辽宁省辽阳市第九中学九年级数学下册 3.2(2)圆的对称性教案 北师大版【教案】

课题：圆的对称性（二）教学思路：本节课设计充分体现新课程标准下数学课堂教学，以学生为主体，教师为引导的目的去进行教学，开展以“自主、合作、探究、师生互动”的学习方式，让学生经历学习数学的严谨探索过程，真正成为学习的主人。

教学内容：本节课教学内容是《义务教育课程标准实验教科书数学》（北师大版）九年级（下）第三章“圆”第二节“圆的对称性”第二课时。

是在第一节课的基础上进行教学，教学目的是让学生利用旋转的方法得到圆的旋转不变性；并利用它的旋转不变性重点探究了“圆心角、弧、弦之间关系”。

教材分析：圆这一章有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性。

同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节内容在整章中具有举足轻重的意义。

所以学好本节内容尤为重要。

“圆的对称性”第二课时的主要内容是垂径定理逆定理，它反映了圆的重要性质，是圆轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据。

所以本节知识与方法的学习直接影响着以后学习圆的兴趣。

教学目标：（一）学习目标：1、了解圆的旋转不变性；2、掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定理；（二）能力目标：1、经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

2、使学生掌握“圆心角、弧、弦之间的关系定理”，以及对定理中“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明。

3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力。

（三）情感目标：1、培养学生积极探索数学新知的态度及方法，培养学生自主学习、相互合作交流的能力。

2、通过学习垂径定理逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。

教学重难点：学习重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理。

教案名称：探究圆的对称性教学对象：北师大版九年级学生教学目标：1.理解圆的对称性的概念；2.掌握圆的对称性的性质；3.能够利用圆的对称性解决问题；4.培养学生的逻辑思维能力和创造思维能力。

