绝对强的考研数学强化资料提高总分
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快速提升数学考研成绩的方法大揭秘数学是考研中非常重要的一门科目,考生们通常都会付出很大努力来提高自己的数学成绩。
那么,有哪些方法可以帮助考生们快速提升数学考研成绩呢?本文将揭示一些有效的方法和策略,帮助考生们在数学考试中取得优异成绩。
一、加强基础知识的学习数学是一门基础学科,对于考研数学来说,扎实的基础知识是学好数学的关键。
考生们应该重点掌握数学的基础概念、公式和定理,不断巩固和加深对基础知识的理解和掌握。
可以通过参加数学辅导班、自习、刷题等方式进行学习。
此外,要善于运用基础知识解决实际问题,这样能够更好地理解和应用所学知识。
二、合理制定学习计划制定一个科学合理的学习计划对于提高数学考研成绩至关重要。
首先,需要根据自身情况评估所需的学习时间和难度,然后合理安排每天的学习任务。
此外,要注重分段休息,避免长时间的学习造成疲劳,保持良好的学习状态。
定期检查学习进度,及时调整学习计划,确保按时完成任务。
三、刷题是提高数学成绩的关键刷题是提高数学成绩的有效方法之一。
通过刷题可以增加对各类数学题型的熟悉程度,提高解题速度和准确性。
考生们可以选择一些经典的数学题目进行反复练习,深入理解解题思路和方法。
同时,可以参考一些优秀的数学解题技巧和方法,灵活运用到实际解题过程中。
四、培养良好的解题习惯良好的解题习惯可以大大提高解题效率和准确性。
首先,要仔细阅读题目,理解问题的背景和要求。
然后,要学会合理拆解问题,找到解决问题的关键步骤和方法。
在解题过程中,要注意思路的清晰和逻辑的严谨,避免在计算过程中出现错误。
此外,要注重归纳总结,将解题过程和方法记录下来,便于复习和巩固。
五、充分利用资源和工具考研数学是一个广阔的知识领域,考生们可以通过各种资源和工具来帮助自己学习和提高成绩。
可以参加数学研讨会、讲座等活动,了解前沿的数学研究和应用。
在线学习平台和教学视频也是很好的学习资源,考生们可以通过这些渠道来扩展知识面和提高学习效果。
考研数一逆袭高分经验分享考研数学一科目是考研数学中的基础科目之一,对于很多理工科的考生来说,数学一科目是他们复习的重点和难点。
但是,通过一些方法和技巧,我们也可以逆袭高分,取得好成绩。
下面就是我在考研数一中的逆袭高分经验分享。
要做好复习计划。
考研数学一的考试范围广泛,知识点繁多,因此制定一个合理的复习计划是非常重要的。
可以根据自己的时间安排,将整个复习过程划分为若干个阶段,每个阶段集中复习一些相关的知识点,确保每个知识点都能够深入理解和掌握。
要注重基础知识的学习。
考研数一的试题往往会涉及到一些基础知识,因此要将这些基础知识学好。
可以通过查阅教材、做习题、听课等方式来加强对基础知识的理解和掌握。
只有基础知识扎实,才能在解决复杂问题时游刃有余。
要注重做题练习。
做题是考研数一复习中非常重要的一环。
可以选择一些经典的习题进行练习,熟悉题型和解题思路。
在做题过程中,要注重总结方法和技巧,积累经验,提高解题的效率和准确性。
可以通过刷题软件、参加模拟考试等方式进行题目的练习和检验。
要注重理论与实践的结合。
在考研数一的复习中,理论和实践是相辅相成的。
要将理论知识与实际问题相结合,通过实际问题的分析和解决,加深对理论知识的理解和应用。
可以选择一些经典的例题进行分析和解答,从中提炼出一些常用的解题技巧和方法。
要注重查漏补缺。
在复习过程中,难免会有一些知识点掌握的不够扎实或者遗漏的情况。
因此要及时查漏补缺,对一些薄弱知识点进行有针对性的复习和强化。
可以通过与同学讨论、请教老师、查阅资料等方式,找到自己的不足之处,并加以改正。
要保持良好的心态和韧劲。
考研数一是一门需要耐心和毅力的科目,很多知识点和题目都需要时间去消化和吸收。
因此,在复习的过程中,要保持积极的心态和持之以恒的精神状态。
遇到困难和挫折时,要坚持下去,相信自己的能力,相信付出必有回报。
通过以上这些方法和经验,我成功地逆袭了考研数一,取得了理想的高分。
希望这些经验对于其他考生也能有所帮助。
考研数学怎么提分考研,作为许多大学毕业生继续深造的途径,备战考研是他们的追求和努力的结果。
其中,数学科目一直是大家的难点,因此如何在数学科目上提高分数成为了很多人关心的问题。
下面就让我们一起探讨一下如何提高考研数学成绩。
首先,备战考研数学需要建立扎实的数学基础。
很多人在大学期间对数学知识的掌握并不牢固,因此在备考阶段,要首先对数学的基本概念和公式进行透彻的复习。
可以通过查阅教材和参加数学辅导班来加强基础知识的学习。
只有对数学的基本概念和公式有清晰的理解,才能更好地解决复杂的数学问题。
