巧用“极值法”解物理电学题(最大功率等)

巧用数学极值法解决物理电学压轴题作者：陈孝姜来源：《中学理科园地》2016年第05期摘要：一元二次函数是初等数学的重要内容，须掌握好它的图像和性质，本文简单地举例了一元二次函数在物理电学题中的应用，同时也是数理结合思想的一次实践。

关键词：一元二次函数；图像；数理结合；应用初中数学的抛物线原理是线上的每一点到一个定点（极点）和到一条定直线（准线）的距离相等，它是切割平行于圆锥的轴线而得到曲线，现在的定义和公式只是为了能在笛卡尔发展的直角坐标系（图1）中更方便的研究它而发展为现在的公式：y=ax2+bx+c，通过配方法，y=ax2+bx+c=a[x2+b/a x）+c=a[x2+b/a x+（b/2a）2- （b/2a）2]+c =a[x +（b/2a）]2- （b2-4ac）/4a，我们可以找到这个准线和极点D的坐标（-b/2a，-（b2-4ac）/4a（图2），俗话说：数理不分家！数学一元二次方程所涉及到的极值问题在初中物理电学计算题中就经常出现，由于极值问题可以考查学生对物理综合分析能力和应用数学思维解决物理问题的能力，所以它既是物理学习中的难点，又是中考的热点，往往作为难度系数较大的中考压轴题出现，希望通过我的解答，能使各位执教者有所收获，解决这一类物理中的数学问题 [1 ]。

例1、如图3甲所示电路中，R0为定值电阻，R1为滑动变阻器。

图3乙是该滑动变阻器消耗的电功率P与电流表示数关系的图像。

求（1）该滑动变阻器的最大值是多少Ω？（2）滑动变阻器消耗的最大功率是多少W？分析：根据串联电路电流与电压特点，当滑动变阻器滑片往b滑时，R1阻值变大，电压U1变大，但电路中的电流I1变小，即P1=U1↑I1↓，两个变化大小相反的物理量，无法判断P1值是变大还是变小，因此需结合图3（乙）分析。

分析：利用串联电路总电压等于分电压之和的特点，同时利用数学一元二次方程配方的方法，及R0已知的条件，巧妙地把求P1的问题，尽量化为与 U总、R0关系，从而解得结果：∴当（I1-0.6）2=0，即此时I1=0.6A，滑动变阻器功率P1最大值为3.6W（如图4）。

专题28 电功率相关的极值（范围）问题类型1“极值”问题（1）判断定值电阻的最值功率时，抓住不变量(R)，其功率的最值取决于定值电阻两端的电压最值或通过定值电阻的电流最值。

（2）判断电路总功率的最大值或者最小值时，抓住不变量(电源电压U)，则电路总功率的最值取决于接入电路的总电阻。

（3）判断滑动变阻器的最值功率时，当滑动变阻器最大阻值R1大于与其串联的定制电阻R2时，随着变阻器接入阻值的增大，所消耗的电功率先增大后减小，电功率最大值为22max14RUP .1．如图甲所示，电源电压恒为6V，滑动变阻器最大阻值为50Ω，电流在0.1~0.4A之间时电子元件均能正常工作，通过电子元件的电流与其两端电压的关系如图乙所示，电子元件正常工作时（）A．通过电子元件的电流与其两端的电压成正比B．当电流为0.1A时，电子元件的阻值为10ΩC．滑动变阻器允许接入电路的最大阻值为20ΩD．电路消耗的最大功率为2.4W2．如图甲所示的电路中，R0为定值电阻，滑动变阻器R最大阻值为5Ω，闭合开关后，调节滑动变阻器R的阻值，根据记录的数据，作出U﹣I关系图像如图乙所示，由图像可知（）A．电源电压U=2.0V B．电压表的最大示数为1.5VC．定值电阻的阻值R0=1.0ΩD．电路的最大功率为4.5W3．如图甲所示，R1为定值电阻，闭合开关，滑动变阻器R2的滑片从b端滑到a端的过程中，R2消耗的电功率P与其两端电压U的关系图象如图乙所示，下列说法不正确的是（）～A．电流表的变化范围为0.10.6AR的最大电阻为50ΩB．滑动变阻器2C．该电路消耗的最大电功率为3.6WR的电阻值为10Ω，电源电压为10VD．14．如图所示电路，电源两端电压为4.5V且保持不变。

