单位圆与三角函数线

课题：三角函数线和诱导公式学习目标：1、理解单位圆、有向线段的概念2、学会用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来。

学习重点：用三角函数线表示任意角的三角函数值。

学习难点：正确地用于单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。

自主学习1、单位圆：半径等于的圆叫做单位圆。

2、三角函数线设单位圆的圆心在原点，角a的顶点在圆心o，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，点P在x轴上的正射影为M，过点A（1，0）作单位圆的切线交直线OP或其反向延长线于点T，如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），（1）为正弦线，有向线段的方向是规定与y轴正方向相同为，反之为。

（2）为余弦线，有向线段的方向是规定与x轴正方向相同为，反之为。

（3）为正切线，有向线段的方向是规定与y轴正方向相同为，反之为。

点P的坐标与角a的正余弦的关系为。

点T的坐标与角a的正切的关系为。

（2）（3）（4）注意：三角函数线的位置，三角函数线的方向，三角函数线的正负。

典型例题：例1 分别作出334ππ和-的正弦线、余弦线和正切线。

练习课本P21，练习A ，1例2、在单位圆中画出适合下列条件的角a 的终边的范围，并由此写出角a 的集合。

练习： 1. 利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是 ( )A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.52.设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．a <c <b例3、当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α. 当堂检测：（1）已知角a 的正弦线的长度为单位长度，那么角a 的终边（ ）A 在x 轴上B 在y 轴上C 在直线y=x 上D 在直线y=-x 上（2）利用正弦线比较a=sin1，b=sin1.2，c=sin1.5的大小关系A a>b>cB a>c>bC c>b>aD b>a>c(3)在02π在（，）内，使得sinx>cosx 成立的角x 的取值范围是（ ）（4）已知角a 的终边和单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为（ ）A （sina ，cosa ）B （cosa ，sina ）C （sina ，tana ）D （tana ，sina ）课后巩固（1）满足 的a 的集合为 。

单位圆与三角函数线(20分钟35分）1。

如图，点P从出发,沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点,则Q点坐标为()A. B.C。

D.【解析】选A。

点P从出发，沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=-,所以Q,即Q点坐标为。

【补偿训练】已知α是第二象限角,其终边与单位圆的交点为P，则cos α=()A。

— B.C。

D。

—【解析】选A.由题意知,解得m=-，所以cos α=—。

2。

如果〈α<,那么下列不等式成立的是（）A.cos α<sin α〈tan αB.tan α〈sin α<cos αC.sin α〈cos α<tan αD。

cos α〈tan α〈sin α【解析】选A.方法一：（特值法)令α=,则cos α=，tan α=，sin α=,故cos α<sin α〈tan α。

方法二：如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线、余弦线、正切线,则cos α<sin α<tan α。

3.(2020·济南高一检测)使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是（)A.B.C。

D。

【解析】选A.如图所示,当x=和x=—时,sin x=cos x，故使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是。

4。

有三个命题：①与的正弦线相等;②与的正切线相等;③与的余弦线相等.其中真命题的个数为(）A。

1 B.2 C。

3 D。

0【解析】选B.根据三角函数线的定义可知,与的正弦线相等，与的正切线相等，与的余弦线相反。

5。

比较大小:tan 1tan 。

(填“>"或“〈"）【解析】因为1〈,且都在第一象限，由它们的正切线知tan 1〈tan .答案:〈6.作出-的正弦线、余弦线和正切线。

【解析】如图所示,所以角-的正弦线为，余弦线为，正切线为。

（30分钟60分）一、单选题(每小题5分，共20分)1.设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(—3a，4a)，那么sin α+2cos α的值等于（）A。

利用三角函数线比较函数值大小课后作业：一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( )A.π4或34πB.5π4或74πC.π4或54πD.π4或74π 3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第三象限D ．第一、三象限 4．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等5．若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α6．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]7．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]8．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称9．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 10.函数x x y cos sin -+=的定义域是（ ）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈二、填空题11．不等式cos α≤12的解集为________．12．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.13．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________．14．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．。

高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》教材分析与单位圆有关的三角函数线是对任意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数线的几何表示，使学生对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律，加深数与形的结合。

