高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程作业2 北师大版选修1-1
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2.2.1 抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p 的几何意义,能解决简单的求抛物线标准方程问题.知识点一 抛物线的定义思考1 如图,在黑板上画一条直线EF ,然后取一个三角板,将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边上,并将拉链下边一半的一端固定在C 点,将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上,在拉链D 处放置一支粉笔,上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线.这是一条什么曲线,由画图过程你能给出此曲线的定义吗?答案 平面内与一个定点F 和一条定直线l (定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹叫作抛物线,定点F 叫作抛物线的焦点,定直线l 叫作抛物线的准线. 思考2 抛物线的定义中,l 能经过点F 吗?为什么?答案 不能,若l 经过点F ,满足条件的点的轨迹不是抛物线,而是过点F 且垂直于l 的一条直线.梳理 (1)定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线. (2)焦点:点F . (3)准线:直线l .知识点二 抛物线的标准方程思考1 抛物线方程中p 有何意义?抛物线的开口方向由什么决定?答案 p 是抛物线的焦点到准线的距离,抛物线的方程中一次项决定开口方向. 思考2 抛物线标准方程的特点?答案 (1)原点在抛物线上;(2)对称轴为坐标轴;(3)p 为大于0的常数,其几何意义表示焦点到准线的距离;(4)准线与对称轴垂直,垂足与焦点关于原点对称;(5)焦点、准线到原点的距离都等于p2.思考3 已知抛物线的标准方程,怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向?答案 一次项变量为x (或y ),则焦点在x 轴(或y 轴)上;若系数为正,则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴上.焦点确定,开口方向也随之确定. 梳理 抛物线的标准方程有四种类型类型一 抛物线定义的解读 例1 方程x +2+y -2=|x -y +3|2表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.线段D.抛物线答案 D 解析x +2+y -2=|x -y +3|2,它表示点M (x ,y )与点F (-3,1)的距离等于点M 到直线x -y +3=0的距离,且点F (-3,1)不在直线上.根据抛物线的定义,知此方程表示的曲线是抛物线.反思与感悟 根据式子的几何意义 ,利用抛物线的定义,可确定点的轨迹,注意定义中“点F 不在直线l 上”这个条件.跟踪训练1 若动圆与圆(x -2)2+y 2=1相外切,又与直线x +1=0相切,则动圆圆心的轨迹是________. 答案 抛物线解析 由题意,动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x +1=0的距离大1,故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点,x =-2为准线的抛物线,其方程为y 2=8x . 类型二 抛物线的标准方程及求解命题角度1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解 例2 已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程. (1)y 2=-6x ;(2)3x 2+5y =0; (3)y =4x 2;(4)y =ax 2(a ≠0).解 (1)由方程y 2=-6x ,知抛物线开口向左,2p =6,p =3,p 2=32,所以焦点坐标为(-32,0),准线方程为x =32.(2)将3x 2+5y =0化为x 2=-53y ,知抛物线开口向下, 2p =53,p =56,p 2=512,所以焦点坐标为(0,-512),准线方程为y =512.(3)将y =4x 2化为x 2=14y ,知抛物线开口向上, 2p =14,p =18,p 2=116,所以焦点坐标为(0,116),准线方程为y =-116.(4)抛物线方程y =ax 2可化为x 2=1ay ,当a >0时,2p =1a ,p =12a,故焦点坐标是(0,14a ),准线方程是y =-14a .当a <0时,2p =-1a ,p =-12a,故焦点坐标是(0,14a ),准线方程是y =-14a .综上,抛物线y =ax 2的焦点坐标(0,14a ),准线方程为y =-14a .引申探究1.将例2(4)的方程改为y 2=ax (a ≠0)结果如何? 答案 焦点是(a 4,0),准线方程是x =-a4.2.将例2(4)的方程改为x 2=ay (a ≠0),结果如何? 答案 焦点是(0,a 4),准线方程是y =-a4. 反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标、准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x (或y ),则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.跟踪训练2 已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与曲线x 2+y 2-6x -7=0相切,则p 为( ) A.2 B.1 C.12 D.14答案 A解析 注意到抛物线y 2=2px 的准线方程为x =-p2,曲线x 2+y 2-6x -7=0, 即(x -3)2+y 2=16,它表示圆心为(3,0),半径为4的圆.由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪p2+3=4. 又p >0,因此有p2+3=4,解得p =2,故选A.命题角度2 求抛物线的标准方程例3 求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(-3,2);(2)焦点在直线x -2y -4=0上;(3)抛物线的焦点F 在x 轴上,直线y =-3与抛物线相交于点A ,|AF |=5. 解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上且过点(-3,2)时, 可设抛物线方程为y 2=-2px (p >0), 把(-3,2)代入得22=-2p ×(-3), ∴p =23,∴所求抛物线方程为y 2=-43x .当抛物线的焦点在y 轴上且过点(-3,2)时, 可设抛物线方程为x 2=2py (p >0), 把(-3,2)代入得(-3)2=2p ×2,∴p =94,∴所求抛物线方程为x 2=92y .综上,所求抛物线方程为y 2=-43x 或x 2=92y .(2)直线x -2y -4=0与x 轴的交点为(4,0),与y 轴的交点为(0,-2), 故抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2), 当抛物线的焦点为(4,0)时, 设抛物线方程为y 2=2px (p >0), ∵p2=4,∴p =8,∴抛物线方程为y 2=16x . 当抛物线的焦点为(0,-2)时, 设抛物线方程为x 2=-2py (p >0), ∵-p2=-2,∴p =4,∴抛物线方程为x 2=-8y .综上,所求抛物线方程为y 2=16x 或x 2=-8y . (3)设所求焦点F 在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2=2px (p ≠0),A (m ,-3).则由抛物线的定义得|AF |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪m +p 2=5,∵点A 在抛物线上, ∴(-3)2=2pm ,从而可得p =±1或p =±9.∴所求抛物线的标准方程为y 2=±2x 或y 2=±18x . 反思与感悟 抛物线标准方程的求法(1)定义法:建立适当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行化简,根据定义求出p ,最后写出标准方程.(2)待定系数法:由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式,然后再利用已知条件确定p 的值. 跟踪训练3 根据下列条件,求抛物线的标准方程. (1)焦点为(-2,0); (2)焦点到准线的距离是4; (3)过点(1,2).解 (1)焦点在x 轴的负半轴上,p2=2,即p =4.所以抛物线的方程是y 2=-8x . (2)p =4,抛物线的方程有四种形式:y 2=8x ,y 2=-8x ,x 2=8y ,x 2=-8y .(3)方法一 点(1,2)在第一象限,要分两种情形讨论: 当抛物线的焦点在x 轴上时, 设抛物线的方程为y 2=2px (p >0), 则22=2p ·1,解得p =2, ∴抛物线方程为y 2=4x ; 当抛物线的焦点在y 轴上时, 设抛物线的方程为x 2=2py (p >0), 则12=2p ·2,解得p =14,∴抛物线方程为x 2=12y .方法二 设所求抛物线的标准方程为y 2=mx 或x 2=ny ,将点(1,2)代入,得m =4,n =12,故所求的方程为y 2=4x 或x 2=12y .类型三 抛物线在实际生活中的应用例4 河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5 m 时,水面宽为8 m ,一小船宽4 m 、高2 m ,载货后船露出水面上的部分高0.75 m ,问:水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?解 如图,以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x 2=-2py (p >0).由题意可知,点B (4,-5)在抛物线上,故p =85,得x 2=-165y .当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为AA ′,则A (2,y A ), 由22=-165y A ,得y A =-54.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m , 所以h =|y A |+0.75=2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m 时,小船开始不能通航.反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题,通常需建立适当的平面直角坐标系,利用抛物线的标准方程进行求解.跟踪训练4 某抛物线形拱桥跨度是20米,拱桥高度是4米,在建桥时,每4米需用一根支柱支撑,求其中最长支柱的长.解 如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x 2=-2py (p >0).依题意知,点P (10,-4)在抛物线上, 所以100=-2p ×(-4),2p =25. 即抛物线方程为x 2=-25y . 因为每4米需用一根支柱支撑, 所以支柱横坐标分别为-6,-2,2,6. 由图知,AB 是最长的支柱之一. 设点B 的坐标为(2,y B ), 代入x 2=-25y ,得y B =-425.所以|AB |=4-425=3.84,即最长支柱的长为3.84米.1.抛物线y 2+x =0的开口( ) A.向上 B.向下 C.向左 D.向右答案 C解析 抛物线方程y 2+x =0可化为y 2=-x . 2.抛物线y 2=8x 的焦点坐标和准线方程分别为( ) A.(1,0),x =-1B.(2,0),x =-2C.(3,0),x =-3D.(4,0),x =-4答案 B解析 抛物线y 2=8x 的焦点坐标为(2,0), 准线方程为x =-2.3.已知抛物线的焦点到准线的距离为3,则抛物线方程可以为( ) A.y 2=x B.y 2=2x C.x 2=-3y D.x 2=-6y答案 D解析 由题意知p =3,故选D.4.抛物线x 2=8y 上的点M 到x 轴的距离为6,则点M 与抛物线的焦点间的距离为________. 答案 8解析 由抛物线定义可得|MF |=6+p2=8.5.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)准线方程为y =-3;(2)抛物线与椭圆x 24+m +y 23+m =1的一个焦点相同.解 (1)准线方程为y =-3,则p2=3,p =6,所以抛物线的标准方程为x 2=12y .