教学准备：1.教学课件；2.白板、白板笔；3.学生练习册。

教学过程：Step 1 导入（5分钟）教师用示意图引入课题，提问：“你们对圆的对称性有什么了解吗？”请学生发表自己的观点。

Step 2 概念讲解（10分钟）教师给出圆的对称定义，并解释圆的对称性与其他图形的对称性的不同之处。

通过白板示意图，引导学生观察圆的一些性质，引发学生对圆的对称性的思考。

Step 3 探究圆的对称性（30分钟）教师给出一些实例，让学生进行观察和分析。

例如，给出两个相同的圆，并在一个圆上画一个弧线，让学生找出这两个圆的对称轴，并解释其原因。

教师根据学生的分析结果进行讨论，引导学生总结圆的对称性的性质。

Step 4 探索圆的对称性的应用（35分钟）教师通过具体例题和练习题，让学生运用所学的对称性的性质解决问题。

例如，教师给出一个问题：“如何通过画一条线把一个图形分成两个完全对称的部分？”请学生通过画图或其他方法解决问题，并在白板上演示。

教师根据学生的解答进行讨论和点评。

Step 5 小结（5分钟）教师对本节课所学内容进行小结，并布置相关作业。

Step 6 延伸拓展（余下时间）教师激发学生的创造思维能力，让学生进一步思考和研究圆的对称性的应用。

例如，教师给学生出一些拓展题目，让学生用圆的对称性解决问题。

教学评估：1.教师观察学生的表现与思考过程，评价学生对圆的对称性的理解程度；2.批改学生的练习册作业，评价学生的应用能力和解决问题的能力。

教学反思：本节课通过引入和探索的方式，帮助学生理解了圆的对称性的概念和性质，培养了学生的观察力和逻辑思维能力。

通过让学生应用所学知识解决问题，提高了学生的应用能力和创造思维能力。

同时，通过延伸拓展活动，激发了学生的学习兴趣和探究欲望。

3.2 圆的对称性1．理解圆的旋转不变性；(重点)2．掌握圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；(重点) 3．能应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题．(难点)一、情境导入我们知道圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心．将图中的扇形AOB (阴影部分)绕点O 逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？二、合作探究探究点：圆心角、弧、弦之间的关系【类型一】 利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等如图，M 为⊙O 上一点，MA ︵＝MB ︵，MD ⊥OA 于D ，ME ⊥OB 于E ，求证：MD ＝ME .解析：连接MO ，根据等弧对等圆心角，则∠MOD ＝∠MOE ，再由角平分线的性质，得出MD ＝ME .证明：连接MO ，∵MA ︵＝MB ︵，∴∠MOD ＝∠MOE ，又∵MD ⊥OA 于D ，ME ⊥OB 于E ，∴MD ＝ME .方法总结：圆心角、弧、弦之间相等关系的定理可以用来证明线段相等．本题考查了等弧对等圆心角，以及角平分线的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型二】 利用圆心角、弧、弦之间的关系证明弧相等如图，在⊙O 中，AB 、CD 是直径，CE ∥AB 且交圆于E ，求证：BD ︵＝BE ︵.解析：首先连接OE ，由CE ∥AB ，可证得∠DOB ＝∠C ，∠BOE ＝∠E ，然后由OC ＝OE ，可得∠C ＝∠E ，继而证得∠DOB ＝∠BOE ，则可证得BD ︵＝BE ︵.证明：连接OE ，∵CE ∥AB ，∴∠DOB ＝∠C ，∠BOE ＝∠E .∵OC ＝OE ，∴∠C ＝∠E ，∴∠DOB ＝∠BOE ，∴BD ︵＝BE ︵.方法总结：此类题主要运用了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 【类型三】 综合运用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝36°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB于点D ，交BC 于点E .求AD ︵、DE ︵的度数．解析：连接CD ，由直角三角形的性质求出∠A 的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD 及∠DCE 的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出AD ︵、DE ︵的度数． 解：连接CD ，∵△ABC 是直角三角形，∠B ＝36°，∴∠A ＝90°－36°＝54°.∵AC ＝DC ，∴∠ADC ＝∠A ＝54°，∴∠ACD ＝180°－∠A －∠ADC ＝180°－54°－54°＝72°，∴∠BCD ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－72°＝18°.∵∠ACD 、∠BCD 分别是AD ︵，DE ︵所对的圆心角，∴AD ︵的度数为72°，DE ︵的度数为18°.方法总结：解决本题的关键是根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型四】 有关圆心角、弧、弦之间关系的探究性问题如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，且与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，且∠AOC＝30°，点P 是直线l 上的一个动点(与圆心O 不重合)，直线CP 与⊙O 相交于点Q .是否存在点P ，使得QP ＝QO ？若存在，求出相应的∠OCP 的大小；若不存在，请简要说明理由．解析：点P 是直线l 上的一个动点，因而点P 与线段OA 有三种位置关系：点P 在线段OA 上，点P 在OA 的延长线上，点P 在OA 的反向延长线上．分这三种情况进行讨论即可．解：当点P 在线段OA 上(如图①)，在△QOC 中，OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCP .在△OPQ 中，QP ＝QO ，∴∠QOP ＝∠QPO .又∵∠AOC ＝30°.∴∠QPO ＝∠OCP ＋∠AOC ＝∠OCP ＋30°.在△OPQ 中，∠QOP ＋∠QPO ＋∠OQC ＝180°，即(∠OCP ＋30°)＋(∠OCP ＋30°)＋∠OCP ＝180°，整理得3∠OCP ＝120°，∴∠OCP ＝40°；当P 在线段OA 的延长线上(如图②)，∵OC ＝OQ ，∴∠OQP ＝(180°－∠QOC )×12＝90°－12∠QOC .∵OQ ＝PQ ，∴∠OPQ ＝(180°－∠OQP )×12＝45°＋14∠QOC .在△OQP 中，30°＋∠QOC ＋∠OQP ＋∠OPQ ＝180°，∴30°＋∠QOC ＋90°－12∠QOC ＋45°＋14∠QOC ＝180°，∴∠QOC ＝20°，则∠OQP ＝80°，∴∠OCP ＝100°；当P 在线段OA 的反向延长线上(如图③)，∵OC ＝OQ ，∴∠OCP ＝∠OQC ＝(180°－∠COQ )×12＝90°－12∠COQ .∵OQ ＝PQ ，∴∠OPQ ＝∠POQ ＝12∠OQC ＝45°－14∠COQ .∵∠AOC ＝30°，∴∠COQ ＋∠POQ ＝150°，∴∠COQ ＋45°－14∠COQ ＝150°，∴∠COQ ＝140°，∴∠OCP ＝(180°－140°)×12＝20°.方法总结：本题通过同圆的半径相等，将圆的问题转化为等腰三角形的问题，是一种常见的解题方法，还要注意分类讨论思想的运用．三、板书设计圆的对称性1．圆心角、弧、弦之间的关系2．应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题本节课的教学策略是通过学生自己动手画图叠合、观察思考等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态教具引导，让学生感受圆的旋转不变性，并得出圆心角、弧、弦三者之间的关系，能用这一关系定理，解决圆的计算证明问题，同时注重培养学生的探索能力和逻辑推理能力，力求体验数学的生活性、趣味性.。

