考研数学之高等数学 加强课讲义(四)

第四章 常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲） 内容要点一、基本概念1、 常微分方程和阶2、 解、通解和特解3、 初始条件4、 齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、 0)(()()(≠=y Q y Q x p dx dy )2、齐次方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 三、一阶线性方程及其推广1、)()(x Q y x P dxdy =+ 2、)1,0()()(≠=+ααy x Q y x P dx dy四、全微分方程及其推广（数学一）1、 yP x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂=+满足,0),(),( 2、 yRP x RQ y x R y p x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂∂∂≠∂∂=+)()(),(,0),(),(，使但存在§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）（甲）内容要点二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程 0)()(=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 )()()(x f y x q y x p y =+'+'' （2）1、 若)(),(21x y x y 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合)()(2211x y C x y C +（21,C C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当)()()(21为常数λλx y x y ≠，也即)()(21x y x y 与线性无关时，则方程的通解为)()(2211x y C x y C y +=。

2、 若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而)()(2211x y C x y C +为对应的二阶齐次线性方程的通解（21,C C 为独立的任意常数）则1122()()()y y x C y x C y x =++是此二阶非齐次线性方程的通解。

第四章 多元函数微分学第一节 重极限、连续、偏导数、全微分（概念，理论）1．重极限 A y x f y y x x =→→),(lim 00 ),(),(00y x y x →是以“任意方式”题型一：求极限常用方法：1） 利用极限性质（四则运算法则，夹逼原理）；2） 消去分母中极限为零的因子（有理化，等价无穷小代换）； 3） 利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量. 例4.1求下列极限1. .||||lim2200y x y x y x ++→→ 2. 22220011limyx y x y x +-+→→3. 42200)sin(lim y x xy xy y x +→→ 解：1。

由于y x yy x x y x y y x x y x y x +=+≤+++=++≤2222220， 而0)(lim 0=+→→y x y x ，由夹逼原理知0lim2200=++→→y x y x y x . 2．方法1 将分子有理化原式.0)(2lim )11)((lim22220022222200=+=+++=→→→→y x y x y x y x y x y x y x . 方法2 当0→x ，0→y 时，222221~11y x y x -+，则 原式0)(21lim 222200=+=→→y x y x y x . 3．方法1 由于21422≤+y x xy ，即为有界量，而0s i n l i m 0=→xy x ，即为无穷小量，则原式0=.方法2 由于0s i n 21s i n 0422→≤+≤xy y x xy xy （当0→x ，0→y 时）， 由夹逼原理知0sin lim 42200=+→→y x xyxy y x . 题型二 证明重极限不存在常用方法:沿两种不同路径极限不同（通常可取过点),(00y x 的直线） 例4.2 证明下列重极限不存在1) ;lim 2200y x xyy x +→→ 2) ;lim 42200y x xy y x +→→ 证明：1）取直线kx y =，让点),(y x 沿直线kx y =趋于)0,0(点，此时有2222202201lim lim k kx k x kx y x xy x x kx y +=+=+→→=. 则重极限2200limyx xyy x +→→不存在. 注：本题中的方法是证明重极限不存在的常用方法. 2）取直线kx y =，则01lim lim lim 24204423204220=+=+=+→→→=x k x k x k x x k y x xy x x x kx y . 若沿过原点的抛物线2y x =趋于)0,0(点时，就有21lim lim 444042202=+=+→→=y y y y x xy y y y x . 故 极限4220lim y x xy y x +→→不存在.2.连续 ),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→例4.3 判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),()0,0(),(),(22y x a y x y x xy y x f 的连续性.解 因为 y yx xy ≤+≤220，则.0lim22=+→→yx xy y x若),(,0y x f a =处处连续；若),(,0y x f a ≠除点)0,0(外处处连续。

