，绝对误差是0.0000074…，有5-1*10⨯50≤00000740=-.. x x ，即m =1,l ＝5，故近似值x =3.1416有5位有效数字．或x ＝3.1416的绝对误差限0.00005，它是x *的小数后第4位的半个单位，故近似值x =3.1416准确到小数点后第4位，亦即有4位有效数字．若取近似值x =3.1415，绝对误差是0.0000926…，有 0000926.0=-*x x 41105.0-⨯≤，即m =1,l ＝4，故近似值x =3.1415只有4位有效数字．或x ＝3.1415的绝对误差限0.0005，它是x *的小数后第3位的半个单位，故近似值x =3.1415准确到小数点后第3位．注意：这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字．若末位数不是四舍五入得到的，那末它就不一定有s 位有效数字，必须用其绝对误差限来确定．绝对误差限是哪一位的半个单位，也就是精确到该位，从而确定有效数字． 例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00解 因为x 1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×101―5，即m =1,l =5,故x =2.000 4有5位有效数字. a 1=2，相对误差限025000.01021511=⨯⨯=-a r εx 2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m =－2，l =3，x 2=－0.002 00有3位有效数字. a 1=2，相对误差限εr =3110221-⨯⨯=0.002 5x 3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m =4, l =4, x 3=9 000有4位有效数字，a =9，相对误差限εr ＝4110921-⨯＝0.000 056x 4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m =4，l =6，x 4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr ＝6110921-⨯＝0.000 000 56由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解 精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.693例4 数值x *＝2.197224577…的六位有效数字的近似值x =2.19722，而不是2.19723．注意：取一个数的近似数，若取5位有效数字，则只看该数第6位数，采取四舍五入的方法处理．与第7位，第8位的数值大小无关．本例取6位有效数字，左起第6个数是2，而第7个数是4，故应舍去，得到x=2.19722．本例第8个数，第9个数都是大于或等于5的数，再入上去，就得到x=2.19723，是不对的． 我们计算一下它们的误差． 取x=2.19722，e=x －x*=－0.000 004 577…，∣e ∣=∣x －x*∣=0.000 004 577…<0.000 005=0.5×101－6取x=2.19723，e=x －x*=0.000 005 423…，∣e ∣=∣x －x*∣=0.000 005 423…<0.000 05=0.5×101－5 即x=2.19723只有五位有效数字． 例5 设近似值x 1,x 2满足ε(x 1)=0.05，ε(x 2)=0.005，那么ε(x 1x 2)=？解 已知x 1,x 2的绝对误差限，求x 1x 2的绝对误差限．由绝对误差限的传播公式)()()(211221x x x x x x εεε+=＝1221005.005.0)(x x x x +=ε注：该传播公式也可以用于多个数的积， 213312321321)()()()(x x x x x x x x x x x x εεεε++=)(3)(),(2)(232x x x x x x εεεε==等．三、练习题1.下列各数中，绝对误差限为0.000 05的有效近似数是( B ) (A)－2.180 (B) 2.1200 (C) －123.000 (D) 2.120 2. 数8.000033的5位有效数字的近似值是多少？ 答案：8.000 03. 若误差限为0.5×10－5，那么近似数0.003400有( B )位有效数字. (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 64. 若近似值x 的绝对误差限为ε＝0.5×10－2，那么以下有4位有效数字的x 值是( B ).(A) 0.934 4 (B) 9.344 (C) 93.44 (D)934.4 5. 已知准确值x *与其有t 位有效数字的近似值x ＝0.0a 1a 2…a n ×10s (a 1≠0)的绝对误差∣x *－x ∣≤( A )． (A) 0.5×10 s －1－t (B) 0.5×10 s －t (C) 0.5×10s ＋1－t (D) 0.5×10 s ＋t6. 已知x *1=x 1±0.5×10－3，x *2=x 2±0.5×10－2，那么近似值x 1，x 2之差的误差限是多少？答案：0.55×10－2． 7. 设近似值x =－9.73421的相对误差限是0.0005，则x 至少有几位有效数字． 