电阻R1为10Ω，滑动变阻器R2的铭牌上标有“20Ω，1A”的字样，电流表的量程为0~0.6A，两块电压表的量程均为0~3V，在保证电路安全的条件下，下列说法中正确的是（）A．滑动变阻器R2的阻值取值范围为5Ω~15ΩB．电流表A的示数变化范围为0.15A~0.45AC．滑动变阻器R2的最大功率为0.45WD．总功率的变化范围为0.675W~1.35W5．如图所示电路中，电源电压不变，小灯泡L标有“6V3W”字样。

干货分享：运用数学知识巧解初中物理电学问题，物理学霸必修课！先给大家上一张图片，这个就是我们在学习初中物理电学部分经常用到的数学方法。

下面我们通过例题逐一为大家讲解函数极值（极限法）&不等式例1.在如图所示的电路中,电阻R1=8Ω,R2=10Ω，电源电压及定值电阻R的阻值未知。

当开关S接位置1时，电流表示数为0.2A.当开关S接位置2时，电流表示数的可能值在___A到___A之间。

电路图对于这一题，下面用两种数学方法解答：方法一：函数极值（极限法）当开关接位置1时，由欧姆定律得：U=0.2A(R1+R) （1）当开关接位置2时，由欧姆定律得：U=I(R2+R) （2）因电压值不变，联立（1）（2）两式可得：0.2A(8Ω+R)=I(10Ω+R)，解得：过程由分式的加减法可得：过程由化简之后的式子可知是个反比例函数，因R未知，故R可能为从0到无穷大的任意值，当R=0时，函数有最小值，即：I=0.2A-0.04A=0.16A，当R取无穷大时，函数有最大值，I无限接近于0.2A，故电流值可以从0.16A到0.2A。

方法二：不等式求解因为R2>R1，所以当开关S由位置1切换到位置2时，它们前后两次的电压应该满足下列不等式组：IR<0.2axr>Ix10Ω>0.2Ax8Ω (2)联立（1）（2）解得：0.16A<><>本道题目重点考察了大家对于数学知识中的函数极值求解及不等式运用的综合能力，希望大家能够掌握。

比值、比例应用例2.如图所示电路，当开关S1、S2闭合，S3断开时，电流表的示数为1.2A；当S2、S3闭合，S1断开时，电流表的示数为1.8A，则当S1闭合，S2、S3断开时，电流表的示数为？电路图解题过程所以答案为0.4A.由最后一步式子可知，即使电源电压不知道，我们在做比值的时候也可以把它消去，所以我们在求解电学问题时不要被未知的物理量太多而吓住，有时不一定要全部求出来，在中间的化简过程中可能就被消去了。

九年级物理电功率极值题型1.电功率相关的极值专题练1.1 题目描述下图所示电路中，电源电压恒定，灯L标有“3 V1.5 W”字样且电阻不变，电压表量程为～3 V，电流表量程为～0.6 A，滑动变阻器标有“30Ω2 A”字样．闭合开关S，移动滑片P，当电压表示数为2.7 V时，电流表示数为0.3 A，求：1)电源电压为多少？2)为保证电路安全，滑动变阻器允许接入的阻值范围是多少？3)移动滑片P，电路总功率的最小值和最大值各为多大？1.2 解题思路1) 由欧姆定律可知，电路中的电流I=U/R，其中U为电源电压，R为电路总电阻。