(2)椭圆x 24+m +y 23+m=1的焦点坐标为F 1(1,0),F 2(-1,0),所以抛物线的标准方程为y 2=±4x .1.焦点在x 轴上的抛物线,其标准方程可以统设为y 2=mx (m ≠0),此时焦点坐标为F (m4,0),准线方程为x =-m4;焦点在y 轴上的抛物线,其标准方程可以统设为x 2=my (m ≠0),此时焦点为F (0,m 4),准线方程为y =-m4.2.设M 是抛物线上一点,焦点为F ,则线段MF 叫作抛物线的焦半径.若M (x 0,y 0)在抛物线y2=2px (p >0)上,则根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化,所以焦半径|MF |=x 0+p2.40分钟课时作业一、选择题1.已知抛物线C :y 2=x 的焦点为F ,A (x 0,y 0)是C 上一点,|AF |=54x 0,则A 点的坐标为( )A.(1,1)B.(1,±1)C.(1,-1)D.(1,0)答案 B解析 由抛物线的定义,可得|AF |=x 0+14,∵|AF |=54x 0,∴x 0+14=54x 0,∴x 0=1.把x 0=1代入y 2=x ,得y 20=1,y 0=±1, ∴点A 的坐标为(1,±1).2.已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( ) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)答案 B解析 抛物线y 2=2px (p >0)的准线方程为x =-p 2.由题设知-p2=-1,即p =2,故焦点坐标为()1,0.故选B.3.动点到点(3,0)的距离比它到直线x =-2的距离大1,则动点的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线答案 D解析 已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x =-3的距离”,由抛物线的定义可判断,动点的轨迹为抛物线,故选D.4.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上的点P (m ,-2)到焦点的距离为4,则m 的值为( )A.4B.-2C.4或-4D.12或-2 答案 C解析 由题可设抛物线的标准方程为x 2=-2py (p >0).由定义知点P 到准线的距离为4,故p2+2=4,∴p =4,∴x 2=-8y .将点P 的坐标代入x 2=-8y ,得m =±4.5.当a 为任意实数时,直线(2a +3)x +y -4a +2=0恒过定点P ,则过点P 的抛物线的标准方程是( )A.x 2=32y 或y 2=-12xB.x 2=-32y 或y 2=12xC.y 2=32x 或x 2=-12yD.y 2=-32x 或x 2=12y答案 C解析 直线方程可化为3x +y +2+a (2x -4)=0,由⎩⎪⎨⎪⎧3x +y +2=0,2x -4=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-8,∴定点P 的坐标为(2,-8), 利用排除法知C 正确.6.已知点A (-2,3)在抛物线C :y 2=2px (p >0)的准线上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( )A.-43B.-1C.-34D.-12答案 C解析 因为抛物线C :y 2=2px 的准线方程为x =-p 2,且点A (-2,3)在准线上,故-p 2=-2,解得p =4.所以抛物线方程为y 2=8x ,焦点F 的坐标为(2,0), 这时直线AF 的斜率k AF =3-0-2-2=-34.7.从抛物线y 2=4x 图像上一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |=5,设抛物线焦点为F ,则△MPF 的面积为( ) A.10 B.8 C.6 D.4 答案 A解析 设P (x 0,y 0),∵|PM |=5,∴x 0=4, ∴y 0=±4,∴S △MPF =12|PM |·|y 0|=10.二、填空题8.已知椭圆x 2+ky 2=3k (k >0)的一个焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则该椭圆的离心率是________.答案 32解析 抛物线的焦点为F (3,0),∵椭圆的方程为x 23k +y 23=1, ∴3k -3=9,∴k =4,∴离心率e =323=32. 9.抛物线y =4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是__________.答案 1516 解析 抛物线方程化为x 2=14y ,准线为y =-116.由于点M 到焦点的距离为1,所以M 到准线的距离也为1,所以M 点的纵坐标等于1-116=1516. 10.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,PA ⊥l ,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF |=________.答案 8解析 如图所示,直线AF 的方程为y =-3(x -2).与准线方程x =-2联立,得A (-2,43).设P (x 0,43),代入抛物线y 2=8x ,得8x 0=48,∴x 0=6.∴|PF |=x 0+2=8.三、解答题11.已知O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=42x 的焦点,P 为C 上一点,若|PF |=42,求△POF 的面积.解 抛物线C 的准线方程为x =-2,焦点F (2,0),由|PF |=42及抛物线的定义知,P 点的横坐标x P =32,从而y P =±26,∴S △POF =12|OF |·|y P |=12×2×26=2 3. 12.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点M (m ,-3)到焦点F 的距离为5,求m 的值、抛物线方程及其准线方程.解 方法一 设所求抛物线方程为x 2=-2py (p >0),则焦点F 的坐标为(0,-p 2). 因为M (m ,-3)在抛物线上,且|MF |=5, 故⎩⎪⎨⎪⎧ m 2=6p , m 2+-3+p 22=5,解得⎩⎨⎧ p =4,m =±2 6. 所以所求的抛物线方程为x 2=-8y ,m =±26,准线方程为y =2.方法二 如图所示,设所求的抛物线方程为x 2=-2py (p >0),则焦点F (0,-p 2),准线l :y =p 2,又|MF |=5,由定义知 3+p2=5,所以p =4. 所以所求的抛物线方程为x 2=-8y ,准线方程为y =2.由m 2=-8×(-3),得m =±2 6.13.已知抛物线形拱桥的顶点距离水面2 m 时,测量水面宽为8 m ,当水面上升12m 后,则水面的宽度是多少?解 以抛物线形拱桥的顶点为原点建立如图所示的直角坐标系,设抛物线的标准方程为 x 2=-2py (p >0).把B (4,-2)代入得16=4p ,所以p =4.所以x 2=-8y . 把y =-32代入得x =±2 3. 所以此时水面的宽度为4 3 m.。
2.1 抛物线及其标准方程1.抛物线y2=20x的焦点坐标为()A.(20,0)B.(10,0)C.(5,0)D.(0,5)答案:C2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合,则p的值为()A.-2B.2C.-4D.4解析:椭圆的右焦点为(2,0),∴=2,∴p=4.答案:D3.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()A.4B.2C.1D.8解析:如图,F,过A作AA'⊥准线l,∴|AF|=|AA'|,∴x0=x0+,∴x0=1.答案:C4.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是()A. B. C.|a| D.-解析:∵2p=|a|,∴p=.∴焦点到准线的距离是.答案:B5.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆过定点()A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,4)解析:由题意易知直线x+2=0为抛物线y2=8x的准线,由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点.答案:B6.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()A.x2+y2+2x=0B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0D.x2+y2-2x=0解析:抛物线y2=4x的焦点是(1,0),∴圆的标准方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案:D7.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点是原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是.解析:由题意可设抛物线方程为y2=2ax,∵点P(2,4)在抛物线上,∴42=4a,∴a=4.即所求抛物线的方程为y2=8x.答案:y2=8x8.导学号01844015在抛物线y2=12x上,与焦点的距离等于9的点的坐标是.解析:抛物线的焦点为F(3,0),准线x=-3,抛物线上的点P,满足|PF|=9,设P(x0,y0),则|PF|=x0+=x0+3=9,∴x0=6,∴y0=±6.答案:(6,±6)9.求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1)焦点是直线3x+4y-15=0与x轴的交点;(2)准线是x=-;(3)焦点在x轴正半轴上,焦点到准线的距离是2;(4)焦点在x轴正半轴上,焦点到直线x=-5的距离是8.解(1)直线与x轴的交点为(5,0),故所求抛物线方程为y2=20x.(2)准线方程为x=-,∴,∴p=3,开口向右,∴抛物线方程为y2=6x.(3)由于p=2,焦点在x轴正半轴上,∴抛物线方程为y2=4x.(4)焦点在x轴正半轴上,设其坐标为(x0,0),∴x0+5=8,∴x0=3.∴焦点为(3,0),即=3,p=6.故抛物线方程为y2=12x.10.导学号01844016已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时P点的坐标.(2)求点P到点B的距离与点P到直线x=-的距离之和的最小值.解如图,将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±.∵>2,∴A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为,即|PA|+|PF|的最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2.∴点P坐标为(2,2).(2)设抛物线上点P到准线l的距离为d,由于直线x=-即为抛物线的准线,根据抛物线定义得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,当且仅当B,P,F三点共线时取等号,而|BF|=,∴|PB|+d的最小值为.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
