最新电机数学模型(完整版)

电机数学模型以二相导通星形三相六状态为例，分析BLDC的数学模型及电磁转矩等特性。

为了便于分析，假定：a)三相绕组完全对称，气隙磁场为方波，定子电流、转子磁场分布皆对称；b)忽略齿槽、换相过程和电枢反应等的影响；c)电枢绕组在定子内表面均匀连续分布；d)磁路不饱和，不计涡流和磁滞损耗。

则三相绕组的电压平衡方程可表示为：错误！未找到引用源。

(1) 式中：错误！未找到引用源。

为定子相绕组电压(V)；错误！未找到引用源。

为定子相绕组电流(A)；错误！未找到引用源。

为定子相绕组电动势(V)；L为每相绕组的自感(H)；M为每相绕组间的互感(H)；p为微分算子p=d/dt。

三相绕组为星形连接，且没有中线，则有错误！未找到引用源。

(2) 错误！未找到引用源。

(3) 得到最终电压方程：错误！未找到引用源。

(4)e cc图.无刷直流电机的等效电路无刷直流电机的电磁转矩方程与普通直流电动机相似，其电磁转矩大小与磁通和电流幅值成正比错误！未找到引用源。

(5) 所以控制逆变器输出方波电流的幅值即可以控制BLDC电机的转矩。

为产生恒定的电磁转矩，要求定子电流为方波，反电动势为梯形波，且在每半个周期内，方波电流的持续时间为120°电角度，梯形波反电动势的平顶部分也为120°电角度，两者应严格同步。

由于在任何时刻，定子只有两相导通，则：电磁功率可表示为：错误！未找到引用源。

(6) 电磁转矩又可表示为：错误！未找到引用源。

(7) 无刷直流电机的运动方程为：错误！未找到引用源。

(8) 其中错误！未找到引用源。

为电磁转矩；错误！未找到引用源。

为负载转矩；B为阻尼系数；错误！未找到引用源。

为电机机械转速；J为电机的转动惯量。

传递函数：无刷直流电机的运行特性和传统直流电机基本相同，其动态结构图可以采用直流电机通用的动态结构图，如图所示：图2.无刷直流电机动态结构图由无刷直流电机动态结构图可求得其传递函数为:式中：K1为电动势传递系数，错误！未找到引用源。

电机数学模型以二相导通星形三相六状态为例，分析BLDC的数学模型及电磁转矩等特性。

为了便于分析，假定：a)三相绕组完全对称，气隙磁场为方波，定子电流、转子磁场分布皆对称；b)忽略齿槽、换相过程和电枢反应等的影响；c)电枢绕组在定子内表面均匀连续分布；d)磁路不饱和，不计涡流和磁滞损耗。

(1)为定子相绕组电压(V)；为定子相绕组电流(A)；为定子相绕。

(2)(3)(4)图.无刷直流电机的等效电路无刷直流电机的电磁转矩方程与普通直流电动机相似，其电磁转矩大小与磁通和电流幅值成正比(5)所以控制逆变器输出方波电流的幅值即可以控制BLDC电机的转矩。

为产生恒定的电磁转矩，要求定子电流为方波，反电动势为梯形波，且在每半个周期内，方波电流的持续时间为120°电角度，梯形波反电动势的平顶部分也为120°电角度，两者应严格同步。

由于在任何时刻，定子只有两相导通，则：电磁功率可表示为：(6)电磁转矩又可表示为：(7)无刷直流电机的运动方程为：(8)其中为电磁转矩；为负载转矩；B为阻尼系数；为电机机械转速；J为电机的转动惯量。

传递函数：无刷直流电机的运行特性和传统直流电机基本相同，其动态结构图可以采用直流电机通用的动态结式中：K1K2，T m为电机时间常数，，基于BLDC系统模型的建立在提出在(FFT)模块化，在Matlab/Simulink建立独立的功能模块：BLDC本体模块、电流滞环控制模块、速度控制模块、参考电流模块、转矩计算模块和电压逆变模块，对这些功能模块进行有机整合，即可搭建出无刷直流电机系统的仿真模型。