三角函数线贯穿了整个三角函数的教学，借助三角函数线，可以推导出同角三角函数的基本关系式及诱导公式，画出正弦曲线，解出三角不等式，求函数的定义域及比较大小。

可以说，三角函数线是研究三角函数的有力工具。

学情分析1、学生在学习本节课之前已经学习了任意角的三角函数的定义和三角函数值在各个象限的符号。

利用几何画板工具，学生可以有效地进行数学试验。

2、在角的分类中，学习角的终边所在的象限知识，学生可能会只考虑到象限角而忽视轴上角，在学习新概念之前要复习且强调一下。

3、向量和实数的对应关系是新内容，学生需要提前掌握。

教学目标1、经过三角函数线的学习，培养数学抽象和直观想象核心素养。

2、借助三角函数的应用，培养逻辑推理及直观想象核心素养。

教学重点认识三角函数线的意义。

教学难点会用三角函数线表示一个角的正弦。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、问题导入我们已经知道，如果P （x ，y ）是α终边上异于原点的任意一点，r = √x 2+y 2，则sin α = = y r ，cos αx r 。

如果选取的P 点坐标满足x 2+y 2 = 1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？二、学习新知不难看出，如果x 2+y 2 = 1，则sin α = y ，cos α= x 。

因为x 2+y 2 = 1可以化为√（x −0）2+（y −0）2 = 1因此P （x ，y ）到原点（0，0）的距离为1。

一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2+y 2 = 1的点组成的集合称为单位圆。

因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（cos α，sin α）这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。

《单位圆与三角函数线》习题1某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条。

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，AB=50cm，依次裁下宽为1cm的矩形纸条a1、a2、a3，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是 A．24 B．25 C．26 D．272.如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙1.6米，梯上点D距离墙1.4米，BD长0.55米，则梯子的长为A．3.85米 B．4.00米 C．4.40米 D．4.50米3.国际奥运会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成（如图），每个圆环的内、外圆直径分别为8和10，图中两两相交成的小曲边四边形（黑色部分）的面积相等，已知五个圆环覆盖的面积是122.5平方单位，请你们计算出每个．．小曲边四边形的面积为__________________平方单位（π取3.14）。

4.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为___________.5.已知：如图2－6，C城市在B城市的正北方向，两城市相距100km，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段BC）。

经测量，森林保护区A在B城市的北偏东40°的方向上，又在C城市的南偏东56°的方向上，已知森林保护区A的范围是以A为圆心，半径为50km的圆。

问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？6. 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米？７.在某高新技术开发区中，相距200米的A，B两地的中点O处有一个精密仪器研究所，为保证研究所的正常工作，在其周围50米内不得有机动车辆通过。

