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第10章压杆稳定

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第10章压杆稳定

第10章压杆稳定
9
这表明用低碳钢Q235制成的压杆，仅在柔度≥100时， 才能应用欧拉公式计算其临界应力或临界力，常用材料柔度
可查表。
第十章
四、中小柔度杆的临界应力
压杆稳定
10.2 临界力的确定
对于不能应用欧拉公式计算临界应力的压杆，即压杆内 的工作应力大于比例极限但小于屈服极限时，可应用在实验 基础上建立的经验公式。常见经验公式有直线公式和抛物线
公式。其中，直线公式为
cr a b a s cr a b s b a s s s p
b
抛物线公式为：
cr a1 b1
2
第十章
压杆稳定
10.3 压杆稳定的计算与校核
前面的讨论表明，对各种柔度的压杆，总可以用欧拉公
稳定安全因素
10.3 压杆稳定的计算与校核
nst
一般要大于强度安全因素。这是因
为一些难以避免的因素，如杆件的初弯曲、压力偏心、材料 不均匀和支座缺陷等，都严重影响压杆的稳定，降低了临界
压力。而同样这些因素，对杆件强度的影响不象对稳定那么
严重。关于稳定安全因素 中查到。
nst
一般可以在设计手册或规范
第十章
F Fcr ，
撤消横向干扰力后杆件能够恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2b），
则原有的平衡状态是稳定平衡状态；
第十章
压杆稳定性的概念：
压杆稳定
10.1 压杆的稳定概念
当轴向压力增大到一定值
F Fcr
时，撤消横向干扰力后杆件不能再恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2c），则原
有的平衡状态是不稳定平衡状态。 会进一
10.1 压杆的稳定概念
如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置， 当干扰消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，而且 继续离去，那么原有的平衡状态称为不稳定平衡状态， 如图c 所示。

第10章压杆稳定

第10章压杆稳定

第10章压杆稳定10.1【学习基本要求】1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。

2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。

3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。

4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。

5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计算方法。

6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。

7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。

8、掌握压杆的稳定条件。

9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。

10、掌握提高压杆稳定性的措施。

10.2【要点分析】1、压杆稳定的概念稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。

失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。

稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的直线平衡状态称为稳定平衡。

．．．不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到原来的平衡，而是保持微弯或力F继续增大，杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏，则称原有的平衡为不稳定平衡。

．．．失稳：轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。

临界平衡状态：压杆在稳定平衡和不稳定平衡之间的状态称为临界平衡状态。

临界压力或临界力：压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力。

（即能使压杆保持微弯状态下的平衡的力）【注意】①临界状态也是一种不稳定平衡状态。

②临界状态下压杆即能在直线状态下也能在微弯状态下保持平衡。

③临界力使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。

2、理想压杆理想压杆是指不存在初弯曲、初偏心、初应力的承受轴向压力的均匀连续、各向同性的直杆。

工程中实际压杆与理想压杆有很大的区别，因为实际压杆常常带有初始缺陷，如：①初弯曲的存在使压杆截面形心轴线不是理想直线；②初偏心的存在造成压力作用线与杆件轴线不重合；③残余应力造成材料内部留有初应力；④材质不可能是完全均匀连续的。

材料力学-10-压杆的稳定问题

材料力学-10-压杆的稳定问题

0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B不全为零 的条件是他们的系数行列式等于零：
0
1
sinkl coskl
0
sinkl 0
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图 长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面 形状对压杆分叉载荷影响的量，用表示，由下式确定：
＝
l
i
I A
其中，I为压杆横截面的惯性半径，由下式确定：
i
从上述二式可以看出，长细比反映了压杆长度、支承条件以 及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡 微分方程和边界条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦 因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。对于细长杆， 这些公式可以写成通用形式：
FPcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦 半波的长度，称为有效长度(effective length)； 为反映不同支承 影响的系数，称为长度系数（coefficient of 1ength），可由屈曲后 的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比 值确定。
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
临界应力与长细比的概念
前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这 就要求在分叉载荷即临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时， 其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即