在建模过程中，梯形波反电动势的求取方法一直是较难解决的问题[27,28]，本文采用分段线性法成功地化解了这一难点，克服了建模方法存在的不足。

Matlab6.5针对电气传动控制领域所设计的工具箱SimPowerSystemToolbox2.3已提供了PMSM的电机模型，但没有给出BLDC的电机模型。

电机数学模型以二相导通星形三相六状态为例，分析BLDC 的数学模型及电磁转矩等特性。

为了便于分析，假定：a)三相绕组完全对称，气隙磁场为方波，定子电流、转子磁场分布皆对称； b)忽略齿槽、换相过程和电枢反应等的影响； c)电枢绕组在定子内表面均匀连续分布； d)磁路不饱和，不计涡流和磁滞损耗。

则三相绕组的电压平衡方程可表示为：(1)式中：为定子相绕组电压(V)；为定子相绕组电流(A)；为定子相绕组电动势(V)；L 为每相绕组的自感(H)；M 为每相绕组间的互感(H)；p 为微分算子p=d/dt 。

三相绕组为星形连接，且没有中线，则有(2) (3)得到最终电压方程：(4)ce c图.无刷直流电机的等效电路无刷直流电机的电磁转矩方程与普通直流电动机相似，其电磁转矩大小与磁通和电流幅值成正比(5)所以控制逆变器输出方波电流的幅值即可以控制BLDC 电机的转矩。

为产生恒定的电磁转矩，要求定子电流为方波，反电动势为梯形波，且在每半个周期内，方波电流的持续时间为120°电角度，梯形波反电动势的平顶部分也为120°电角度，两者应严格同步。

由于在任何时刻，定子只有两相导通，则：电磁功率可表示为：(6)电磁转矩又可表示为：(7)无刷直流电机的运动方程为：(8)其中为电磁转矩；为负载转矩；B 为阻尼系数；为电机机械转速；J 为电机的转动惯量。

传递函数：无刷直流电机的运行特性和传统直流电机基本相同，其动态结构图可以采用直流电机通用的动态结构图，如图所示：图2.无刷直流电机动态结构图由无刷直流电机动态结构图可求得其传递函数为:式中：K1为电动势传递系数，，Ce 为电动势系数；K2为转矩传递函数，，R 为电动机内阻，Ct 为转矩系数；T m为电机时间常数，，G 为转子重量，D 为转子直径。

基于MATLAB的BLDC系统模型的建立在Matlab中进行BLDC建模仿真方法的研究已受到广泛关注，已有提出采用节点电流法对电机控制系统进行分析，通过列写m文件，建立BLDC仿真模型，这种方法实质上是一种整体分析法，因而这一模型基础上修改控制算法或添加、删除闭环就显得很不方便；为了克服这一不足，提出在Matlab/Simulink中构造独立的功能模块，通过模块组合进行BLDC建模，这一方法可观性好，在原有建模的基础上添加、删除闭环或改变控制策略都十分便捷，但该方法采用快速傅立叶变换(FFT)方法求取反电动势，使得仿真速度受限制。

