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径向基函数在三维点云数据插补中的应用周方艳;张启灿;熊润华【摘要】Three-dimensional (3D) shape measuring techniques are based on the principle of triangulation and technique of fringe projection. In the process of measuring, triangular projection often produces local shadow and occlusion. In addition, some dark marks are needed to be attached to the tested surface for convenient later data merging. These may lead to local fracture of fringe pattern and finally lose part point-cloud data on the surface of tested objects. In order to ensure the integrity and accuracy of 3D shape measurement results, Radial Basis Function (RBF) is applied to repair the missing 3D point-cloud data. The results of simulation and actual experiment show that the surface interpolated by the algorithm in this article is smooth, which is closed to the original data. And this method is expected to repair missing data in the process of 3D measurement.%在基于三角测量原理和条纹投影方法的三维面形测量技术中，三角投影会出现局部的阴影、遮挡。
径向基函数（RBF）神经⽹络RBF⽹络能够逼近任意的⾮线性函数，可以处理系统内的难以解析的规律性，具有良好的泛化能⼒，并有很快的学习收敛速度，已成功应⽤于⾮线性函数逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建模、控制和故障诊断等。
简单说明⼀下为什么RBF⽹络学习收敛得⽐较快。
当⽹络的⼀个或多个可调参数（权值或阈值）对任何⼀个输出都有影响时，这样的⽹络称为全局逼近⽹络。
由于对于每次输⼊，⽹络上的每⼀个权值都要调整，从⽽导致全局逼近⽹络的学习速度很慢。
BP⽹络就是⼀个典型的例⼦。
如果对于输⼊空间的某个局部区域只有少数⼏个连接权值影响输出，则该⽹络称为局部逼近⽹络。
常见的局部逼近⽹络有RBF⽹络、⼩脑模型（CMAC）⽹络、B样条⽹络等。
径向基函数解决插值问题完全内插法要求插值函数经过每个样本点，即。
样本点总共有P个。
RBF的⽅法是要选择P个基函数，每个基函数对应⼀个训练数据，各基函数形式为，由于距离是径向同性的，因此称为径向基函数。
||X-X p||表⽰差向量的模，或者叫2范数。
基于为径向基函数的插值函数为：输⼊X是个m维的向量，样本容量为P，P>m。
可以看到输⼊数据点X p是径向基函数φp的中⼼。
隐藏层的作⽤是把向量从低维m映射到⾼维P，低维线性不可分的情况到⾼维就线性可分了。
将插值条件代⼊：写成向量的形式为，显然Φ是个规模这P对称矩阵，且与X的维度⽆关，当Φ可逆时，有。
对于⼀⼤类函数，当输⼊的X各不相同时，Φ就是可逆的。
下⾯的⼏个函数就属于这“⼀⼤类”函数：1）Gauss（⾼斯）函数2）Reflected Sigmoidal（反常S型）函数3）Inverse multiquadrics（拟多⼆次）函数σ称为径向基函数的扩展常数，它反应了函数图像的宽度，σ越⼩，宽度越窄，函数越具有选择性。
