n维线性空间

设V是数域F上的 n维线性空间, ，，…，是它的一个基。

由上节可知，对任意的α，β V,它们在这个基下有唯一确定的坐标
α=（，，…，），β=（，，…，）。

于是，对任意的λ F,α+β=（，，…，） ,
α=（，，…，） .
这样，可以在线性空间V与有序 n元素组所张成的向量空间之间建立起一个一一对应:V ,使 =
.
显然，影射还保持了线性空间V与的线性运算关系，即
= +
=λ .
我们把具这些性质的映射称为从线性空间V到上的同构映射，一般说来，有
定义18.1 设 , 是数域F上的两个线性空间，如果从到
有一个映射： ,满足
(1) 是从到上的一一映射；
(2)对任意的α，β ,有 = +
(3)对任意的α V ，任意的 F,有=λ
.
那么，是从到上的同构映射。

如果两个线性空间之间存在一个同构映射，就称这两个线性空间同构。

前面的论述证明了下面的定理。

定理18.1 数域F上任意一个n 维线性空间V和数域F上有序n元数组的向量空间同构。

进一步可知，线性空间的同构具有下述性质：
(1) ,
(2)
(3) 设：是线性空间到上的同构映射，那么中的向量组，，…，线性相关当且仅当它们在中的像 , ,…, 线性相关。

(4) 同构的线性空间的维数相等，反过来，维数相等的线性空间都同构。

n维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用命题一：若线性变换σ, τ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ，τ可交换，则τ的核和值域都是σ-子空间。

证明：∀ξ∈σ-1(0)，则有τ（σ（ξ）） =τ[3]σ（ξ）=σ（0）=0∴σ（ξ）∈σ-1(0)∀τ（η）∈τ(V ) ，）=τ（σ（η））∈τ(V ) σ（τ（η）∴τ(V ) 也是A-子空间。

例一：设F 为数域，V=F ，证明：1） T(x 1, x 2, , x n )=(0, x 1, x 2, , x n -1) 是线性空间V 的一个线性变换，且T =0 2）求T 的核与值域TV 的维数。

证明：设α=（α1+α2+ +αn ）∈V , β=（β1+β2+ +βn ）∈V 。

T(α+β)=(0,α1+β1, α2+β2, , αn -1+βn -1) =(0, α1, α2, , αn -1)+(0, β1, β2, , βn -1)=Tα+Tβ∀k ∈F ,则T （k α）=（0, k α1, k α2, , k αn -1）=k （0, α1, α2, , αn -1）=kT α，nn∴T 为线性空间V 的线性变换。

又由于T （x 1, x 2, , x n ）=T（0, x 1, x 2, , x n -1）=（0,0, x 1, x 2, , x n -2）2T 3（x 1, x 2, , x n ）=（0,0, x 1, x 2, , x n -3） T n =02) 由T （x 1, x 2, , x n ）=（0, x 1, x 2, , x n -1）=0则可得：-1x 1=x 2= =x n -1=0即：T (0)为由一切向量（0,0, ,0, x n ）所作成的子空间∴它是一维的又r(T -1(0))+r(TV)=n∴r(TV)=n-1例二：设σ是n 维线性空间V 的线性变换，V 1=σV ，V 2=σ-1(0)分别是σ的值域与核，α1, α2, , αr是V 1是一组基，设β1, β2, , βr 是α1, α2, , αr 的原像，令W=L（β1, β2, , βr ），证明： 1）σ的秩+σ的零度=n2）V=W⊕V 2证明：设σ是零度为t ，且η1, η2, , ηt 是它的一组基，则可扩充为 V 的一组基η1, η2, , ηt ，ηt +1, ηt -2, , ηn ，且σ-1(ηi ) =0，i =1, 2, t 。