因为灯L标有“3 V1.5 W”字样，所以其电阻为R=L^2/P=3^2/1.5=6Ω。

根据电路中电流和电压的关系，可得到U=IR=0.3×6=1.8V。

2) 为保证电路安全，需要保证电路中的电流不超过滑动变阻器的额定电流，即0.3A。

根据欧姆定律可知，滑动变阻器允许接入的阻值范围为R=U/I=3/0.3=10Ω。

3) 电路总功率P=UI=I^2R。

根据已知条件可得，当电压表示数为2.7 V时，电流表示数为0.3 A，所以电路总功率为P=0.3×2.7=0.81W。

移动滑片P，电路总功率的最小值和最大值分别对应电流表量程的最小值0A和最大值0.6A，即P=0和P=UI=0.6×6×6=21.6W。

1.3 答案1) 电源电压为1.8V。

2) 滑动变阻器允许接入的阻值范围为10Ω。

3) 移动滑片P，电路总功率的最小值为0W，最大值为21.6W。

2.如图所示，电源电压保持不变，灯泡上标有“12 V6 W”字样，定值电阻R1＝120Ω，滑动变阻器R2上标有“50Ω1 A”字样，电压表的量程选用“～3 V”．断开S2，闭合S和S1，滑片P移到B端，灯泡刚好正常发光．求：1)将滑片P移到B端，三个开关都闭合，1 min内电路消耗的电能是多少？2)断开S1，闭合S和S2，在保证电路安全的前提下，电路消耗的最小功率是多少？2.1 解题思路1) 将滑片P移到B端，三个开关都闭合后，电路中的电流为I=U/R，其中U为电源电压，R为电路总电阻。

2019高考物理极值法解题例题解析俗话说，“习惯成自然”，良好的学习习惯对学习有着重要的促进作用，查字典物理网小编编辑整理了高考物理极值法解题例题解析，希望考生们通过对复习资料的娴熟来为考试复习锦上添花。

一、方法简介
通常状况下，由于物理问题涉及的因素众多、过程困难，很难干脆把握其改变规律进而对其做出精确的推断.但我们若将问题推到极端状态、极端条件或特别状态下进行分析，却可以很快得出结论.像这样将问题从一般状态推到特别状态进行分析处理的解题方法就是极端法.极端法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极端法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路敏捷，推断精确.
用极端法分析问题，关键在于是将问题推向什么极端，采纳什么方法处理.详细来说，首先要求待分析的问题有“极端”的存在，然后从极端状态动身，回过头来再去分析待分析问题的改变规律.其实质是将物理过程的改变推到极端，使其改变关系变得明显，以实现对问题的快速推断.通常可采纳极端值、极端过程、特别值、函数求极值等方法.
二、典例分析
1.极端值法
对于所考虑的物理问题，从它所能取的最大值或最小值方面进行分析，将最大值或最小值代入相应的表达式，从而得到所需的结
论.
【例1】如图所示，电源内阻不能忽视，R1=10Ω，R2=8Ω，当开关扳到位置1时，电流表的示数为0.2A;当开关扳到位置2时，电流表的示数可能是。

微专题17-6 极值范围类计算知识·解读一，引起电路变化地因素：（1）滑动变阻器接入电阻可变，敏感电阻受环境因素地影响可变。

（2）开关地开，闭情况不同。

二，影响电路安全地因素：（1）电流表，电压表量程。

（2）用电器规格(灯泡地“U额，P额”或滑动变阻器地规格“a Ω b A”)。

三，解题步骤：第一步：列出极值要保证电路地安全,首先要将题目中给了规格地各圆件地额定电压，额定电流或允许通过地最大电流罗列出来,这样可以避免遗漏某个圆件.第二步：确定电路状态由题干限制款件(滑片位置或开关状态),确定此时地电路连接情况.第三步：求物理量极值，范围由电路连接状态,在电路安全地款件下,各物理量极值或范围均是在物理量I，R地基础上求得地,因此确定I，R地极值尤为重要.（1）串联电路中电路安全时：a.电流表量程。

b.R变安全电流。

c.I min= .三者中最小值为电路可通过电流最大值,此时滑动变阻器接入电阻最小.a.R变铭牌上地最大值。

b.R变两端电压允许地最大值对应地接入电阻二者最小值为R变min,此时电路电流为I max.（2）并联电路中电路安全：思路各支路所允许地最大电流,支路电流之和为干路地最大值,同时要考虑干路电流表地量程.典例·解读例1，如图所示,小灯泡L标有“6 V　3 W”字样(不计温度对灯丝电阻地影响)．当S闭合,滑动变阻器滑片P在最左端时,小灯泡L正常发光。