7.2.2 单位圆与三角函数线(教师独具内容)课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息．教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结合． 教学难点：三角函数线的运用.【知识导学】知识点一 单位圆(1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足□01x 2＋y 2＝1的点组成的集合称为单位圆． (2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的□02横坐标和□03纵坐标． 知识点二 三角函数线如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，点P 在y 轴上的正射影为N ，过A (1,0)作单位圆的切线交α的终边OP 或其反向延长线于点T ，则(1)把向量OM →，ON →，AT →分别叫做α的□01余弦线、□02正弦线、□03正切线，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．(2)其中|cos α|＝□04|OM →|，|sin α|＝□05|ON →|，|tan α|＝□06|AT →|，其大小分别等于该坐标系下相应线段的长度，其正负是这样规定的：从起点到终点的方向与坐标轴的正方向相同时为正，相反时为负，即OM →的方向与x 轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝|OM →|，OM →的方向与x 轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－|OM →|；ON →的方向与y 轴的正方向相同时，表示sin α是正数，且sin α＝|ON →|，ON →的方向与y 轴的正方向相反时，表示sin α是负数；且sin α＝－|ON →|；AT →的方向与y 轴的正方向相同时，表示tan α是正数，且tan α＝|AT →|，AT →的方向与y 轴的正方向相反时，表示tan α是负数，且tan α＝－|AT →|.【新知拓展】1．单位圆中的“单位”半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm ，不是1 m ，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1的单位的长度．2．对三角函数线的几点说明(1)三角函数线是三角函数的图形表示．(2)在三角函数线中，点M ，N ，P ，A ，T 都是确定的，一般不可随意调换．P ——角的终边与单位圆的交点， M ——点P 在x 轴上的正射影， N ——点P 在y 轴上的正射影，A ——单位圆与x 轴正半轴的交点，坐标(1,0)， T ——过A 的垂线与角的终边(或其延长线)的交点．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值．( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1) 如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM →，正切线A ′T ′→B ．正弦线MP →，正切线A ′T ′→C ．正弦线MP →，正切线AT →D ．正弦线PM →，正切线AT →(2)如果MP ，OM 分别是角α＝3π16的正弦线和余弦线的数量，则下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．MP >OM >0C ．OM <MP <0D ．OM >MP >0(3)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4D.π4或7π4答案 (1)C (2)D (3)C题型一 画出角的三角函数线例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．(1)sin α＝23；(2)cos α＝－35；(3)tan α＝2.[解] (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如图①.(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点，则OM 与ON 为角α的终边，如图②.(3)在直线x ＝1上截取AT ＝2，其中A 的坐标为(1,0)．设直线OT 与单位圆交于C ，D 两点，则OC 与OD 为角α的终边，如图③.金版点睛1．作三角函数线的四个步骤(1)确定角的始边，单位圆与x 轴交点A (1,0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点P .(3)过P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为M ，N ，过A 作x 轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于T (T ′)．(4)得正弦线ON →，余弦线OM →，正切线AT →(或AT ′→)． 2．单位圆中求作角的终边的方法应用三角函数线可以求作满足形如f (α)＝m 的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线y ＝m 或x ＝m 与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边．[跟踪训练1] 作出5π4的正弦线、余弦线和正切线．解 在直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图所示，以x 轴的正半轴为始边作5π4的终边，与单位圆交于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，作PN ⊥y 轴于点N ，由单位圆与x 轴正方向的交点A 作x 轴的垂线与5π4的终边的反向延长线交于点T ，则ON →，OM →，AT →分别为5π4的正弦线、余弦线、正切线.题型二 利用三角函数线比较大小例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 2π3与sin 4π5；(2)cos 2π3与cos 4π5；(3)tan 2π3与tan 4π5.[解] 如图，在单位圆中，2π3的终边为OP 1，4π5的终边为OP 2，过P 1，P 2分别作x 轴的垂线，垂足为M 1，M 2，延长P 1O ，P 2O 交经过A (1,0)的单位圆的切线于T 1，T 2.(1)sin 2π3＝|M 1P 1→|，sin 4π5＝|M 2P 2→|，∵|M 1P 1→|>|M 2P 2→|，∴sin 2π3>sin 4π5.(2)cos 2π3＝－|OM 1→|，cos 4π5＝－|OM 2→|，∵－|OM 1→|>－|OM 2→|，∴cos 2π3>cos 4π5.(3)tan 2π3＝－|AT 1→|，tan 4π5＝－|AT 2→|，∵－|AT 1→|<－|AT 2→|，∴tan 2π3<tan 4π5.金版点睛三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，三角函数线的长度是三角函数值的绝对值，因此，对于同名三角函数值的大小比较，利用三角函数线求解比较直观、形象．(1)sin α与sin β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点纵坐标的大小即可得sin α与sin β的大小．(2)cos α与cos β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点横坐标的大小即可得cos α与cos β的大小．(3)tan α与tan β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1,0)作垂线，设与角α，β的终边所在直线分别交于点T 1，T 2，然后比较T 1，T 2两点的纵坐标的大小即可得tan α与tan β的大小．[跟踪训练2] 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是( ) A ．sin θ＋cos θ<0 B ．sin θ－cos θ>0 C ．|sin θ|<|cos θ| D ．sin θ＋cos θ>0答案 D解析 因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，作出角的正弦线和余弦线如图所示，所以sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|，所以sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.题型三 利用三角函数线证明不等式例3 已知α为锐角，求证：1<sin α＋cos α<π2.[证明] 如图，设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，过点P 作PQ ⊥Ox ，PR ⊥Oy ，Q ，R 为垂足，连接PA ，PB ， ∵y ＝sin α，x ＝cos α， 在△OPQ 中，|QP →|＋|OQ →|>|OP →|， ∴sin α＋cos α>1.∵S △OPA ＝12|OA →|·|PQ →|＝12y ＝12sin α，S △POB ＝12|OB →|·|PR →|＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14×π×12＝π4，又四边形OAPB 被扇形所覆盖， ∴S △OPA ＋S △POB <S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α<π4，即sin α＋cos α<π2. ∴1<sin α＋cos α<π2.金版点睛利用三角函数线证明不等式的策略一般先根据条件作出三角函数线，在进一步证明不等式的过程中往往需要借助于三角形和扇形的面积，按题意适当放大或缩小证明结论．[跟踪训练3] 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：sin α<α<tan α. 证明 在单位圆中设∠AOP ＝α，则AP ︵的长度为α，角α的正弦线为MP →，正切线为AT →，∵△OPA 面积<扇形OPA 面积<△OAT 面积，∴12|OA →|·|MP →|<12|OA →|·α<12|OA →|·|AT →|， 即|MP →|<α<|AT →|，∴sin α<α<tan α.1．关于三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在 答案 D解析 正弦函数和余弦函数的定义域是R ，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R ，所以任何角的正切线不一定存在．2．已知角α的正弦线的长度为1，则角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．x 轴的正半轴上 D ．y 轴的正半轴上答案 B解析 若正弦线长度为1，则sin α＝±1，所以角α终边为y 轴上．3.在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 B解析 利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P 2OM 2＝π6，∠P 1OM 1＝5π6，|P 1M 1→|＝|P 2M 2→|＝12，则图中阴影部分为所求，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.4．角π6的终边与单位圆的交点的坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫32，12 解析 cos π6＝32，sin π6＝12，所以角π6的终边与单位圆的交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.5．画出α＝2的正弦线、余弦线和正切线． 解 如图所示，MP →＝sin2，OM →＝cos2，AT →＝tan2.。

