第10章 压杆稳定10.1【学习基本要求】1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。
2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。
3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。
4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。
5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计算方法。
6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。
7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。
8、掌握压杆的稳定条件。
9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。
10、掌握提高压杆稳定性的措施。
10.2【要点分析】1、压杆稳定的概念稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。
失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。
稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的．．．直线平衡状态称为稳定平衡。
不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到原来的平衡，而是保持微弯或力F 继续增大，杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏，则称原有的．．．平衡为不稳定平衡。
失稳：轴向压力F 由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。
临界平衡状态：压杆在稳定平衡和不稳定平衡之间的状态称为临界平衡状态。
临界压力或临界力：压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力。
（即能使压杆保持微弯状态下的平衡的力）【注意】①临界状态也是一种不稳定平衡状态。
②临界状态下压杆即能在直线状态下也能在微弯状态下保持平衡。
③临界力使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。
2、理想压杆理想压杆是指不存在初弯曲、初偏心、初应力的承受轴向压力的均匀连续、各向同性的直杆。
工程中实际压杆与理想压杆有很大的区别，因为实际压杆常常带有初始缺陷，如：①初弯曲的存在使压杆截面形心轴线不是理想直线；②初偏心的存在造成压力作用线与杆件轴线不重合；③残余应力造成材料内部留有初应力；④材质不可能是完全均匀连续的。
这些缺陷不同程度的降低了压杆的稳定承载能力。
3、细长压杆的临界力细长压杆的临界力与杆件的长度、材料的力学性能、截面的几何性质和杆件两端的约束形式有关。
临界力计算公式称为欧拉公式，其统一形式为()20222c l EI l EI F r πμπ== (10.1) 【说明】①EI 为杆件的抗弯刚度；②l 0=μl 称为相当长度或计算长度，其物理意义为各种支承条件下，细长压杆失稳时挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度，也就是挠曲线上两拐点间的长度，即各种支承情况下弹性曲线上相当于铰链的两点之间的距离；③μ称为长度系数，它反映了约束情况对临界力的影响，具体情况见表10-1。
4、细长压杆的临界应力压杆处于临界状态时横截面上的平均应力称为临界应力，用σcr 来表示。
压杆在弹性范围内的临界应力为22cr λπσE =A l EI A F cr 22)(μπ== (10.2) 【说明】①这是欧拉公式的另一种表达形式。
②EI 为杆件的抗弯刚度。
③I 、A 、i 2=I /A是只与杆横截面的形心主矩和截面面积，都是与截面形状和尺寸有关的几何量；④式中λ=μl /i 称为压杆的柔度或长细比，它全面地反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界荷载的影响，是压杆的一个重要参数。
5、欧拉公式的适用范围欧拉公式是以压杆的挠曲线近似微分方程为依据而得到的，因此欧拉公式的适用条件是材料在线弹性范围内工作，即临界应力不超过材料的比例极限，即p 22cr σλπσ≤=E或 PσπλE ≥或P λλ≥ (10.3)【说明】①式中λ为压杆的柔度或长细比。
②式中P P /σπλE =，完全取决于材料的力学性质。
③满足λ≥λp 的压杆才能适用欧拉公式。
④适用欧拉公式的压杆称为细长杆或大柔度杆。
6、中长杆的临界应力1）直线公式对于中长杆，把临界应力与压杆的柔度表示成如下的线性关系。
λσb a cr -= (10.4)【说明】①式中a 、b 是与材料力学性质有关的系数，可以查相关手册得到。
②临界应力σcr 随着柔度λ的减小而增大。
③该式适用于P S λλλ<≤的压杆，称为中长杆或中柔度杆，式中b a S /)(S σλ-=，σS 为材料的屈服极限。
2）抛物线公式把临界应力cr σ与柔度λ的关系表示为如下形式()c c s cr a λλλλσσ≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 12 (10.5) 【说明】①式中σs 是材料的屈服强度。
②a 是与材料性质有关的系数。
③λc 是欧拉公式与抛物线公式适用范围的分界柔度。
7、粗短杆的临界应力当压杆的柔度满足λ<λs 条件时，这样的压杆称为粗短杆或小柔度杆。
实验证明，小柔度杆主要是由于应力达到材料的屈服强度（或抗压强度σb ）而发生失效，属于强度问题。
8、临界应力总图 以柔度λ为横坐标，以临界应力σcr 为纵坐标，作出σcr -λ图，能够反映三类压杆的临界应力σcr 随压杆柔度λ变化的情况，称为临界应力总图。
图10-1所示的是中长杆采用直线公式的临界应力总图。
9、压杆稳定计算的安全系数法在对压杆进行稳定计算时，以临界应力除以大于1的安全系数所得的数值为准，即要求横截面上的正应力σ≤σcr /n st ，通常将稳定条件写成下列用安全系数表达的形式：st Ncr cr w n F Fn ≥==σσ (10.6)【说明】①式中，n st 为规定稳定安全系数。
②n w 称为压杆的工作安全系数。