当S闭合,S1断开,滑动变阻器滑片P在中点时,电流表地示数为0.2 A．下面表述正确地是( )A. 电源电压为9 VB. 滑动变阻器地最大阻值为18 ΩC. 调节电路圆件,可使电压表达到地最大值为4.5 VD. 电路地最小功率与最大功率之比为3∶16例2，如图所示,电源电压U=8V 保持不变,小灯泡上标有“6V,4W”字样,电阻R 2=30Ω。

闭合电键后,若滑动变阻器R 1地滑动片P 在离b 端1/4处时,小灯泡地实际功率为1W 。

九年级物理电功率极值题型九年级物理电功率极值题型及解法电功率是九年级物理的重要知识点之一，而电功率极值问题则是其中的难点。

为了帮助大家更好地掌握这一知识点，本文将结合实例，详细介绍九届物理电功率极值题型的解法。

一、题型分析电功率极值问题主要包括两种类型：一种是纯电阻电路中的电功率极值问题，另一种是滑动变阻器电路中的电功率极值问题。

解决这类问题的关键在于理解电功率的概念和计算公式，并能够灵活运用欧姆定律等相关知识。

二、解题方法1、纯电阻电路中的电功率极值问题【例题】在一个纯电阻电路中，已知电源电压为6V，定值电阻的阻值为4Ω，求电路中的最大电功率和最小电功率。

【分析】在纯电阻电路中，电功率等于电压与电流的乘积，因此要找到电路中的最大电流和最小电流，即可求得最大电功率和最小电功率。

【解答】根据欧姆定律，电路中的最大电流为：Imax = U / R = 6V / 4Ω = 1.5A此时，电路中的电功率为：Pmax = UImax = 6V × 1.5A = 9W同理，电路中的最小电流为：Imin = 0A此时，电路中的电功率为：Pmin = UImin = 0W所以，电路中的最大电功率为9W，最小电功率为0W。

2、滑动变阻器电路中的电功率极值问题【例题】在如图所示的电路中，电源电压为12V，定值电阻的阻值为2Ω，滑动变阻器的最大阻值为10Ω。

求当滑动变阻器的滑片移动到什么位置时，电路中的电功率最大？最大电功率是多少？【分析】在滑动变阻器电路中，当滑动变阻器与定值电阻并联时，电路中的总电阻最小，电流最大，从而得到最大电功率。

【解答】设滑动变阻器滑片移动到距离左侧的距离为x（0≤x≤10），则滑动变阻器在电路中的电阻为：Rp = 10xΩ根据并联电路的特点，电路中的总电阻为：R总 = R || Rp = 2 || 10x Ω = (2 - 5x) / 5xΩ根据欧姆定律，电路中的总电流为：I总 = U / R总 = 12V / ((2 - 5x) / 5x)Ω = - 60x² / (2 - 5x)A所以，电路中的电功率为：P总 = UI总 = 12V × (- 60x² / (2 - 5x)A)= - 720x³ / (2 - 5x)W令dP总 / dx = 0，解得：x = - 2/5 (舍去)，或 x = 2/5所以，当滑动变阻器的滑片移动到距离左侧的距离为4/5时，电路中的电功率最大，最大电功率为：Pmax = -720 × (4/5)³ / ((2 - 5 ×4/5) W = 384W三、总结本文通过两个实例详细介绍了九年级物理电功率极值题型的解法。