其次,要注重学习解题思路和方法。
考研数学涉及到的问题类型非常多样,复杂性也很高。
每一道题目都需要用正确的思路和方法去解决。
因此,在备考过程中,我们需要注重解题思路和方法的学习。
可以通过阅读参考书籍、查看解题视频以及进行模拟考试来熟悉各种题型的解题方法。
同时,要有耐心和坚持,多做一些题目,加深对解题思路和方法的理解,提高解题的效率和准确性。
另外,要注重数学运算能力的提升。
很多数学题目虽然看起来很简单,但需要通过繁琐的计算才能得到答案。
因此,在备考数学过程中,要注重提高数学运算能力,尤其是对于一些常见的数学运算规则和技巧要熟练掌握。
可以通过大量的练习和不断的积累来提高运算速度和准确性。
此外,要善于总结和归纳。
在备考数学的过程中,我们要善于总结和归纳各种数学概念、公式和解题方法。
可以制作笔记或者整理笔记本,将学到的知识进行归纳总结,方便以后查阅和复习。
同时,要经常进行知识回顾,保持对已学知识的熟悉和掌握。
总结归纳不仅能够帮助我们更好地记忆和理解数学知识,还能够让我们在后续的备考过程中更加有条理地进行学习和思考。
最后,要保持积极的心态和坚持不懈的努力。
备考考研数学是一个漫长而艰苦的过程,需要我们始终保持积极的心态和坚持不懈的努力。
遇到困难和挫折时,我们要及时调整心态,相信自己的能力,相信通过自己的努力一定可以取得好的成绩。
同时,要坚持不懈地学习和练习,保持每天的学习状态和时间安排,不断提高自己的学习效率和能力。
考研数学复习如何提高分数范本3份数学是考研的一门重要科目,对于提高数学分数,需要综合考虑多方面的因素。
下面是三份关于如何提高考研数学分数的范本,每份范本约400字,共计1200字。
范本一:培养问题解决能力要提高考研数学分数,首先要培养自己的问题解决能力。
数学考试中常常需要运用有效的方法和策略解决问题。
可以通过以下几点来提高自己的问题解决能力:1.学会分析问题:在做题时,先要仔细分析问题的要求,理解问题的本质和目标,弄清楚问题存在的关键点,从而确定解题思路。
2.积累解题经验:做数学题时,有时会出现一些常见的题型或者解题方法,通过大量的练习和积累,能够熟练掌握这些题型的解题方法,提高解题效率。
3.灵活运用数学知识:数学知识是解题的基础,要灵活运用所学数学知识解决具体问题,将抽象的数学概念和具体问题相结合,拓展解题思路。
4.培养逻辑思维能力:数学是一门逻辑性很强的学科,培养逻辑思维能力可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
可以通过阅读相关的数学书籍、参加数学竞赛等方式来提高逻辑思维能力。
范本二:注重提高题目命题的全面性为了提高考研数学分数,需要注重提高题目命题的全面性。
考研数学题目往往涉及多个知识点的综合运用,解答过程比较复杂。
通过以下几点来提高题目命题的全面性:1.掌握基础知识:数学是一个渐进的学科,掌握好基础知识是理解和解答复杂问题的前提。
要通过系统地学习和不断地巩固基础知识,建立和完善数学知识体系。
2.理解题目:理解题目是解答问题的第一步,要仔细研读题目,弄清楚题目的要求,确定解题的思路和方法,避免做题的盲目性。
3.思维全面性:在解答题目时,要从多个角度思考问题,灵活运用所学知识和方法,寻找不同的解题思路和方法,提高解题的全面性和灵活性。
4.扩展应用:在掌握了基础知识的基础上,要学会将所学的数学知识运用到实际问题中,通过解决实际问题来提高题目命题的全面性,加深对数学知识的理解。
范本三:增强解题速度和准确性为了提高考研数学分数,还需要增强解题速度和准确性。
考研数学应该如何提高分数考研数学应该如何提高分数同学们在准备报考数学专业的时候,要想办法去提高分数。
店铺为大家精心准备了考研数学提高分数指南攻略,欢迎大家前来阅读。
考研数学这样学高分远不了1.数学的一大特点就是理论的严谨性,所以对教材上的点点滴滴都应熟透,是毫无疑问的。
尤其对于考研来说,把教材搞透还不够,还应当按考研大纲的要求补充一些知识。
故最好选择一本好的辅导书很重要!2.一般数学考题有概念题、计算题、证明题、综合题和应用题。
当然大部分是计算题。
因此,特别要加强计算能力的训练,要练到做基本的计算题时,要求又对又快。
“凡是会做的题都要不错”。
而证明题在高数中不多,但是考研的最难的题往往会是高数证明题,而在线性代数中,证明与计算是并重的。
因此,心理上不要和证明题“对立”。
但由你的特点,先应把那些简单的证明题,及处理证明题的基本思路、方法弄懂。
可以先绕过难的证明题,等计算基本功和概率统计熟了之后,再回过头去看看证明题,“熟能生巧”,说不定有些不太难的证明题渐渐会了,对“特难”的题就是计算题也可先绕过去。