电机数教模型之阳早格格创做以二相导通星形三相六状态为例，分解BLDC的数教模型及电磁转矩等个性.为了便于分解，假定：a)三相绕组真足对于称，气隙磁场为圆波，定子电流、转子磁场分散皆对于称；b)忽略齿槽、换相历程战电枢反应等的效率；c)电枢绕组正在定子内表面匀称连绝分散；d)磁路不鼓战，不计涡流战磁滞耗费.则三相绕组的电压仄稳圆程可表示为：(1)式中：为定子相绕组电压(V)；为定子相绕组电流(A)；为定子相绕组电动势(V)；L为每相绕组的自感(H)；M为每相绕组间的互感(H)；p为微分算子p=d/dt.三相绕组为星形连交，且不中线，则有(2)(3)得到最后电压圆程：(4)无刷曲流电机的电磁转矩圆程与一般曲流电效果相似，其电磁转矩大小与磁通战电流幅值成正比(5)所以统制顺变器输出圆波电流的幅值即不妨统制BLDC 电机的转矩.为爆收恒定的电磁转矩，央供定子电流为圆波，反电动势为梯形波，且正在每半个周期内，圆波电流的持绝时间为120°电角度，梯形波反电动势的仄顶部分也为120°电角度，二者应庄重共步.由于正在所有时刻，定子惟有二相导通，则：电磁功率可表示为：(6)电磁转矩又可表示为：(7)无刷曲流电机的疏通圆程为：(8)其中为电磁转矩；为背载转矩；B为阻僧系数；为电机板滞转速；J为电机的转化惯量.传播函数：无刷曲流电机的运止个性战保守曲流电机基本相共，其动背结构图不妨采与曲流电机通用的动背结构图，如图所示：由无刷曲流电机动背结构图可供得其传播函数为:式中：K1为电动势传播系数，，Ce 为电动势系数；K2为转矩传播函数，，R 为电效果内阻，Ct 为转矩系数；Tm 为电机时间常数，，G 为转子沉量，D 为转子曲径.鉴于MATLAB的BLDC系统模型的建坐正在Matlab中举止BLDC建模仿真要收的钻研已受到广大关注，已有提出采与节面电流法对于电机统制系统举止分解，通过列写m文献，建坐BLDC仿真模型，那种要收真量上是一种真足分解法，果而那一模型前提上建改统制算法大概增加、简略关环便隐得很不便当；为了克服那一缺累，提出正在Matlab/Simulink中构制独力的功能模块，通过模块拉拢举止BLDC建模，那一要收可瞅性佳，正在本有建模的前提上增加、简略关环大概改变统制战术皆格外便利，但是该要收采与赶快傅坐叶变更(FFT)要收供与反电动势，使得仿真速度受节制.本文提出了一种新式的BLDC 建模要收，将统制单元模块化，正在Matlab/Simulink建坐独力的功能模块：BLDC本量模块、电流滞环统制模块、速度统制模块、参照电流模块、转矩估计模块战电压顺变模块，对于那些功能模块举止有机调整，即可拆建出无刷曲流电机系统的仿真模型.正在建模历程中，梯形波反电动势的供与要收背去是较深刻决的问题[27,28]，本文采与分段线性法乐成天弥合了那一易面，克服了建模要收存留的缺累. Matlab6.5针对于电气传动统制范围所安排的工具箱SimPowerSystemToolbox2.3已提供了PMSM的电机模型，但是不给出BLDC的电机模型.果此，本文正在分解无刷曲流电机数教模型的前提上，借帮于Matlab强盛的仿真建模本收，正在Matlab/Simulink中建坐了BLDC统制系统的仿真模型.BLDC建模仿真系统采与单关环统制规划：下即为BLDC建模的真足统制框图，其中主要包罗：BLDC 本量模块、电流滞环统制模块、速度统制模块、参照电流模块、转矩估计模块战电压顺变模块.BLDC本量结构(1)BLDCM本量模块正在所有统制系统的仿真模型中，BLDCM本量模块是最要害的部分，该模块根据BLDC电压圆程式(4)供与BLDC三相相电流，结构框图如图所示正在所有统制系统的仿真模型中，BLDC本量模块是最要害的部分，该模块根据BLDC电压圆程式(24)供与BLDC三相相电流，而要赢得三相相电流旗号ia，ib，ic，必须最先供得三差异电动势旗号ea，eb，ec统制框图如图211所示.而BLDC建模历程中，梯形波反电动势的供与要收背去是较深刻决的问题，反电动势波形不睬念会制成转矩脉动删大、相电流波形不睬念等问题，宽沉时会引导换相波折，电机得控.果此，赢得理念的反电动势波形是BLDC仿真建模的关键问题之一.本文采与了分段线性法，如图212所示，将一个运止周期0°～360°分为6个阶段，每60°为一个换相阶段，每一相的每一个运止阶段皆可用一段曲线举止表示，根据某一时刻的转子位子战转速旗号，决定该时刻各相所处的运奇迹态，通过曲线圆程即可供得反电动势波形.分段线性法简朴易止，且粗度较下，不妨较佳的谦脚建模仿果然安排央供.果而，本文采与分段线性法建坐梯形波反电动势波形.理念情况下，二相导通星形三相六状态的BLDC定子三差异电动势的波形如图212所示.图中，根据转子位子将运止周期分为6个阶段：0～π/3，π/3～2π/3，2π/3～π，π～4π/3，4π/3～5π/3，5π/3～2π.以第一阶段0～π/3为例，A差异电动势处于正背最大值Em，B差异电动势处于背背最大值Em，C差异电动势处于换相阶段，由正的最大值Em沿斜线程序变更到背的最大值Em.根据转子位子战转速旗号，便不妨供出各差异电动势变更轨迹的曲线圆程，其余5个阶段，也是如许.