初中物理电学极值问题解题技巧
解决初中物理电学极值问题的技巧有以下几点：
1. 理解题目中的物理概念：需要明确题目中涉及的电学概念，例如电流、电压、电阻等。

2. 绘制电路图：将问题中的电路图清晰地画出来，包括电源、电阻等元件。

3. 应用欧姆定律：根据题目中给出的电路信息和欧姆定律（U=IR），使用适当的公式计算电压、电流或电阻。

4. 分情况讨论法：在解决电学极值问题时，可能会有不同的情况需要进行分析。

根据题目的要求，列出各种情况，并按照给定条件进行计算。

5. 求导法：对于一些复杂的问题，可以使用微积分中的导数求解。

根据电学理论和相关公式，将问题转化为数学函数，然后进行求导运算，找到函数的最大值或最小值。

6. 化简计算：在运算过程中，注意合并同类项、化简分数、消去无关项等简化计算的技巧，以便得到最简洁的答案。

7. 检查答案：在计算完成后，对结果进行检查，确保答案的合理性和正确性。

比对物理概念和实际情况。

需要注意的是，解决电学极值问题需要对物理概念和公式有一定的理解和掌握，并且需要在实际问题中进行灵活运用。

反复练习不同类型的题目，提高解题的技巧和准确性。

第6讲 极值法（解析版） —高中物理解题方法28法20讲江苏省特级教师学科网特约金牌名师 戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。

本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。

一、 二次函数求极值二次函数a ac b a b x a c bx ax y 44)2(222--+=++=，当abx 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。

例题 1. 试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。

【解析】设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。

第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。

碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。

假使这四个速度都在一条直线上。

根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' （2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。

碰撞中动能损失为ΔE k =()22()22222211222211'+'-+vm v m v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1）得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4）代入（3）得：k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+]解法1. 二次函数求极值,当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ （5） 时∆E k 有极大值。

2022高中物理解题技巧14份极值法
数的极值问题，主要是解决数函数关系及其定义域的问题，这是由数
条件所制约的。

但是物理极值与数极值有明显的区别。

物理极值，实质是
针对某一物理现象的动态范围、发展变化趋势及其极限，这是由物理条件
所制约的。

物理极值，经常表现为物理约束条件下的最大或最小值，这与
数极值有本质的区别。

就思维表现看，求极值过程是归纳和演绎综合运用
过程。

在错综复杂的变化条件，要归纳一般的状态表现，又要在此基础上，经演绎推理，寻求特殊的极端模型。

这也是建立理想化模型，也要理想化。

显然，解极值过程是综合运用几种常规的思维方法的高层次的思维过程。

另一方面，解极值过程，需要借助一些初等数手段，靠扎实的数基础。

从
所应用的数手段看，求极值可与为下列几种方法：
（一）利用分式的性质求极值
例5物体A放在水平面上，作用在A上的推力F与水平方向成30角，如图示。

使A作匀速直线运动。

试问，当物体A与水平面之间的摩擦系数
μ为多大时，不管F增大到多大，都可以使A在水平面上，作匀速直线
运动
得F=
由已知当公式的分母为零，即F→∞的匀速运动时
in30－μco30=0时得μ=tg30=0.58，则F→∞，此时都可以使A在
水平面上作匀速直线运动。

有关电功率计算的电学极值(或范围)问题：用电器有额定值、电表有量程、滑动变阻器有最大阻值和允许通过的最大电流，当电路发生动态变化时，不能超过这些值，于是就出现了所求物理量的极值(或范围)问题。

解题策略：(1)重视不变量：电源电压与定值电阻的阻值。

(2)寻找可求量与要求量之间的关系：1.〈2016·聊城〉如图所示，小灯泡L标有“6V3W”的字样，不考虑灯丝电阻的变化，滑动变阻器的最大阻值R为24Ω，电源电压保持不变。

当S闭合，S1、S2断开，滑片P滑到中点时，小灯泡恰好正常发光。

保持滑片P的位置不变，闭合S、S1、S2，发现电流表的示数变化了1A。

求：(1)小灯泡正常发光时的电流。

(2)电源电压。

(3)当开关S、S1、S2都闭合时，电路消耗总功率的最小值。

2.〈2015·南充〉把标有“1A6W”的L1和“2A6W”的L2两个灯泡并联接入电路中，如图所示，让其中一个灯泡正常发光，另一个灯泡的实际功率不超过额定功率，则该电路中干路电流是______A，两灯消耗的实际总功率为______W。