3.2 圆的对称性1．理解圆的旋转不变性；(重点)2．掌握圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；(重点)3．能应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题．(难点)一、情境导入我们知道圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心．将图中的扇形AOB (阴影部分)绕点O 逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？二、合作探究探究点：圆心角、弧、弦之间的关系 【类型一】 利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等如图，M 为⊙O 上一点，MA ︵＝MB ︵，MD ⊥OA 于D ，ME ⊥OB 于E ，求证：MD＝ME .解析：连接MO ，根据等弧对等圆心角，则∠MOD ＝∠MOE ，再由角平分线的性质，得出MD ＝ME .证明：连接MO ，∵ MA ︵＝MB ︵，∴∠MOD ＝∠MOE ，又∵MD ⊥OA 于D ，ME ⊥OB 于E ，∴MD ＝ME .方法总结：圆心角、弧、弦之间相等关系的定理可以用来证明线段相等．本题考查了等弧对等圆心角，以及角平分线的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】 利用圆心角、弧、弦之间的关系证明弧相等如图，在⊙O 中，AB 、CD 是直径，CE ∥AB 且交圆于E ，求证：BD ︵＝BE ︵.解析：首先连接OE ，由CE ∥AB ，可证得∠DOB ＝∠C ，∠BOE ＝∠E ，然后由OC ＝OE ，可得∠C ＝∠E ，继而证得∠DOB ＝∠BOE ，则可证得BD ︵＝BE ︵.证明：连接OE ，∵CE ∥AB ，∴∠DOB ＝∠C ，∠BOE ＝∠E .∵OC ＝OE ，∴∠C ＝∠E ，∴∠DOB ＝∠BOE ，∴BD ︵＝BE ︵. 方法总结：此类题主要运用了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型三】 综合运用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝36°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，交BC 于点E .求AD ︵、DE ︵的度数．解析：连接CD ，由直角三角形的性质求出∠A 的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD 及∠DCE 的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出AD ︵、DE ︵的度数．解：连接CD ，∵△ABC 是直角三角形，∠B ＝36°，∴∠A ＝90°－36°＝54°.∵AC ＝DC ，∴∠ADC ＝∠A ＝54°，∴∠ACD ＝180°－∠A －∠ADC ＝180°－54°－54°＝72°，∴∠BCD ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－72°＝18°.∵∠ACD 、∠BCD 分别是AD ︵，DE ︵所对的圆心角，∴AD ︵的度数为72°，DE ︵的度数为18°.方法总结：解决本题的关键是根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】 有关圆心角、弧、弦之间关系的探究性问题如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，且与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝30°，点P 是直线l 上的一个动点(与圆心O 不重合)，直线CP 与⊙O 相交于点Q .是否存在点P ，使得QP ＝QO ？若存在，求出相应的∠OCP 的大小；若不存在，请简要说明理由．解析：点P 是直线l 上的一个动点，因而点P 与线段OA 有三种位置关系：点P 在线段OA 上，点P 在OA 的延长线上，点P 在OA 的反向延长线上．分这三种情况进行讨论即可．解：当点P 在线段OA 上(如图①)，在△QOC 中，OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCP .在△OPQ 中，QP ＝QO ，∴∠QOP ＝∠QPO .又∵∠AOC ＝30°.∴∠QPO ＝∠OCP ＋∠AOC ＝∠OCP ＋30°.在△OPQ 中，∠QOP ＋∠QPO ＋∠OQC ＝180°，即(∠OCP ＋30°)＋(∠OCP ＋30°)＋∠OCP ＝180°，整理得3∠OCP ＝120°，∴∠OCP ＝40°；当P 在线段OA 的延长线上(如图②)，∵OC ＝OQ ，∴∠OQP ＝(180°－∠QOC )×12＝90°－12∠QOC .∵OQ ＝PQ ，∴∠OPQ ＝(180°－∠OQP )×12＝45°＋14∠QOC .在△OQP 中，30°＋∠QOC ＋∠OQP ＋∠OPQ ＝180°，∴30°＋∠QOC ＋90°－12∠QOC ＋45°＋14∠QOC ＝180°，∴∠QOC ＝20°，则∠OQP ＝80°，∴∠OCP ＝100°；当P 在线段OA 的反向延长线上(如图③)，∵OC ＝OQ ，∴∠OCP ＝∠OQC ＝(180°－∠COQ )×12＝90°－12∠COQ .∵OQ ＝PQ ，∴∠OPQ ＝∠POQ ＝12∠OQC ＝45°－14∠COQ .∵∠AOC ＝30°，∴∠COQ＋∠POQ ＝150°，∴∠COQ ＋45°－14∠COQ ＝150°，∴∠COQ ＝140°，∴∠OCP ＝(180°－140°)×12＝20°.方法总结：本题通过同圆的半径相等，将圆的问题转化为等腰三角形的问题，是一种常见的解题方法，还要注意分类讨论思想的运用．三、板书设计圆的对称性1．圆心角、弧、弦之间的关系2．应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题本节课的教学策略是通过学生自己动手画图叠合、观察思考等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态教具引导，让学生感受圆的旋转不变性，并得出圆心角、弧、弦三者之间的关系，能用这一关系定理，解决圆的计算证明问题，同时注重培养学生的探索能力和逻辑推理能力，力求体验数学的生活性、趣味性.。