答案：38. 用四舍五入的方法得到近似值x =0.0514，那么x 的绝对误差限和相对误差限各是几？ 答案：0.000 05，0.0019. 设近似值x 1,x 2满足ε(x 1)=0.05，ε(x 2)=0.005，那么ε(x 1+x 2)=？ 答案：0.05510. 设近似值x =±0.a 1a 2…a n ×10m ，具有l 位有效数字，则其相对误差限为( B )．(A) 1110121+-⨯+l a (B)1110)1(21+-⨯+l a(C)111021+-⨯l a (D) la -⨯1021111. 测量长度为x =10m 的正方形，若ε(x )＝0.05m ，则该正方形的面积S 的绝对误差限是多少？答案：1(m)12.数值x*＝2.197224577…的六位有效数字的近似值x=( B ).(A) 2.19723 (B) 2.19722 (C) 2.19720 (D) 2.19722513. 将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差. (1) 2.1514 (2) －392.85 (3) 0.00392214. 已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：(1) 13267 e r=0.1% (2) 0.896 e r=10%四、练习题答案1. B2. 8.000 03. B4. B .5. A6. 0.55×10－2．7. 38. 0.000 05，0.0019. 0.05510. B11. 1(m)12. B13. (1)2.15, e=－0.001 4, e r=－0.000 65；(2) －393 , e=－0.15, e r=－0.00038；(3)0.00392, e=－0.000 002, e r=0.0005114. (1) e=0.13×102 (2) 0.9×10－1。
《计算机数学基础(2)》辅导)第11章 函数插值与最小二乘拟合(2002级(秋季)用) 中央电大 冯 泰 第11章 函数插值与最小二乘拟合一、重点内容 函数插值已知函数f (x )的函数值y k =f (x k ),k =0,1,2,…,n ．构造一个多项式P (x )，使得P (x k )=y k .f (x )≈P (x )．P (x )称插值多项式，f (x )是被插函数，x k 是插值节点．误差R (x )=f (x )－P (x ).拉格朗日插值多项式 用n 次多项式P n (x )=y 0l 0(x )+y 1l 1(x )+…+y n l n (x )=∑=nk k k x l y 0)(逼近函数f (x )，即f (x )≈P n (x )，且满足 P n (x k )=y k (k =0,1,2…,n ).其中基函数))...()()...()(())...()()...()(()(11101110n kk k k k k k n k k i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=+-+- (k =0,1,2,…，n )当n =1时，线性插值 P 1(x )=y 0 l 0(x )+y 1l 1(x ) 其中基函数1010x x x x l --= ,0101)(x x x x x l --=．当n =2时，就是二次插值，.二次多项式P 2(x )=y k －1l k －1+y k l k +y k +1l k +1其中基函数))(())(()(11111+--+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l))(())(()(1111+-+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l ))(())(()(11111k k k k k k k x x x x x x x x x l ----=+-+-+拉格朗日插值多项式的余项为)()!()()()()()(x n fx P x f x R n n n n 1+1+1+=-=ωξ其中),(b a ∈ξ，))...()()(()(2101n n x x x x x x x x x ----=+ω 注意：过n +1个互异节点，所得插值多项式应该是次数不超过n 的多项式．均差与牛顿插值多项式函数值之差与自变量之差的商就是均差．一阶均差 101010--=x x x f x f x x f )()(),(二阶均差 202110210--=x x x x f x x f x x x f ),(),(),,(… … … …n 阶均差 nn n n x x x x x f x x x f x x x x f --=-021110210),...,,(),...,,(),...,,,(均差有两条常用性质：(1) 均差用函数值y k 的线性组合表示；即f (x 0,x 1,x 2,…,x n )=∑=+------nk n k k k k k k k kx x x x x x x x x x y 01110))...()()...()(((2)均差与插值节点顺序无关(对称性).n 阶均差与导数的关系为：)),((!)