n维线性空间
- 格式:doc
- 大小:88.50 KB
- 文档页数:2
设V是数域F上的 n维线性空间, ,,…,是它的一个基。由上节可知,对任意的α,β V,它们在这个基下有唯一确定的坐标
α=(,,…,),β=(,,…,)。
于是,对任意的λ F,α+β=(,,…,) ,
α=(,,…,) .
这样,可以在线性空间V与有序 n元素组所张成的向量空间之间建立起一个一一对应:V ,使 =
.
显然,影射还保持了线性空间V与的线性运算关系,即
= +
=λ .
我们把具这些性质的映射称为从线性空间V到上的同构映射,一般说来,有
定义18.1 设 , 是数域F上的两个线性空间,如果从到
有一个映射: ,满足
(1) 是从到上的一一映射;
(2)对任意的α,β ,有 = +
(3)对任意的α V ,任意的 F,有=λ
.
那么,是从到上的同构映射。如果两个线性空间之间存在一个同构映射,就称这两个线性空间同构。
前面的论述证明了下面的定理。
定理18.1 数域F上任意一个n 维线性空间V和数域F上有序n元数组的向量空间同构。
进一步可知,线性空间的同构具有下述性质:
(1) ,
(2)
(3) 设:是线性空间到上的同构映射,那么中的向量组,,…,线性相关当且仅当它们在中的像 , ,…, 线性相关。
(4) 同构的线性空间的维数相等,反过来,维数相等的线性空间都同构。