据此程序，不妨推得转子位子战反电动势之间的线性关系，如表21所示，进而采与分段线性法，办理了正在BLDC本量模块中梯形波反电动势的供与问题.转子位子战反电动势之间的线性关系表表中：K为反电动势系数(V/(r/min)，pos为角度旗号，w为转速旗号，转数per=fix(pos/(2*pi))*2*pi，fix函数是真止与整功能.根据上式，用M文献编写反电势系数的S函数如下：反电动势 S 函数(emf.m)%============================================ =============%BLDCM模型中反电动势函数%============================================ =============function [sys,x0,str,ts] =emf(t,x,u,flag)switch flagcase 0, %初初化树坐[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes;case 3, %输出量估计sys = mdlOutputs(t,x,u);case {1,2,4,9} %已定义标记sys = [];otherwise%过得处理error(['unhandled flag = ',num2str(flag)]);end%============================================ =============%mdlInitializeSizes 举止初初化，树坐系统变量的大小%============================================ =============function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes()sizes = simsizes; %与系统默认树坐sizes.NumContStates = 0;sizes.NumDiscStates = 0;sizes.NumOutputs = 3;sizes.NumInputs = 2;sizes.DirFeedthrough = 1;sizes.NumSampleTimes = 1;sys = simsizes(sizes);x0 = [];str = [];ts = [1 0];%============================================ =============%mdlOutputs 估计系统输出%============================================ =============function sys=mdlOutputs(t,x,u)global k;global Pos;global w;k=0.060; % V/(r/min)反电动势系数w=u(1); % 转速(rad/s)Pos=u(2); % 角度(rad)if Pos>=0 & Pos<=pi/3sys=[k*w,k*w,k*w*((Pos)/(pi/6)+1)];elseif Pos>=pi/3 & Pos<=2*pi/3sys=[k*w,k*w*((Pospi/3)/(pi/6)1),k*w];elseif Pos>=2*pi/3 & Pos<=pisys=[k*w*((2*pi/3Pos)/(pi/6)+1),k*w,k*w];elseif Pos>=pi & Pos<=4*pi/3sys=[k*w,k*w,k*w*((Pospi)/(pi/6)1)];elseif Pos>=4*pi/3 & Pos<=5*pi/3sys=[k*w,k*w*((4*pi/3Pos)/(pi/6)+1),k*w];else Pos>=5*pi/3 & Pos<=2*pisys=[k*w*((Pos5*pi/3)/(pi/6)1),k*w,k*w];end转矩估计模块根据BLDC数教模型中的电磁转矩圆程式，不妨建坐图5.7所示的转矩估计模块，模块输进为三相相电流与三差异电动势，通过加、乘模块即可供得电磁转矩旗号Te .转矩估计模块结构框图及其启拆形式转速估计模块根据疏通圆程式(2.4)，由电磁转矩、背载转矩以及摩揩转矩，通过加乘、积分关节即可得到转速旗号，供得的转速旗号通过积分便可得到电机转角旗号，如图转速估计模块结构框图及其启拆形式电流滞环统制模块正在那个仿真模块中采与滞环统制本理去真止电流的安排，使得本量电流随跟定电流的变更.模块结构框图如图5.10所示[40]，输进为三相参照电流战三相本量电流，输出为PWM顺变器统制旗号.电流滞环统制模块结构框图及其启拆参照电流模块参照电流模块的效率是根据电流幅值旗号Is战位子旗号给出三相参照电流，输出的三相参照电流曲交输进电流滞环统制模块，用于与本量电流比较举止电流滞环统制.