三角函数与单位圆的关系详解三角函数是数学中重要的概念之一，它与单位圆密切相关。

本文将详细解析三角函数与单位圆的关系，从而帮助读者更好地理解三角函数的概念和性质。

一、三角函数的定义三角函数由正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等组成。

这些函数与三角形的各边长度之间的关系息息相关。

例如，正弦函数定义为一个角的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。

二、单位圆的定义单位圆是一个半径为1的圆。

它的圆心位于坐标原点(0, 0)，且可以被看作是一个点在坐标平面上以半径为1做圆周运动的轨迹。

三、三角函数与单位圆的关系单位圆的概念为我们解析三角函数提供了重要便利。

我们可以将一个角度对应到单位圆上的一点，从而更好地理解它们之间的关系。

具体来说，对于一个角度θ，我们可以将它对应到单位圆上的一点P(x, y)，其中x和y分别为点P在坐标平面上的横纵坐标。

值得注意的是，x和y的取值都在-1到1之间。

根据单位圆的定义，点P的横纵坐标可以通过三角函数来表达。

例如，点P的横坐标x就等于该角度的余弦值cosθ，纵坐标y等于该角度的正弦值s inθ。

而切线函数tanθ则等于sinθ除以cosθ。

四、三角函数的周期性单位圆上的点在一周内不断循环，因此三角函数也具有周期性。

以正弦函数为例，它的图像在一个周期内会不断重复，即sin(θ+2π)=sinθ。

同样，余弦函数和正切函数也具有相似的周期性。

五、利用单位圆解析三角函数的性质通过单位圆，我们可以很方便地研究和推导三角函数的性质。

例如，我们可以利用单位圆来证明三角函数的诸多恒等式，如正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1（sin²θ + cos²θ = 1）。

此外，单位圆还可以帮助我们推导三角函数的图像和性质。

例如，通过观察单位圆上的点，我们可以得出正弦函数和余弦函数的图像均是周期函数，且在特定角度上取得最大值和最小值。

六、应用领域三角函数在科学和工程中具有广泛应用。

单位圆与三角函数线（说课）一、教材分析1、教材的地位和作用著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系以后，使得对三角函数的研究大为简化。

《单位圆与三角函数线》是人教版B版高中数学必修四第一章第二单元的第二课时，安排在“角的概念的推广”、“弧度制”和“三角函数的概念”之后。

通过本节课的学习，把三角函数的代数定义和几何定义有机地结合起来，由“数”转化为“形”，又为继续学习三角函数的各种关系式、诱导公式、三角函数的图像及性质等提供了另一种工具，具有承前启后的重要作用。