比如从不少同学的问题中我们看到,有些辅导书上有大量积分的计算难题,几乎是不可能在考研中出现的,可以不理它。
3.看数学书一定要边看边推导,即要动手又动脑才行。
尤其动手,不要以为书上的看懂了就行了,要推开书自己推导出了才算初步懂了。
另外要反复,每读完一章要小结,对书上的例题要把它当作习题去做,而不要当例题去看!要做一定的题,但不要认为做得越多越好!而主要是“精”。
一道题不做而已,做就反复练,练熟练透,直到遇到类似的题一看便知怎样做最快最好为止。
这就是“举一反三”。
数学能否考高分直接决定了能上什么样的学校,因为作为考研科目中拉分最大,难度又高的科目,学好数学非常重要,所以希望同学们好好把握!考研数学尽早复习基础是根本一、复习要尽早计划要合理对于考3门公共课的考生来说,相对于另外两门数学是最难学,也是最难考的。
考研数学备考拿满分的指南攻略考研数学备考拿满分的秘诀每年考研数学考试都不乏满分试卷和高分试卷,对于数学基础相对薄弱的考生来说,高分似乎是可望而不可即的事情,但其实事情并没有大家想象中的那么困难。
考研辅导专家提醒考生,考研数学一来依靠基础,二来依靠方法,大家要学会利用最简单的知识去解决最复杂的问题,才能在短时间内提升自己的水平。
教材为本,扎实基础考研数学考察的侧重点还是基础,包括基本定理、基本概念的理解,基本方法的运用。
考试中考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理记不全、记不牢,理解不准确,解题不得要领。
所以在考研数学复习初,一定要狠抓基础,扎实基础,不可来半点虚的,不可有半点投机取巧。
考研辅导专家提醒考生,大家在复习时要把精力放在课本上,对一些基础知识进行记忆和理解。
如果要做练习,要以教材课后练习为主。
紧扣考纲,注重练习考研数学命题范围有明确的规定,所以考生在复习之初,可以把考纲作为复习的指导性工具。
详细了解考试的基本要求,题型、类别和难度特点等,并准确定位。
考研辅导专家提醒考生,大家对考纲中每个知识点进行了解后,要把头脑中的知识联系起来,因为考研数学很少单独考某个知识点,而是几个知识点结合起来考察考生的分析能力和综合解题能力。
抛弃题海,勿缺勿滥考研数学的特点,要求考生进行大量联系,但并不赞成考生机械的题海战术。
在考研练习方面,考生一定要从题海战术跳出,进行技术性的练习。
在练习的过程中,考生要不断反省,对的题要思考,错的题要总结,争取做到做一道题会一类题,练就举一反三的本领。
合理休息,反对押题。
考研复习过程中,每个考生的学习量都很大,有的考生把自己的休息时间都"借"给了复习。
殊不知量的积累会导致质变,长时间超负荷的学习,考生很容易崩溃,所以在复习过程中,考生一定要调整好休息、学习、娱乐之间的关系。
在考研考试来临之际,考生都会把希望寄托于押题上,提醒这很不科学,而且风险性很大,所以即便到了考试的最后一刻,考生也要按照自己的步伐进行复习,千万不要因外界的变动影响到复习规划。
考研数学怎样提高分数考研数学是众多考生的拦路虎,很多人在备考过程中遇到了困难。
那么,要想在考研数学中获得高分,我们应该采取哪些措施呢?一、理清知识框架首先,我们需要对数学知识进行系统全面的梳理和整理,理清知识框架。
考研数学内容繁杂,但总体分为数学分析、高等代数、概率统计等几个大的模块。
我们可以按照这个大框架进行分块学习,逐一攻克每个模块中的重点难点。
二、查缺补漏在理清知识框架的基础上,我们还需查缺补漏,找出自己的薄弱环节。
可以通过分析历年真题和模拟试卷,找出自己容易错的知识点和题型,有针对性地进行强化训练。
同时,可以通过参加相关培训班或请教老师,弥补自己的知识短板。
三、掌握解题技巧数学考试不仅考察对知识点的掌握,还考察解题能力和解题思路。
因此,我们需要熟悉一些常见的解题技巧,并进行反复练习和实践。
比如,利用对称性、置换等方法来简化计算,运用数列求和公式、因式分解等方法简化题目,常用的解题技巧能够极大地提高解题效率。
四、注重数学建模能力的培养数学考试中,很多题目都是结合实际问题进行建模的,因此,我们需要培养数学建模的能力。
可以多做一些与实际问题相关的数学题目,并将所学的数学知识运用到实际问题中去,提高自己的数学建模思维和素养。
五、多做练习题熟能生巧,考研数学也不例外。
多做一些相关的练习题和模拟试卷,可以帮助我们熟悉题型,掌握解题思路。
在做题的过程中,我们要注意分析错题的原因,找出解题的漏洞和不足之处,进行总结和反思。
通过反复的训练和练习,我们的数学水平会得到提高。
六、合理规划备考时间备考时间的合理规划对于考研数学的提高至关重要。
我们需要根据自己的实际情况,合理分配时间。