完全内插存在⼀些问题：1）插值曲⾯必须经过所有样本点，当样本中包含噪声时，神经⽹络将拟合出⼀个错误的曲⾯，从⽽使泛化能⼒下降。
华中科技大学硕士学位论文摘要实际工程问题经常会涉及到多目标优化，这些优化问题的输入与输出之间往往需要通过费时的仿真实验计算，导致常规的优化方法无法求解。
基于近似模型的多目标进化算法（SMOEA）因可以大幅度降低时间成本而逐渐成为研究热点，但其在大规模、高维度设计空间仍存在求解精度低、Pareto解集性能较差等缺点。
基于此，本文对近似模型辅助的多目标进化算法开展了深入研究，在现有研究的基础上，提高SMOEA的性能并降低算法时间成本。
本文主要研究内容分以下三个方面：首先，为了提高近似模型在最优解集区域的精度，同时降低优化的时间成本，提出了基于自适应RBF（径向基函数）的MOEA/D算法。
该算法采用LHD试验方法对设计空间初始采样，并建立初始近似模型；通过分解策略将原问题分解为单目标子问题，利用MOEA/D算法求解当前模型的优化信息，选取子问题最优的样本点加入样本库，重新构建近似模型寻优，直到算法收敛，输出Pareto解集。
同时，在MOEA/D 算法中引入均匀分解方法，提出了基于种群拥挤距离的进化策略，提高了算法性能。
其次，为了提高近似模型在高维空间的性能，提出了一种结合线性标度方法和RBF模型校正的变可信度RBF建模方法。
该方法首先通过大量的低可信度响应值在设计空间建立低可信度近似模型，利用少量高可信度响应值确立高低可信度模型之间的线性映射关系，并用RBF模型校正以提高精度，将低可信度近似模型映射为高可信度近似模型，并结合自适应建模方法和MOEA/D算法迭代求解。
最后，本文介绍了车辆侧面碰撞的影响及国家政策的要求，基于EREC95法规和EEVC设计方案，建立了以车辆侧面碰撞性能和主要零部件总质量最小化为目标，以B柱内部厚度、B柱钢筋厚度、地板内侧厚度、横梁厚度等11个参数为设计变量的多目标优化模型，同时给出了VFRBF-MOEA/D算法求解该问题的详细步骤，最终通过优化设计与初始设计的对比，验证了算法的有效性与可行性。
ARCGIS插值操作在ARCGIS中，有多种插值方法可供选择，如Kriging插值、逆距离权重插值(IDW)、三角网插值(TIN)等。
以下将对这些方法进行探讨。
1. Kriging插值：Kriging是一种基于空间自相关的插值方法，可以通过评估观测点之间的空间相关性来进行数据推断。
Kriging插值对数据点之间的空间关系进行了建模，并生成了准确的等值面。
与其他插值方法相比，Kriging插值可以提供更准确和平滑的结果。
2.逆距离权重插值(IDW)：IDW是一种基于观测点之间距离的插值方法，它假设离测量点越近的点对其值的影响越大。
IDW插值通过计算距离加权平均值来生成表面。
这种方法易于实现，并且对数据点的密度变化较为敏感，但可能会产生过度平滑的结果。
3.三角网插值(TIN)：TIN是一种基于三角形的插值方法，它通过将测量点连接成三角形网格来生成表面。
TIN插值使用了Delaunay三角剖分算法，该算法有效地处理了不规则观测点布局的数据。
然后，通过线性插值在每个三角形内进行插值。
TIN插值对数据点的布局要求更高，可以有效处理非均匀分布的观测点。
除了这些主要的插值方法外，ARCGIS还提供了其他一些插值方法，如径向基函数插值(RBF)，全局多项式插值(GPI)，局部多项式插值(LPI)等。
这些方法可以根据数据的特点和用户的需求进行选择。
在ARCGIS中，进行插值操作的步骤包括：1.导入数据集：首先，需要将包含观测点和其对应值的数据集导入ARCGIS中。
2.创建插值图层：选择合适的插值方法，并根据数据分布和用户需求设置相应的插值参数。
然后，创建一个插值图层来表示生成的等值面。
3.插值处理：运行插值操作，ARCGIS会根据所选的插值方法和参数计算观测点的值，并生成光滑的等值面。
4.可视化和分析：通过调整等值面的样式和颜色编码，可以对结果进行可视化。
还可以进一步分析生成的等值面，如计算最大、最小值，获取特定值所在位置等。