材料力学 第十章 压杆稳定问题

材料力学 第十章 压杆稳定问题

由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2

MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 5
第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(

w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2

k
2w

k
2
l
l
FM w
x
F B
F

B F
Page24
第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2

k2w

k 2
F
w

通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l

压杆·稳定性

压杆·稳定性

=
2 ，因为 h＞b ，则 I y
=
hb3 12
＜ bh3 12
=
Iz ，由式（10.3）得
Pcr
=
π 2 EI (μl)2
=
π2
× (200 ×103
MPa) × ( 1 × 40 mm × (20 12
(2 ×1000 mm)2
mm)3 ) ≈13200
N
= 13.2
kN
10.2.2 临界应力
当压杆受临界压力作用而维持其不稳定直线平衡时，横截面上的压应力仍然可按轴向压
10.3.2 临界应力经验公式与临界应力总图
在工程实际中，常见压杆的柔度λ 往往小于 λp ，即 λ＜λp ，这样的压杆横截面上的应力 已超过材料的比例极限，属于弹塑性稳定问题。这类压杆的临界应力可通过解析方法求得， 但通常采用经验公式进行计算。常见的经验公式有直线公式与抛物线公式等，这里仅介绍直 线公式。把临界应力 σcr 与柔度λ 表示为下列直线关系称为直线公式。
式中，λ 称为压杆的柔度或长细比，为无量纲量，它综合反映了压杆的长度、约束形式及截 面几何性质对临界应力的影响。于是，式（10.4）中的临界应力可以改写为
·219·
材料力学
σ cr
=
π2E λ2
式（10.6）是欧拉公式（10.3）的另一种表达形式，两者并无实质性差别。
（10.6）
10.3 欧拉公式的适用范围·临界应力总图·直线公式
2
≤σ
p
或
λ≥π E σp
（10.7）
令
于是条件式（10.7），可以写成
λP = π
E σp
（10.8）
λ ≥ λp
（10.9）

压杆稳定PPT课件

压杆稳定PPT课件
E20G0P , a设计要求的强度安全系数 n2,
稳定安全系数 nst3。试求容许荷载 P 的值。
A 2m
C 3m
P
B
h3.5m
D
35
解：1）由平衡条件可得
A
P NCD
2.5
2m
C 3m
D
2）按强度条件确定 [P]
P
B
h3.5m
N CD σ A σ n sπ 4 (D 2 d 2) 3K 40 N
Q
解：一、分析受力
1500
500
取CBD横梁研究
A
N Cr
A
Cr
A 2E 2
2m
46K9N
D
C 3m
P
B
h3.5m
稳定条件
Pcr P
nst
[N]NCr15K6 N nst
[N] [P] 62.5KN
2.5
38Leabharlann 2mC 3mPB
h3.5m
D
[P] = 62.5KN
39
例：托架，AB杆是圆管，外径D=50mm，内径d=40mm, 两端为球铰，材料为A3钢，E=206GPa,p=100。若规定 nst=3,试确定许可荷载Q。
4
实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度， 而是与 受压时变弯 有关。
5
稳定平衡与不稳定平衡的概念 当 P小于某一临界值Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将 恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的
平衡是 稳定平衡。
6
P Q
PPcr
P
PPcr
2E cr 2 2. 中 长 杆 ( s p ), 用 经 验 公 式

第十章压杆稳定ppt课件


2E 0.56 S
②s < 时： cr s
临界应力的特点
•它的实质： 象强度中的比例极限、屈服极限类似，除以 安全因数就是稳定中的应力极限
•同作为常数的比例极限、屈服极限不同，变化 的临界应力依赖压杆自身因素而变
例102 截面为 120mm200mm 的矩形 木柱，长l=7m，材料的弹性模量E = 10GPa，
Fcr
2 EImin
l2
此公式的应用条件：
•理想压杆
•线弹性范围内
•两端为球铰支座
§10-3 不同杆端约束下细长压杆 临界力的欧拉公式
其它端约束情况，分析思路与两端铰支的相同, 并得出了临界力公式
Fcr
2 EImin (l)2
即压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数） l—相当长度
•求临界力有两种途径：实验测定及理论计算。
•实验以及理论计算表明：压杆的临界力，与压杆 两端的支承情况有关，与压杆材料性质有关，与 压杆横截面的几何尺寸形状有关，也与压杆的长 度有关。
压杆一般称为柱，压杆的稳定也称为柱的稳 定，压杆的失稳现象是在纵向力作用下，使 杆产生突然弯曲的，在纵向力作用下的弯曲， 称为纵弯曲。
AB杆 l
1
i
l
1.5 cos30
1.732m
i
I A
D4 d4 4 64 D2 d2
D2 d 2 16mm 4
得
1 1.7 3 2 1 03
16
108 P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI
l 2
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42 nst
3
AB杆满足稳定性要求