(),...,,,()(210b a n fx x x x f n n ∈=ξξ以均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式，为 N n (x )= f (x 0)＋f (x 0,x 1)(x －x 0)＋f (x 0,x 1,x 2)(x －x 0)(x －x 1)＋…＋f (x 0,x 1,x 2,…,x n )(x －x 0)(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n －1) 牛顿插值多项式的余项为 R n (x )=f (x )－N n (x )=f (x ,x 0,x 1,x 2,…,x n )(x －x 0)(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n －1)(x －x n ) =)(),...,,,(110x x x x x f n n +ω分段线性插值用分点a =x 0<x 1<…<x n =b 将区间[a ,b ]分成n 个子区间[x k , x k +1](k =0,1,…,n －1)．在子区间[x k , x k +1]上用一次多项式Q k (x )近似函数y =f (x )，将Q k (x )(k =0,1,…,n )组合在一起，得到[a ,b ]上的折线形式的函数P (x )，它满足：(1)P (x )在[a ,b ]上连续；(2) P (x k )=y k (k =0,1,2,…,n )；(3)P (x )在子区间[x k ,x k +1]上是线性函数．P (x )为分段线性插值函数：∑==ni i i x l y x P 1)()(其中l k (x )(k =0,1,2,…,n )是分段线性插值基函数，具体写出为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤0≤≤--=1101010n x x x x x x x x x x x l )(l i (x )=)1,...,2,1(,0110111111-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤--≤≤--+-+++---n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n i i i i i i i ii i iil n (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤01-1-1-1-0nn n nn n x x x xx x x x x x)()()(b x a x P x f ≤≤≈三次样条插值函数 用分点a =x 0<x 1<…<x n =b 将区间[a ,b ]分成n 个子区间[x k , x k +1](k =0,1,…,n －1)．构造三次样条函数S (x )：(1) 在区间[a ,b ]上有二阶连续导数；(2)满足S (x k )=y k (k =0,1,…,n )；(3)在子区间[x k , x k +1]上是三次多项式． 最小二乘法 用ϕ(x )拟合n 对数据(x k ,y k ) (k =1,2,…,n )，使得误差平方和∑=-nk k kx y12)]([ϕ最小，求ϕ(x )的方法，称为最小二乘法． (1) 直线拟合 若x a a x y 10+==)(ϕ，a 0,a 1满足法方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====nk kknk k n k k nk k n k k y xa x a x y a x na 1112011110)()()(即a 0, a 1是法方程组的解．(2) 二次多项式拟合 若2102210++==a a a x a x a a x y ,,,)(ϕ满足法方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++21=1=421=311=201=1=321=211=01=1=221=10∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑kn k k n k k n k k n k k k nk k n k k n k k n k k nk kn k k n k k x y x a x a x a x y x a x a x a y x a x a na即a 0, a 1，a 2是法方程组的解.．二、实例例1试用二次插值计算f (11.75)(计算过程保留4位小数)．解 因为11.75更接近12，故应取11，12，13三点作二次插值．先作插值基函数．已知x 0=11,y 0=2.397 9，x 1=12,y 0=2.484 9 ，x 2=13,y 2=2.564 9 2)13)(12())(())(()(2010210--=----=x x x x x x x x x x x l 1)13)(11())(())(()(2101201---=----=x x x x x x x x x x x l2)12)(11())(())(()(1202102--=----=x x x x x x x x x x x lP 2(x )=9484.21)13)(11(9397.22)13)(12(⨯---⨯--x x x x9564.22)12)(11(⨯--+x xf (11.75)≈P 2(11.75)=9484.21)135.11)(1175.11(9397.22)1375.11)(1275.11(⨯---⨯--9564.22)1275.11)(1175.11(⨯--+=2.463 8注：若用线性插值，因为所求点x ＝11.75在11与12之间，故应取x =11,x =12作线性插值合适．