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㊀㊀㊀１４７㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２６浅谈利用单位圆解决三角函数问题浅谈利用单位圆解决三角函数问题Һ韩㊀烨㊀（吉林师范大学，吉林㊀长春㊀１３００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ在前面的学习中我们对三角函数有了初步简单的认识，明确了三角函数的概念和性质．为了更好地理解和运用三角函数，我们引入单位圆这一概念，利用单位圆的直观㊁准确㊁方便和快捷的优势与特点，以及数形结合的方法，来解决基本的三角函数问题．ʌ关键词ɔ单位圆；三角函数；性质；应用１．通过单位圆探究三角函数１．１㊀认识单位圆在我们的数学学习过程中有一个十分关键的数学工具，那就是 圆 ．圆具有浑然天成的美感， 单位圆 是我们对圆进行的更为深入细致的定义．在我们以往的学习当中对 单位圆 进行这样的定义：以 １ 为半径的圆叫作单位圆．单位圆的方程为：ｘ２＋ｙ２＝１，由单位圆我们可以诱导出复平面㊁几何反演变换㊁指数映射等等相关问题．单位圆 在数学学习中占据着十分重要的地位，是解题的好帮手，是开启三角函数学习的金钥匙．在解决三角函数的问题中单位圆有着十分广泛的应用，对我们能够正确理解和运用正弦函数，余弦函数，正切函数的定义和性质，绘制函数的图像有重要的作用．我们也能够更加直观地得到三角函数的一些信息．为了更好更快地解决三角函数的相关问题，熟练掌握并灵活运用单位圆的概念和性质是首要准备．１．２㊀认识三角函数三角函数的定义：三角函数是基本初等函数之一，三角函数通常是以角度为其自变量，再由角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数，或者也可以用单位圆中的对应线段的长度来进行定义，我们把这样的函数称为三角函数．三角函数是我们高中数学学习中至关重要的一环，其地位与重要性影响着接下来诸多内容的学习．１．３㊀利用单位圆探究三角函数终边定义法 作为我们最早认识三角函数的方法，的确在初期的学习中占据着主要的地位，但随着学习的深入㊁知识的丰富㊁方法的更新以及问题的复杂程度增加，终边定义法已经失去明显的优势，不利于后期知识的学习．所以我们提出了更为简单清楚的方法．为了追求更为简便的方法，获得更为直观的表达， 单位圆定义法 出现在我们的视野当中．假如我们用更为直观的 单位圆定义法 来对三角函数进行定义的话，对理解三角函数来说是否更有帮助？为了解决这一问题，我们将数形结合的数学思想贯穿于其中，同时在定义三角函数的过程中我们运用了单位圆的特点．单位圆定义法的引入，对正弦㊁余弦函数的计算过程带来更为容易理解的简化．同时，也更好地凸显出三角函数最为重要的特点 周期性．在一定程度上来说，我们可以将三角函数的基本性质（周期性，奇偶性）看作是圆的一种直观表达，把单位圆当作学习三角函数的载体，使得我们可以更好地将两者结合在一起共同学习．引入了单位圆，利用单位圆的特性，运用三角函数与单位圆之间的重要联系．举例来说我们可以通过某一角的三角函数值来确定其在单位圆上与之对应的坐标，也可以通过已知单位圆上与之对应的坐标来确定角所对应的函数值等一些有关的问题．我们不难看出单位圆的重要地位，作为经常应用的一种简单方法，单位圆以其直观性，具象化常常出现在我们的解题过程当中．对此我们应该重点推广单位圆在三角函数中的应用，为接下来的学习奠定基础．通过利用单位圆的对称性和具象性，充分调动数形结合的数学思想，将这一思想贯穿于全部的解题过程当中，有利于我们解决三角函数的问题．将单位圆的优势发挥到极致，使原本有些难以理解的三角函数的学习变得简单明了．１．４㊀单位圆在三角函数中的作用通过学习单位圆为接下来学习三角函数做好铺垫．灵活利用单位圆，学会十分巧妙地构造单位圆，把单位圆作为解决三角函数问题的桥梁，将问题带入到单位圆的图形之中，运用数形结合的思想，使解题变得具象化，体现了单位圆的重要性．掌握了具有直观㊁形象等特点于一身的单位圆，以及学会利用数形结合的思想来理解问题，能够将数形结合的思想熟练运用于三角函数的相关性质㊁推导过程的理解当中，能够解决多种三角函数的相关问题．使三角函数的问题由难化易，思路明了，快速准确．