宝宝宝宝嘻嘻嘻抛物线的简单性质(二)[A. 基础达标 ]1.抛物线 y = ax 2+1与直线 y = x 相切,则 a 等于 ()1 1A. 8B. 4C. 1 D .12 2分析:选 B. 由y =ax +1,消去 y 整理得 ax 2- x + 1=0,由题意 a ≠0, = ( - 1) 2-4a y = x1= 0. 因此 a = .42.已知抛物线 C :y 2=4x 的焦点为 F ,直线 y = 2x - 4 与 C 交于 A ,B 两点, 则 cos ∠ AFB=()4 3A. 5B. 534C .- 5D .- 5y 2= 4x , x = 1, x = 4,分析:选 D. 由 = 2-4, 得 或 = 4. y x =- 2yy 令 B (1 ,- 2) ,A (4 , 4) ,又 F (1 ,0) ,因此由两点间距离公式,得| | =2,| | =5,| | = 3 5,BFAF AB因此 cos ∠=| BF | 2+| AF | 2-| AB | 2AFB2| BF | · | AF |4+ 25- 45 4= 2×2×5=- 5.3. , 是抛物线 x 2 = y 上随意两点 ( 非原点 ) ,当 →·→最小时, → , → 所在两条直线AB·k = (OA OBOA OB的斜率之积 k )OA OB11A. 2B .- 2C. 3D .- 3分析:选 B. 由题意可设 A ( x22, x) , B( x , x ) ,→ = ( 12) ,→ 1 122x 1, x = ( x 2, 22) ,OAOB x→ →2+ ( x 1x 2) 2OA · OB =x 1x1 2 1 1= ( x 1x 2+2) - 4≥- 4,1 → →当且仅当 x x =-2时 OA · OB 获得最小值.1 22 x 2 1k OA k x 1 2 x x此时·= ·=12=-OB4.设抛物线 : 2= 2 ( >0) 的焦点为,点 M在 C 上, | | =5. 若以为直径的圆C ypx pFMFMF过点 (0 ,2) ,则 C 的方程为 ( )221宝宝宝宝嘻嘻嘻22B . y = 2x 或 y = 8x 22C . y = 4x 或 y = 16x 22D . y = 2x 或 y = 16x分析:选 C. 设 M ( x 0, y 0) , A (0 , 2) , MF 的中点为N .由 y 2= 2px , F ( p,0) , 2px 0+ 2 y 0因此 N 点的坐标为 ( 2 ,2).由抛物线的定义知, px 0+ =5,2p因此 x 0=5- 2.因此 y 0=2p ( 5- p).2因此|AN |=| MF | 52252 =,因此 |AN | = .24p+2y 025x 22因此 ()+( -2)= .224p p2p225(5-2+2)(-)即+p2= 4 .4- 22p2p ( 5-2)因此2- 2=0.整理得 p 2- 10p + 16= 0.解得 p = 2 或 p = 8. y 2= 4x 或 y 2= 16x . 因此抛物线方程为215.已知抛物线 C 的方程为 x = 2y ,过点 A (0 ,- 1) 和点 B ( t ,3) 的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是 ( )A . ( -∞,- 1) ∪(1 ,+∞)2 2B . ( -∞,-2 ) ∪( 2 ,+∞)C . ( -∞,- 2 2) ∪(2 2,+∞)D . ( -∞,- 2) ∪( 2,+∞ )21分析:选 D. 当 AB 的斜率不存在时, x = 0,其与 x = 2y 有公共点,不知足要求;当 AB 的斜率存在时,可设 AB 所在直线的方程为y =kx - 1,代入 x 2= 1 y ,整理得 2x 2- kx +1= 0, 2 = ( - k ) 2-4×2<0,得 k 2<8,B ( t ,3) 在 y = kx - 1 上即 3= kt - 1,(4) 2= k 2<8,即 t 2>2 得tt ∈( -∞,- 2) ∪ ( 2,+∞ ) .6.过抛物线 y 2= 2px ( p >0) 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、B 两点,若 A 、 B 在准线上 的射影为 A 1、B 1,则∠ A 1FB 1 等于 ________.,因此∠ AAF =∠ AFA ,又∠ AAF 分析:如图,由抛物线定义知 | AA | =| AF | ,| BB | = | BF |111 1 1=∠ A 1FO ,宝宝宝宝嘻嘻嘻因此∠1=∠ 1,AFAA FO同理∠ BFB =∠ B FO ,11于是∠ AFA 1+∠ BFB 1=∠ A 1FO +∠ B 1FO =∠ A 1FB 1 . 故∠ A 1FB 1 =90° .答案: 90°x 2= 4y 的焦点为 F ,经过 F 的直线与抛物线订交于7.已知抛物线 A , B 两点,则以 AB为直径的圆在 x 轴上所截得的弦长的最小值是 ________.分析:由题意知知足题意的 所在直线的斜率存在,AB故 AB 所在的直线方程可写为 y = kx + 1,代入 x 2= 4y ,整理得 x 2- 4kx - 4= 0,x 1+ x 2= 4k ,由 y =kx + 1 可得 y 1+ y 2= kx 1 +1+ kx 2+1= 4k 2+ 2,| AB | = y 1+y 2+ p = 4k 2+ 4,故所截弦长= 2 ( 2k 2+ 2) 2-( 2k 2+ 1) 2= 24k 2+ 3≥ 2 3,当 k = 0 时弦长取最小值.答案: 2 3y 2= 2x 上挪动, M 为 AB 的中点,则 M8.已知定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 点到 y 轴的最短距离为 ________.分析:如下图,抛物线21y = 2x 的准线为l : x =- ,过点 A 、 B 、 M2分别作 ′、′、 ′垂直于 l ,垂足分别为′、 ′、 ′. 由抛物线AA BB MMA BM定义知 | AA ′ | =| FA | , | BB ′| = | FB |. 又 M 为 AB 中点,由梯形中位线定理11 1 1 3 得| MM ′ | = 2(| AA ′| + | BB ′|) = 2(| FA | + | FB |) ≥ 2| AB | = 2× 3= 2,则 M3 1 到 y 轴的距离 d ≥ 2-2= 1( 当且仅当 AB 过抛物线的焦点时取“=” ) ,所以 d min = 1,即 M 点到 y 轴的最短距离为 1.答案: 19.已知抛物线 y 2= 12x 和点 P (5 ,2) ,直线 l 经过点 P 且与抛物线交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点.(1) 当点 P 恰巧为线段 AB 的中点时,求 l 的方程;(2) 当直线 l 的斜率为 1 时,求△ OAB 的面积.解: (1) 设 A ( x 1, y 1) , B ( x 2, y 2) ,由于 A 、 B 在抛物线上, 22因此 y 1=12x 1, y 2= 12x 2,两式相减,得 ( y+y )( y - y ) =12( x - x ) .121212由于 P 为线段 AB 的中点,因此 x ≠x ,又 y+ y =4,121 2因此 k = y 1- y 212 =3,x - x = y +y2 2 11因此直线l 的方程为 y -2= 3( x -5) ,即 3 - - 13= 0.x y经考证合适题意.(2) 由题意知 l 的方程为 y - 2=1·(x - 5) 即 y = x -3.y = x - ,得 x 2- 18x +9= 0.由23y = 12x设 A ( x 1,y 1) , B ( x 2,y 2) ,则 x 1+ x 2=18, x 1x 2= 9.因此 | AB | = 1+k 2(x 1+ x 2) 2- 4x 1x 2= 2· 324- 36= 24.3又点 O 到直线 x - y - 3=0 的距离 d =,21 13因此 S △ OAB = 2| AB | · d = 2×24× 2 = 18 2.2≠ 0) , 10.如图, 设抛物线 C :x = 4y 的焦点为F ,P ( x ,y ) 为抛物线上的任一点( 此中 x过 P 点的切线交 y 轴于 Q 点.(1) 若 P (2 , 1),求证: | FP | =| FQ |;x 0→→(2) 已知 M (0 ,y 0) ,过 M 点且斜率为2 的直线与抛物线 C 交于 A 、B 两点,若 AM = λMB (λ>1) ,求 λ 的值.解: (1) 证明:由抛物线定义知 || = y 0+ 1= 2,PF设过 P 点的切线方程为 y - 1= k ( x -2) ,y - 1= k ( x - 2),得 x 2- 4 kx +8 k - 4=0,由 2= 4yx 令 = 16k 2- 4(8 k - 4) = 0 得 k = 1, 可得 PQ 所在直线方程为 y = x - 1, 因此得 Q 点坐标为 (0 ,- 1) ,因此| |=2,即| | = ||.QF PFQF(2) 设 A ( x 1, y 1) , B ( x 2, y 2) ,又 M 点坐标为 (0 , y 0) ,x 0因此 AB 方程为 y = 2 x + y 0,x 2= 4y ,由x 0 得 x 2- 2x 0x - 4y 0= 0. y = 2 x + y 0因此 x 1+ 2= 2x, x 2=- 4 0=-2,①1xxyx→→由 AM = λMB 得: ( -x 1, y 0- y 1) =λ ·(x 2, y 2 -y 0) , 因此 x 1=- λ x 2,②( - λ ) x 2= x 0, 2 2 21 2 可得 x 2≠ 0, 由①②知 2 2得 (1 -λ ) x 2 = 4λ x 2,由 x 0≠ 0 λ x 2= x 0, 2因此 (1 - λ ) = 4λ,又 λ>1,解得 λ = 3+ 2 2.1.已知抛物线 y 2= 2 ( >0) 与圆 ( x - ) 2+ 2=2( a >0) 有且只有一个公共点, 则 ()px payrA . r =a = pB .r = a ≤ pC . <≤. < = pr a pD ra( x - a ) 2+y 2= r 2( a >0) 与抛物分析:选 B. 当 r <a 时,依据圆与抛物线的对称性可知,圆 线 y 2= 2px ( p >0) 要么没有交点,要么交于两点或四点, 与题意不符; 当 r >a 时,易知圆与抛物线有两个交点,与题意不符;当r = a 时,圆与抛物线交于原点,要使圆与抛物线有且只有一个公共点,一定使方程 ( x -a ) 2+ 2px = r 2 ( x ≥0) 有且仅有一个解 x = 0,可得 a ≤ p . 应选 B.x 2= 2py ( p >0) ,过点 A (0 ,- 1) 作直线 l 与抛物线订交2.如图,已知抛物线的方程为 于 P ,Q 两点,点 B 的坐标为 (0 ,1) ,连结 BP ,BQ ,设 QB ,BP 的延伸线与 x 轴分别订交于 M , N 两点.假如 的斜率与 的斜率的乘积为- 3,则∠ 的大小等于 ( )QB PBMBNππA. 2B. 42π π C. 3D. 322分析:选 D. 由题意设(1x 1 ) , ( 2 , x 2 x 1x 2 ,设 所在直线方程为 y = kx - 1 ,)(≠ P x 2p Q x 2p PQ代入 x 2= 2py ,整理得: x 2- 2kpx +2p = 0,x 2x 22- 11- 1x 12+= 2kp ,2p2p则 x 1 x 2k QB = x 2 , k PB = x 1 ,=2p .可得 k QB + PB =0,又由于 k QB · k PB =- 3,k因此 k =-3,k = 3,即∠ BNM =ππ3 ,∠ BMN =3,QBPBπ因此∠ MBN = π-∠ BNM -∠ BMN = 3 .3.设抛物线 y 2= 4x 的焦点为 F ,过点 M (2 , 0) 的直线与抛物线订交于 A ,B 两点,与抛物线的准线交于点 , | 3 S △ BCF|=,则 = ________.C BF 2 S △ ACF3 1 1分析:由于 | BF | = 2,因此 B 的横坐标为 2,不如设 B 的坐标为 ( 2,- 2) ,因此 AB 的2 2方程为 y = 3 ( x -2),代入 y 2= 4x ,得 2x 2- 17x + 8= 0,解得 x = 1 或 8,故点 A 的横坐标为 8. 故 A 到准线的2距离为 8+1= 9.S | BC |B 到准线的距离32 1△ BCF== | | 到准线的距离 = = .△ ACF9 6SACA答案: 1624.抛物线 y = 2 ( p >0) 的焦点为 ,已知点 , 为抛物线上的两个动点, 且知足∠ AFBpxF A B| MN |=120°,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则 | AB | 的最大值为 ________. 分析:由余弦定理,得 | AB | 2= | AF | 2+ | BF | 2- 2| AF | ·|BF |cos 120 °= | AF | 2+ | BF | 2+ | |·| |,AFBF过 , 作 ′,′垂直于准线,则 | | =1(| ′|+|′|) = 1(| | + | |) ,A BAA BBMN 2 AA BB2 FA FB| MN | | FA | +| FB |因此 | | =2| |ABAB=| FA | +| FB |+| |·| | 2 | |2+| |2AFBF FAFB12=| AF | 2+ | BF | 2+ | FA | ·|FB |( | AF | +| BF | )21 2=( | | + ||)2-||·| |AFBFAFBF(| AF | + | BF | )21 1223=|≤| AF | +| BF | = 3 ,|·| |2AFBF1-(| AF | +| BF | )2( 2 )1-( | AF | +| BF | ) 2当且仅当 | | =| | 时,等号建立.AF BF答案: 335.已知抛物线 C : y 2= 2px ( p >0) 经过点 P (2 , 4) ,直线 l :y = 3x - 2 3交 C 于 A 、 B 两点,与 x 轴订交于点 .F(1) 求抛物线方程及其准线方程;(2) 已知点 M ( -2, 5) ,直线 MA 、 MF 、MB 的斜率分别为 k 1、 k 2、k 3,求证: k 1、k 2、 k 3 成等差数列.2解: (1) 由于抛物线 C : y =2px ( p >0) 经过点 P (2 , 4) ,因此抛物线的方程是 y2=8 ,x因此抛物线准线方程是 x =- 2.