异步电机数学模型

异步电机的数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统[1]。

在研究异步电机的多变量数学模型时，常作如下假设：(1)三相绕组在空间对称互差ο120，磁势在空间按正弦分布； (2)忽略铁芯损耗；(3)不考虑磁路饱和，即认为各绕组间互感和自感都是线性的； (4)不考虑温度和频率变化对电机参数的影响。

异步电机在两相静止坐标系上的数学模型：仿真的基本思想是利用物理的或数学的模型来类比模仿现实过程，以寻求过程和规律。

在实际过程中，系统可能太复杂，无法求得其解析解，可以通过仿真求得其数值解。

计算机仿真是利用计算机对所研究系统的结构、功能和行为以及参与系统控制的主动者——人的思维过程和行为，进行动态性的比较和模仿，利用建立的仿真模型对系统进行研究和分析，并可将系统过程演示出来。

系统仿真软件MATLAB 不但在数值计算和符号计算方面具有强大的功能，而且在计算结果的分析和数据可视化方面有着其他类似软件难以匹敌的优势。

界面友好，编程效率高，扩展性强。

MATLAB 提供的SIMULINK 是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的软件包。

SIMULINK 的目的是让用户能够把更多的精力投入到模型设计本身。

它提供了一些基本的模块，这些模块放在浏览器里面，用户可以随时调用。

当模型构造之后，用户可以进行仿真，等待结果，或者改变参数，再进行仿真。

异步电机的动态数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统，其动态和静态特性都相当复杂。

以下将介绍用SIMULINK 如何来建立三相异步电机的计算机仿真模型，为以后的系统仿真做好准备。

经过三相静止/两相静止坐标变换及两相旋转/两相静止坐标变换，可得异步电机在两相静止坐标系上的数学模型。

电压方程：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+++=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡βαβαβαβαωωωωr r s s r r r m m r r r r m r m m S m S r r s s i i i i P L R L P L L L P L R L P L P L P L R P L P L R u u u u 22110000磁链方程：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡βαβαβαβαψψψψr r s s r mr m m sm s r r s s i i i i L L L L L L L L 00000000转矩方程：[])(0110βααββαβαr s r s m p r r s s m p e i i i i L n i i i i L n T -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅= 转速方程：L e rp T T dt d n J -=ω式中： m m L L 123=—οβα、、静止坐标系上定子与转子绕组间的互感，m s s L L L 123+=σ—οβα、、静止坐标系上两相定子绕组的自感，m r r L L L 123+=σ—οβα、、静止坐标系上两相转子绕组的自感，1R 、2R —定、转子电阻，L T 为负载阻转矩，J 为机组的转动惯量，p n 极对数，r ω为电机转子的旋转角速度。

异步电动机的数学模型和电压空间矢量异步电动机的数学模型异步电动机的数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。

在建立其数学模型时作如下假定。

（1）电动机定、转子三相绕组完全对称，所产生的磁势在气隙空间中呈正弦分布。

（2）忽略铁芯涡流、饱和及磁滞损耗的影响，各绕组的自感和互感都是线性的。

（3）暂不考虑频率和温度变化对电机参数的影响。

异步电机的数学模型一般包括电压方程、磁链方程、电磁转矩方程和机电运动方程。

对异步电机进行分析和控制时，均需对三相进行分析和控制，若引入Park 矢量变换，会带来很多方便。

Park 矢量变换将三个标量（三维）变换为一个矢量（二维）。

如图2.1所示，选三相定子坐标系中的a 轴与Park 矢量复平面的实轴α轴重合可得α、β坐标系。

图2.1 a 、b 、c 坐标系与α、β坐标系的关系三相静止坐标系(a 、b 、c)到两相静止坐标系(α、β)的3/2变换矩阵为：1112223022C ⎡⎤--⎢⎥⎢=⎢-⎢⎣⎦ （2.1） 可得到异步电机在两相静止坐标系(α、β)中的电压方程：0000s s s s m s s s s m r r m r mr r r r r r r mm r rr r U i R L p L p U i R L pL p U i L p L R L p L U i L L pL R L p ααββααββωωωω+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （2.2） 式中：s R 、r R ――分别为定子电阻和转子电阻；s L 、r L 、m L ――分别为定子自感、转子自感和定、转子互感；r ω――电机转子角速度（电角速度）；s U α、s U β――分别为定子电压的α、β分量；r U α、r U β――分别为转子电压的α、β分量,在鼠笼机中r U α＝r U β＝0； s i α、s i β――分别为定子电流的α、β分量； r i α、r i β――分别为转子电流的α、β分量；p ――微分算子，dp dt=。