材料力学压杆稳定


长度因数
（支座系数， 长度系数， 约束系数）
注意：刚度越大， 杆长越短，约束越 强，临界力越大，
压杆越不易失稳。
一端固定 一端自由
2
一端固定 两端铰支 一端铰支
两端固定
1
0.7
0.5
第十章 压杆稳定
例：图示细长圆截面连杆，长度 l 800 mm ，直径 d 20 mm ,材 料为Q235钢，E＝200GPa.试计算连杆的临界载荷 Fcr . 解：1、细长压杆的临界载荷
s p ( p s )
cr a b
a, b 是与材料性
能有关的常数。 直线公式适合合金 钢、铝合金、铸铁与 松木等中柔度压杆。
第十章 压杆稳定
——直线型经验公式
材料 硅钢
a s s b
p
a(MPa) b(MPa) 577 3.74
100
1.287 ( MPa)
第十章 压杆稳定
例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定，上 端为球铰支座，试问 a=？时，立柱的临界压力最大值为多少？ 解：1、对于单个10号槽钢，形心在C1点。
I z1 198 .3cm4 , I y1 25.6cm4 . A1 12.74cm , z0 1.52cm,
I min I y 2 I y1 2 23.63 47.26cm 4
i I min A 47 .26 1.68cm 2 8.367
150 89.3 p 100 1.68
max
第十章 压杆稳定
l
i

所以，应由经验公式求临界压力。
σcr=304-1.12λ =304-1.12×89.3 =204（MPa）

材料力学第十章压杆稳定



π2

200 103 108 (2 2500 )2
10 4
N

85187N
85.19kN
10-3 欧拉公式的适用范围及经验公式
1、临界应力与柔度
将临界压力除以压杆的横截面面积A，就可以得到与临界压力
对应的应力为
cr

Fcr A

π2EI
(l)2 A
cr即为临界应力。
利用惯性半径 i 和惯性矩 I 的关系：
但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
l 2l
F
F 一端固定，一端自由，
长为l 的的压杆的挠曲线
和两端铰支，长为2l的
压杆的挠曲线的上半部
分相同。则临界压力:
Fcr

π 2 EI (2l)2
2、其它支承情况下细长压杆的临界力
利用同样的方法得到: 两端固定的压杆的临界压力为:
F
Fcr

π 2 EI
( l ) 2
π2 200 103 48 10 4 N (2 2500 )2
b z
l h
37860N 37.86kN
y
若 h b 60mm
Iy