(2) 由于直线 l : y = 3x - 2 3与 x 轴订交于点 F ,因此 F (2 ,0) .由于 ( -2,5),因此 k 5- 0 52= =- .M -2-2 4设 A ( x 1,y 1) 、 B ( x 2,y 2 ) ,由方程组 y = 3x - 2 3, y 2= 8得x23x - 20x + 12= 0.法一: x 1+ x 2= 3 , x 1x 2= 4.y 1- 53 1-23- 5x因此 k 1=x 1+ 2= x 1+ 2 ,y 2- 5 3x 2- 2 3- 5 ,k =x 2+ 2=x 2+ 23因此 k 1+k 3=( x 2+ 2)( 3x 1- 2 3- 5)+( x 1+ 2)( 3x 2- 2 3- 5)( x 1+ 2)( x 2+ 2)2 3x 1x 2- 5( x 1+x 2)- 8 3- 20=x 1x 2+ 2( x 1+ x 2)+ 4202 3×4-3 ×5- 8 3-20= 204+2× 3 +45=- ,2因此 k 1+k 3= 2k 2,因此 k 、k 、 k3 成等差数列.122x 1= 6, 2,x =3法二:3,43 y 1= 4y 2=-3,即 A (6,43) 、B ( 2,- 4 3) , 3 3- 4 3123- 54 3+15 y - 5 4 3- 5y - 5因此 k 1=1=8,k 3= 2 = 2=- ,+ 2x+ 283+25因此 k +k =- 2,13因此 k 1+k 3= 2k 2,因此 k 1、k 2、 k 3 成等差数列.6. ( 选做题 ) 已知抛物线 E 的极点在原点,焦点为 (1) 求抛物线方程;(2) 过点 T ( t , 0) 作两条相互垂直的直线分别交抛物线分别为线段 AB , CD 的中点,求△ TMN 的面积最小值.解: (1) 由题意知, p = 4,故所求抛物线方程为y 2= 8x .(2) 依据题意得 AB , CD 的斜率存在,故设直线 AB : x = my + t ,直线 CD : x =- 1y + t ,mA ( x 1, y 1) ,B ( x 2, y 2) ,C ( x 3, y 3) ,D ( x 4, y 4) ,x = my + t ,由y 2= 8x F (2,0) ,E 于 A ,B ,C ,D 四点,且M ,N因此y 1 +y 2x 1+ x 222,= 4m ?= 4m + t ? M (4 m + t ,4m )2244同理可得 N ( 2+ t ,- ) ,得 y 2- 8my -8t = 0.7宝宝宝宝嘻嘻嘻因此|TN|=16 16 4 24 + 2 =2m+1,m m | m|4 2 2| TM| = 16m+ 16m= 4| m| m+1,因此S =2| TM|| TN|=8(| m|+|m|)≥16.△ TMN1 1当且仅当 | m| =1 时,面积取到最小值16.。
2.2.2 抛物线的简单性质(二)[基础达标]1.过点(-1,0)且与抛物线y 2=x 有且仅有一个公共点的直线有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条解析:选C.点(-1,0)在抛物线y 2=x 的外部,过此点与抛物线有一个公共点的直线有三条.其中两条切线,一条相交直线(平行x 轴).2.过抛物线y =x 2上的点M (12,14)的切线的倾斜角是( )A .30°B .45°C .60°D .90°解析:选B.由题意可设切线方程为y -14=k (x -12),代入y =x 2,化简得4x 2-4kx +2k -1=0,由Δ=16k2-16(2k -1)=0,得k =1,∴切线的倾斜角为45°.3.抛物线y =ax 2+1与直线y =x 相切,则a 等于( ) A.18 B.14 C.12D .1 解析:选B.由⎩⎪⎨⎪⎧y =ax 2+1y =x 消去y 整理得ax 2-x +1=0,由题意a ≠0,Δ=(-1)2-4a =0.∴a =14.4.抛物线y =x 2上一点到直线2x -y -4=0的距离最小的点的坐标是( )A .(12,14)B .(1,1)C .(32,94) D .(2,4)解析:选B.令y =x 2的切线方程为2x -y +c =0,代入y =x 2整理得x 2-2x -c =0.由Δ=(-2)2+4c =0,∴c =-1,∴x =1,y =1.切点(1,1)到直线2x -y -4=0的距离最小.5.已知直线y =k (x +2)(k >0)与抛物线C :y 2=8x 相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点.若|FA |=2|FB |,则k =( )A.13 B .23C.23D.223解析:选D.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),易知x 1>0,x 2>0,y 1>0,y 2>0,由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x +2),y 2=8x ,得k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0,∴x 1x 2=4,①∵|FA |=x 1+p2=x 1+2,|FB |=x 2+p2=x 2+2,且|FA |=2|FB |,∴x 1=2x 2+2.② 由①②得x 2=1,∴B (1,22),代入y =k (x +2),得k =223.故选D.6.抛物线y =-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是________.解析:设切线为4x +3y +C =0,代入y =-x 2整理得3x 2-4x -C =0,由Δ=(-4)2+12C =0得,C =-43,故最小距离为8+4342+32=2815.答案:28157.设已知抛物线C 的顶点为坐标原点,焦点为F (1,0),直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点.若AB 的中点为(2,2),则直线l 的方程为________.解析:由题意知C 的方程为y 2=4x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 21=4x 1,y 22=4x 2,两式作差,(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2),k AB =4y 1+y 2=44=1,又直线l 过(2,2),故l 的方程为y =x .答案:y =x8.将两个顶点在抛物线y 2=2px (p >0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ,则n =________.解析:根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y 轴,又过焦点与x 轴的夹角为30°的直线有两条,故符合题意的正三角形有两个.答案:29.已知顶点在原点,焦点在x 轴的负半轴的抛物线截直线y =x +32所得的弦长|P 1P 2|=42,求此抛物线的方程.解:设抛物线方程为y 2=-2px (p >0),把直线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y =x +32,y 2=-2px ,消元得x 2+(3+2p )x+94=0①,判别式Δ=(3+2p )2-9=4p 2+12p >0,解得p >0或p <-3(舍), 设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则①中由根与系数的关系得x 1+x 2=-(3+2p ),x 1·x 2=94,代入弦长公式得1+1·(3+2p )2-9=42, 解得p =1或p =-4(舍),把p =1代入抛物线方程y 2=-2px (p >0)中,得y 2=-2x .综上,所求抛物线方程为y 2=-2x .10.A 、B 为抛物线y 2=2px (p >0)上两点,O 为原点,若OA ⊥OB ,求证:直线AB 过定点. 证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∵OA ⊥OB ⇒x 1x 2+y 1y 2=0,A ,B 在抛物线上⇒y 21y 22=4p 2x 1x 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1·y 2=-4p 2x 1·x 2=4p 2, l AB :y -y 1=2py 1+y 2(x -x 1),∴y -y 1=2p y 1+y 2(x -y 212p ),∴y =2p y 1+y 2·x -y 21y 1+y 2+y 1=2p y 1+y 2·x -4p 2y 1+y 2 =2p y 1+y 2(x -2p ), ∴直线AB 过定点(2p ,0).[能力提升]1.已知抛物线y 2=2px (p >0)与圆(x -a )2+y 2=r 2(a >0)有且只有一个公共点,则( ) A .r =a =p B .r =a ≤pC .r <a ≤pD .r <a =p解析:选B.当r <a 时,根据圆与抛物线的对称性可知,圆(x -a )2+y 2=r 2(a >0)与抛物线y 2=2px (p >0)要么没有交点,要么交于两点或四点,与题意不符;当r >a 时,易知圆与抛物线有两个交点,与题意不符;当r =a时,圆与抛物线交于原点,要使圆与抛物线有且只有一个公共点,必须使方程(x -a )2+2px =r 2(x ≥0)有且仅有一个解x =0,可得a ≤p .故选B.2.已知直线y =a 交抛物线y =x 2于A ,B 两点,若该抛物线上存在点C ,使得∠ACB 为直角,则a 的取值范围为________.解析:设C (x ,x 2),由题意可取A (-a ,a ),B (a ,a ), 则CA →=(-a -x ,a -x 2),CB →=(a -x ,a -x 2),由于∠ACB =π2,所以CA →·CB →=(-a -x )(a -x )+(a -x 2)2=0,整理得x 4+(1-2a )x 2+a 2-a =0,即y 2+(1-2a )y +a 2-a =0,所以⎩⎪⎨⎪⎧-(1-2a )≥0,a 2-a ≥0,(1-2a )2-4(a 2-a )>0,解得a ≥1.答案:[1,+∞)3.已知过点A (-4,0)的动直线l 与抛物线G :x 2=2py (p >0)相交于B ,C 两点,当直线l 的斜率是12时,AC →=4AB →.(1)求抛物线G 的方程;(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ,求b 的取值范围.解:(1)设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),当直线l 的斜率是12时,l 的方程为y =12(x +4),即x =2y -4,由⎩⎪⎨⎪⎧x 2=2py ,x =2y -4,得2y 2-(8+p )y +8=0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2=4,y 1+y 2=8+p 2,又∵AC →=4AB →,∴y 2=4y 1, 由这三个表达式及p >0得y 1=1,y 2=4,p =2,则抛物线的方程为x 2=4y .(2)由题意可设l :y =k (x +4),BC 的中点坐标为(x 0,y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧x 2=4y ,y =k (x +4),得x 2-4kx -16k =0, ∴x 0=2k ,y 0=k (x 0+4)=2k 2+4k ,∴线段BC 的中垂线方程为y -2k 2-4k =-1k(x -2k ),∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为:b =2k 2+4k +2=2(k +1)2,由Δ=16k 2+64k >0得k >0或k <-4. ∴b ∈(2,+∞).4.已知抛物线C 的顶点为O (0,0),焦点为F (0,1).(1)求抛物线C 的方程;(2)过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点,若直线AO ,BO 分别交直线l :y =x -2于M ,N 两点, 求|MN |的最小值.解:(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2=2py (p >0),则p2=1,所以抛物线C 的方程为x 2=4y .(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为y =kx +1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 2=4y ,消去y ,整理得x 2-4kx -4=0, 所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.从而|x 1-x 2|=4k 2+1.由⎩⎪⎨⎪⎧y =y 1x 1x ,y =x -2,解得点M 的横坐标x M =2x 1x 1-y 1=2x 1x 1-x 214=84-x 1. 同理,点N 的横坐标x N =84-x 2.所以|MN |=2|x M -x N |=2|84-x 1-84-x 2|=82|x 1-x 2x 1x 2-4(x 1+x 2)+16|=82k 2+1|4k -3|.令4k -3=t ,t ≠0,则k =t +34.当t >0时,|MN |=2 2 25t 2+6t+1>2 2.当t <0时,|MN |=2 2(5t +35)2+1625≥852. 综上所述,当t =-253,即k =-43时,|MN |的最小值是852.。
