弹性力学有限元法.ppt

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在离散体中任取一个单元，三个节点按逆时针方向顺序编
号为i，j，m。节点坐标分别表示为（xi，yi），（xj，yj）， （xm，ym）。
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对于弹性力学平面问题，一个三角形单元上的每 个节点应有2个位移分量，则三角形单元共有6个自 由度： ui , vi ,u j , v j ,um , vm 。
u x
K
矩形单元：采用双线性位移模式，单元内的应力是线性
变化的。
u kx2 mx
(kx2 mx) x
3. 薄板弯曲单元和薄板单元
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4. 多面体单元
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5. 等参数单元：单元内任一点的位移与节点位移之间的关系 恰好和该点的坐标与节点坐标之间的关系相同。
任意四边形的边一般不平行于坐标轴，沿单元边的位 移将按抛物线变化，而不是线性变化。
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（2）分析单元的力学性质 列出单元节点和节点位移之间的关系式。应用几何方程和
物理方程来建立力和位移的方程式，导出单元刚度矩阵。
节点载荷和节点位移之间的关系式为：
Fe Kee
K e 为单元刚度矩阵。
（3）计算等效节点力：用等效的节点力来代替所有在单元 上的力。
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元位移模式。
u(x, v(x,
y) y)
Ni
(x, 0
y)
0 N j (x, y) Ni (x, y) 0
0 Nm (x, y) N j (x, y) 0
0
Nm
(
x,
y)
u Ne
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• N称为形函数矩阵或插值函数矩阵。
插值函数具有如下性质： （1）在节点上插值函数的值有：
vi a4 a5 xi a6 yi
u j a1 a2 x j a3 y j
v j a4 a5 x j a6 y j
um
a1
a2 xm
a3 ym
2021/3/11 vm a4 a5 xm a176 ym
由上式可以确定 a1, a2,a6 的值。将其带入 （1）式就可以得到用单元节点位移表示的单
以直角坐标系XOY下的任意直边四边形单元单元的形心 为坐标原点，用等分它四个边的两条直线为坐标轴，建立一 个非正交的局部座标系 o1 ，使单元边界上的 、 是1 ， 这样在局部坐标系中构成一个矩形单元。矩形单元的节点和 内部任一点都与原总体坐标系中的单元的节点和内部点形成 一一对应关系。总体坐标系适用于整个结构，局部坐标系只 适用于具体某个单元。
第3章 弹性力学有限元法
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3.1有限元法求解问题的基本步骤
1. 问题及求解域定义 2. 连续体离散化
即有限元网格划分，将连续体划分为有限个具 有一定形状的单元组合体，相邻单元之间通过节点 相连接。
3. 单元分析 （1）选择位移模式
位移法：选择节点位移作为基本未知量。（应用较多） 力法：选择节点力为基本未知量。 混合法：取一部分力和一部分节点位移作为基本未知量。
将单元的位移分量u，v取为坐标x，y的多项式，且位移 场函数u，v在三个节点处的数值应该等于这三个节点处的六 个位移分量。 即有：
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u(x, v(x,
y) y)
a1 a4
a2 a5
x x
a3 a6
y y
在i，j，m三点应该有：
(1)
ui a1 a2 xi a3 yi
Ni (x, y) ij 10当当jj=i（i i,j,m)
（2）在单元内任一点各插值函数的和等于一。
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6. 轴对称单元： 几何形状是回转体，所受约束和外力对称于回转轴的
机械机构称为轴对称问题。对此类问题一般采取柱坐标系 来描述应力和变形。
对于此类问题采用轴对称单元。
划分网格的基本原则： （1）网格数量：网格数量增加，计算精度会有所提高。 （2）网格疏密：在结构不同处采用不同的网格形式。 （3）单元阶次：网格数量较少时，计算精度差别较大，采 用高阶单元。网格数量较多时，采用两种单元的精度相差不 大，采用低阶单元计算量降低。
常用的单元类型： 1. 杆单元
一维单元，位移仅是轴向座标的函数。
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2. 平面单元 二维单元，单元内任意点的应力、应变、位移仅与两个
座标方向的变量有关。
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三角形单元：采用线性位移模式，在整个单元内各点的 应变值为常数，所以也称为常应变单元或常应力单元。
u kx
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3.3 单元分析
1. 单元的插值函数 如果弹性体内的位移分量已知，则应变分量和
应力分量也可以确定了。
F Ku
~ u 几何方程 E 虎克定律
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பைடு நூலகம்
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对于整体划分单元后，在每个单元的局部范围里可以采 用比较简单的函数来近似地表达单元的真实位移，把各单元 的位移函数连接起来，就可以近似表示整个区域的真实的位 移函数。
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（4）网格质量：网格几何形状的合理性，网格质量 的好坏会影响计算精度，对于太差的网格形状程序 将会自动停止计算。 （5）网格分界面和分界点：结构中一些特殊位置的 界面或特殊位置的点应分为网格边界或节点。 （6）位移协调性：一个单元的节点必须也是相邻单 元的节点，只有这样单元上的力和力矩才能够通过 节点传递到相邻单元。 （7）网格布局：对于对称结构应该划分对称单元。 （8）节点和单元编号：一般情况下程序自动编号。
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4. 组成物体的整体方程组 由单元刚度矩阵构成整体刚度矩阵。对总体建立方程：
F Ku
5. 求解有限元方程和结果解释 根据边界条件和初始条件求解上式，得到节点位移。
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3.2 连续体离散化
结构的离散化也称为有限元网格划分，即将求解域近似 为具有不同有限大小和形状且只在节点上彼此相连的有限个 单元组成的离散域。
三角形单元的节点位移矢量是：
e (ui , vi ,u j , vj ,um, vm )T
单元节点力矢量是：
Fe
(
X
e i
,
Yie
,
X
e j
,
Yje
,
X
e m
,
Yme
)T
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单元分析的基本任务是建立单元节点力与节点位移之间的 关系式：
Fe Kee
式中 K e 是6*6的矩阵，称为单元刚度矩阵。