可以将每日的学习时间拆分为不同的模块,比如早上集中攻克重点知识,下午进行题型练习等。
同时,要有良好的时间管理能力,合理安排复习、休息和娱乐等,以保持高效的学习状态。
综上所述,要想在考研数学中取得好成绩,我们需要理清知识框架,查缺补漏,掌握解题技巧,培养数学建模能力,多做练习题,并合理规划备考时间。
考研数学如何备考才能全面提分对于众多考研学子来说,数学往往是一块难啃的“硬骨头”。
要想在考研数学中取得理想的成绩,实现全面提分,需要制定科学合理的备考策略,并持之以恒地付诸实践。
首先,我们要明确考研数学的考试内容和题型。
考研数学通常分为数学一、数学二和数学三,不同的专业要求不同。
无论是哪种类型,都涵盖了高等数学、线性代数和概率论等多个方面的知识。
了解考试大纲,清楚每个知识点的要求和重点,是备考的第一步。
基础阶段是整个备考过程中至关重要的一环。
在这个阶段,要系统地学习教材,掌握基本概念、定理和公式。
千万不要急于求成,觉得基础知识简单就一带而过。
很多同学在后期做题时感到困难,往往就是因为基础不扎实。
建议选择一本权威的教材,认真研读每一个章节,做好笔记,整理出知识框架。
对于难以理解的知识点,可以通过观看网课、请教老师或同学等方式来解决。
在掌握了基础知识之后,就要进入强化阶段。
这一阶段的重点是通过大量的练习题来巩固和深化所学的知识。
可以选择一些经典的辅导书,如李永乐的《复习全书》、张宇的《18 讲》等。
做题的时候,不要盲目追求数量,而是要注重质量。
每做完一道题,都要认真分析解题思路,总结解题方法和技巧。
对于做错的题目,要找出错误的原因,及时进行纠正和总结。
同时,要学会举一反三,通过一道题掌握一类题的解法。
真题是备考过程中最宝贵的资料。
在复习的中后期,要开始做真题。
通过真题,可以了解考试的命题规律和难度,熟悉考试的题型和答题技巧。
建议按照考试时间和要求来做真题,做完之后认真对照答案进行评分和分析。
对于做错的真题,要深入研究,找出自己的薄弱环节,有针对性地进行强化训练。
同时,要把真题中的错题整理出来,反复练习,确保不再出错。
除了做真题,模拟题也是必不可少的。
模拟题可以帮助我们拓宽解题思路,提高解题速度和应对难题的能力。
在选择模拟题时,要注意选择质量较高、与真题难度相近的题目。
做完模拟题后,同样要进行认真的分析和总结,不断调整自己的备考策略。
考研数学快速提高分数方法考研数学快速提高分数方法正在考研的同学们,有很多数学基础差的,就要找到快速提高自己分数的方法。
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五个月修炼考研数学满分技能一、考研数学的高分核心理念1.绝对复习时间并不等于牛逼复习效果,量化时间内的高效实战才是快速提分王道。
所以,尽量每天划定一块固定的专属3-4小时集中用来数学实战,以战求进,以战养战。
前期知识点未阅览完毕,可单数天看知识点,双数天实战配套习题,具体实战量根据自身实力斟酌确定,“适量”的衡量标准是:随心所欲能理解!2.出发的晚未必到达的迟,复习的早未必就胜券在握。
别听早行者的进度炫耀,谁死谁活在成绩出来的前一刻都是未知。
即使9月份出发,也请抱着亡羊补牢的必胜信念愚公移山,每日积小善,方能成大德,尤其适用于那些有志逆袭的“情况学生”。
3.辅导书繁多冗杂,与其全买费心费财费时,倒不如最大化精简,集中猛搞几本核心教辅,降低认知负担与心态负担。
少即是多,透即是精,大道至简,考研同理,尤其适用于考研数学与英语!4.数学要分区得分,于你而言难题未必就需要立马攻克。
一般而言,满分150分,有110-120分算是基础+中等难度题型,剩下的30-40分才是中等偏难或巨难的题目。
所以,高分的合理前提一定是:简单会做题不能失分,难题尽可能踮脚按步骤踩分。
在精力有限的前提下,请优先刷中等难度范围内题目,具备一定基础后可适当扣难题。
5.数学大题=过程分+结果分+书写印象分,所以平时有意识添加步骤,且注意步骤间的逻辑排序,尽量别大跨度跳跃,要让判断人明晰你的思路历程,一定要记住过程分大于结果分。
另外,书写字迹要有意识锻炼,无论是数学还是英语政治都会受益诸多。
6.数学视频只能是引导辅助,真正的提分过程还是在于自己刷题体验。
所以,前期别犯懒更别怵,要勇于自己探索,视频可在遇到特定难懂章节时针对性阅览。
别神化考研路上的任何人或者任何机构,真正的牛逼核心还是在于你自己,切记切记!7.数学共分三个部分:高数、概率论以及线代,其中线代最容易,高数和概率论略难。
快速提高数学考研分数的秘诀数学是考研中最重要的科目之一,也是让很多考生颇为头疼的科目。
然而,只要我们掌握了一些有效的学习方法和技巧,就能够快速提高数学考研分数。