2.2.1 抛物线及其标准方程[A.基础达标]1.已知点P 为抛物线y 2=2px 上任一点,F 为焦点,则以P 为圆心,以|PF |为半径的圆与准线l ( ) A .相交 B .相切 C .相离 D .位置由F 确定 解析:选B.圆心P 到准线l 的距离等于|PF |,所以相切.2.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是6,则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A .12 B .8 C .6 D .4解析:选B.由抛物线定义知:P 到焦点的距离等于P 到准线的距离,故P 到焦点距离=6-(-2)=8.3.在同一坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0(a >b >0)的曲线大致是( )解析:选D.a 2x 2+b 2y 2=1其标准方程为x 21a 2+y 21b 2=1,因为a >b >0,所以1a 2<1b2,表示焦点在y 轴上的椭圆;ax +by 2=0其标准方程为y 2=-abx ,表示焦点在x 的负半轴的抛物线.4.一个动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上,且动圆恒与直线x +2=0相切,则动圆必过定点( )A .(0,2)B .(0,-2)C .(2,0)D .(4,0)解析:选C.由抛物线定义知圆心到准线x +2=0的距离等于到焦点F (2,0)的距离,所以动圆必过定点(2,0).5.当a 为任意实数时,直线(2a +3)x +y -4a +2=0恒过定点P ,则过点P 的抛物线的标准方程是( )A .x 2=32y 或y 2=-12xB .x 2=-32y 或y 2=12xC .y 2=32x 或x 2=-12yD .y 2=-32x 或x 2=12y解析:选C.该直线可化为(2x -4)a +(3x +y +2)=0,令⎩⎪⎨⎪⎧2x -4=0,3x +y +2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-8,故该直线恒过定点P (2,-8),经验证C 符合要求.6.准线方程为x =-1的抛物线的标准方程为________. 解析:由题意可设该抛物线的标准方程为y 2=2px (p >0),其准线为x =-p2=-1,得p =2.故该抛物线的标准方程为y 2=4x .答案:y 2=4x7.已知O 为坐标原点,F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A 是抛物线上一点, 若OA →·AF →=-4,则点A 的坐标是________.解析:因为抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),设A 的坐标为(y 204,y 0),则OA →=(y 204,y 0),AF →=(1-y 204,-y 0),由OA →·AF →=-4得y 40+12y 20-64=0,即y 0=±2,所以点A 的坐标为(1,2)或(1,-2). 答案:(1,2)或(1,-2)8.设抛物线y 2=2x 的准线为l ,P 为抛物线上的动点,定点A (2,3),则|AP |与点P 到准线l 的距离之和的最小值为________.解析:设该抛物线的焦点为F ,连接AF 交抛物线于点P 0,由抛物线定义可知P 到准线l 的距离等于|PF |,故|AP |与点P 到l 距离之和=|AP |+|PF |≥|AP 0|+|P 0F |=|AF |=(2-12)2+32=352.答案:3529.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点M (m ,-3)到焦点F 的距离为5,求m 的值、抛物线方程及其准线方程.解:设所求抛物线方程为x 2=-2py (p >0),则焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0,-p 2.因为M (m ,-3)在抛物线上,且|MF |=5,故⎩⎨⎧m 2=6p ,m 2+⎝⎛⎭⎪⎫-3+p 22=5,解得⎩⎨⎧p =4,m =±2 6. 所以所求的抛物线方程为x 2=-8y ,m =±26,准线方程为y =2.10.一辆卡车高3 m ,宽1.6 m ,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍,若拱宽为a m ,求能使卡车通过的a 的最小整数值.解:以拱顶为原点,拱高所在直线为y 轴,建立如图所示的直角坐标系.设抛物线方程为x 2=-2py (p >0),则点B 的坐标为(a 2,-a4),由点B 在抛物线上,所以(a2)2=-2p ·(-a4),p =a2, 所以抛物线方程为x 2=-ay .将点E (0.8,y )代入抛物线方程,得y =-0.64a.所以点E 到拱底AB 的距离为a 4-|y |=a 4-0.64a>3.解得a >12.21,因为a 取整数,所以a 的最小整数值为13.[B.能力提升]1.已知抛物线C :y 2=x 的焦点为F ,A (x 0,y 0)是C 上一点,|AF |=54x 0,则x 0=( )A .4B .2C .1D .8 解析:选C.如图,F (14,0),过A 作AA ′⊥准线l ,所以|AF |=|AA ′|,所以54x 0=x 0+p 2=x 0+14,所以x 0=1.2.在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y -4=0相切,则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34π C .(6-25)π D.54π解析:选A.因为∠AOB =90°,所以点O 在圆C 上.设直线2x +y -4=0与圆C 相切于点D ,则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x +y -4=0的距离, 所以点C 在以O 为焦点,以直线2x +y -4=0为准线的抛物线上, 所以当且仅当O ,C ,D 共线时,圆的直径最小为|OD |.又|OD |=|2×0+0-4|5=45,所以圆C 的最小半径为25,所以圆C 面积的最小值为π(25)2=45π.3.已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,过点P 作直线l 的垂线PM ,垂足为M ,已知△PFM 为等边三角形,则△PFM 的面积为________.解析:设l 与x 轴交于点A ,则|AF |=p ,因为∠AFM =60°,所以|MF |=2|AF |=2p ,所以S △PFM =34(2p )2=3p 2.答案:3p 24.设抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点M 在C 上,|MF |=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为________.解析:设(0,2)为点A ,因为|MF |=5,所以M (5-p 2,10p -p 2),由题意可得:AM →·AF →=0,AM →=(5-p 2,10p -p 2-2),AF →=(p 2,-2),AM →·AF →=(5-p 2)·p 2+(10p -p 2-2)(-2)=0,得p =2或p =8,故C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x .答案:y 2=4x 或y 2=16x5.过抛物线焦点F 的直线交该抛物线于P 、Q 两点,弦PQ 的垂直平分线交抛物线的对称轴于R 点.求证:|FR |=12|PQ |.证明:建立直角坐标系,如图所示.设R 点坐标为(x ,0),P 点坐标为(x 1,y 1),Q 点坐标为(x 2,y 2),所以|FR |=x -p2.由题设,知|RP |=|RQ |,即(x -x 1)2+y 21=(x -x 2)2+y 22,①因为y 22=2px 2,y 21=2px 1,代入方程①,得(x -x 1)2-(x -x 2)2=2p (x 2-x 1).因为x 1≠x 2,所以x =x 1+x 22+p .所以|FR |=x 1+x 22+p2,|PQ |=|PF |+|FQ |=(x 1+p 2)+(x 2+p2)=(x 1+x 2)+p ,所以|FR |=12|PQ |.6.(选做题)已知点A (3,2),点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0的距离比它到y 轴的距离大12. (1)求点M 的轨迹方程;(2)是否存在M ,使|MA |+|MF |取得最小值?若存在,求此时点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由于动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0的距离比它到y 轴的距离大12,所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0的距离与它到直线l :x =-12的距离相等,由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程应为y 2=2px (p >0)的形式,而p 2=12,所以p =1,2p =2,故轨迹方程为y 2=2x .(2)存在M .理由如下:由题意得A (3,2)在抛物线内部,如图,由于点M 在抛物线上,所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|,于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,所以当A、M、N三点共线时,|MA|+|MN|取最小值,亦即|MA|+|MF|取最小值,这时M的纵坐标为2,可设M(x0,2),代入抛物线方程得x0=2,即M(2,2).。
§2抛_物_线2.1 抛物线及其标准方程[对应学生用书P21]抛物线的定义如右图,我们在黑板上画一条直线EF,然后取一个三角板,将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上,并将拉链下边一半的一端固定在C点,将三角板的另一条直角边贴在直线EF上,在拉锁D处放置一支粉笔,上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线.问题1:曲线上点D到直线EF的距离是什么?提示:线段DA的长.问题2:曲线上点D到定点C的距离是什么?提示:线段DC的长.问题3:曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系?提示:相等.抛物线的定义定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线焦点定点F准线定直线l抛物线的标准方程已知某定点和定直线l(定点不在定直线l上),且定点到l的距离为6,曲线上的点到定点距离与到定直线l的距离相等.在推导曲线的方程的过程中,由建系的不同,有以下点和直线.A(3,0),B(-3,0),C(0,3),D(0,-3);l1:x=-3,l2:x=3,l3:y=-3,l4:y=3.问题1:到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么?并指出曲线开口方向.提示:y2=12x. 向右.问题2:到定点B 和定直线l 2距离相等的点的轨迹方程是什么?曲线开口向哪? 提示:y 2=-12x . 向左.问题3:到定点C 和定直线l 3距离相等的点的轨迹方程是什么?曲线开口向哪? 提示:x 2=12y . 向上.问题4:到定点D 和定直线l 4距离相等的点的轨迹方程是什么?曲线开口向哪? 提示:x 2=-12y . 向下.抛物线的标准方程图像标准方程焦点坐标准线方程y 2=2px (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0 x =-p2y 2=-2px (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫-p 2,0 x =p 2x 2=2py (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0,p 2 y =-p 2x 2=-2py (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-p 2 y =p 21.