Iz

bh3 12

60 4 12
mm
108 10 4 mm
Fcr

π 2 EI
( l ) 2
1、计算s, p
p
π2E
p
π2 210109 280106
86
查表优质碳钢的 a、b
s
a s
b

材料力学课件 第十章压杆稳定


sinkL0
kn P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EImin L2
14
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
29
我国钢结构柱子曲线
二、 受压构件的稳定公式
利用最大强度准则确定出轴心受压构件的临界应力 cr ，引入抗力分项系数 R ，则轴心受压构件的稳定计算公式如下：
N cr cr f y f A R R fy
f ：钢材的强度设计值
（10.24）
30
例6
如图所示，两端简支，长度l 5m 的压杆由两根槽钢组成，若限定两个槽钢腹板
Iy [73.3 (51.8)2 21.95]2 2176.5cm4
33
若失稳将仍会在 xoy平面内，有
imin iz
Iz A
1732.4 6.28cm 43.9
max
l imin
500 79.6 6.28
查表得2 0.733
此时3 与3 已经很接近，按两个 16a 槽钢计算压杆的许可压力，有
20
[例3] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2EI L22
y
=0.7，
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§10-2 压杆稳定与临界载荷
例10-4. 截面为 120×200mm的矩形木柱， 材料的弹性模量 E=1×104Mpa,。其支承 情况为：在xoz平面失稳 （即绕y轴失稳）时柱的 两端可视为固定端（例1 图a）；在xoy平面失稳 （即绕z轴失稳）时，柱 的两端可视为铰支端（例 1图b）。试求该木柱的临 界力。
§10-1 压杆稳定与临界载荷
一、压杆稳定的概念 稳定性：主要针对细长压杆
P
P
稳定性：构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力， 是杆件承载能力的一个方面。 如何判断杆件的稳定与不稳定？
§10-1 压杆稳定与临界载荷
FP<Fcr :在扰动作用下，直线平衡构
形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后， 能够恢复到直线平衡构形，则称原来 的直线平衡构形是稳定的。 形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后， 不能恢复到直线平衡构形，则称原来 的直线平衡构形是不稳定的。 在扰动作用下，直线平衡状态转变为 弯曲平衡状态，扰动除去后，不能恢复 到直线平衡状态的现象，称为失稳或屈 曲。
设k
2
Fp EI
Fp y d y 2 dx EI
则
,
y
通解为
d2y 2 k y0 2 dx
(二阶线性常数 齐次微分方程)
y a sin kx b coskx
式中a、b、k为待定常数。
§10-1 压杆稳定与临界载荷
边界条件为：
1）x=0，y=0 2）x=l，y=0 b=0
§10-2 压杆稳定与临界载荷
2
图10-4 图10-3 a．对于柔度较小的短粗杆，可取作为临界应力，即以强度计 算为主。 b．对于λ 较大的细长杆，稳定问题是主要矛盾，应用欧拉 公式计算临界应力。 c．对于λs≤λ<λp的中长杆，则应为应力超过比例极限后 的稳定问题，一般用经验公式计算临界应力。
§10-2 压杆稳定与临界载荷
y
为截面对主轴
I z0 I max ,
1 3 I z bh , 12
h b
I y0 I min
1 3 I y hb 12
h
z b
Iz I y
所以矩形截面压杆首先在xz平面内失稳弯曲，（即绕 y 轴转动）
§10-1 压杆稳定与临界载荷
2）屈曲位移函数
弹性曲线为一半波正弦曲线。
临界力计算的步骤
2
§10-2 压杆稳定与临界载荷
例10-3 有一千斤顶,材料为A3钢.螺纹内径d=5.2cm，最大高度 l=50cm,求临界载荷 Fcr。(已知 s 235MPa, p 200MPa )
F
解:
惯性半径:
I d i A 4
2 0 .5 柔度: 77 i d /4 p 100 A3钢:
l x 时, 2
l y ( ) ymax a 2
y(x)=a sin x l
a为压杆中点挠度。
§10-1 压杆稳定与临界载荷
2、其他杆端约束细长压杆的临界力 1） 一端固定，一端自由
2l
F cr =
2EI
（2l）2
§10-1 压杆稳定与临界载荷
2） 一端固定，一端铰支
BC段,曲线上凸, CA段,曲线下凸,
细长杆（大柔度杆）—发生弹性屈曲 (p)
( p )
§10-2 临界应力与临界应力总图
5、临界应力总图
当λ ≤ λp时，这类压杆属于临界应力超出比例极限的压 杆稳定问题。其临界应力一般运用由实验所得的经验公式 来计算。常用的经验公式有二种，一种是直线型经验公式， 另一种是抛物线型经验公式。 1）直线公式 对于柔度 0 < p 的中柔度杆（中长 压杆），临界应力与λ的关系采用直线公式： cr a b
该柱将可能在xoy平面失稳（绕z轴）。
§10-3 压杆稳定性核校
一、压杆的稳定计算
稳定安全系数法 压杆的稳定条件
Fcr F [ Fst ] [ nst ]
[ Fst ]
——稳定许用压力
[nst ] ——稳定安全因数
F
——工作压力