异步电动机动态数学模型
异步电动机是目前应用最广泛的电机之一，它在各种工业和民用
领域中扮演着重要角色。

为了更好地控制异步电动机的运转，需要对
其进行动态数学模型建立。

异步电动机动态数学模型主要有两种，分别为转子定子“dq”坐
标模型和矢量控制模型。

下面针对这两种模型来进行详细介绍。

转子定子“dq”坐标模型是一种传统的动态数学模型，它通过转
子电流和定子电压的之间的相互作用来描述异步电动机的运转。

该模
型采用dq坐标系来描述电机转子和定子磁电量的动态变化规律。

在该
模型中，异步电动机的动态方程由Vdq、Idq、ω、ψd、ψq等变量的
微分方程组成，其中Vdq为定子dq坐标系瞬时电压，Idq为定子dq坐标系电流，ω为转子机械角速度，ψd和ψq分别为定子dq坐标系磁链。

矢量控制模型是一种比较新的动态数学模型，它采用磁场定向原
理来描述异步电动机的运转。

该模型通过电机磁链的矢量控制来实现
对电机的动态控制。

在该模型中，磁链矢量控制可以通过控制电机空
间矢量波的角度和大小来实现。

该模型可以使用Park变换和Clarke
变换将电机三相坐标系转换为dq坐标系，进而通过PI控制算法实现
对电机的动态控制。

总体来说，异步电动机动态数学模型可以帮助我们更好地掌握异
步电动机的运转规律，为实际控制提供指导意义。

无论采用哪种模型，
都需要进行模型参数的识别和校正，并根据具体情况确定控制策略，才能更好地实现对异步电动机的控制。

异步电机的数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统[1]。

在研究异步电机的多变量数学模型时，常作如下假设：(1)三相绕组在空间对称互差 120，磁势在空间按正弦分布； (2)忽略铁芯损耗；(3)不考虑磁路饱和，即认为各绕组间互感和自感都是线性的； (4)不考虑温度和频率变化对电机参数的影响。

异步电机在两相静止坐标系上的数学模型：仿真的基本思想是利用物理的或数学的模型来类比模仿现实过程，以寻求过程和规律。

在实际过程中，系统可能太复杂，无法求得其解析解，可以通过仿真求得其数值解。

计算机仿真是利用计算机对所研究系统的结构、功能和行为以及参与系统控制的主动者——人的思维过程和行为，进行动态性的比较和模仿，利用建立的仿真模型对系统进行研究和分析，并可将系统过程演示出来。