转子位子战三相参照电流之间的对于应关系如表所示，参照电流模块的那一功能可通过S函数编程真止，步调如下参照电流 S 函数(mod.m)function [sys,x0,str,ts] =mod(t,x,u,flag)switch flagcase 0,[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes;case 3, sys = mdlOutputs(t,x,u);case 2, sys = [];case 9, sys = [];otherwiseerror(['unhandled flag = ',num2str(flag)]);endfunction [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes()sizes = simsizes;sizes.NumContStates = 0; sizes.NumDiscStates = 0; sizes.NumOutputs = 1; sizes.NumInputs = 1; sizes.DirFeedthrough = 1; sizes.NumSampleTimes = 1; sys = simsizes(sizes);x0 = [];str = [];ts = [1 0];function sys=mdlOutputs(t,x,u) global Pos;global w;global Theta;Theta=u;b=fix(Theta/(2*pi));%与整if Theta==0sys=0;else if (Theta/(2*pi))==bsys=2*pi;elsesys=Thetab*2*pi;endendPos=sys; %位子表5.2 转子位子战三相参照电流之间的对于应关系表5.2.5 位子估计模块电机转角旗号到电机位子旗号的变更可通过S函数编程真止，步调如下位子估计 S 函数(is.m)function [sys,x0,str,ts] =is(t,x,u,flag)switch flagcase 0,[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes;case 3, sys = mdlOutputs(t,x,u);case 2, sys = [];case 9,sys = [];otherwiseerror(['unhandled flag = ',num2str(flag)]); endfunction [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes() sizes = simsizes;sizes.NumContStates = 0;sizes.NumDiscStates = 0;sizes.NumOutputs = 3;sizes.NumInputs = 2;sizes.DirFeedthrough = 1;sizes.NumSampleTimes = 1;sys = simsizes(sizes);x0 = [];str = [];ts = [1 0];function sys=mdlOutputs(t,x,u)global Is;global Pos;Is=u(1); %电流Pos=u(2);%位子if Pos>=0& Pos<=pi/3sys=[Is,Is,0];elseif Pos>=pi/3& Pos<=2*pi/3sys=[Is,0,Is];elseif Pos>=2*pi/3& Pos<=pisys=[0,Is,Is];elseif Pos>=pi& Pos<=4*pi/3sys=[Is,Is,0];elseif Pos>=4*pi/3& Pos<=5*pi/3sys=[Is,0,Is];else Pos>=5*pi/3& Pos<=2*pisys=[0,Is,Is];end5.2.6 电压顺变器模块顺变器对于BLDC去道，最先是功率变更拆置，也便是电子换背器，每一个桥臂上的一个功率器件相称于曲流电效果的一个板滞换背器，还共时兼有PWM电流安排器功能.对于顺变器的建模，本文采与Simulink的SimPowerSystem工具箱提供的三相齐桥IGBT模块.由于正在Matlab新版本(如Matlab7.0)中SimPowerSystem工具箱战Simulink工具箱不不妨随便贯串的，中间必须加上受控电压源(大概者受控电压源、电压表、电流表).本文给IGBT的A、B、C三相加三个电压表，输出的Simulink旗号不妨与BLDC曲交连交，如图5.11所示.顺变器根据电流统制模块所统制PWM旗号，程序导通战关断，爆收圆波电流输出.电压顺变器模块结构框图及其启拆鉴于Matlab/Simulink建坐了BLDC统制系统的仿真模型，并对于该模型举止了BLDC单关环统制系统的仿真.仿真中，BLDC电机参数树坐为：定子相绕组电阻R＝1Ω，定子相绕组自感L＝0.02H，互感M＝0.061H，转化惯量J＝0.005kg·m2，阻僧系数B= 0.0002N·m·s/rad，额定转速n＝1000r/min，极对于数p＝1，220V曲流电源供电.总体模型：存留问题：仿真速度缓，且示波器值均为0。

