基于径向基函数插值的船体曲面修改方法研究

５４卷第４期（总第２０７期）　中　国　造　船　２０１３年１２月　ｓＨＩＰＢｕＩＬＤＩＮＧ　ＯＦ　ＣＨＩＮＡ　Ｖ０１．５４　Ｎｏ．４（ＳｅｆｉａｌＮｏ．２０７）　

Ｄｅｃ．２０１３　

文章编号：１０００—４８８２（２０１３）０４．００４５—１０　

基于径向基函数插值的船体曲面修改方法研究　

沈通　，冯佰威　，刘祖源　，常海超　（１．武汉理工大学高性能船舶技术教育部重点实验室，武汉４３００６３　２．武汉理工大学交通学院，武汉４３００６３）　

摘　要　将船体曲面的ＮＵＩ　Ｓ表达与径向基函数插值技术相结合，实现了船体曲面的三维自动变形。重点阐述了　径向基函数插值技术的基本原理及其应用于船体曲面变形的过程。最后，以国际标模ＫＣＳ船为例完成了船艏、　艉部曲面的自动变形。研究结果表明：基于径向基函数插值技术的船体曲面修改方法适用于船型优化，符合　工程实际的需要。　

关　键　词：径向基函数插值；船体曲面自动修改；船型优化　中图分类号：６６１．３１　文献标识码：Ａ　

０引　言　船体曲面的修改是实现船型优化的前提条件，是连接优化算法与船舶性能评估之间的纽带，决定　了船型优化问题的设计空间大小。船体曲面的修改方法是国内外船型优化领域研究的重点ＬＪ　Ｊ。　目前，船体曲面的修改方法主要分为以下两类：一类是基于母型的方法，如融合方法，它是基于　多个不同母型进行内插值来生成新的船型，通过调整融合参数来生成不同的船型。Ｔａｈａｒａ．ＹＬ２　首次将该　方法应用到船型优化中，成功完成了某条油船的型线优化。冯佰威等Ｌ３Ｊ使用融合方法对１３００ＴＥＵ集装箱　船进行了球首部分的优化。这种方法能在母型光顺的条件下，保证生成的新船型也光顺，很适用于局　部变换。缺点是为了产生满足要求的船型，对母型船的数量有一定需求。　另一类是直接修改控制顶点坐标的方法。主要包括Ｂｅｚｉｅｒ　Ｐａｔｃｈ方法和自由变形法。Ｂｅｚｉｅｒ　Ｐａｔｃｈ方　法在初始船体局部叠加一片或多片Ｂｅｚｉｅｒ曲面，通过调整Ｂｅｚｉｅｒ曲面的控制顶点，实现对原始船型的扰　动，达到修改船型的目的。意大利罗马水池的Ｐｅｒｉ．Ｄ等【４　Ｊ使用３个不同方向的Ｂｅｚｉｅｒ曲面叠加到标模　ＤＴＭＢ５４１５的艏部来实现修改，并将该方法应用于船型的兴波阻力性能优化中。李胜忠等Ｌ５Ｊ运用该方法，　对６６００ＤＷＴ散货船的总阻力进行了优化。但该方法主要适用于局部修改，随着设计变量的增加，常导　致优化无法进行。另一种方法是自由变形法，即先将船模网格化，再将网格化的船模装入正方体中，　建立船上网格点与正方形控制顶点间的映射关系，通过移动正方形上的控制点就可以达到船体曲面变　形的目的。Ｐｅｒｉ．Ｄ等［６１采用自由变形法在船型参数化表达的基础上，实现船体几何重构，对多体船进行　了多目标优化设计。李胜忠等【　７】采用自由变形方法对４４６００ＤＷＴ散货船进行优化，以总阻力最小和桨盘　