系统仿真软件MATLAB 不但在数值计算和符号计算方面具有强大的功能，而且在计算结果的分析和数据可视化方面有着其他类似软件难以匹敌的优势。

界面友好，编程效率高，扩展性强。

MATLAB 提供的SIMULINK 是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的软件包。

SIMULINK 的目的是让用户能够把更多的精力投入到模型设计本身。

它提供了一些基本的模块，这些模块放在浏览器里面，用户可以随时调用。

当模型构造之后，用户可以进行仿真，等待结果，或者改变参数，再进行仿真。

异步电机的动态数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统，其动态和静态特性都相当复杂。

以下将介绍用SIMULINK 如何来建立三相异步电机的计算机仿真模型，为以后的系统仿真做好准备。

经过三相静止/两相静止坐标变换及两相旋转/两相静止坐标变换，可得异步电机在两相静止坐标系上的数学模型。

电压方程：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+++=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡βαβαβαβαωωωωr r s s r r r m m r r r r m r m m S m S r r s s i i i i P L R L P L L L P L R L P L P L P L R P L P L R u u u u 22110000磁链方程：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡βαβαβαβαψψψψr r s s r mr m m sm s r r s s i i i i L L L L L L L L 0000000转矩方程：[])(0110βααββαβαr s r s m p r r s s m p e i i i i L n i i i i L n T -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅= 转速方程：L e rp T T dt d n J -=ω式中： m m L L 123=—οβα、、静止坐标系上定子与转子绕组间的互感，m s s L L L 123+=σ—οβα、、静止坐标系上两相定子绕组的自感，m r r L L L 123+=σ—οβα、、静止坐标系上两相转子绕组的自感，1R 、2R —定、转子电阻，L T 为负载阻转矩，J 为机组的转动惯量，p n 极对数，r ω为电机转子的旋转角速度。

矢量控制： 1.坐标变换以产生同样的旋转磁动势为准则，三相静止绕组、两相静止绕组和两相旋转绕组可以彼此等效。

下面以三相静止坐标系下的定子电流i A 、i B 、i C 、两相静止坐标系下的定子电流i α、i β以及两相旋转坐标系下的定子电流i d 、i q 为例，列出变换关系及变换矩阵。

相对应的定子电压和定子磁链间也存在相同的变换矩阵。

（1） 三相静止到两相静止（3/2）变换3/20111220A A B B C C i i i i C i i i i i αβ⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎦ （2）两相静止到两相旋转（2s/2r ）变换2/2cos sin sin cos d s r q i i i C i i i ααββϕϕϕϕ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ϕ：d 轴与α轴夹角（3）三相静止到两相旋转（3s/2r ）变换ss3/22/23/2s s0ss s 11122cos sin 0sin cos 0001cos cos(120)cos(120)si d A A A q s r B s r B B C C C i i i i i C i C C i i i i i i ϕϕϕϕϕϕϕ⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎦-+-ss s n sin(120)sin(120)A B C i i i ϕϕϕ⎡⎤⎥⎡⎤⎥⎢⎥---+⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎣⎦⎥⎢⎥⎣⎦s ϕ：d 轴与定子A 轴夹角（同ϕ）2.异步电动机在两相任意旋转坐标系（dq ）上数学模型推导 （1）电压方程根据3s/2r 变换,将定子电压、电流和磁链转换到dq0坐标系上3/20sd A sq s r B C s u u u C u u u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦② 3/20sd A sq s r B C s i i i C i i i ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦③ 3/20sd A sq s r B C s C ψψψψψψ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦在ABC 坐标系上：0000A sA AB s B BC s C C u R i d u R i dt u R i ψψψ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦④ 将④带入②得：A A s 3s/2rB 3s/2r BC C 0ss s A s s ss s B C cos cos(120)cos(120)cos cos(120)co sin sin(120)sin(120)sd sq s s u i d u R i dt i u i i i ψψψϕϕϕϕϕϕϕϕ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥-+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥----+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦C Cs ss s s(120)sin sin(120)sin(120)A B C d dt ϕψϕϕϕψψ⎡⎤⎥+⎡⎤⎥⎢⎥----+⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎣⎦⎥⎢⎥⎣⎦⑤考虑到：s ssd 12/33s/2r sq s s s000s s cos sin cos(120)sin(120)cos(120)sin(120)sd sdA sq sqB r sC s s C C ϕϕψψψψψψψψϕϕψψψψϕϕ-⎡-⎢⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢+-+⎢⎣sd sd 2r/3s sq 2r/3s sq s0s0s ss s 0s s d dd d cos sin cos(120)sin(120)cos(120)sin(120)A B C sd sq s d C C dt t t d dt ψψψψψψψψψϕϕψψϕϕψϕϕ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+∙⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡-⎢⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎣⎦⎢+-+⎢⎣s s s s s s s 0sin cos 0sin(120)cos(120)0sin(120)cos(120)0sd sq s d dt ψϕϕϕψϕϕϕϕψ⎡⎤⎤⎢⎥⎥--⎢⎥⎥⎥⎢⎥⎥++⎦⎣⎦⑥将③和⑥带入⑤并整理得：sd sd sd sq s 3s/2r 2/33s/2r 2r/3s sq 2r/3ssq s0s0s00sd sd ss s sq sq s0s0d d d d cos cos(d =d sd sq r s s i u i u R C CC C C t t u i i R i t i ψψψψψψψϕϕψψ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++∙ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦s s s s s s s s s s s 0sd s sq s0120)cos(120)sin cos 0sin sin(120)sin(120)sin(120)cos(120)0sin(120)cos(120)0 =sd sq s d dt i R i i ψϕϕϕϕψϕϕϕϕϕϕϕψ⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎛⎢⎥⎢⎥----+--⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎝⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎢⎣ sd sd ssq sq s0s0010d 100d d 000d t tψψϕψψψψ-⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎦⎣⎦⎣⎦令s dqs d =d t ϕω，为dq0坐标系相对于定子的角速度，则变换后定子电压方程为：sd s sd sd dqs sq sq s sq sq dqs sd s0s s0s0u R i p u R i p u R i p ψωψψωψψ=+-⎫⎪=++⎬⎪=+⎭⑦同理，变换后转子电压方程为：rd r rd rd dqr rq rq r rq rq dqr rd r0r r0r0u R i p u R i p u R i p ψωψψωψψ=+-⎫⎪=++⎬⎪=+⎭⑧其中，r dqr =d t ϕω为dq0坐标系相对于转子的角速度，而r ϕ为d 轴与转子a 轴夹角。

