浅谈“单位圆”在三角函数中的应用(1)

单位圆上的三角函数解析讨论在数学领域中，三角函数是一类非常重要且广泛应用的函数。

而在三角函数的研究中，单位圆上的三角函数解析讨论是一个非常有趣且有深度的话题。

本文将从单位圆的定义、三角函数的性质以及其在解析几何中的应用等方面进行探讨。

一、单位圆的定义与性质单位圆是指半径为1的圆，其圆心位于坐标原点(0,0)处。

单位圆的定义十分简洁，但其性质却非常丰富。

首先，单位圆上的点坐标可以用三角函数来表示。

例如，对于单位圆上的点P(x,y)，其坐标可以表示为P(cosθ,sinθ)，其中θ为点P与x轴正半轴的夹角。

其次，单位圆上的三角函数在数学中具有重要的几何意义。

以正弦函数sinθ为例，当θ为0时，sinθ等于0，对应的点P位于单位圆上的(1,0)处；当θ为90°时，sinθ等于1，对应的点P位于单位圆上的(0,1)处。

通过这种方式，我们可以将三角函数与单位圆上的点一一对应起来，从而建立起几何与代数之间的桥梁。

二、三角函数的性质与图像三角函数包括正弦函数sinθ、余弦函数cosθ、正切函数tanθ等。

这些函数在单位圆上的表现形式各异，但它们都具有一些共同的性质。

首先，三角函数的周期性。

以正弦函数sinθ为例，它的周期为2π，即当θ增加2π时，sinθ的值会重复。

这一性质使得三角函数在数学和物理等领域中得到广泛应用。

其次，三角函数的奇偶性。

正弦函数sinθ是奇函数，即sin(-θ)=-sinθ；而余弦函数cosθ是偶函数，即cos(-θ)=cosθ。

这一性质使得三角函数在函数图像的对称性研究中起到重要作用。

再次，三角函数的图像特点。

通过绘制三角函数在单位圆上的图像，我们可以观察到它们的周期性、振幅、最大值和最小值等特点。

这些图像特点有助于我们更好地理解和应用三角函数。

三、三角函数在解析几何中的应用三角函数在解析几何中有着广泛的应用。

例如，在直角三角形中，我们可以利用正弦函数、余弦函数和正切函数来求解未知边长和角度。

单位圆在三角函数中的应用
1 单位圆在三角函数中的定义
单位圆是以原点O为中心，以半径为1的圆，三角函数的定义就是根据单位圆来定义的，因此三角函数中也用到了单位圆，由此可以看出单位圆在三角函数中有重要的作用和地位。

2 弧度角
在三角函数中，直角三角形一个角称为直角，其对应的角度也叫做直角角，单位圆上任意一点A(x,y)，到圆心原点O的距离就是半径（和单位圆一样），从原点O到点A之间的弧度就称为弧度角，也称作弧度。

弧度角在三角函数中是非常重要的一个概念，它与度数角之间的关系是一个弧度的多少度数等于180度。

3 三角函数中的概念
三角函数中还有六边形概念，其中原点O为顶点，半径r构成六边形，其边长为2r，因为半径是单位圆的半径，所以单位圆也构成六边形。

两个相邻的角构成一个角，这个夹角被表示为rad，
rad(radians)就是弧度角所表示的值，因此单位圆的重要性也体现在了这里。

4 三角函数的应用
三角函数是数学和物理学中最常用的函数之一，三角函数的应用广泛，几乎涉及到几何、物理和科学的各个领域，比如测量角度、求
取球面表面面积和体积等，三角函数一般有三个基本函数——正弦函数、余弦函数和正切函数，这些函数均来源于单位圆，因此单位圆对于三角函数的运算不可或缺。

5 结论
正如本文所介绍的，单位圆和三角函数的使用是相辅相成的，而单位圆的重要性在于它以1度的最小角度来表示三角函数，可以精准运算达到测量。

由此可见，圆有受三角函数这一概念的应用，而圆也回馈出了三角函数精确计算的可能。

浅谈单位圆在三角函数教学中的作用临猗中学 姚霞单位圆是半径等于单位长的圆，而三角函数是以自变量为实数的函数；它们似乎没什么关系，在直角坐标系的媒介作用下，这两者的关系可谓“密不可分”。

