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1 2 2 4 2
1 3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
1
3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
即
| (, ) ||| |||| ||
从而有 1 (, ) 1, (当|| |||| || 0时). || |||| ||
因此, 可利用内积定义n维向量的夹角.
单位向量及n维向量间的夹角
1当 1时,称 为单位向量 .
2当 0, 0时, arccos ( , )
称为n维向量与的夹角 .
kx1 (k1) (k1) V2.
这个向量空间称为由向量a, b所生成的向量空 间.
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 , , xn T x2 , , xn R
解 1, a2, , an T V2,
2 2,2a2, ,2an T V2.
V2不是向量空间 .
说明: 判断向量的集合是否构成向量空间，需 看集合是否对于加法和数乘两种运算封．若封 闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空 间．
定义 设V为向量空间,如果r个向量a1, a2 , ,
ar V ,且满足 (1) a1, a2 , , ar 线性无关; (2)V中任一向量都可由a1, a2 , , ar 线性表示,
那么,向量组a1, , ar 就称为向量空间V的一个基, r称为向量空间V的维数,记作dimV r, 并称V为r维向量空间.
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念
当(, ) 0时, 称向量与 正交 .
由定义知,若 0,则 与任何向量都正交 .
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
1 0 0 2 4
0
1
0
3 2
3 1
3
0
0
1
1
2 3
1 0 0 2 4
3 3
~ ( A B)初等行变换 0
1
0
2 3
1
0
0
1
1
2 3
因有A ~ E，故a1 ,a2 ,a3为R3的一个基，且
2 4
3 3
b1
, b2
(a1
,a2
,a3
)
2 3
1 .
1
2 3
小结
１．向量空间的概念： 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭； 由向量组生成的向量空间．
30.全体n维实向量构成的向量空间Rn 是一个n维向量空间, dim Rn n; 其中任意n个线性无关的向量构成 的向量组都是Rn的一个基.
向量空间的构造
若向量组a1 , a2 , , ar 是向量空间V的一个基, 则V可表示为
V
x
r
i ai
i 1
i R, i 1,2, , r .
1 0 14 0 1 12 0 0 25
1 1 02 1 1 02
0 0
1 0
13
15 / 2
0 0
1 0
01/
2
15 / 2
1 0 03 / 2
0
1
01/
2
0 0 15 / 2
3 / 2
(1,2 ,3 )1/ 2
5 / 2
例6 设矩阵
2 2 1
A (a1 ,a2 ,a3 ) 2 1 2 ,
例3证明1 (1,0,1)T ,2 (1,1,0)T ,3 (0,1,1)T
是R3的一组基,并求 (2,3,4)T 在1,2 ,3
下的坐标.
证明:
1 1 0 1 1 0
A (1,2,3) 0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 1,
0 0 2
R( A) rank(1,2,3) 3 dim R3
定义3 设n维向量 e1, e2, , er是向量空间 V (V Rn )的一个基,如果e1, e2, , er两两正交且都是单位 向量,则称e1, e2, , er是V的一个标准正交基 (或规范正交基).
例如 1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
称为由基生成的向量空间.
四.向量在一个基下的坐标
知Rn中任一向量 (a1, a2 , , an )
a11 an n
定义2.5.4设1,2 , ,n是n维向量空间Rn中 的一个基, 对于任一向量 Rn ,
总有且仅有一组数x1, , xn使
x11 x22 xnn 由称有序数组x1, , xn为向量 在1,2 , ,n这个基下的坐标.
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1
若n维向量1, 2,
,
是一组两两正交的
r
非零向量,则1, 2, , r线性无关.
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
若向量空间没有基 , 那么V的维数为0. 0维向量空间只含一个零 向量O.
若把向量空间V看作向量组, 则V的基就是 向量组的最大线性无关组,V的维数就是向量组 的秩.
说明: 10.要注意向量空间的维数与向量的维数的区别: dimV V中最大无关组向量的个数. 向量的维数是指向量的分量个数.
20.向量空间的基一般不惟 一.
(, ) a12 a22 an2 ,
称 为n维向量的模或长度,范数.
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性 当 0时, 0;当 0时, 0; 2. 齐次性 ;
3. 三角不等式 .
向量的内积满足施瓦茨不等式
( , )2 ( , )( , ) || ||2 || ||2,
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
(ei , ej ) 0,
(ei
,
e
j
)
1,
i j且i, j 1,2,3,4. i j且i, j 1,2,3,4.
T (1) 2 1 0 0 (1) 2 3 4
说明
1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2 内积是向量的一种运算,如果, 都是列
向量,内积可用矩阵记号表示为:
( , ) a1b1 a2b2 anbn
b1
a1
(a1, a2,
则有 (1,3 ) (2 ,3 ) 0
即
((21,,33))
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
x1 1
3 x2 0
x3 1
由上可知1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交基.
５ 标准正交基
４ 向量空间的正交基
若1,2 , ,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,
是两
r
两正交
的非
零向量组,
则
称
1
,
2
,
,
是
r
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求 3 使1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交
基.
解 设3 x1, x2 , x3 T 0,且分别与1,2正交.
,
an
)
b2 bn
T
(b1,b2 ,
,
bn
)
a2 an
T
内积的运算性质
其中, , 为n维向量,为实数:
(1)(, ) (,) (2) (, ) (, );
(3)( , ) (, ) (, )
(4)(,) 0,(,) 0当且仅当 0
二、向量的长度及性质
定义2 令
1 , 2 , 3线性无关, 且为R3的一个基.
设 x11 x2 2 x33
即(1, 2
,3
)
x1 x2
x3
1 则0
1 1
10
x1 x2
AX
1 0 1 x3
对( AB)施行初等行变换, 若A能变为E,
B变为X A1B
1 1 02 1 1 02 1 1 02 ( AB) 0 1 13 0 1 13 0 1 13
(2)集合V1 x (0, x2, , xn ) | x2, , xn R;
有 0,a2 b2 , ,an bn T V1
0, a2 , , an T V1 .
V1是向量空间.
(3)集合V2 x | , R,
, 为两个已知的n维向量
证明(3)
x1 1 1 V2 , x2 2 2 V2， 有 x1 x2 (1 2 ) (1 2 ) V2,
所以 e1, e2 , e3, e4为R4的一个标准正交基 .
同理可知
1 0 0 0