单位圆在三角函数中的广泛应用，在以下几个方面表现得尤为突出：（１）练掌握三角函数的公式．由于单位圆具有对称的特性，我们可以引发学生对单位圆对称性的思考与应用，通过讨论㊁画图等操作，我们不难看出，三角函数的诱导公式可以通过单位圆上所对应的对称点及其坐标间的关系来进行表达．从而使公式二到公式六，这五个公式形成一个整体，便于理解记忆，方便表达与运用．（２）定义任意角的三角函数．传统的在直角三角形中定义三角函数的方法已经不能满足我们的需要，所以我们将在单位圆中对三角函数进行定义．这种定义方法更加灵活实用，有利于我们解决复杂的问题．首先我们通过观察点所在的区域来确定各函数值的正负，再通过具体坐标计算出函数值．这一方法将广泛应用于三角函数的计算当中，对推广三角函数的基本关系式以及诱导公式有着至关重要的作用．（３）推广诱导公式．在三角函数的解题过程中诱导公式有着重要的地位，是解答三角函数问题必不可少的手段之一．通过观察直角坐标系中的单位圆，利用单位圆的几何直观效果，我们不难看出角α的终边与角β的终边关于ｙ轴对称，并且与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反．. All Rights Reserved.㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１４８数学学习与研究㊀２０２１ ２６（４）利用单位圆中的三角函数线熟练地绘制三角函数的图像．我们可以快速地从图像上直观发现三角函数的特性，解决有关三角函数问题时灵活地利用三角函数线可以达到事半功倍的效果．不同于其他函数单调枯燥的解题过程，三角函数有着诸多的解题方法，而我们经常使用的方法主要是定义法和图像法，其中图像法以其直观方便的特点常常被用于解答较为复杂的三角函数问题．当我们解答三角函数的问题时首先要弄清楚三角函数的性质．在掌握三角函数的性质并且对三角函数建立起初步的认识之后，我们发现以往的方法具有一定的局限性，在面对复杂的问题时，应该寻求更加简便的方法来解决问题．面对这样的情况我们巧妙地引入了单位圆，通过运用单位圆本身直观的形象，准确简便等特性，利用相关的数学知识，使三角函数问题由难化易，由繁变简，思路明确，方法准确．２．解题中的具体应用及技巧２．１㊀比较三角函数值的大小解题技巧：比较函数值以及对应角的大小等问题通常出现在填空或选择题当中，比较基础但不容忽视．在比较三角函数值大小的问题时，有时会出现如上题当中三角函数值与角直接进行比较的类型，有时会出现不同角的函数值需要比较，如果问题不能通过直接比较或简单的计算得出结论，那我们不妨换一种思路，可以寻求另外一种解题方法．解决此类问题主要运用单位圆在三角函数中的应用来进行思考，将普通的比较问题经由数形结合的方法转化为图形的形式，将所有的角以及数值都结合在同一个单位圆当中，便于比较与计算．２．２㊀求三角函数的定义域解题技巧：在遇到需要我们使用简便方法来解决所求变量的取值范围问题时，单位圆起着不容忽视的作用，它比通常的三角函数解题过程更加直观，对提高解题效率有很大的帮助，同时能够掌握更多解题的技巧和方法．但在使用此方法解题时，需要学生对平面直角坐标系有一定认识和掌握，并且对坐标系中各个象限的性质及规律能够熟练掌握，这样才能够又快又准地解决此类求范围的问题．２．３㊀求三角函数值例１㊀点Ｐ是单位圆上的一个动点，Ｐ沿着逆时针方向进行运动，运动角α后到达Ｐ１，继续运动π３到达点Ｐ２，若点Ｐ２的横坐标为－４５，则ｃｏｓα的值是多少０＜α＜π２()．解㊀根据题目的信息，首先让学生在纸上构建出相应的单位圆，这样我们就可以清晰地看出：ｃｏｓα＋π３()＝－４５，ｓｉｎα＋π３()＝３５，于是ｃｏｓα＝ｃｏｓα＋π３()－π３[]＝１２ｃｏｓα＋π３()＋３２ｓｉｎα＋π３()＝３３－４１０．２．４㊀证明三角函数不等式例２㊀设α为锐角，角α终边为ＯＰ，点Ａ和点Ｂ为圆与坐标轴的交点，ＰＱʅｘ轴于Ｑ，ＰＲʅｙ轴于Ｒ，试证明１＜ｓｉｎα＋ｃｏｓα＜π２．证㊀首先根据题目条件构建单位圆如图１，得，ｓｉｎα＝ＱＰ，ｃｏｓα＝ＯＱ．图１在әＯＰＱ中，ＱＰ＋ＯＱ＞ＯＰ．所以，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＞１．通过比较面积的表达式，不难发现存在这样一种关系：ＳәＯＰＢ＋ＳәＯＰＡ＜Ｓ扇形ＯＡＢ．由此证得ｓｉｎα＋ｃｏｓα＜π２．