平面内与一定点F 和一定直线l 距离相等的点的集合是抛物线,定点F 不在定直线上,否则点的轨迹是过点F 垂直于直线l 的直线.2.抛物线的标准方程有四种形式,顶点都在坐标原点,焦点在坐标轴上.[对应学生用书P23]求抛物线的焦点坐标和准线方程[例1] (1)y =14x 2;(2)x =ay 2(a ≠0).[思路点拨] 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型,求出p .再写出焦点坐标和准线方程.[精解详析] (1)抛物线y =14x 2的标准形式为x 2=4y ,∴p =2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y =-1.抛物线开口向上. (2)抛物线方程的标准形式为y 2=1ax ,∴2p =1|a |. ①当a >0时,p 2=14a,抛物线开口向右,∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ,0,准线方程是x =-14a ; ②当a <0时,p 2=-14a,抛物线开口向左,∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ,0,准线方程是x =-14a .综合上述,当a ≠0时,抛物线x =ay 2的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ,0,准线方程为x =-14a .a >0时,开口向右;a <0时,开口向左.[一点通]1.先将抛物线方程化成标准形式,再判断开口方向、焦点位置,准确地求出p 值.2.抛物线y 2=2ax (a ≠0)的焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2,0,准线x =-a 2,不必讨论a 的正负.1.抛物线x 2=8y 的焦点坐标是( ) A .(0,2) B .(0,-2) C .(4,0)D .(-4,0)解析:由抛物线的方程为x 2=8y 知,抛物线的焦点在y 轴上,所以2p =8,p2=2,所以焦点坐标为(0,2),故选A.答案:A2.(北京高考)若抛物线y 2=2px 的焦点坐标为(1,0),则p =________,准线方程为________.解析:因为抛物线y 2=2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0,准线方程为x =-p2,抛物线y 2=2px的焦点坐标为(1,0),所以p =2,准线方程为x =-1.答案:2 x =-1求抛物线的标准方程[例2] (1)过点(-3,2);(2)焦点在直线x -2y -4=0上;(3)已知抛物线焦点在y 轴上,焦点到准线的距离为3.[思路点拨] 确定p 的值和抛物线的开口方向,写出标准方程.[精解详析] (1)设所求的抛物线方程为y 2=-2p 1x (p 1>0)或x 2=2p 2y (p 2>0),∵过点(-3,2),∴4=-2p 1(-3)或9=2p 2·2. ∴p 1=23或p 2=94.故所求的抛物线方程为y 2=-43x 或x 2=92y .(2)令x =0得y =-2,令y =0得x =4, ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2). 当焦点为(4,0)时,p2=4,∴p =8,此时抛物线方程y 2=16x ; 当焦点为(0,-2)时,p2=|-2|,∴p =4,此时抛物线方程为x 2=-8y . 故所求的抛物线的方程为y 2=16x 或x 2=-8y .(3)由题意知,抛物线标准方程为x 2=2py (p >0)或x 2=-2py (p >0)且p =3,∴抛物线标准方程为x 2=6y 或x 2=-6y .[一点通]求抛物线标准方程的方法有:(1)定义法,求出焦点到准线的距离p ,写出方程.(2)待定系数法,若已知抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,求出p 值即可,若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论.另外,焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2=ax (a ≠0),焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2=ay (a ≠0).3.(陕西高考)设拋物线的顶点在原点,准线方程为x =-2,则拋物线的方程是( ) A .y 2=-8x B .y 2=8x C .y 2=-4xD .y 2=4x解析:由准线方程x =-2,可知拋物线为焦点在x 轴正半轴上的标准方程,同时得p =4,所以标准方程为y 2=2px =8x .答案:B4.抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上一点(-5,25)到焦点的距离是6,则抛物线的方程是________.解析:因为点(-5,25)在第二象限,且以原点为顶点,x 轴为对称轴,故抛物线开口向左,设其方程为y 2=-2px ,把(-5,25)代入得p =2,故所求方程为y 2=-4x .答案:y 2=-4x5.已知焦点在x 轴上,且抛物线上横坐标为3的点A 到焦点的距离为5,求抛物线的标准方程.解:由题意,设抛物线方程为y 2=2px (p >0),其准线为x =-p2.∵A 到焦点的距离为5,∴A 到准线的距离也是5, 即3-⎝ ⎛⎭⎪⎫-p 2=5,解得p =4.故所求的抛物线标准方程为y 2=8x .抛物线标准方程的实际应用[例3] 某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车载一集装箱,箱宽3 m ,车与箱共高4 m ,此车能否通过此隧道?请说明理由.[思路点拨] 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标,求出抛物线方程,然后比较当车辆从正中通过时,1.5 m 处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断.[精解详析] 建立如图所示的平面直角坐标系. 设抛物线方程为x 2=-2py (p >0),当x =3时,y =-3,即点(3,-3)在抛物线上. 代入得2p =3,故抛物线方程为x 2=-3y . 已知集装箱的宽为3 m ,当x =32时,y =-34,而桥高为5 m ,所以5-34=414>4.故卡车可通过此隧道.[一点通]1.本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题,利用数学模型,通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.2.在建立抛物线的标准方程时,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系.这样可使得方程的形式更为简单,便于计算.6.某河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶6 m 时,水面宽10 m ,抛物线的方程可能是( )A .x 2=-256yB .x 2=-2512yC .x 2=-365yD .x 2=-2524y解析:建立直角坐标系如图,设抛物线方程为x 2=-2py (p >0),则P (5,-6)在抛物线上.∴25=-2p (-6),∴p =2512.∴抛物线方程为x 2=-256y .答案:A7.某抛物线形拱桥跨度是20米,拱桥高度是4米,在建桥时,每4米需用一根支柱支撑,求其中最长支柱的长.解:如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x 2=-2py (p >0).依题意知,点P (10,-4)在抛物线上, ∴100=-2p ×(-4),2p =25. 即抛物线方程为x 2=-25y . ∵每4米需用一根支柱支撑, ∴支柱横坐标分别为-6,-2,2,6.由图知,AB 是最长的支柱之一,点B 的坐标为(2,y B ),代入x 2=-25y ,得y B =-425.∴|AB |=4-425=3.84,即最长支柱的长为3.84米.1.确定抛物线的标准方程,只需求一个参数p ,但由于标准方程有四种类型,因此,还应确定开口方向,当开口方向不确定时,应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式,避免讨论,如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2=2mx (m ≠0),焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2=2my (m ≠0).2.求抛物线标准方程的方法:特别注意在设标准方程时,若焦点位置不确定,要分类讨论.[对应课时跟踪训练七]1.抛物线y =-18x 2的焦点坐标是( )A .(0,-4)B .(0,-2)C .(-12,0)D .(-132,0)解析:抛物线方程可化成x 2=-8y ,所以焦点坐标为(0,-2),故选B. 答案:B2.若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆x 26+y 22=1的右焦点重合,则p 的值为( )A .4B .2C .6D .8解析:∵a 2=6,b 2=2, ∴c 2=a 2-b 2=4,c =2.椭圆的右焦点为(2,0),∴p2=2,p =4.答案:A3.抛物线y =ax 2的准线方程是y =2,则a 的值为( ) A.18 B .-18C .8D .-8解析:由y =ax 2,得x 2=1a y ,14a =-2,a =-18.答案:B4.若动圆与圆(x -2)2+y 2=1外切,又与直线x +1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )A .y 2=8x B .y 2=-8x C .y 2=4xD .y 2=-4x解析:设动圆的半径为r ,圆心O ′(x ,y ),且O ′到点(2,0)的距离为r +1,O ′到直线x =-1的距离为r ,所以O ′到(2,0)的距离与到直线x =-2的距离相等,由抛物线的定义知y 2=8x .答案:A5.抛物线y 2=2px 过点M (2,2),则点M 到抛物线准线的距离为________.解析:因为y 2=2px 过点M (2,2),于是p =1,所以点M 到抛物线准线的距离为2+p 2=52.答案:526.已知点P (6,y )在抛物线y 2=2px (p >0)上,若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8,则焦点F 到抛物线准线的距离等于________.解析:抛物线y 2=2px (p >0)的准线为x =-p2,因为P (6,y )为抛物线上的点,所以P到焦点F 的距离等于它到准线的距离,所以6+p2=8,所以p =4,故焦点F 到抛物线准线的距离等于4.答案:47.由条件解下列各题的标准方程及准线方程.(1)求焦点在直线2x -y +5=0上的抛物线的标准方程及其准线方程. (2)已知抛物线方程为2x 2+5y =0,求其焦点和准线方程. (3)已知抛物线方程为y =mx 2(m ≠0),求其焦点坐标及准线方程.解:(1)直线2x -y +5=0与坐标轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫-52,0,(0,5),以此两点为焦点的抛物线方程分别为y 2=-10x ,x 2=20y .其对应准线方程分别是x =52,y =-5.(2)抛物线方程即为x 2=-52y ,焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-58,准线方程:y =58.(3)抛物线方程即为x 2=1m y (m ≠0),焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,14m ,准线方程y =-14m .8.如图,已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,A 是抛物线上横坐标为4,且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B ,OB 的中点为M .(1)求抛物线方程;(2)过M 作MN ⊥FA ,垂足为N ,求点N 的坐标. 解:(1)抛物线y 2=2px 的准线为x =-p2,于是,4+p2=5,p =2.所以抛物线方程为y 2=4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4), 由题意得B (0,4),M (0,2). 又F (1,0),所以k AF =43.因为MN ⊥FA ,所以k MN =-34.