电机数学模型以二相导通星形三相六状态为例，分析BLDC的数学模型及电磁转矩等特性。

为了便于分析，假定：a)三相绕组完全对称，气隙磁场为方波，定子电流、转子磁场分布皆对称；b)忽略齿槽、换相过程和电枢反应等的影响；c)电枢绕组在定子内表面均匀连续分布；d)磁路不饱和，不计涡流和磁滞损耗。

则三相绕组的电压平衡方程可表示为：F o °1 'L M M %u b—0 r 0 诂 +M L M P +e b⑴%Lo 0『Hi」.M M J ■»1 u■式中：11护u b> %为定子相绕组电压(V)； i a, i b> ic为定子相绕组电流(A)；蛰化，％为定子相绕组电动势(V); L为每相绕组的自感(H)； M为每相绕组间的互感(H)； p为微分算子p二d/dt。

三相绕组为星形连接，且没有中线，则有i a + i b + i c = 0 (2)Mi a +Mi b + Mi c = 0(3) 得到最终电压方程：r L・M--------- A A A图•无刷直流电机的等效电路无刷直流电机的电磁转矩方程与普通直流电动机相似，其电磁转矩大小与磁通和电流幅值成正比T e = [e a i a+e b i b+e c i c]^ (5) 所以控制逆变器输出方波电流的幅值即可以控制BLDC电机的转矩。

为产生恒定的电磁转矩，要求定子电流为方波，反电动势为梯形波，且在每半个周期内，方波电流的持续时间为120。

电角度，梯形波反电动势的平顶部分也为120°电角度，两者应严格同步。

由于在任何时刻，定子只有两相导通，贝9：电磁功率可表示为：P« e a i a + e b i b+ e c i c= 2E S I S (6) 电磁转矩又可表示为：T e = P6/a)= 2E s Ig/u)(7) 无刷直流电机的运动方程为：Te_T「_B3 = J罟二JPo> (8) 其中人为电磁转矩；T L为负载转矩；B为阻尼系数；3为电机机械转速；J 为电机的转动惯量。

电机数学模型以二相导通星形三相六状态为例，分析 BLDC 的数学模型及电磁转矩等特性。

为了便于分析，假定:a) 三相绕组完全对称，气隙磁场为方波，定子电流、转子磁场分布皆对称; b) 忽略齿槽、换相过程和电枢反应等的影响; c) 电枢绕组在定子内表面均匀连续分布;d) 磁路不饱和，不计涡流和磁滞损耗。

则三相绕组的电压平衡方程可表示为：式中：-,「：■「：为定子相绕组电压(V); L L I 为定子相绕组电流(A)； -三:为定子相绕组电动势(V); L 为每相绕组的自感(H) ； M 为每相绕组间的 互感(H); p 为微分算子p=d/dt 。

三相绕组为星形连接，且没有中线，则有得到最终电压方程:图•无刷直流电机的等效电路无刷直流电机的电磁转矩方程与普通直流电动机相似， 其电磁转矩大小与磁 通和电流幅值成正比(1)L-M 0 0'r 0d r 0 .5 0 r.L - MT 电=十细⑸所以控制逆变器输出方波电流的幅值即可以控制 BLDC 电机的转矩。

为产 生恒定的电磁转矩，要求定子电流为方波，反电动势为梯形波，且在每半个周期 内，方波电流的持续时间为120°电角度，梯形波反电动势的平顶部分也为120° 电角度，两者应严格同步。

由于在任何时刻，定子只有两相导通，贝U ：电磁功率可表示为：二.二 (6)电磁转矩又可表示为：-:二……(7)无刷直流电机的运动方程为：T e -T L -Bto = J^= JPo>其中〔为电磁转矩；幷为负载转矩；B 为阻尼系数；•••为电机机械转速；J 为电机的转动惯量。

传递函数：无刷直流电机的运行特性和传统直流电机基本相同， 其动态结构图可以采用直流 电机通用的动态结构图，如图所示：由无刷直流电机动态结构图可求得其传递函数为= K1 UW ——T L1 + T 狙丫 V '1+T^ L(8)图2.无刷直流电机动态结构图式中:K i为电动势传递系数，•• - — , Ce为电动势系数；K2为转矩传递函数，：- ,R为电动机内阻，Ct为转矩系数；T m为电机时间常数，」7—, G为转子重量，D为转子直径。