高等数学（强化班）讲义第一章 函数、极限、连续一、重、难点内容归纳1. 函数概念、性质1） 会讨论分段函数在“接头点”处极限、连续、导数、积分。

2） 会求分段函数的复合函数。

3） 熟悉函数的性态——单调性，奇偶性，周期性，有界性。

2. 极限1） 熟悉应用“保号性定理”。

2） 熟练求极限的方法（特别要注意运用方法的条件、技巧。

易出错的地方）。

3. 会讨论函数的连续性与间断性1） 分段函数在“接头点”处的连续性的讨论。

2） 明确函数间断性的讨论是指：① 求出全部间断点； ② 指出间断点的类型。

4. 熟悉连续函数在闭区间上的性质1） 熟练应用“零点定理，介值定理，最值定理”。

2） 会讨论方程的根（① 根的存在性，唯一性； ② 根的个数的确定）。

二、方法、技巧、题型例1 分段函数的复合<例1.1> 设⎩⎨⎧>≤-=⎩⎨⎧>≤=1||21||2)(,1||1||)(22x x x x g x x x x x f ，求))((x g f .（答：⎩⎨⎧>≤-=⎪⎩⎪⎨⎧>≤>--≤≤--=1||21||21||21||,1|2|21||,1|2|)2())((222222x x x x x x x x x x x g f 且且 ）<例1.2> 设⎩⎨⎧>≤-=⎩⎨⎧>≤=2||22||2)(,1||01||1)(2x x x x g x x x f ，求))(()),((x f g x g f .（答：⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=2||01||03||11))((x x x x g f 或2||3≤<x ，⎩⎨⎧>≤=1||21||1))((x x x f g ） 例2 函数性态单调性 <例2.1> 求⎰-=π0d 2sin 1x x I （答：22）.<例2.2> 设)(x f 连续且单调增.求证：0)(d )(0≤-⎰x xf t t f x . <例2.3> 设),0[,0)0(+∞∈∀=x f 有xx f x g x f )()(,)(=↑'，证明： )(x g 单调增.奇偶性 <例2.4> 设)(x f 连续，⎰-=xt t f t x x F 0d )()2()(时，那么1）若)(x f 为奇函数，证明)(x F 为奇函数。

考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤(总45页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1531311lim n n n ； （2）11lim 332+-=∞→k k nk n π；（3）∑=∞→+nk n n k k 1])1(1[lim ；2．求下列极限：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22241241141lim ； 3．求下列极限：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n ； （2）nn nn !lim∞→； （3）∑=∞→++ni n ni n 1211lim 。

类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限：（1）)0(2cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n ； （2）nn n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）()xx xcos 1120sin 1lim -→+；（3）)21ln(103sin 1tan 1lim x xx x x +→⎪⎭⎫ ⎝⎛++； （4）21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题1．求下列极限：（1）)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x xx x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；（3）]1)3cos 2[(1lim30-+→x x x x ； （4）)tan 11(lim 220xx x -→； （5）203)3(lim x x xx x -+→；（6）设A a x x f x x =-+→1)sin )(1ln(lim，求20)(lim x x f x →。

2024考研数学李林高等数学辅导讲义解析一、概述2024年考研数学高等数学一直是考研学子备战考试的焦点。

为帮助考生更好地掌握数学知识，提高解题能力，李林老师精心编写了高等数学辅导讲义。

本文将对李林老师的辅导讲义进行解析，帮助考生更好地理解和应用这些知识。

二、讲义内容概述李林老师的高等数学辅导讲义分为多个章节，涵盖了高等数学的各个知识点，包括微积分、多元函数、级数、常微分方程等内容。

讲义内容扎实，逻辑严谨，既包括基础知识的讲解，也包括典型例题的分析和解答，适合考生系统复习和巩固知识点。

三、微积分部分1.极限与连续讲义对极限与连续的概念进行了详细介绍，从基本概念到极限存在的条件，再到连续性的定义和性质，帮助考生理解和掌握这一重要知识点。

讲义中还包括了大量例题分析，帮助考生加深对极限与连续的理解，提高解题能力。

2.微分与微分中值定理针对微分的定义和微分中值定理等内容，讲义中提供了详细的公式推导和典型例题讲解，帮助考生掌握微分的概念和性质，熟练运用微分中值定理解决实际问题。