收稿日期：２０１３．０２．２７；修改稿收稿日期：２０１３．１２—０９　基金项目：国家自然科学基金重点项目（５１０３９００６）：国家自然科学基金项目（５１２７９１４７）；国家自然科学基金项目（５１１７９１４３）；高等学　校博士学科点专项科研基金（２Ｏｌ００ｌ４３ｌ１００ｌ０）；武汉理工大学自主创新研究基金本科生项目（１２６８０２０１２）　中　国　造　船　学术论文　面处流场质量为目标，获得多个优解，并进行了相互之间的比较。　以上两类方法大体上都是以母型船的ＮＵＲＢＳ￣ｏｎ－Ｕｎｉｆｏｒｍ　Ｒａｔｉｏｎａｌ　Ｂ．Ｓｐｌｉｎｅｓ）控制顶点为设计参量　实现船体曲面变形的。本文以船体曲面的ＮＵＲＢＳ表达为基础，重点开展利用径向基函数进行船体曲面　修改研究。国外在使用径向基函数修改船体曲面的研究上已取得一定进展，并在船型优化中得到成功　运用。Ｃ．Ｙａｎｇ￥￣Ｈ．ＫｉｍＩｓ￣利用径向基函数插值技术对ＫＣｓ标模进行变形，分别在Ｆｎ＝Ｏ．２２、０．２６和０。３２＝　个速度下对ＫＣＳ船的舯前部进行了阻力性能优化。国内造船领域在这方面的研究甚少。　

ｌ径向基函数及其插值技术　１．１径向基函数　径向基函数（Ｒａｄｉａｌ　Ｂａｓｉｓ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ＲＢｒ）指某种沿径向对称的标量函数，通常定义为空间中任一点　到某一中心　之间欧氏距离的函数。各基函数的形式为　

￣（１ｌｘ－ｘ，ｌ１）　１．２…．．ｎ　是函数的中心。　以输入空Ｉ司的点　与　中心的距离为自变量，故称为径向基函数。　径向基函数插值的最基本形式是【　：对给定的多元散乱数据｛Ｘｉ　）　。∈Ｒ　×尺，选取径向函数　：足　，利用平移构造基函数系｛　（Ｉ　一Ｘ。　ｍ并寻找插值函数　（　），形如：　

（　）＝∑　（１Ｉ　一　ＩＩ）　ｉ＝１　满足：　

记：　（　）＝　，ｉ＝１，２，．．．，ｍ　

ｒ＝（　，　，…　）　

Ｔ（Ｘ）＝（￣（１ｌｘ－ｘ　ＩＩ）’￣（１ｌｘ－ｘ：　一￣（１ｌｘ—Ｘ　【１））　ａＴ＝（ｑ，ａ２…．ａ，Ａ　Ａ＝ｃｏ＜ｌｌｘ，一　『Ｉ））　如果Ａ非奇，那么上式可写成：　Ｓ（ｘ）＝　ＴＡ　ｆ　上述插值问题对于任意数据点集｛Ｘｉ，　｝　ｌ∈Ｒ”ｘＲ，当｛　）　ｍ两两互不相同时有唯一解的必要条　件是：对称矩阵Ａ都是非奇异的。如果径向函数是连续的，并且　（ｏ０）＝０，则关于径向基函数插值问　题的如下定理以及判定条件成立［　。］：　连续函数　满足ｒ　０（３，　＝０，那么对于如上　元的径向基函数插值问题总存在唯一解的条　件是：矩阵　是正定的。　５４卷第４期（总第２０７期）　沈通，等：基于径向基函数插值的船体曲面修改方法研究　４７　１．２插值方程的建立　将以下形式的插值函数用于船体曲面修改：　

（ｘ）＝∑　（１Ｊ　—ｘ』ｌ】）＋ｐ（　）　（１）　ｉ＝１　易证明这是一个插值函数㈣。其中　（　表示控制点Ｘ＝（　，Ｙ，ｚ）在船体曲面上移动的距离，　ｐ（　是低阶多项式，具体形式是：　

ｐ（　）＝ｃＩ　＋ｃ２　＋ｃ　ｚ＋ｃ４　是控制点的个数，ＩＩ　一　ＩＪ表示两点之间的欧氏距离，　是给定的基函数。方程中的系数　，Ｃｉ由　控制点坐标的变化得到：　（　）＝　，江ｌ，２　．，ｎ　式中　表示控制点坐标的变化量。将　个控制点移动前后的坐标带入上式，再联立权重系数满足正交　性质的约束条件：　