综上，问题得以证明．３．结语本文着重介绍了利用单位圆探究三角函数，以及在基本题型中单位圆的初步应用．通过以上对单位圆在三角函数中的应用的探究，我们不难发现，单位圆对解决三角函数问题的作用重大．由于单位圆的直观性使它成为研究三角函数的一个不可或缺的重要工具．当我们面对三角函数问题时，首先运用单位圆，再结合数形结合的数学思想，然后借助图像，利用图像将问题直观地呈现出来，从而达到所求目标．在我们关注一个概念的同时，更应该注重它的应用和推广．数形结合思想是伴随我们整个数学学习生涯始终的思想，是学习数学的灵魂． 数 与 形 密不可分，紧密相关． 数 与 形 只有在充分结合的情况下才能够发挥出最大的作用．在三角函数的解题过程当中，单位圆的身影时常出现．作为解决三角函数问题的好帮手而出现的单位圆，无疑将数形结合的解题方法和优势发挥得淋漓尽致．单位圆的引入为解决三角函数问题架设了新的桥梁，提供了有力的帮助，当运用单位圆解决三角函数一些基础的问题时，单位圆成了不二选择，奠定了单位圆在解决三角函数问题中的重要地位．ʌ参考文献ɔ［１］陈润堂．单位圆在三角函数中的应用［Ｊ］．课程教材教学研究（中教研究），２０１３（Ｚ４）：８４－８５．［２］俞少华．单位圆在三角函数中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１４（１３）：７６．［３］李宗涛，袁宏．单位圆在三角函数不等式证明中的作用［Ｊ］．高等数学研究，２０１２（０３）：１７－１９．［４］季东升．单位圆在三角函数中的应用［Ｊ］．高中数学教与学，２０１０（０８）：１３－１４．［５］赵宸．浅谈单位圆在三角函数解题中的运用［Ｊ］．都市家教（下半月），２０１７（０１）：２７７．. All Rights Reserved.。
................................--二二-―为理性思维和科学精神而教-评“利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”课例计海荣，陈柏良（浙江省杭州市西湖高级中学）摘要：课例着眼于“素养导向”，通过“问题串”的设计，引导学生进行连续的思维活动，发展学生的数学核 心素养。
课例在问题优化、育人价值挖掘、“策略性知识”概括等方面可进行改进。
深刻领会本节教材的地 位、作用和教学价值，有利于合理把握数学核心素养培养的“切入点”和“着力点”。
关键词：理性思维；科学精神；教学设计文章编号：1002-2171 (2021)2-0024-03新课程实施以来，一线教师对“核心素养导向的 数学教学”进行了积极实践。
杭州学军中学第十四届 学术节以“核心素养导向的课堂转型”为主题，组织了 河北省衡水中学康红叶、浙江省杭州学军中学詹长刚、宁波市镇海中学王振全3位老师以人教A版 新教材《数学》(必修第一册）中的“利用单位圆的性质 研究正弦函数、余弦函数的性质”新授课内容为例进 行“同课异构”，给与会教师提供了 3节鲜活的课堂教 学案例。
本文以学军中学詹长刚老师的课堂实录为 例作一简评，同时谈谈笔者对本节课的数学理解和教 学设计中如何更好地发展学生数学核心素养的几点 拙见，与读者探讨。
1对本节课的简评1.1关注素养詹老师的教学设计，着眼于“素养导向”。
“问题 1”至“问题4”主要立足于“直观想象”核心素养的培养，后续利用单位圆对不等式“当〇<«<f时，则1< sin a+cos a<|”的证明，及“问题5”中对函数“/(a)=sin a+cos a”是否有最值的探究，培养学生的 逻辑推理核心素养，教学过程中比较重视提高学生的 观察和分析能力，体现了对数学运算核心素养的培养。
1.2问题驱动詹老师通过“问题串”的设计，促使学生实现对正 弦函数、余弦函数性质的自主发现。
单位圆内三角函数的三个定义三角函数是高中数学中的重要内容，学生们都要熟练掌握。
而单位圆内三角函数是三角函数的一种扩展形式，可以更好地帮助学生理解三角函数的定义和性质。
本文将详细介绍单位圆内三角函数的三个定义，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
一、正弦函数定义正弦函数是指将角度表示成弧度制时，在单位圆上从原点开始到与终点P垂直的线段PN的长度。
即sinθ = PN，其中θ表示角度。