接下来,本文将分享一些提高数学考研分数的秘诀,希望能对考生们有所帮助。
I. 系统学习基础知识首先,要提高数学考研分数,我们必须系统地学习和巩固数学的基础知识。
数学考研的内容非常广泛,涉及到高等数学、线性代数、概率统计等多个领域。
因此,我们应该从最基础的知识开始学习,逐步深入,建立起扎实的数学基础。
在学习基础知识时,可以选择参加培训班或自学教材,根据自己的情况选择最适合的学习方法。
同时,要注重做好笔记和整理知识点,方便日后的温习和复习。
II. 多做习题,提高解题能力除了学习基础知识,多做习题也是提高数学考研分数的重要途径。
做习题可以帮助我们巩固所学知识,并提高解题能力和应对考试的能力。
在做习题时,可以根据题目的类型和考点进行分类,并按照一定的顺序进行刷题。
可以先从易到难,循序渐进地提高解题能力。
同时,要仔细分析每道题的解题思路和方法,总结经验和技巧,以备考试时能够迅速应用。
III. 掌握解题技巧和思维方法除了扎实的基础知识和解题能力,我们还需要掌握一些解题技巧和思维方法,以应对各种复杂的数学问题。
下面列举几个常用的解题技巧和思维方法:1. 建立数学模型:对于一些实际问题,可以将其抽象成数学模型进行分析和求解。
2. 异常值检查:在解题过程中,要时刻注意检查计算过程中是否有异常值,以避免在计算中出现错误。
3. 利用对称性:在某些情况下,可以利用对称性简化问题,减少计算量。
4. 多角度思考:对于一道题目,可以从不同的角度进行思考,寻找不同的解题思路。
5. 时间管理:考研数学是时间紧迫的考试,要学会合理安排时间,根据不同题型的难易程度合理分配时间。
IV. 频繁模拟考试,增加应试经验在考研复习过程中,频繁模拟考试是非常重要的,可以帮助我们熟悉考试环境,增加应试经验,提高应对考试的能力。
绝对强的考研数学强化资料(提高总分)————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:ﻩ本人花万元报名参加北京一内部考研辅导班,该辅导班考前会发布押题,押题命中率百分之90左右,去年该培训班考生全部高分过线。
如果需要发布的押题可以联系我QQ673351717免费索取 来者不拒 一一发布 希望大家都能顺利高分通过研考高等数学部分易混淆概念 第一章:函数与极限一、数列极限大小的判断 例1:判断命题是否正确. 若()nn x y n N <>,且序列,n n x y 的极限存在,lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞→∞==<则解答:不正确.在题设下只能保证A B ≤,不能保证A B <.例如:11,1n n x y n n ==+,,n n x y n <∀,而lim lim 0nn n n x y →∞→∞==.例2.选择题设nn n x z y ≤≤,且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则( )A.存在且等于零 B . 存在但不一定等于零 C .不一定存在 D. 一定不存在 答:选项C 正确 分析:若lim lim 0nn n n x y a →∞→∞==≠,由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠,故不选A与D.取11(1),(1),(1)n n n nn n x y z n n =--=-+=-,则n n n x z y ≤≤,且lim()0n n n y x →∞-=,但lim n n z →∞ 不存在,所以B 选项不正确,因此选C. 例3.设,nn x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞-=则与( )A.都收敛于a B . 都收敛,但不一定收敛于a C .可能收敛,也可能发散 D. 都发散 答:选项A 正确. 分析:由于,nn x a y ≤≤,得0n n n a x y x ≤-≤-,又由lim()0n n n y x →∞-=及夹逼定理得lim()0n n a x →∞-=因此,lim nn x a →∞=,再利用lim()0n n n y x →∞-=得lim n n y a →∞=.所以选项A.二、无界与无穷大无界:设函数()f x 的定义域为D ,如果存在正数M ,使得()f x Mx X D ≤∀∈⊂则称函数()f x 在X 上有界,如果这样的M 不存在,就成函数()f x 在X 上无界;也就是说如果对于任何正数M ,总存在1x X ∈,使1()f x M >,那么函数()f x 在X 上无界.