永磁同步电机的复数数学模型
永磁同步电机是一种采用永磁体作为励磁源的同步电机，其复
数数学模型可以通过磁动势方程和电磁转矩方程来描述。

首先，我
们可以从永磁同步电机的磁动势方程入手。

磁动势方程描述了永磁
同步电机中磁场的分布和变化规律。

其数学表达式为：
∇ × H = J + ∂D/∂t.
其中，∇ × H表示磁场的旋度，J表示电流密度，D表示电位
移矢量。

这个方程描述了磁场随时间和电流分布的变化关系。

接下来是永磁同步电机的电磁转矩方程。

电磁转矩方程描述了
电机在给定电流下产生的转矩。

其数学表达式为：
T_e = 1.5 (P/2) (ψ_m I_q ψ_q I_m)。

其中，T_e表示电磁转矩，P表示极对数，ψ_m和ψ_q分别表
示磁通链和电流的磁链，I_q和I_m分别表示电流的直轴分量和交
轴分量。

这个方程描述了电机的输出转矩与磁链和电流之间的关系。

综合考虑磁动势方程和电磁转矩方程，可以建立永磁同步电机的复数数学模型。

在这个模型中，磁链、电流和转矩可以用复数表示，从而方便进行分析和控制。

通过对这个复数数学模型的分析，可以设计出高效、精准的永磁同步电机控制策略，实现电机的高性能运行。

除了上述的磁动势方程和电磁转矩方程，永磁同步电机的复数数学模型还涉及到电机的参数、转子和定子的磁链方程、电流方程等内容。

这些内容综合起来构成了永磁同步电机的全面复数数学模型，为电机的分析、设计和控制提供了重要的理论基础。

同步电机的基本方程式及数学模型派克方程1。

1 理想电机假设（1）电机磁铁部分的磁导率为常数，因此可以忽略掉磁滞、磁饱和的影响，也不计涡流及集肤效应作用等的影响；（2)定子的三个绕组的位置在空间互相相差120°电角度，3个绕组在结构上完全相同。

同时，他们均在气隙中产生正弦分布的磁动势;（3）定子及转子的槽及通风沟等不影响电机定子及转子的电感，因此认为电机的定子及转子具有光滑的表面；为了分析计算,还需要设定绕组电流、磁链正方向。

1.2 abc 坐标下的有名值方程同步电机共有6个绕组分别为：定子绕组a,b,c ，转子励磁绕组f ，转子d 轴阻尼绕组D 以及转子q 轴阻尼绕组Q 。

需要求出每个绕组的电压、电流和磁链未知数，因此一共需要18个方程才能求解。

电压方程：00a a a ab b b b cc c c f f f f D D D D QQ Q Q u p r i u p r i u p r iu p r i u p r i u p r i ψψψψψψ=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩=-⎧⎪=-≡⎨⎪=-≡⎩D 绕组与Q 绕组均为无外接电源闭合绕组，因此电压均为0,从而上式中一共有8个方程。

磁链方程：11a a aa ab ac af aD aQ b b ba bb bc bf bD bQ c c ca cb cc cf cD cQ f f fa fb fc ff fD fQ Da Db Dc Df DD DQ D D Qa Qb Qc Qf QDQQ Q Q i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L L L L L L L i L L L L L L i L ψψψψψψ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=(33)12(33)21(33)22(33)abc fDQ i L L L i ⨯⨯⨯⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦在电感矩阵中（针对凸极机），定子绕组自感和互感参数是随转子位置而变化的参数，而在转子绕组中，转子的自感和互感参数均为常数,而且D 轴与Q 轴正交,则D 轴绕组与Q轴绕组互感为0。

电机数学模型以二相导通星形三相六状态为例，分析 BLDC 的数学模型及电磁转矩等特 性。

为了便于分析，假定：a)三相绕组完全对称，气隙磁场为方波，定子电流、转子磁场分布皆对称; b)忽略齿槽、换相过程和电枢反应等的影响; C)电枢绕组在定子内表面均匀连续分布;⅛t J ⅛∙堵为定子相绕组电动势(V); L 为每相绕组的自感(H) ； M 为每相绕组间的互感(H) ； P 为微分算子P=d/dt 。