由于三角函数线是三角函数定义的几何表示，所以应用三角函数线解决三角问题显得非常直观，有利于提高学生自主地分析问题和解决问题的能力。

2、教学目标：根据教学大纲要求、新课程标准精神，本节课的知识特点以及高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了本节课的教学目标如下：（1）知识与技能：能借助于单位圆理解三角函数线的定义；会画出任意角的三角函数线；能根据三角函数线总结出三角函数值随角度变化的规律；能运用三角函数线解决简单的实际问题。

（2）过程与方法：通过三角函数线的作图，掌握用数形结合的思想解决数学问题的方法。

提高学生自主分析地分析问题和解决问题的能力。

（3）情感、态度、价值观：通过本节课的作图、分析、展示，体验数学的美，感受学习的快乐；通过学生之间、师生之间的交流与合作，创设共同探究、教学相长的教学氛围；通过给学生及时、恰当的评价和鼓励激发学生对数学学习的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神。

通过情景的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

3、教学的重点和难点：根据本节课的地位与作用及教学目标，我认为本节课的重点、难点、关键分别是：重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯。

难点：理解三角函数和三角函数线间的关系，准确作图。

人大附中分校高一数学导学学案1．单位圆的概念. 2．有向线段的概念. 3．用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.．分别作出和例2．利用单位圆和三角函数线比较大小：(1> sin1和sin1.5。

(2> cos1和cos1.5。

(3> tan2和tan3.(1> sin1<sin1.5。

(2> cos1>cos1.5。

(3> tan2<tan3.例3. 已知sinx=0.5，利用单位圆和三角函数线求角x的大小.(0º<x<360º> 30°和150°随堂练习1．对三角函数线，下列说法正确的是( >A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在解读：选 D.正弦函数和余弦函数的定义域是R，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R，所以任何角的正切线不一定存在．b5E2RGbCAP2．角α(0<α<2π>的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( >A.错误!或错误!πB.错误!或错误!πC.错误!或错误!πD.错误!或错误!πp1EanqFDPw解读：选C.由条件知sinα＝cosα，又0<α<2π，∴α＝错误!或错误!.3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( >A．第一象限 B．第一、二象限C．第三象限 D．第一、三象限解读：选 D.由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．4．不等式cosα≤错误!的解集为____________________________．DXDiTa9E3d解读：画出单位圆，然后画出直线x＝错误!，从图形中可以看出．答案：{α|2kπ＋错误!≤α≤2kπ＋错误!，k∈Z}申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

单位圆中的三角函数线三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现．它的重要作用除了准确画图，刻画三角函数的性质，直观表示三角函数的值和符号，总结三角函数值的变化规律外，还可以用来比较三角函数值的大小，证明三角不等式，解三角不等式等，并且简便易行．一、比较三角函数值的大小三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．因此，比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．例1 比较大小：①sin1和sin1.5；②4cos π7和5cos π7． 解：①π01 1.52<<<Q ，∴由正弦线可知：sin1sin1.5<； ②45πππ77<<Q ，∴由余弦线可知：45cos πcos π77>（此时余弦线方向向左）． 二、证明三角不等式数形结合的“形”不仅仅是指三角函数图象，三角函数线有时比图象能更好的解决问题． 例2 设α为锐角，求证：π1sin cos 2αα<+<． 解：如图1，在直角坐标系中作出单位圆，设角α的终边为OP ，过P 作PQ Ox ⊥于Q ，PR Oy ⊥于R ，则sin QP α=，cos OQ α=．αQ 为锐角，在OPQ △中，QP OQ OP +>，sin cos 1αα∴+>． ①而11cos 22OPB S OB RP α==△·， 11sin 22OAP S OA QP α==△·，1ππ1224OAB S =⨯⨯=扇形． 又四边形OAPB 被扇形OAB 所覆盖，OPB OAP OAB S S S ∴+<扇形△△，即πsin cos 2αα+<． ②由①，②得π1sin cos 2αα<+<．三、解三角不等式例3 解不等式1sin 2x >．解：如图2，作出正弦值等于12的角x 的终边，则正弦值大于12的角x 的终边与单位圆的交点在劣弧¼12P P 上，所以所求角x 的取值范围是π5|2π2π66x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，．。