无穷大:设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义(或x 大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数M (不论它多么大),总存在正数δ(或正数X ),只要x 适合不等式00x x δ<-<(或x X >),对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大.例4:下列叙述正确的是: ② ① 如果()f x 在0x 某邻域内无界,则0lim ()x x f x →=∞② 如果lim ()x x f x →=∞,则()f x 在0x 某邻域内无界解析:举反例说明.设11()sin f x x x =,令11,,22n n x y n n πππ==+,当n →+∞时,0,0n n x y →→,而lim ()lim (2)2n n n f x n ππ→+∞→+∞=+=+∞ lim ()0n n f y →+∞=故()f x 在0x =邻域无界,但0x →时()f x 不是无穷大量,则①不正确.由定义,无穷大必无界,故②正确. 结论:无穷大必无界,而无界未必无穷大.三、函数极限不存在≠极限是无穷大当0x x →(或x →∞)时的无穷大的函数()f x ,按函数极限定义来说,极限是不存在的,但是为了便于叙述函数的性态,我们也说“函数的极限是无穷大”.但极限不存在并不代表其极限是无穷大.例5:函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩,当0x →时()f x 的极限不存在.四、如果lim ()0x x f x →=不能退出01lim()x x f x →=∞ 例6:()0x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数,则0lim ()0x x f x →=,但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义,故无法讨论1()f x 在0x =的极限. 结论:如果lim ()0x x f x →=,且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠,则01lim()x x f x →=∞.反之,()f x 为无穷大,则1()f x 为无穷小。
五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等,求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。
例7.求极限1lim ,lim xxx x ee →∞→解:lim ,lim 0x x x x e e →+∞→-∞=+∞=,因而x →∞时x e 极限不存在。
1100lim 0,lim x x x x e e →-→===+∞,因而0x →时1xe 极限不存在。
六、使用等价无穷小求极限时要注意:(1)乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换,加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的,故统一不用。
这时,一般可以用泰勒公式来求极限。
(2)注意等价无穷小的条件,即在哪一点可以用等价无穷小因子替换 例8:求极限2112limx x x x →++--分析一:若将112x x ++--写成(11)(11)x x +-+--,再用等价无穷小替换就会导致错误。
分析二:用泰勒公式22222211()12211(1())22!11()122(1())222!1()4x x x x x x x x x x οοο-++-=+++-+-++-=-+ 原式2221()144x x x ο-+==-。
例9:求极限sin limx xxπ→解:本题切忌将sin x 用x 等价代换,导致结果为1。
sin sin lim0x x x πππ→==七、函数连续性的判断(1)设()f x 在0x x =间断,()g x 在0x x =连续,则()()f x g x ±在0x x =间断。
而2()(),(),()f x g x f x f x ⋅在0x x =可能连续。
例10.设()1x f x x ≠⎧=⎨=⎩,()sin g x x =,则()f x 在0x =间断,()g x 在0x =连续,()()()sin 0f x g x f x x ⋅=⋅=在0x =连续。