在作函数插值时，应根据要求，使所求位于所取的中央为好，任意取点一般近似的效果差些．例2 设))...()(())...()(()(02010210n n x x x x x x x x x x x x x l ------=是以节点x 0,x 1,…,x n 为插值点的拉格朗日插值基函数，试证明))...()(())...()((...))(())((1)(020101102010101000n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ------++----+--+=-证明 求l 0(x )的各阶均差． ),...,2,1(0)(,1)(000n k x l x l k ===一阶均差：10101010********)()(),(x x x x x x x l x l x x l -=--=--=)1,...,2,1(000)()(),(010-==--=--=+n i x x x x x l x l x x l ji ji j i i i二阶均差：))((1))((01),(),(),,(201020103021********x x x x x x x x x x x x l x x l x x x l --=---=--=)2,...,2,1(0))((00),(),(),,(2122110210-==---=--=++++++++n i x x x x x x x x l x x l x x x l i i i i i i i i i i i i i 类似地，有))()((1),,,(3201032100x x x x x x x x x x l ---=，)3,...,2,1(0),,,(3210-==+++n i x x x x l i i i i…… ……))...()((1),...,,(020102100n n x x x x x x x x x x l ---=做l 0(x )的牛顿插值多项式))...()(())...()((...))(())((1)(020101102010101000nn x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ------++----+--+=-注：求各阶均差列表更好．例3 设n x x x x ,...,,,210是n +1个互异的插值节点，),...,,,)((n k x l k 210=是拉格朗日插值基函数，证明： 1≡∑0=nk k x l )(证明 P n (x )=y 0l 0(x )+y 1l 1(x )+…+y n l n (x )=∑=nk k k x l y 0)()()()(),()!()()()(x R x P x f x n fx R n n n n n +=∴1+=1+1+ωξ当f (x )≡1时，1＝)()!()()()()()(x n fx lx R x P n n kk kn n 1+1+0=1++⨯1=+∑ωξ由于0=1+)()(x f n ，故有1≡∑0=nk k x l )(例－x的下 列数据用分段线性插值法求x =0.2的近似值.．解 用分段线性插值，先求分段线性插值基函数.⎪⎩⎪⎨⎧300≤≤1500150≤≤10020-3=050-150-=0......)(x x x x x l⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧300≤≤2500250≤≤15010-52=100-250-150≤≤1002-20=050100-=1...........)(x x x x x x x x l⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧0300≤≤25020-6=050-300-250≤≤15051-10=100015-150≤≤1000=2..........)(x x x x x x x x l⎪⎩⎪⎨⎧300≤≤2505-20=050250-250≤≤1000=3......)(x x x x x l所求分段线性插值函数为⎪⎩⎪⎨⎧300≤≤2507169680+667590-250≤≤1505699830+078190-150≤≤1000959930+588820-==∑3=............)()(x x x x x x x l y x P k k k 所以，e －0.2=P (0.2)=－0.819 07×0.2+0.983 569=0.819 755例5试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)．解 设直线y ＝a 0+a 1x ，那么a 0,a 1满足的法方程组公式为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑kk k k k k y x x a x a y x a n a 21010代入数据，经计算得到法方程组为⎩⎨⎧=+=+25.1615.9022402261010a a a a解得a 0=1.229 a 1=1.483所求直线方程为 y =1.229+1.483x 例6选择填空题 1. 设y =f (x ), 只要x 0,x 1,x 2是互不相同的3个值，那么满足P (x k )=y k (k =0,1,2)的f (x )的插值多项式P (x )是 (就唯一性回答问题)． 答案：唯一的．解答：因为过3个互异节点，插值多项式是不超过2次的． 