在单位圆上，点P的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ。
正弦函数反映了角度变化时在y轴上对应点所对应的值的变化，因此，正弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1,1]。
二、余弦函数定义余弦函数是指将角度表示成弧度制时，在单位圆上从原点开始到点P 的横坐标。
即cosθ= PX，其中θ表示角度。
在单位圆上，点P的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ。
余弦函数反映了角度变化时在x轴上对应点所对应的值的变化，因此，余弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1,1]。
三、正切函数定义正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，其形式神似，但是正切函数则是另外一种定义方式。
正切函数定义为正切θ = sinθ / cosθ，其中θ表示角度。
在单位圆上，正切θ等于直线y=sinθ与直线x=cosθ交点的斜率。
因此，正切函数的定义域为实数集合R，值域为R。
不同于正弦和余弦函数的是，正切函数有一些性质不同寻常的特点。
当θ的值为90度或270度时，余弦函数为0，而由于正切函数为sinθ / cosθ，因此此时定义不成立，值变成无限大或无限小。
因此，我们需要在使用正切函数的时候格外小心。
综上所述，单位圆内三角函数的三个定义分别是：正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们可以帮助我们更深入地理解三角函数的定义和性质，特别是对于正弦函数和余弦函数这两个最基本的三角函数，我们在学习中应该注重其几何意义，结合具体题目来巩固掌握。
同时，在使用正切函数时也要注意其一些特殊的性质，避免因为定义不成立而导致错误的结果。
www 2021年第2期中学数学教学参考（上旬）■0A课例:利用单彳圆的性质_研％正弦函数、余弦函数的性詹长刚（浙江省杭州学军中学）摘要：单位圆在三角函数中具有重要的意义，利用单位圆的性质来研究正弦函数、余弦函数的性质是定 义的深入理解，同时也能在研究的过程中提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模 等核心素养。
关键词：单位圆；正弦函数；余弦函数；数学核心素养文章编号：1002-2171(2021)2-0019-052020年11月26日，在浙江省杭州学军中学第十 四届学术节暨第十二届校园文化节活动中，笔者同另 两位来自全国名校的教师进行了“利用单位圆的性质 研究正弦函数、余弦函数的性质”同课异构教学展不 活动，现将笔者的教学设计和课堂教学实录分享给大 家，敬请指正。
1内容和内容解析内容：利用单位圆研究正余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值。
内容解析：前面已经学过三角函数的定义，并利 用定义得出了同角三角函数的基本关系和诱导公式，本节课主要利用单位圆的性质来分析探究，能够强化 数形结合思想，发现正弦函数、余弦函数的性质，同时求数列的前2»项和。
为偶数。
[〇n+\本题主要考査数列通项公式的求解、分组求和 法、指数型裂项求和、错位相减求和等，属于中等题。
高考以类比、拓展性知识为主线，设置能力型试题，实现数学的选拔功能。
这样的试题是第三轮复习中需 要重点关注的。
例7 (2020年高考数学上海卷第21题）有限数列{〇«}，若满足I—丨< 丨— “3I<…< U—a J是项数，则称满足性质/>。
(I )判断数列3,2,5，1和4,3,2,5，1是否具有 性质/>,请说明理由。
让学生体会数学知识的相互联系，激发学习兴趣。
2目标和目标解析目标：能够学会从单位圆的角度研究正弦函数、余弦函数的性质，体会数形结合思想的应用。
目标解析：达成目标的标志：一是能够准确地研究出正弦函 数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值；二是能 够再发现正弦函数、余弦函数的其他性质；三是能够 类比研究出函数，如/(a)=sin a+cos a的单调性、最 值等。