若设10()1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,()f x 在0x =间断,但2()()1f x f x =≡在0x =均连续。
(2)“()f x 在0x 点连续”是“()f x 在0x 点连续”的充分不必要条件。
分析:由“若lim ()x x f x a →=,则0lim ()x x f x a →=”可得“如果00lim ()()x x f x f x →=,则0lim ()()x x f x f x →=”,因此,()f x 在0x 点连续,则()f x 在0x 点连续。
再由例10可得,()f x 在0x 点连续并不能推出()f x 在0x 点连续。
(3)()x ϕ在0x x =连续,()f u 在00()u u x ϕ==连续,则(())f x ϕ在0x x =连续。
其余结论均不一定成立。
第二章 导数与微分一、函数可导性与连续性的关系可导必连续,连续不一定可导。
例11.()f x x =在0x =连读,在0x =处不可导。
二、()f x 与()f x 可导性的关系(1)设0()0f x ≠,()f x 在0x x =连续,则()f x 在0x x =可导是()f x 在0x x =可导的充要条件。
(2)设0()0f x =,则0()0f x '=是()f x 在0x x =可导的充要条件。
三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论设()()()F x g x x ϕ=,()x ϕ在x a =连续,但不可导,又()g a '存在,则()0g a =是()F x 在x a =可导的充要条件。
分析:若()0g a =,由定义()()()()()()()()()limlim lim ()()()x a x a x a F x F a g x x g a a g x g a F a x g a a x a x a x aϕϕϕϕ→→→---''====--- 反之,若()F a '存在,则必有()0g a =。
用反证法,假设()0g a ≠,则由商的求导法则知()()()F x x g x ϕ=在x a =可导,与假设矛盾。
利用上述结论,我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。
四、在某点存在左右导数时原函数的性质(1)设()f x 在0x x =处存在左、右导数,若相等则()f x 在0x x =处可导;若不等,则()f x 在0x x =连续。
(2)如果()f x 在(,)a b 内连续,0(,)x a b ∈,且设00lim ()lim (),x x x x f x f x m →+→-''==则()f x 在0x x =处必可导且0()f x m '=。
若没有如果()f x 在(,)a b 内连续的条件,即设00lim ()lim ()x x x x f x f x a →+→-''==,则得不到任何结论。
例11.20()0x x f x xx +>⎧=⎨≤⎩,显然设00lim ()lim ()1x x f x f x →+→-''==,但0lim ()2x f x →+=,0lim ()0x f x →-=,因此极限0lim ()x f x →不存在,从而()f x 在0x =处不连续不可导。
第三章 微分中值定理与导数的应用一、若lim (),(0,lim ()x x f x A A f x →+∞→+∞'=≠∞=∞可以取), 则若lim ()0x f x A →+∞'=≠,不妨设0A >,则0,()2AX x X f x '∃>≥>时,,再由微分中值定理 ()()()()(,(,))f x f X f x X x X X x ξξ'=+->∈()()()()lim ()2x Af x f X x X x X f x →+∞⇒≥+->⇒=+∞同理,当0A <时,lim ()x f x →+∞=-∞若lim (),0,()1x f x X x X f x →+∞''=+∞⇒∃>≥>时,,再由微分中值定理()()()()(,(,))f x f X f x X x X X x ξξ'=+->∈()()()()lim ()x f x f X x X x X f x →+∞⇒≥+->⇒=+∞同理可证lim ()x f x →+∞'=-∞时,必有lim ()x f x →+∞=-∞第八章 多元函数微分法及其应用8.1多元函数的基本概念 1.ε∀,12,0δδ∃,使得当01x x δ-,02y y δ-且0,0(,)()x y x y ≠时,有(,)f x y A ε-,那么00lim (,)x x y y f x y A →→=成立了吗?