设P (x )=a 2x 2+a 1x +a 0, 其中a 2,a 1,a 0是待定数.已知条件P (x k )=y k , 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++202122210112120001202y a x a x a y a x a x a y a x a x a这是关于a 2,a 1,a 0的线性方程组.因为系数行列式0≠---=11112020122212102))()((x x x x x x x x x x x x 根据线性代数中的克莱默法则，线性方程组的解唯一.所以，不超过2次的多项式P (x )=a 2x 2+a 1x +a 0是唯一的． 因为系数a 2,a 1,a 0可以为0，因此多项式是不超过2次的．如过互异节点(1,5),(2,5),(3,5)，那么所作的插值多项式就是一个0次多项式P 0(x )=5；若过互异节点(1,5),(2,7),(3,9)，则所作插值多项式是一次的P (x )＝2x +3．2.通过四个互异节点的插值多项式P (x )，只要满足( ), 则P (x )是不超过一次的多项式. (A) 初始值y 0=0 (B) 所有一阶均差为0 (C) 所有二阶均差为0 (D) 所有三阶均差为0 答案：(C)解答：因为所有二阶均差为0，那么三阶均差必为0，则牛顿插值多项式为N (x )=f (x 0)+f (x 0,x 1)(x －x 0) 它是不超过一次的多项式.3. 满足f (0)=0,f (1)=0,f (2)=0及二阶导数条件的三次样条函数S (x )为( )(A) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-+-∈+-]2,1[151415271516153]1,0[152615112323x x x x x x x x(B) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-+-∈++-]2,1[151415271516153]1,0[1152615112323x x x x x x x x(C) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-+-∈-]2,1[151415271516153]1,0[151115112323x x x x x x x(D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-+-∈-]2,1[151415271516153]1,0[15261511232x x x x x x x答案：(A)解答：显然选项(B)不成立，因为S (0)=1≠0． 容易验证，S (0)=S (1)=S (2)=0，又S "(1－)＝S "(1+)=1514．所以，选项(A)正确．选项(D)中，S (1－)＝0115261511≠-=-，故选项(D)错误．在选项(C)中，S "(1－)=15442151161511=⨯-⨯≠S "(1+)=1514215166153=⨯+⨯-，故选项(C)错误．4. 数据拟合的直线方程为y =a 0+a 1x ，如果记y x n y xl x n xl y ny x nx nk k kxy nk kxx n k k nk k-=-=1=1=∑∑∑∑1=21=21=1=,,,那么常数a 0,a 1满足的方程组是( )(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1010xyxx l a l a x y a x na (B)⎪⎩⎪⎨⎧-==101xa y a l l a xx xy(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1010xy xx l a l a x n yx a a (D)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1010xyxx l a l a x yx a a答案：(B)解答：因为法方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====nk kknk k nk k nk k n k k y xa x a x y a x na 1112011110)()()(由第1个方程得到x a y xna y na nk knk k 11=11=0-=1-1=∑∑，将其代入第2个方程得到∑∑1=11=21=+-nk k knk ky xa x x a y x n )()(整理得 y x n y x x n x a nk k k nk k-=-∑∑1=21=21)(，即xxxy xy xx l l a l l a =∴=11,故(B ).正确．三、练习题 1. 过(x 0,y 0),(x 1,y 1)两点的线性插值基函数l 0(x 0),l 1(x 1)满足( ) (A) l 0(x 0)＝1, l 1(x 0)=1 (B) l 0(x 1)=0,l 1(x 1)=0(C) l 0(x 0)=1, l 1(x 1)=1 (D) l 0(x 0)=0, l 1(x 1)=02. 已知函数y =f (x ), 过点(2,5),(5,9),那么f (x )的线性插值多项式的基函数为 ．3. 