则FA 的方程为y =43(x -1),MN 的方程为y =-34x +2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y =43x -1,y =-34x +2,得⎩⎪⎨⎪⎧x =85,y =45.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85,45.2.2 抛物线的简单性质[对应学生用书P25]太阳能是最清洁的能源.太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子.太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面.它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上,经镜面反射后,反射光线都经过抛物线的焦点,这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据.问题1:抛物线有几个焦点?提示:一个.问题2:抛物线的顶点与椭圆有什么不同?提示:椭圆有四个顶点,抛物线只有一个顶点.问题3:抛物线有对称中心吗?提示:没有.问题4:抛物线有对称轴吗?若有对称轴,有几条?提示:有;1条.抛物线的简单性质类型y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图像性质焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2,0F⎝⎛⎭⎪⎫-p2,0F⎝⎛⎭⎪⎫0,p2F⎝⎛⎭⎪⎫0,-p2准线x=-p2x=p2y=-p2y=p2范围x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0x∈R,y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e=1开口方向向右向左向上向下通径 过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P 1,P 2,线段P 1P 2叫抛物线的通径,长度|P 1P 2|=2p1.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 2.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 3.抛物线的离心率是确定的,e =1;4.抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧,且它们到顶点的距离相等,均为p2.[对应学生用书P25]利用抛物线性质求标准方程[例1] 2=4相交的公共弦长等于23,求这条抛物线的方程.[思路点拨] 因为圆和抛物线都关于x 轴对称,所以它们的交点也关于x 轴对称,即公共弦被x 轴垂直平分,于是由弦长等于23,可知交点纵坐标为± 3.[精解详析] 如图,设所求抛物线的方程为y 2=2px (p >0)或y 2=-2px (p >0),设交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0), 则|y 1|+|y 2|=23, 即y 1-y 2=2 3.由对称性知y 2=-y 1,∴y 1= 3. 将y 1=3代入x 2+y 2=4得x =±1,∴点(1,3),(-1,3)分别在抛物线y 2=2px ,y 2=-2px 上. ∴3=2p 或3=(-2p )×(-1),p =32.故所求抛物线的方程为y 2=3x 或y 2=-3x . [一点通]由抛物线的性质求抛物线的标准方程时,关键是确定抛物线的焦点位置,并结合其性质求解p 的值,其主要步骤为:1.顶点在原点,对称轴是y 轴,并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程为( )A .x 2=±3y B .y 2=±6x C .x 2=±12yD .x 2=±6y解析:由顶点与焦点的距离等于3,所以p2=3,p =6.又因为对称轴是y 轴,所以抛物线标准方程为x 2=±12y .答案:C2.边长为1的等边三角形AOB ,O 为原点,AB ⊥x 轴,以O 为顶点且过A ,B 的抛物线方程是( )A .y 2=36x B .y 2=-36x C .y 2=±36x D .y 2=±33x 解析:当抛物线焦点在x 轴正半轴上时,如图所示,∵△OAB 为等边三角形,且边长为1.∴A ⎝⎛⎭⎪⎫32,12. 设抛物线方程为y 2=2px (p >0), ∴14=2p ·32,∴p =312, ∴抛物线方程为y 2=36x , 同理,当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时,方程为y 2=-36x . 答案:C3.已知抛物线y 2=2px (p >0),有一个内接直角三角形,直角顶点在原点,斜边长为213,一直角边所在的直线方程是y =2x ,求此抛物线的方程.解:由题意得另一直角边所在的直线方程是y =-12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2px ,y =2x 得三角形的一顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2,p ,由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2px ,y =-12x 得三角形的另一个顶点为(8p ,-4p ),由已知,得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p -p 22+(-4p -p )2=(213)2.解得p =45.故所求抛物线的方程为y 2=85x .抛物线的定义及性质的应用[例2] 若动点M 到点F (4,0)的距离比它到直线x +5=0的距离小1,求动点M 的轨迹方程.[思路点拨] “点M 与点F 的距离比它到直线l :x +5=0的距离小1”,就是“点M 与点F 的距离等于它到直线x +4=0的距离”,由此可知点M 的轨迹是以F 为焦点,直线x +4=0为准线的抛物线.[精解详析] 如图,设点M 的坐标为(x ,y ).由已知条件可知,点M 与点F 的距离等于它到直线x +4=0的距离.根据抛物线的定义,点M 的轨迹是以F (4,0)为焦点的抛物线,且p2=4,即p =8.因为焦点在x 轴的正半轴上,所以点M 的轨迹方程为:y 2=16x . [一点通]由于抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等,所以常把抛物线上点到焦点距离转化为到准线距离处理.即:若p (x 0,y 0)是抛物线y 2=2px 上任意一点,则p 到焦点F 的距离为|PF |=x 0+p2(称为焦半径).4.平面上点P 到定点(0,-1)的距离比它到y =2的距离小1,则点P 轨迹方程为________.解析:由题意,即点P 到(0,-1)距离与它到y =1距离相等,即点P 是以(0,-1)为焦点的抛物线,方程为x 2=-4y .答案:x 2=-4y5.已知抛物线y 2=2x 的焦点是F ,点P 是抛物线上的动点,又有点A (3,2),求|PA |+|PF |的最小值,并求出取最小值时P 点坐标.解:将x =3代入抛物线方程y 2=2x ,得y =± 6.∵6>2,∴A 在抛物线内部.设抛物线上点P 到准线l :x =-12的距离为d ,由定义知|PA |+|PF |=|PA |+d ,由图可知,当PA ⊥l 时,|PA |+d 最小,最小值为72,设P (x 0,y 0),则y 0=2, ∴x 0=2.故P 点坐标为(2,2).与焦点弦有关的问题[例3] 已知抛物线y 2=2px (p >0),直线l 过抛物线焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,0与抛物线交于A ,B 两点.求证:以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.[思路点拨] 解答本题可设出A ,B 两点坐标,并用A ,B 的坐标表示圆心坐标,然后证明圆心到准线的距离为圆的半径.[精解详析] 设直线l 与抛物线两交点A ,B 坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 22,y 1+y 22.而|AB |=|AF |+|BF |=x 1+p 2+x 2+p2=x 1+x 2+p .设圆心M 到准线x =-p2的距离为d , 则d =x 1+x 22+p 2=x 1+x 2+p2,∴d =|AB |2,即圆心到准线x =-p2的距离等于圆的半径.∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.[一点通]1.涉及抛物线的焦半径、焦点弦长问题可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离.2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),若AB 是抛物线y 2=2px (p >0)过焦点F 的一条弦,则①|AB |=x 1+x 2+p ,②x 1·x 2=p 24,y 1y 2=-p 2.6.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,若x 1+x 2=6,则|AB |的值为( )A .10B .8C .6D .4解析:如图,∵y 2=4x , ∴2p =4,p =2. ∴由抛物线定义知: |AF |=x 1+1,|BF |=x 2+1, ∴|AB |=|AF |+|BF |=x 1+x 2+2=6+2=8.答案:B7.(江西高考)已知点A (2,0),抛物线C :x 2=4y 的焦点为F ,射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,则|FM |∶|MN |=( )A .2∶ 5B .1∶2C .1∶ 5D .1∶3解析:如图,直线MF 的方程为x 2+y1=1,即x +2y -2=0.设直线MF 的倾斜角为α,则tan α=-12.由抛物线的定义得|MF |=|MQ |.所以|MF ||MN |=|MQ ||MN |=sin α=15. 答案:C1.抛物线y 2=2px 上的点P (x 0,y 0)到焦点F 的距离(焦半径):|PF |=x 0+p2.2.若过抛物线y 2=2px 的焦点的直线与抛物线相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则|AB |=x 1+x 2+p (焦点弦公式).当AB ⊥x 轴时,AB 为通径且|AB |=2p .3.解决与焦点弦有关的问题:一是注意运用焦点弦所在直线方程和抛物线方程联立方程组,再结合根与系数的关系解题;二是注意焦点弦、焦半径公式的应用,注意整体思想的运用.[对应课时跟踪训练八]1.设抛物线的顶点在原点,焦点F 在y 轴上,抛物线上的点(k ,-2)与F 的距离为4,则k 的值为( )A .4B .-2C .4或-4D .2或-2解析:由题意知抛物线方程可设为x 2=-2py (p >0),则p2+2=4,∴p =4,∴x 2=-8y ,将(k ,-2)代入得k =±4. 答案:C2.已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF |+|BF |=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B .1 C.54D.74解析:根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段AB 中点到y 轴的距离为:12(|AF |+|BF |)-14=32-14=54.答案:C3.(新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=42x 的焦点,P 为C 上的一点,若|PF |=42,则△POF 的面积为( )A .2B .2 2C .2 3D .4解析:如图,设点P 的坐标为(x 0,y 0),由|PF |=x 0+2=42,得x 0=32,代入抛物线方程得,y 20=42×32=24, 所以|y 0|=26,所以S △POF =12|OF ||y 0|=12×2×26=2 3.答案:C4.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,PA ⊥l ,A 为垂足.如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF |等于( )A .4 3B .8C .8 3D .16解析:由抛物线的定义得,|PF |=|PA |,又由直线AF 的斜率为-3,可知∠PAF =60°. △PAF 是等边三角形,∴|PF |=|AF |=4cos 60°=8.答案:B5.顶点在原点,焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线方程是________.