成立,与原来的极限差异只是描述动点(,)p x y 与定点000(,)p x y 的接近程度的方法不一样,这里采用的是点的矩形邻域, ,而不是常用的圆邻域,事实上这两种定义是等价的. 2. 若上题条件中0,0(,)()x y x y ≠的条件略去,函数(,)f x y 就在0,0()x y 连续吗?为什么?如果0,0(,)()x y x y ≠条件没有,说明0,0()f x y 有定义,并且00(,)x y 包含在该点的任何邻域内,由此对ε∀,都有(,)f x y A ε-,从而0,0()A f x y =,因此我们得到00lim (,)x x y y f x y A →→=0,0()f x y =,即函数在0,0()x y 点连续.3. 多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗?为什么? 不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.8.2 偏导数 1. 已知2(,)y f x y e x y +=,求(,)f x y令x y u +=,y e v =那么解出x ,y 得ln ln y vx u v=⎧⎨=-⎩, 所以22(,)(,).(,)(ln ).ln f u v x u v y u v u v v ==- 或者2(,)(ln ).ln f u v u v y =-8.3全微分极其应用1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系 偏导数x f ', y f '连续⇒Z 可微⇒ (,)Z f x y =连续⇒ (,)f x y 极限存在 偏导数x f ', y f '连续⇒偏导数x f ', y f '存在2. 判断二元函数(,)f x y =0,02230,0(,)()0(,)()xy x y x y x y x y x y ⎧≠⎪+⎨⎪≠⎩在原点处是否可微.对于函数(,)f x y ,先计算两个偏导数:00(,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆--'===∆∆0(0,)(0,0)00(0,0)limlim 0y x x f y f f yy ∆→∆→∆--'===∆∆ 又000522226(,)(0,0)(0,0)(0,0)limlim()()()()x y x x x x y y y y f x y f f x f yx yx y x y →→→→''∆∆--∆-∆∆∆=∆+∆⎡⎤∆+∆⎣⎦令y k x ∆=∆,则上式为2135550022663()limlim 0(1)(1)x x k x k x k xk ∆→∆→∆=∆=+∆+因而(,)f x y 在原点处可微.8.4多元复合函数的求导法则1. 设()xyz f x y=+,f 可微,求dz .22222()()()()()()()()()()()xy xy xy x y d xy xyd x y dz f d f x y x y x y x y xy y xy yf dx f dy x y x y x y x y +-+''==++++''=+++++8.5隐函数的求导1. 设(,)x x y z =,(,)y y x z =,(,)z z x y =都是由方程(,,)0F x y z =所确定的具有连续偏导数的函数,证明..1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂. 对于方程(,,)0F x y z =,如果他满足隐函数条件.例如,具有连续偏导数且0x F '≠,则由方程(,,)0F x y z =可以确定函数(,)x x y z =,即x 是y ,z 的函数,而y ,z 是自变量,此时具有偏导数y x F xy F '∂=-∂',z x F x z F '∂=-∂'同理, z y F yz F '∂=-∂',所以..1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂.8.6多元函数的极值及其求法 1.设(,)f x y 在点000(,)p x y 处具有偏导数,若(,)0x f x y '=,(,)0y f x y '=则函数(,)f x y 在该点取得极值,命题是否正确?不正确,见多元函数极值存在的充分必要条件.2.如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点,且无极大值,那么该函数是否在该点取得最小值? 不一定,对于一元函数来说上述结论是成立的,但对于多元函数,情况较为复杂,一般来说结论不能简单的推广。