3.不定积分与定积分在不定积分与定积分部分，讲义重点讲解了换元积分法、分部积分法等解题技巧，并结合典型例题进行深入分析，帮助考生掌握积分的计算方法和技巧，提高解题效率。

四、多元函数部分1.多元函数的概念与性质讲义对多元函数的概念、多元函数的极限、连续性、偏导数等内容进行了系统介绍，并结合实际问题进行讲解，帮助考生理解多元函数的重要性及其在实际问题中的应用。

2.方向导数与梯度在方向导数与梯度的部分，讲义对方向导数的定义、计算方法和梯度的概念进行了详细讲解，并提供了大量例题进行分析，帮助考生掌握这一知识点的计算方法和应用技巧。

五、级数部分1.数项级数的收敛性与敛散性讲义对数项级数的收敛性与敛散性进行了全面介绍，包括正项级数的收敛判别法、一般项级数的审敛法等内容，帮助考生系统掌握级数收敛性的判别方法，提高解题能力。

2.幂级数与傅立叶级数在幂级数与傅立叶级数部分，讲义介绍了幂级数的收敛半径、函数展开成幂级数的方法，以及傅立叶级数的基本概念和性质，帮助考生理解级数在实际问题中的应用。

2024版考研数学高等数学辅导讲义2024年版考研数学高等数学辅导讲义我们来了解一下高等数学的基本概念。

高等数学包括了微积分和数学分析两个部分，其中微积分是高等数学的核心内容。

微积分主要研究函数的极限、导数和积分等概念及其相互关系。

函数的极限是微积分的基础，通过研究函数在某一点的极限，我们可以得到函数在该点的导数。

导数是函数在某一点的变化率，它具有重要的几何和物理意义。

积分是导数的逆运算，它可以求得函数的面积、体积等重要的几何量。

在高等数学的学习过程中，我们需要掌握一些重要的解题技巧。

首先是函数的性质和图像的分析。

通过对函数的性质和图像的分析，我们可以更好地理解函数的行为和特点，从而为解题提供便利。

其次是函数的导数和积分的运算法则。

掌握了导数和积分的运算法则，我们可以更快地计算函数的导数和积分。

另外，我们还需要注意一些常见的函数和定理，如三角函数、指数函数、对数函数以及洛必达法则、泰勒展开等。

除了基本概念和解题技巧，我们还需要了解一些高等数学中的重要定理和公式。

例如，微积分中的中值定理、费马定理、罗尔定理等，它们是解题过程中常用的工具。

另外，我们还需要掌握一些常见的数列和级数的性质和判别法则，如等比数列、等差数列、收敛级数、发散级数等。

在高等数学的学习中，我们还需要进行大量的习题训练。

通过解题训练，我们可以巩固所学的知识，提高解题能力。

在解题过程中，我们要注重思路和方法的灵活运用，遇到难题时要善于思考，多角度思考问题，找到解题的突破口。

总结起来，2024版考研数学高等数学辅导讲义是一本全面系统地介绍了高等数学的基本概念、解题技巧和重要定理的教材。

通过学习该讲义，考研学生可以全面掌握高等数学的知识，提高解题能力，为考研数学的复习打下坚实的基础。

希望大家能够认真学习，刻苦钻研，取得优异的成绩。

第一讲函数、极限、连续考点总结：1.复合函数2.函数的极限3.数列的极限4.无穷小的阶5.间断点类型考点解读：一、极限的基本概念及运算（一）极限的定义与性质1、定义：定义1：对于数列{}n a ,设A 为一个常数，若0ε∀>,N ∃,使当N n >时，有||n a A ε−<，则称在n →∞时，{}n a 以A 为极限，记作Aa n x =∞→lim 定义2：对于函数)(x f y =，设A 为一个常数，若0>∀ε，X ∃，使当X x >时，有|()|f x A ε−<，则称Ax f x =+∞→)(lim 定义3：对于函数)(x f y =，设A 为一个常数，若0>∀ε，1X ∃，使当1x X <时，有|()|f x A ε−<，则称Ax f x =−∞→)(lim 定义4：对于函数)(x f y =，设A 为一个常数，若0>∀ε，2X ∃，使当2||X x >时，有|()|f x A ε−<，则称Ax f x =∞→)(lim 定义5：对于函数)(x f y =，设A 为一个常数，若0>∀ε，0>∃δ，使当δ<−<||00x x 时，有|()|f x A ε−<，则称Ax f x x =→)(lim 0定义6：对于函数)(x f y =，设A 为一个常数，若0>∀ε，0>∃δ，使当),(00δ+∈x x x 时，有|()|f x A ε−<，则称0lim ()x x f x A +−=定义7：对于函数)(x f y =，设A 为一个常数，若0>∀ε，0>∃δ，使当)(00x x x ，δ−∈时，有|()|f x A ε−<，则称Ax f x x =−−)(lim 0结论：A x f x =∞→)(lim 成立的充要条件是：A x f x =+∞→)(lim 且Ax f x =−∞→)(lim A x f x x =→)(lim 0成立的充要条件是：A x f x x =−−)(lim 0且Ax f x x =+−)(lim 0注：常见需要讨论左右极限的函数①xx xx ee 10lim ,lim →∞→②xarc x x arc x x x x x 1cot lim ,1arctanlim ,cot lim ,arctan lim 00→→∞→∞→③)1(lim 2x x x x −+∞→④][x ⑤函数的分段点2.数列与函数的极限关系（1）xn →（2）若A x f x x x =∞→→)(lim 0，则对任意数列n x ，只要Ax f x x n n n n =⇒∞=∞→∞→)(lim )(lim 0【例】①n n n ∞→lim ,②xx x 1sin1lim 0→3.极限的性质（1）唯一性定理：若[]lim ()x f x →存在，则其极限值唯一。

考研高数强化知识点归纳考研数学是许多考生在备考过程中需要重点攻克的科目之一，其中高等数学部分尤为重要。

以下是对考研高等数学强化知识点的归纳：一、函数、极限与连续性- 函数的概念、性质和类型。

- 极限的定义、性质和计算方法。

- 无穷小的比较和极限存在的条件。

- 连续性的定义、性质和间断点的类型。

二、导数与微分- 导数的定义、几何意义和物理意义。

- 基本导数公式和求导法则。

- 高阶导数的计算方法。

- 微分的概念、性质和应用。

三、中值定理与导数的应用- 罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

- 导数在函数性质研究中的应用，如单调性、凹凸性、极值问题。

- 曲线的凹凸性、拐点和渐近线。

四、不定积分与定积分- 不定积分的定义、性质和计算方法。

- 定积分的定义、几何意义和计算方法。

- 牛顿-莱布尼茨公式的应用。

- 定积分在几何和物理问题中的应用。

五、级数- 级数的收敛性判别方法，如比较判别法、比值判别法等。

- 幂级数和泰勒级数的展开。

- 函数项级数的一致收敛性。

六、多元函数微分学- 多元函数的偏导数和全微分。

- 多元函数的极值问题和拉格朗日乘数法。

- 多元函数的几何应用，如空间曲线的切线和法平面。

七、重积分与曲线积分、曲面积分- 二重积分和三重积分的计算方法。

- 曲线积分和曲面积分的计算方法。

- 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的应用。

八、常微分方程- 一阶微分方程的解法，如分离变量法、变量替换法等。

- 高阶微分方程的降阶方法和特殊解法。

- 线性微分方程的一般解和特征方程。

九、解析几何- 空间直线和平面的方程。

- 空间曲面的方程和性质。

结束语：考研高等数学的强化知识点归纳是考生复习过程中的重要环节。

掌握这些知识点不仅能帮助考生在考试中取得好成绩，更能为今后的学术研究和工作实践打下坚实的基础。

希望考生能够通过系统复习，不断深化对这些知识点的理解和应用，最终在考研数学中取得优异的成绩。