强非线性梁求解的径向基函数方法祖福兴;徐绩青;李岩汀【摘要】针对强非线性梁提出了一种径向基函数逼近思想结合加权余量配点的求解方法;为减小数值震荡,针对不同问题的边值条件,提出了对应的径向基函数插值表达式,且采用适当的紧支撑正定径向基函数,可获得较好的求解效果.实际算例表明:方法计算精度高,可以达到修正小波伽辽金法、保辛-保能的数值积分法的计算效果;由于配点法相比积分法的计算过程更为简单,方法为强非线性梁的求解提出了一种新途径.【期刊名称】《重庆交通大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(037)012【总页数】6页(P55-60)【关键词】港口航道工程;强非线性梁;大挠度弯曲;无网格法【作者】祖福兴;徐绩青;李岩汀【作者单位】重庆交通大学国家内河航道整治工程技术研究中心,重庆 400074;重庆交通大学水利水运工程教育部重点实验室,重庆 400074;重庆交通大学国家内河航道整治工程技术研究中心,重庆 400074;重庆交通大学水利水运工程教育部重点实验室,重庆 400074;重庆交通大学国家内河航道整治工程技术研究中心,重庆400074;重庆交通大学水利水运工程教育部重点实验室,重庆 400074【正文语种】中文【中图分类】U656;O241;O3020 引言自20世纪40年代以来，求解非线性问题的计算方法一直是非线性科学中的重要课题。
由于各种解法对于非线性问题的求解不具有封闭性，致使各方法往往只能对弱非线性问题有效。
对于强非线性问题的求解，要么是针对个案问题采取特殊的计算技术来进行，要么是采用近似的追踪方法来进行，因此在理论上没有完备的通用方法。
梁的大挠度弯曲问题属于强非线性问题，且常为四阶微分方程并包含非幂次项，求解难度大，采用通常的有限元方法很难获得令人满意的结果。
近年来，国内外学者相继提出了小波分析方法[1]、微分求积法[2]、保辛-保能的数值积分法[3,4]等，这些方法虽然各有优点，但对于多元(多于4个变元，即多维空间的问题)强非线性微分方程，还需要引进某种近似，例如摄动法[5]等。
空间插值方法一、空间插值方法概述空间插值方法是指在给定的有限点数据集合上，通过某种数学模型，对未知位置的数值进行估计或预测的方法。
它广泛应用于地理信息系统、遥感、气象、环境监测等领域中，是一种重要的数据处理和分析手段。
常见的空间插值方法包括：反距离权重法、克里金法、径向基函数插值法等。
二、反距离权重法1. 原理反距离权重法是一种基于距离加权平均的插值方法。
其基本思想是：对于未知点，用已知点到未知点之间的距离作为权重系数，将已知点的观测值按照这些系数进行加权平均，得到未知点的估计值。
该方法假设空间变量在空间上具有连续性，并且与其邻近区域内观测值相关。
2. 步骤（1）确定待插值点和邻近观测点（2）计算待插值点与邻近观测点之间的欧式距离或曼哈顿距离等（3）根据距离计算每个邻近点的权重系数（4）将邻近点的观测值按照权重系数进行加权平均，得到待插值点的估计值3. 优缺点反距离权重法简单易懂，计算速度快，适用于数据密度较小、空间变异性较大的情况。
但其估计结果容易受到邻近点数量和距离的影响，可能出现插值误差较大的情况。
三、克里金法1. 原理克里金法是一种基于统计学原理的空间插值方法。
其基本思想是：通过对已知点之间的空间关系进行建模，利用半方差函数来描述变量在空间上的相关性，并通过最小二乘法求解出半方差函数中未知参数，从而得到未知位置处的预测值。
该方法假设空间变量在空间上具有稳定性，并且与其邻近区域内观测值相关。
2. 步骤（1）确定待插值点和邻近观测点（2）计算待插值点与邻近观测点之间的欧式距离或曼哈顿距离等（3）根据距离和半方差函数计算每个邻近点的权重系数（4）利用最小二乘法求解半方差函数中的未知参数（5）将邻近点的观测值按照权重系数进行加权平均，得到待插值点的估计值3. 优缺点克里金法能够考虑空间变异性和空间相关性，插值结果较为准确，但需要对半方差函数进行拟合，模型复杂度较高，计算量大。
四、径向基函数插值法1. 原理径向基函数插值法是一种基于核函数的空间插值方法。