3.2.1圆的对称性教案教学目标1．圆的轴对称性．2．垂径定理及其逆定理．3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．教学重点与难点重点：垂径定理及其逆定理．难点：运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．教法与学法指导：指导探索法．在老师的启发引导下,学生经过观察、操作、猜测、推理论证、发现、归纳等方法探究出新知.通过对圆的图形的认识，使学生认识新的几何图形的对称美，体会所体现出的完美性，培养学生美的感受，激发学习兴趣．教学准备：多媒体课件教学过程一、创设情境，引入新课[师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．[师]我们是用什么方法研究了轴对称图形？[生]折叠．[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．设计意图：说明：由学生熟悉的知识，以问题形式引出课题，回顾旧知的同时明确新知，激发学生的学习热情，引导学生充分体会新旧知识间的联系.二、师生合作，探究新知[师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？[生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．[师]是吗？你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下．[生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．[师]很好．教师板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念．1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)．3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．如下图，以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O 的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．注意：1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作)，劣弧ABD(记作)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．2．直径是弦，但弦不一定是直径．下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1A)按下面的步骤做一做：1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD．3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图．[师]老师和大家一起动手．(教师叙述步骤，师生共同操作)[师]通过第一步，我们可以得到什么？[生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．[师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？[生]我发现了，AM＝BM，，．[师]为什么呢？[生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合．[师]还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？[师生共析]如下图示，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是R t△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A 与点B重合，与重合，与重合．因此AM＝BM， =， =．[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？[生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．[师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述)如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．在R t△OAM和R t△OBM中，∵OA＝OB，OM＝OM，∴R t△OAM≌R t△OBM，∴AM＝BM．∴点A和点B关于CD对称．∵⊙O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．∴=， =．[师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：如图3－7，在⊙O中，下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：[例1]如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，其中CD＝600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，求这段弯路的半径．[师生共析]要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300cm，OF＝OE－EF，此时就得到了一个R t△CFO，哪位同学能口述一下如何求解？[生]连结OC，设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90)m，∵OE⊥CD，∴CF＝CD＝×600＝300(m)．据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即R2＝3002＋(R－90)2解这个方程，得R＝545．∴这段弯路的半径为545m．[师]在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．随堂练习：P92．1．略下面我们来想一想(出示投影片§3．2．1B)如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．[师]上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？[生]它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．[师]很好．你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？[生]通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O，作一条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点B重合，便得到一条折痕CD与弦AB 交于点M．CD就是⊙O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥CD， =， =．[师]大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下．[生]如上图．连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M点为等腰△OAB底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD 是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．[师]在上述的探讨中，你会得出什么结论？[生]平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．[师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”？[生]因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．[师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理．[师]同学们，你能写出它的证明过程吗？[生]如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．在等腰△OAB中，∵AM＝MB，∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．∵⊙O关于直径CD对称．∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．∴=， =．设计意图：通过这一过程培养学生思维的灵活，从而达到巩固双基，举一反三的目的。