已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则f (x 0,x 1,…, x n )=( )(A) ∑=nk k k y x l 0)( (B) ∑='n k kk kx l y 0)((C)∑=nk kkxy 0)(ω (D)∑='nk kkxy 0)(ω4. 已知y =f (x )的定义域内的三个点x 1=1,x 2=2,x 3=4，和均差f (x 1,x 2)=3, f (x 2,x 3)=6，那么f (x 1,x 2,x 3)=( ).(A) 2 (B)3 (C) 1 (D) －15. 已知函数f (0.4)=0.411, f (0.5)=0.578 , f (0.6)=0.697，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式x 2的系数是 .6.已知四对互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1), (x 2,y 2), (x 3,y 3)以及各阶均差f (x 0)=12,f (x 0,x 1)=－2, f (x 0,x 1,x 2)=3, f (x 0,x 1,x 2,x 3)=0．则过这些点的牛顿插值多项式N (x )= ．7. 已知多项式P (x )，过点(0,0),(2,8),(4,64),(11,1331),(15,3375),它的3阶均差为常数1，一阶，二阶均差均不为0，那么P (x )是( )(A) 二次多项式 (B) 不超过二次的多项式(C) 3次多项式 (D) 四次多项式8. 用ϕ(x )拟合数据(x 1,y 1), (x 2,y 2),…, (x n ,y n )的最小二乘法是选择ϕ(x )使 最小. 9. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P (x )=( )(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+3210320123x x x x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32103201232x x x x(C) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤-3210320123x x x x (D) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32420123x x x x10. 以下命题正确的是( )．(A) 过n +1个互异节点的牛顿插值多项式最高次幂的系数为f (x 0,x 1,…,x n )(此项不为0时) (B) 过节点(x 0,y 0)，(x 1,y 1)，…，(x n ,y n )(n >3)，则均差f (x 3,x 0,x 4)≠f (x 4,x 0,x 3) (C) 过n +1个互异节点的拉格朗日插值多项式一定是n 次多项式 (D) 三次样条函数S (x )在每个子区间上是不超过3次的多项式11. 分段线性插值就是将函数f (x )的定义域[a ,b ]用分点a =x 0,x 1,…,x n =b 分割，求一个函数P (x )在[a ,b ]上连续且在每个子区间[x k ,x k +1]上线性的，还要满足12. 用直线y =a 0+a 1x 拟合数据(x 1,y 1), (x 2,y 2),…, (x n ,y n )，确定参数a 0, a 1的最小二乘法a 0,a 1满足的法方程组是 ．13. 求过三个点 (0,1), (1,2), (2,3)的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式． 14. 试推导线性拟合常数a 1, a 0和二次拟合常数a 2,a 1,a 0满足的法方程组.．15. 已知函数值f (0)=6，f (1)=10，f (3)=46，f (4)=82，f (6)=212，求函数的四阶均差f (0,1,3,4,6)和二阶均差f (4，1，3)．16. 测得(x ,y )的五对数据如下：(19.1,76.30), (25.0,77.80),(30.1,79.25),(36.0,80.80),(40.0,80.25)试用这组数据求关于x 与y 的拟合直线．计算过程中保留3位小数.四、练习题答案1. C2.32-3-5-x x ,． 3. D4. C5. －2.46. ))((3)(212100x x x x x x --+-- ．7. C8. ∑=-nk k kx y12))((ϕ9. A 10. A11. P (x k )=f (x k ),k =0,1,2,…,n12. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑====iini i ni i ni in i i y xa x a x y a x na 112011110)()()(．13. 拉格朗日插值多项式：x +1．x 0=0,y 0=1, x 1=1,y 1=2, x 2=2,y 2=3；f (x 0,x 1)=1，f (x 1,x 2)=1； f (x 0,x 1，x 2)=0，于是牛顿插值多项式：N (x )=f (x 0)+f (x 0,x 1)(x －x 0)+ f (x 0,x 1,x 2)(x －x 0)(x －x 1)＝1＋(x －0)=x +1 14. 见教材有关的公式推导． 15. f (0,1,3,4,6)=151， f (4, 1, 3)=616. y =70.739+0.285x。