cr
[ nst ]
[ st ]
[ st ] ——稳定许用应力
2
由此得
arc tg(ctg )
2

①

90
②
§10-2 临界应力与临界应力总图
1、问题的提出
能不能应用欧拉公式计算 四根压杆的临界载荷？四根压 杆是不是都会发生弹性屈曲？
2、三类不同的压杆
细长杆—发生弹性屈曲 中长杆—发生弹塑性屈曲 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服
§10-2 临界应力与临界应力总图
•分析
压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲
I I min
F h
y
x
F
z 例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？
b
（绕哪个轴转动）
§10-1 压杆稳定与临界载荷
I y0 z0 0
I y0 I z0
而
对于矩形截面
y0 , z0 为截面的主惯性轴（主轴）。
为截面对主轴
y0 的惯矩，称为主惯矩。 z0 的主惯矩。
a、b是与材料有关的常数。
a s (塑性材料) b a b (脆性材料) b b
s
临界应力总图——临界应力随柔度变化的曲线
§10-2 临界应力与临界应力总图
粗短杆 中长杆 细长 杆
0
临界应力总图
§10-2 临界应力与临界应力总图
2） 抛物线公式
对于柔度(λ<λc)的杆件，临界应力与λ的关系采用抛物线公式： 2 （ 0 < c ） cr
§10-1 压杆稳定与临界载荷
例10-1：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成平面正 方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为E。求 图 (a)、(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大 载荷。
CL13TU15
§10-1 压杆稳定与临界载荷
解：(a ) 杆BD受压，其余杆受拉
BD杆的临界压力:
三、细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力 2、其他杆端约束细长压杆的临界力
§
10-1 压杆稳定与临界载荷
考察微弯状态下局部压杆的平衡
1、两端铰支的细长压杆的临界力
FBx Fp
y
§10-1 压杆稳定与临界载荷
若 p ,
则压杆的弯曲变形为
d2y EI 2 M ( x) Fp y dx 2
a b
a , b 是与材料有关的常数。
抛物线与欧拉公式的交点C，相应的柔度λc为
2E c 0.57 s
2
§10-2 压杆稳定与临界载荷
6、临界应力总图及临界应力的计算
2
图10-4 图10-3 图10-3和图10-4表示了压杆的临界应力与压杆的柔度λ 间的关系，称为塑性材料压杆的临界应力总图。它表示了 临界应力随柔度λ 变化的规律。从图中可看出，临界应力随 柔度的增大而减小。
例10-4图
§10-2 压杆稳定与临界载荷
解：(1)计算绕y轴失稳时的柔度 μy=0.5（两端固定）；
iy Iy A yl iy b 2 3 0.0346m;
y
0.5 7 101 0.0346
(2)计算绕z轴失稳时的柔度 μz=1（两端铰支）；
Iz h 0.0577 m; A 2 3 l 1 7 z z 121 iz 0.0577 iz
F — 工作应力 A
§10-3 压杆稳定性核校
压杆的稳定条件
nst [nst]
Fcr cr nst F F A nst
— 工作安全因数 — 工作应力
——工作稳定安全因数
例10-5 已知：b=40mm, h=60mm, l=2300mm,Q235 钢, s 235MPa, p 200MPa E＝200GPa,FP＝150kN,nst=1.8， 校核:稳定性是否安全。
3、临界应力与柔度
在临界力作用下，压杆横截面上的平均压应力称作临界 应力，以 cr 表示，由欧拉公式(13-5)可得： Pcr 2 EI cr 2 2 A l 2 A Ei A I cr 2 引入惯性半径 i ，则有 ( l) A A

定义

cr
l
i

FP>Fcr :在扰动作用下，直线平衡构
§10-1 压杆稳定与临界载荷
二、临界载荷的概念
压杆的压力逐渐上升,使压杆的平衡由稳定的平衡状态 向不稳定的状态的质变的转折点,称为临界载荷,以 F cr 表示. 压杆保持直线状态平衡的最大力。
临界载荷 Fcr ：
使压杆失稳（不能保持直线形式的稳 稳定平衡）的最小力。
2
—柔度或长细比
2
E l 2
( i )
E 2 —欧拉公式
§10-2 压杆稳定与临界载荷
4、欧拉公式的适用范围
E cr 2 p
2
或

E
p
p—比例极限 A3钢：
E 200GPa, p 200MPa,
p 100
. 即 p时, 欧拉公式成立
Pcr

EI
2
2a

2

EI
2
2a
2
故杆系所能承受的最大载荷
Pmax Pcr
EI
2
2a
2

Ed
3
4
128a 2
§10-1 压杆稳定与临界载荷
(b ) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
Pcr