解析:设抛物线的方程为y 2=2ax ,则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2,0.∴|y |=2a ×a2=a 2=|a |.由于通径长为6,即2|a |=6, ∴a =±3.∴抛物线方程为y 2=±6x . 答案:y 2=±6x6.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在y 轴上; ②焦点在x 轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6; ④抛物线的通径的长为5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).则使抛物线方程为y 2=10x 的必要条件是________(要求填写合适条件的序号). 解析:由抛物线方程y 2=10x ,知它的焦点在x 轴上,所以②适合.又∵它的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52,0,原点O (0,0),设点P (2,1),可得k PO ·k PF =-1,∴⑤也合适.而①显然不合适,通过计算可知③④不合题意.∴应填序号为②⑤. 答案:②⑤7.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M (2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,求抛物线方程及|OM |的值.解:设抛物线方程为y 2=2px (p >0),则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0,准抛物线方程为x =-p2.∵M 在抛物线上,∴M 到焦点的距离等于到准线的距离,即 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2-p 22+y 20= ⎝ ⎛⎭⎪⎫2+p 22=3.解得:p =1,y 0=±22, ∴抛物线方程为y 2=2x .∴点M (2,±22),根据两点间距离公式有: |OM |=22+±222=2 3.8.已知y =x +m 与抛物线y 2=8x 交于A ,B 两点. (1)若|AB |=10,求实数m 的值; (2)若OA ⊥OB ,求实数m 的值.解:由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +m ,y 2=8x 得x 2+(2m -8)x +m 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=8-2m ,x 1·x 2=m 2,y 1·y 2=m (x 1+x 2)+x 1·x 2+m 2=8m .(1)因为|AB |=1+k2x 1+x 22-4x 1x 2=2·64-32m =10,所以m =716.(2)因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2+y 1y 2=m 2+8m =0,解得m =-8,m =0(舍去).故实数m 的值为-8.。
2.2.1 抛物线及其标准方程[A.基础达标]1.已知点P 为抛物线y 2=2px 上任一点,F 为焦点,则以P 为圆心,以|PF |为半径的圆与准线l ( )A .相交B .相切C .相离D .位置由F 确定 解析:选B.圆心P 到准线l 的距离等于|PF |,所以相切.2.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是6,则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A .12 B .8 C .6 D .4解析:选B.由抛物线定义知:P 到焦点的距离等于P 到准线的距离,故P 到焦点距离=6-(-2)=8.3.在同一坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0(a >b >0)的曲线大致是( )解析:选D.a 2x 2+b 2y 2=1其标准方程为x 21a 2+y 21b 2=1,因为a >b >0,所以1a 2<1b2,表示焦点在y 轴上的椭圆;ax +by 2=0其标准方程为y 2=-abx ,表示焦点在x 的负半轴的抛物线.4.一个动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上,且动圆恒与直线x +2=0相切,则动圆必过定点( )A .(0,2)B .(0,-2)C .(2,0)D .(4,0)解析:选C.由抛物线定义知圆心到准线x +2=0的距离等于到焦点F (2,0)的距离,所以动圆必过定点(2,0).5.当a 为任意实数时,直线(2a +3)x +y -4a +2=0恒过定点P ,则过点P 的抛物线的标准方程是( )A .x 2=32y 或y 2=-12xB .x 2=-32y 或y 2=12xC .y 2=32x 或x 2=-12yD .y 2=-32x 或x 2=12y解析:选C.该直线可化为(2x -4)a +(3x +y +2)=0,令⎩⎪⎨⎪⎧2x -4=0,3x +y +2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-8,故该直线恒过定点P (2,-8),经验证C 符合要求.6.准线方程为x =-1的抛物线的标准方程为________. 解析:由题意可设该抛物线的标准方程为y 2=2px (p >0),其准线为x =-p2=-1,得p=2.故该抛物线的标准方程为y 2=4x .答案:y 2=4x7.已知O 为坐标原点,F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A 是抛物线上一点, 若OA →·AF →=-4,则点A 的坐标是________.解析:因为抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),设A 的坐标为(y 204,y 0),则OA →=(y 24,y 0),AF →=(1-y 204,-y 0),由OA →·AF →=-4得y 40+12y 20-64=0,即y 0=±2,所以点A 的坐标为(1,2)或(1,-2). 答案:(1,2)或(1,-2)8.设抛物线y 2=2x 的准线为l ,P 为抛物线上的动点,定点A (2,3),则|AP |与点P 到准线l 的距离之和的最小值为________.解析:设该抛物线的焦点为F ,连接AF 交抛物线于点P 0,由抛物线定义可知P 到准线l 的距离等于|PF |,故|AP |与点P 到l 距离之和=|AP |+|PF |≥|AP 0|+|P 0F |=|AF |=(2-12)2+32=352.答案:3529.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点M (m ,-3)到焦点F 的距离为5,求m 的值、抛物线方程及其准线方程.解:设所求抛物线方程为x 2=-2py (p >0),则焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0,-p 2.因为M (m ,-3)在抛物线上,且|MF |=5,故⎩⎨⎧m 2=6p ,m 2+⎝⎛⎭⎪⎫-3+p 22=5,解得⎩⎨⎧p =4,m =±2 6. 所以所求的抛物线方程为x 2=-8y ,m =±26,准线方程为y =2. 10.一辆卡车高3 m ,宽1.6 m ,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍,若拱宽为a m ,求能使卡车通过的a 的最小整数值.解:以拱顶为原点,拱高所在直线为y 轴,建立如图所示的直角坐标系.设抛物线方程为x 2=-2py (p >0),则点B 的坐标为(a 2,-a4),由点B 在抛物线上,所以(a2)2=-2p ·(-a 4),p =a2,所以抛物线方程为x 2=-ay .将点E (0.8,y )代入抛物线方程,得y =-0.64a.所以点E 到拱底AB 的距离为a 4-|y |=a 4-0.64a>3.解得a >12.21,因为a 取整数,所以a 的最小整数值为13.[B.能力提升]1.已知抛物线C :y 2=x 的焦点为F ,A (x 0,y 0)是C 上一点,|AF |=54x 0,则x 0=( )A .4B .2C .1D .8 解析:选C.如图,F (14,0),过A 作AA ′⊥准线l ,所以|AF |=|AA ′|,所以54x 0=x 0+p2=x 0+14,所以x 0=1. 2.在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y -4=0相切,则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34π C .(6-25)π D.54π解析:选A.因为∠AOB =90°,所以点O 在圆C 上. 设直线2x +y -4=0与圆C 相切于点D ,则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x +y -4=0的距离,所以点C 在以O 为焦点,以直线2x +y -4=0为准线的抛物线上, 所以当且仅当O ,C ,D 共线时,圆的直径最小为|OD |.又|OD |=|2×0+0-4|5=45,所以圆C 的最小半径为25,所以圆C 面积的最小值为π(25)2=45π.3.已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,过点P 作直线l 的垂线PM ,垂足为M ,已知△PFM 为等边三角形,则△PFM 的面积为________.解析:设l 与x 轴交于点A ,则|AF |=p ,因为∠AFM =60°,所以|MF |=2|AF |=2p ,所以S △PFM =34(2p )2=3p 2.答案:3p 24.设抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点M 在C 上,|MF |=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为________.解析:设(0,2)为点A ,因为|MF |=5,所以M (5-p 2,10p -p 2),由题意可得:AM →·AF→=0,AM →=(5-p 2,10p -p 2-2),AF →=(p 2,-2),AM →·AF →=(5-p 2)·p 2+(10p -p 2-2)(-2)=0,得p =2或p =8,故C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x .答案:y 2=4x 或y 2=16x5.过抛物线焦点F 的直线交该抛物线于P 、Q 两点,弦PQ 的垂直平分线交抛物线的对称轴于R 点.求证:|FR |=12|PQ |.证明:建立直角坐标系,如图所示.设R 点坐标为(x ,0),P 点坐标为(x 1,y 1),Q 点坐标为(x 2,y 2),所以|FR |=x -p2.由题设,知|RP |=|RQ |,即(x -x 1)2+y 21=(x -x 2)2+y 22,①因为y 22=2px 2,y 21=2px 1,代入方程①,得(x -x 1)2-(x -x 2)2=2p (x 2-x 1).因为x 1≠x 2,所以x =x 1+x 22+p .所以|FR |=x 1+x 22+p2,|PQ |=|PF |+|FQ |=(x 1+p 2)+(x 2+p2)=(x 1+x 2)+p ,所以|FR |=12|PQ |.6.(选做题)已知点A (3,2),点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0的距离比它到y 轴的距离大12. (1)求点M 的轨迹方程;(2)是否存在M ,使|MA |+|MF |取得最小值?若存在,求此时点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由于动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0的距离比它到y 轴的距离大12,所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0的距离与它到直线l :x =-12的距离相等,由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点,l为准线的抛物线,其方程应为y 2=2px (p >0)的形式,而p 2=12,所以p =1,2p =2,故轨迹方程为y 2=2x .(2)存在M .理由如下:由题意得A (3,2)在抛物线内部,如图,由于点M 在抛物线上,所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |,于是|MA |+|MF |=|MA |+|MN |,所以当A 、M 、N 三点共线时,|MA |+|MN |取最小值,亦即|MA |+|MF |取最小值,这时M 的纵坐标为2,可设M (x 0,2),代入抛物线方程得x 0=2,即M (2,2).。