6.５异步电动机的动态数学模型和坐标变换本节提要ﻫ异步电动机动态数学模型的性质三相异步电动机的多变量非线性数学模型坐标变换和变换矩阵三相异步电动机在两相坐标系上的数学模型ﻫ三相异步电动机在两相坐标系上的状态方程ﻫ一、异步电动机动态数学模型的性质2. 交流电机数学模型的性质(1）异步电机变压变频调速时需要进行电压(或电流)和频率的协调控制,有电压(电流）和频率两种独立的输入变量。

在输出变量中，除转速外，磁通也得算一个独立的输出变量。

因为电机只有一个三相输入电源，磁通的建立和转速的变化是同时进行的,为了获得良好的动态性能,也希望对磁通施加某种控制，使它在动态过程中尽量保持恒定,才能产生较大的动态转矩。

ﻫ多变量、强耦合的模型结构由于这些原因,异步电机是一个多变量(多输入多输出)系统,而电压（电流)、频率、磁通、转速之间又互相都有影响,所以是强耦合的多变量系统,可以先用图来定性地表示。

图６-43 异步电机的多变量、强耦合模型结构模型的非线性(2)在异步电机中,电流乘磁通产生转矩,转速乘磁通得到感应电动势,由于它们都是同时变化的，在数学模型中就含有两个变量的乘积项。

这样一来,即使不考虑磁饱和等因素，数学模型也是非线性的。

模型的高阶性ﻫ（３)三相异步电机定子有三个绕组，转子也可等效为三个绕组,每个绕组产生磁通时都有自己的电磁惯性,再算上运动系统的机电惯性,和转速与转角的积分关系，即使不考虑变频装置的滞后因素，也是一个八阶系统。

ﻫ总起来说，异步电机的动态数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。

ﻫ二、三相异步电动机的多变量非线性数学模型假设条件：ﻫ (1)忽略空间谐波，设三相绕组对称，在空间互差１20°电角度，所产生的磁动势沿气隙周围按正弦规律分布；(2）忽略磁路饱和,各绕组的自感和互感都是恒定的;(３)忽略铁心损耗；ﻫ (4)不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响。

1. 电压方程三相定子绕组的电压平衡方程为 :电压方程(续)与此相应，三相转子绕组折算到定子侧后的电压方程为:电压方程的矩阵形式将电压方程写成矩阵形式，并以微分算子 p 代替微分符号ｄ /dt或写成(6-67ｂ）2. 磁链方程每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其它绕组对它的互感磁链之和，因此，六个绕组的磁链可表达为：或写成（6-68ｂ)电感矩阵式中，Ｌ是6×６电感矩阵，其中对角线元素ＬAA, ＬBＢ， LCＣ,Laａ,Lbb,Lcｃ是各有关绕组的自感,其余各项则是绕组间的互感。