可以得到如下形式的矩阵：　式中：　＝［　，　…．，　］Ｔ，ｃ＝［ｃｌ，Ｃ２，ｃ３，Ｃ４］Ｔ　ｆ＝［　，厂２，．．．，　］Ｔ　

，　＝　一　ｌ１），ｆ，　：ｌ，２，．．．，　

ｇ　１　ｘ２　ｙ２　●　●　：　：　

将（１）式展开，可分别写成ｘ，ｙ，ｚ三个方向上的方程：　ｉｘ＝　（ｘ）＝∑　一　ｌ１）＋ｃ１　Ｘ－＇ｌ－Ｃ２　ｙ　ｑ．－ｃ３　ｚ＋ｃ４　；　

＝　（ｘ）＝∑　ｘ—　ＩＩ）＋ｃｌ　Ｘ＋Ｃ２　ｙ＋ｃ３　Ｚ－ｌ－Ｃ４ｙ；　ｉ＝１　

（２）　０　＝　∑　Ｏ　＝　∑　１●１　１－１　．．．，ｌ　中　国　造　船　学术论文　＝　（　）＝∑　（　—　Ｉ　Ｊ）＋ｃ１　ｘ＋ｃｚ　Ｙ＋Ｃ３：ｚ＋　。　ｉ＝＿１　

在每个方向上都可以独立得到一个与式（２）形式相同的矩阵，径向基函数插值最终归结为求解式　（２）这样一个线性方程组，即一个大规模矩阵的求逆问题。通过解以上方程可以得到方程中所有未知　系数　，　。将待求点的坐标代入方程（１）可以得到该点在ｘ，ｙ，ｚ三个方向上的变化量，进而得到待求点　

的新坐标。　由（１）式可以看出插值函数包括两部分，第一部分由ｎ个基函数线性组合而成，包含了参考点集　和目标点集之间的本质上的形状差异。　第二部分是一个线性部分，对应于两个点集间坐标间的仿射变换，包括旋转和平移。具体表示如　下［１１］：　，，　、　ｌ　ｃｌｘ　ｃ１ｙ　ｌ　

（ｘ’Ｙ’ｚ’）＝（　Ｙ　ｚ）ｌ　ｃ２　ｃ２　ｃ２：ｌ＋Ｃ４　ｃ４　ｃ４：）＝（　Ｙ　ｚ）Ａ＋Ｔ　

ｃ３　ｃ３　ｚ／』　在几何变换中，　为平移变量，　为表示旋转、比例缩放和剪切变换的复合变换。该形式的插值　函数具有下面的性质：　（１）它精确的插值参考点集到目标点集的变形；　（２）在对线性模型和非线性模型近似时都有很强的适用性，近似结果是比较精确和稳健的　］。　１．３基函数的选取　有许多种基函数适用于多变量的数据插值。它们可分为两类：一类是ＧＳＲＢＦ（Ｇｌｏｂａｌ　Ｓｕｐｐｏｒｔ　Ｒａｄｉａｌ　Ｂａｓｉｓ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ全支撑径向基函数　，见表ｌ；另一类是ＣＳＲＢＦ（Ｃｏｍｐａｃｔ　Ｓｕｐｐｏｒｔ　Ｒａｄｉａｌ　Ｂａｓｉｓ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ紧　支撑径向基函数），见表２。　以下列举几种常用的基函数：　

表１全支撑基函数　名称　函数形式　Ｔｈｉｎｐｌａｔｅ　ｓｐｌｉｎｅ　

Ｍｕｌｔｉｑｕａｄｒｉｃ　ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃｓ　Ｑｕａｄｒｉｃ　ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃｓ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　

Ｘ　ｌｏｇ（ｘ）　。　１＋　ｅ一　

选择基函数一般需要考虑四个问题［¨］：必须使插值方程组有解；方程组的解应该具有稳定性；方　程具有较小的时间复杂度；插值结果在全局与局部效果之问有比较合适的权衡。　这里取一种具有紧支撑特性的基函数，Ｗｅｎｄｌａｎｄ基函数的三维形式：　当０￣］ｌｘｌｌ＜ｌ时，　

（ＩＩ　Ｉ１）＝（１一Ｉ１　Ｉ）（｛｝　ｌ＋１；￣ｌｌｘｌｌ为其它值时，　（Ｉｌ　Ｉ１）＝０。