③F N 是指压杆的轴力。
④σcr 和F cr 是指由临界应力总图得到的临界应力和临界力。
10、压杆稳定计算的折减系数法如果定义][][σϕσσ==stcrst n 为稳定许用应力，其中σcr 为压杆的临界应力，n st 为规定稳定安全系数，[σ]为强度计算时的许用应力。
ϕ称为折减系数，是一个小于1的数，是压杆长细比的函数，反映了随着压杆长细比的增加对稳定承载能力的降低。
因此，对于同种材料制成的等截面压杆，稳定条件可表达为][σϕσ≤=AFN w (10.7)式中，F N 为压杆轴向；A 为压杆的横截面面积。
【说明】①利用式(10.6)或式(10.7)就可进行稳定性校核、设计截面和确定许可荷载等三个方面的计算。
②需要指出的是，当压杆由于钉孔或其他原因而使截面有局部削弱时，因为压杆的临界力是根据整根杆的失稳来确定的，因此在稳定计算中不必考虑局部截面削弱的影响，而以毛面积进行计算。
③在强度计算中，危险截面为局部被削弱的截面，应按净面积进行计算。
11、提高压杆承载力的措施 影响压杆稳定性的因素有：压杆的截面形状，压杆的长度、约束条件和材料的性质等。
所以提高压杆承载能力的措施可以从选择合理的截面形式、减小压杆长度、改善约束条件及合理选用材料等几个方面着手。
10.3【范例讲解】例10-1图10-2所示两端球铰支承细长杆，弹性模量E ＝200GPa ，试用欧拉公式计算其临界力。
1）圆形截面，d =25 mm ，l =1.0 m ；图10-12）矩形截面，h ＝2b ＝40 mm ，l ＝1.0 m ； 3）No16工字钢，l ＝2.0 m 。
解：1）圆形截面杆：两端球铰： μ=1，()()4-8 422981221.910 m 6420010 1.91037.8 kN 11cr d I EI F l -π==⨯ππ⨯⨯⨯⨯===μ⨯ 2） 矩形截面杆：两端球铰：μ=1， I y <I z()()3-8 422982222.610 m1220010 2.61052.6 kN 11y y cr hb I EI F l ππμ-==⨯⨯⨯⨯⨯===⨯ 3） No16工字钢杆： 两端球铰：μ=1， I y <I z 查表I y ＝93.1×10-8 m 4()()22983222001093.110459 kN 12y cr EI F l ππμ-⨯⨯⨯===⨯ 例10-2图10-3所示矩形截面压杆，有三种支承方式。
杆长l ＝300 mm ，截面宽度b ＝20 mm ，高度h ＝12 mm ，弹性模量E ＝70 GPa ，λp ＝50，λ0＝30，中柔度杆的临界应力公式为σcr ＝382 MPa – (2.18 MPa)λ。
试计算它们的临界力，并比较其大小。
解：(a)比较压杆弯曲平面的柔度：, , , ,y z y z y z y z y z l lI I i i i i μμλλλλ<<==⇒>长度系数： μ=2173.2y yli μλ==== 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；图10-2(b)(c) (a) A-A z 图10-3229()2270100.020.012 5.53 kN 173.2cr a cr y E F A A ππσλ⨯⨯=⨯=⨯=⨯⨯=(b)长度系数和失稳平面的柔度：10.31,86.60.012y yll i h μμλ⨯===== 压杆仍是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；229()2270100.020.01222.1 kN 86.6cr b cr y E F A A ππσλ⨯⨯=⨯=⨯=⨯⨯=(c)长度系数和失稳平面的柔度：0.5,43.3y yli μμλ===== 压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力()6()(382 2.1843.3)100.020.1269.0kN cr c cr F A a b A σλ=⋅=-=-⨯⨯⨯⨯=三种情况的临界压力的大小排序为()()()cr a cr b cr c F F F <<。
例10-3图10-4所示压杆，截面有四种形式。
但其面积均为A ＝3.2×10 mm 2， 试计算它们的临界力，并进行比较。
弹性模量E ＝70 GPa ，λp ＝50，λ0＝30，中柔度杆的临界应力公式为σcr ＝382 MPa – (2.18 MPa)λ。
解：(a)比较压杆弯曲平面的柔度：, , , y z y z y z y z yzllI I i i i i μμλλλλ<<==⇒>矩形截面的高与宽：222 3.210mm 4 mm 28 mm A b b b ==⨯∴==长度系数：μ=0.51299y yli μλ==== 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力：(a)(c)(b)z 图10-42296()227010 3.2101014.6 N 1229cr a cr y E F A A ππσλ-⨯⨯=⋅=⋅=⨯⨯⨯= (b)计算压杆的柔度：正方形的边长：mm 24,mm 102.322=⨯=a a长度系数：μ=0.5918.6y z li μλλ===== 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力：2296()227010 3.2101026.2 N 918.6cr b cr E F A A ππσλ-⨯⨯=⨯=⨯=⨯⨯⨯= (c)计算压杆的柔度：圆截面的直径：221 3.210 mm 6.38 mm 4d d π=⨯∴= 长度系数：μ=0.53440.53940.46.3810y z ll id μμλλ-⨯⨯=====⨯ 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力：2296()227010 3.2101025 N 940.4cr c cr E F A A ππσλ-⨯⨯=⨯=⨯=⨯⨯⨯= (d)计算压杆的柔度：空心圆截面的内径和外径：2221[(0.7)] 3.210 mm 8.94 mm 4D D D π-=⨯∴= 长度系数：μ=0.5550y z i l i μλλ========== 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；2296()227010 3.2101073.1 N 550cr d cr E F A A ππσλ-⨯⨯=⋅=⋅=⨯⨯⨯= 四种情况的临界压力的大小排序为()()()()cr a cr c cr b cr d F F F F <<<。