3.2 圆的对称性（一）学习目标1．经历探索圆的对称性（中心对称）及有关性质的过程.2．理解圆的对称性及有关性质.3．会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.学习重点：中心对称性及相关性质.学习难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.教学过程一、情境创设(1)什么是中心对称图形?(2)我们采用什么方法研究中心对称图形?二、探究学习1.尝试（1）在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O（2）在⊙O和⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB、∠，连接ＡＢ、.（3）将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O重合（如图）.（4）固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA重合.2.交流在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流._______________________________________________3.总结上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流.你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?（1）在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，C①若AB=CD，则，②若AB= CD，则，③若∠AOB=∠COD，则， .思考：在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？（2）圆心角的度数与相等.三、典型例题例1．如图,AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？例2.如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？例3.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？四、回顾总结1．探索圆的中心对称性及有关性质的过程.2．运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.【课后作业】5.2 圆的对称性（一）班级姓名1．如图,在⊙O中, , Array∠1=30°,则∠2=__________2．一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为________。

北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》说课稿一. 教材分析《圆的对称性》这一节的内容是北师大版数学九年级下册第三章第二节的内容。

本节课的主要内容是让学生了解圆的对称性，包括圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线，以及圆的对称性在实际问题中的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对轴对称图形和中心对称图形有了初步的认识。

但是，对于圆的对称性的理解还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，我将会以学生的已有知识为基础，通过实例和问题，引导学生深入理解圆的对称性。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解圆的对称性，知道圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线。

2.过程与方法：通过观察、思考、交流等活动，学生能够发现圆的对称性，并能够运用圆的对称性解决实际问题。

3.情感态度与价值观：学生能够培养对数学的兴趣，提高对几何图形的审美能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解圆的对称性，知道圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线。

2.教学难点：学生能够发现圆的对称性，并能够运用圆的对称性解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法和实例教学法。

通过提出问题，引导学生思考和探索，从而发现圆的对称性。

同时，我会利用多媒体教学手段，展示相关的几何图形和实例，帮助学生更好地理解和掌握圆的对称性。

六. 说教学过程1.导入：通过提出问题，引导学生思考和探索圆的对称性。

2.新课导入：介绍圆的对称性，让学生了解圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线。

3.实例讲解：通过展示相关的实例，让学生深入理解圆的对称性。

4.练习与讨论：让学生进行相关的练习，并通过讨论交流，巩固对圆的对称性的理解。

5.总结与拓展：总结本节课的主要内容，并进行拓展，引导学生思考圆的对称性在实际问题中的应用。

北师大版九年级数学下册：3.2《圆的对称性》教案1一. 教材分析北师大版九年级数学下册3.2《圆的对称性》这一节主要让学生理解圆的对称性，掌握圆是轴对称图形，理解圆的对称轴的定义，以及掌握圆的对称性质。

教材通过具体的例子引导学生探究圆的对称性，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学中关于轴对称图形的相关知识，对对称性有一定的理解。

但是，对于圆的对称性的理解和应用，还需要通过实例和操作来进一步深化。

此外，学生的抽象思维能力有待提高，需要通过具体的例子和问题，引导学生逐步抽象出圆的对称性质。

三. 教学目标1.让学生理解圆的对称性，知道圆是轴对称图形。

2.让学生理解圆的对称轴的定义，并能找出圆的对称轴。

3.让学生掌握圆的对称性质，并能应用于实际问题中。

四. 教学重难点1.圆的对称性的理解。

2.圆的对称轴的定义和寻找。

3.圆的对称性质的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过具体的例子引导学生探究圆的对称性，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

同时，采用分组合作学习的方式，让学生在小组内共同探讨问题，提高学生的合作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备一些圆形的物品，如圆规、圆形的卡片等，用于引导学生观察和操作。

2.准备一些关于圆的对称性的问题，用于引导学生思考和探究。

七. 教学过程1.导入（5分钟）a.引导学生观察圆形的物品，如圆规、圆形的卡片等，让学生感受到圆的对称性。

b.提出问题：圆有什么特殊的性质？圆是轴对称图形吗？引导学生思考和讨论。

2.呈现（10分钟）a.给出圆的对称性的定义和性质，让学生理解圆的对称性。

b.给出圆的对称轴的定义，让学生理解圆的对称轴。

3.操练（10分钟）a.让学生分组，每组找出一件圆形的物品，如圆规、圆形的卡片等，尝试找出该物品的对称轴，并记录下来。

b.让学生汇报他们的发现，并解释为什么这是对称的。

4.巩固（10分钟）a.让学生独立完成教材上的练习题，巩固圆的对称性的理解和应用。