三相绕组为星形连接，且没有中线，则有i a + ⅛ + i c =OMi a +Mi b +Mi r =O得到最终电压方程：U ir O OI f -M O Oe√⅛ =O r O+ O L-M O P⅛ + ebΛ O r..Q O L-Mθc .图•无刷直流电机的等效电路无刷直流电机的电磁转矩方程与普通直流电动机相似， 其电磁转矩大小与磁 通和电流幅值成正比⅛-e√M P Jb+ ≡t L-* -* 1* -(1)—I ：为定子相绕组电流(A)；d)磁路不饱和，不计涡流和磁滞损耗式中：=.鬲乩为定子相绕组电压(V)；Tβ=[e l i1+e b⅛+⅛]^所以控制逆变器输出方波电流的幅值即可以控制BLDC电机的转矩。

为产生恒定的电磁转矩，要求定子电流为方波，反电动势为梯形波，且在每半个周期内，方波电流的持续时间为120°电角度，梯形波反电动势的平顶部分也为120°电角度，两者应严格同步。

由于在任何时刻，定子只有两相导通，贝U：电磁功率可表示为：电磁转矩又可表示为：无刷直流电机的运动方程为：血(8) 其中I为电磁转矩；为负载转矩；B为阻尼系数；起为电机机械转速；J为电机的转动惯量。

传递函数：无刷直流电机的运行特性和传统直流电机基本相同，其动态结构图可以采用直流电机通用的动态结构图，如图所示：图2.无刷直流电机动态结构图由无刷直流电机动态结构图可求得其传递函数为… K I… K2n(s) = ~~—U(S) ---------- T L1 + T m s l+‰s L式中:Ki为电动势传递系数，【；：• L : , Ce为电动势系数；⅛K2为转矩传递函数，• - 一一，R为电动机内阻，Ct为转矩系数；⅛⅛Tm为电机时间常数，’1 .. ―一，G为转子重量，D为转子直径。

电机数学模型以二相导通星形三相六状态为例，分析BLDC 的数学模型及电磁转矩等特性。

为了便于分析，假定：a)三相绕组完全对称，气隙磁场为方波，定子电流、转子磁场分布皆对称； b)忽略齿槽、换相过程和电枢反应等的影响； c)电枢绕组在定子内表面均匀连续分布； d)磁路不饱和，不计涡流和磁滞损耗。

则三相绕组的电压平衡方程可表示为：(1)式中：为定子相绕组电压(V)；为定子相绕组电流(A)；为定子相绕组电动势(V)；L 为每相绕组的自感(H)；M 为每相绕组间的互感(H)；p 为微分算子p=d/dt 。

三相绕组为星形连接，且没有中线，则有(2) (3)得到最终电压方程：(4)L-ML-M L-Mrr ri a i b i ce ae ce b图.无刷直流电机的等效电路无刷直流电机的电磁转矩方程与普通直流电动机相似，其电磁转矩大小与磁通和电流幅值成正比(5)所以控制逆变器输出方波电流的幅值即可以控制BLDC 电机的转矩。

为产生恒定的电磁转矩，要求定子电流为方波，反电动势为梯形波，且在每半个周期内，方波电流的持续时间为120°电角度，梯形波反电动势的平顶部分也为120°电角度，两者应严格同步。

由于在任何时刻，定子只有两相导通，则：电磁功率可表示为：(6)电磁转矩又可表示为：(7)无刷直流电机的运动方程为：(8)其中为电磁转矩；为负载转矩；B 为阻尼系数；为电机机械转速；J 为电机的转动惯量。

传递函数：无刷直流电机的运行特性和传统直流电机基本相同，其动态结构图可以采用直流电机通用的动态结构图，如图所示：Ct365/(GD^2s)Ce1/RU(s)+-+-T L (s)T C (s)I(s)N(s)图2.无刷直流电机动态结构图由无刷直流电机动态结构图可求得其传递函数为:式中：K1为电动势传递系数，，Ce 为电动势系数；K2为转矩传递函数，，R 为电动机内阻，Ct 为转矩系数；T m为电机时间常数，，G 为转子重量，D 为转子直径。