3.〈2015·安顺〉如图所示，灯泡R1的电阻为50Ω、额定功率为2.5W，滑动变阻器R2的最大电阻为200Ω，电源电压为10V保持不变，闭合开关，移动滑动变阻器的滑片。

不考虑灯泡电阻随温度变化这一因素，求：(1)灯泡R1消耗的最大功率是多少？(2)电压表的读数变化范围是多少？4.〈2015·雅安〉如图所示，灯L 标有“6V 3W ”字样，电源电压恒为6V ，定值电阻R ＝6Ω，设灯L 的阻值不随温度变化而变化。

求：(1)灯L 正常发光时的电阻是多少？(2)只闭合S1、S3时，电阻R 在60s 内产生的热量是多少？(3)要使整个电路消耗的电功率最小(且电路电流不为0)，各开关的断开闭合情况应如何？此时的最小电功率为多少？5. 如图20所示的电路，电源电压保持不变。

只闭合S 1和S 3时，电流表的示数为I 1；断开S 1，闭合S 2、S 3和S 4时，电流表的示数为I 2；当闭合S 1、S 4，断开S 2和S 3，电阻R 3消耗的功率为10W ，已知I 1∶I 2＝2∶3，R 3＝2R 2，计算：(1) R 1与R 2的比值；（2）该电路消耗的最大电功率．6.在图24所示电路中，电源电压6V 恒定，电流表的量程为0～0.6A ，电压表的量程为0～3V ，灯L 1和L 2的规格分别为“6V 1.8W ”和“6V 1.2W ”，滑动变阻器R 的规格为“50Ω 1.5A ”，不计温度对灯丝电阻的影响。

中考复习备考电学计算题电功率极值问题1.在如图所示的电路中，电源电压恒为6V，滑动变阻器R2标有“20Ω3A”。

闭合开关S，电流表的示数为0.3A。

求（1）R1的阻值；（2）R2允许接入电路的最小阻值；（3）整个电路允许消耗的最大功率与最小功率之比。

2.如图所示的电路中，电源电压保持恒定，定值电阻R0=15Ω，滑动变阻器R最大阻值为10Ω。

闭合开关S1和S2，当滑动变阻器接入电路中的阻值为零时，电流表A1、A2的示数分别为1.0A、0.4A。

求：（1）电阻R x的阻值；（2）闭合S1，断开S2，调节滑动变阻器，求电路消耗功率的范围。

3.如图所示，电源电压恒定，R0是定值电阻，小灯泡L标有“6V3W”，滑动变阻器R1的最大阻值为20Ω。

三个开关均闭合时，小灯泡恰好正常发光，电流表示数为1.5A。

（1）求小灯泡的额定电流；（2）求电阻R0的阻值；（3）闭合S，断开S1和S2，移动变阻器的滑片P，求电路总功率的最小值和最大值。

4.如图所示，电源电压保持不变，小灯泡规格是“3V1.5W”，R1=10Ω，滑动变阻器R2上标有“20Ω1A”，电压表选用3V量程。

断开S2，闭合S和S1，当滑片P 移到变阻器中点时，小灯泡正常发光。

求：（1）小灯泡正常发光时的电流；（2）电源电压；（3）断开S1，闭合S和S2，在保证电路元件安全前提下，电路消耗的最大功率是多少。

5.如图所示的电路中，电源电压恒定为4.5V，灯泡L上标有“2.5V1.25W”字样（灯丝电阻不变），定值电阻R1阻值为15Ω，滑动变阻器R2的规格为“20Ω1A”，电流表量程为0-0.6A，电压表量程为0-3V，求：（1）小灯泡L的电阻；（2）闭合开关S、断开开关S1、S2，电流表示数为0.3A，此时滑动变阻器R2连入电路的阻值；（3）闭合开关S、S1、S2，滑动变阻器的滑片滑至最右端，通电1min定值电阻R1产生的热量；（4）闭合开关S、S1、S2，在确保电路各元件安全的情况下，滑动变阻器R2的最大功率。