与旧教材相比，课标教材中单位圆贯穿于三角函数教学始终，本文对此作一个探讨。

1．借单位圆定义任意角的三角函数。

如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(y x P 。

那么y 叫做α的正弦，记作αsin ，即y =αsin ；x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x =αcos ；xy 叫做α的正切，记作αtan ，即)0(tan ≠=x x y α。

这样正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数；比大纲版的“距离比值”定义要简单直观，而且应用定义解决问题也非常简捷。

如课本第12页例1，求35π 的正弦、余弦和正切值。

解法过程：在直角坐标系中，作35π=∠AOB ，易知AOB ∠的终边与单位圆的交点坐标)23,21(-B ，所以2135cos ,2335sin =-=ππ，335tan -=π，这样的解法学生易掌握好计算，只需找角的终边与单位圆的交点，用定义即可解决问题。

2．借单位圆来证明同角三角函数关系，让推导过程直观具体。

图1图2 图3如图3，以正弦线MP ，余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形，且OP=1，由勾股定理有：OM 2+MP 2=1，因此122=+y x ，即1sin cos 22=+αα；当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立。

再者，单位圆让学生求解知角一函数值，求其余两函数值不易出错。

如课本19页例6，已知53sin -=α，求αcos 、αtan 的值。

先利用正弦线找出α角的两条终边OP 、OQ ，然后再分第三、第四象限讨论，不易漏解，也不会出现54cos ±=α的错误写法。

3．借单位圆推导诱导公式。

大纲版从求三角函数值引入，把180°α±、α-、360°α-、90°α-的三角函数与α的三角函数关系作为诱导公式，并且把关于90°α-的诱导公式作为和（差）角公式的推论给出。

为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数在人教版《普通高中实验教科书·数学4·必修（A版）》（简称“人教A 版”）中，三角函数采用了如下定义（简称“单位圆定义法”）：“如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；（2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；（3）叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）．可以看出，当α=(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以无意义．除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．”1．部分教师的疑惑和意见由于种种原因，实验区有的教师对上述定义不理解，认为该定义不如以往教材采用的定义，即在角α的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离为r，比值，，分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数（简称“终边定义法”）．其理由主要有以下几点：第一，“单位圆定义法”中，“交点是特殊的，缺乏一般性，不符合数学定义的要求”；“终边定义法”中，“所取得点是任意的，具有一般性，符合数学定义的要求”．有的老师说，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”．第二，“单位圆定义法”不利于将锐角三角函数推广到任意角三角函数；“终边定义法”有利于这种推广．有的老师说，“用单位圆上点的坐标定义正弦、余弦函数带来了不少便利，其根本原因是它化简了三角函数的比值．而用单位圆上点的坐标定义正切函数，由于它未能化简三角函数的比值，所以它就没有什么特别的意义．”第三，“单位圆定义法”不利于解题．有的老师说，在解“已知角α终边上一点的坐标是（3a,4a）,求角α的三角函数值”时，用“终边定义法”非常方便，而用“单位圆定义法”很不方便．为了解答老师们的疑问，我们首先从回顾三角函数的发展历史开始．2．对三角函数发展历史的简单回顾回顾三角学发展史，可以发现它的起源、发展与天文学密不可分，它是一种对天文观察结果进行推算的方法．1450年以前，三角学主要是球面三角，这是航海、立法推算以及天文观测等人类实践活动的需要，同时也是宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力所至，这种“量天的学问”确实太诱人了．后来，由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角．三角学从天文学中独立出来的标志是德国数学家雷格蒙塔努斯（J. Regiomontanus，1436—1476）于1464年出版《论各种三角形》，这部著作首次对三角学做出了完整、独立的阐述．其中采用印度人的正弦，即圆弧的半弦，明确使用了正弦函数，讨论了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理．这部著作为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固基础．后来，哥白尼的学生雷提库斯（G. J. Rhaeticus，1514—1576）将传统的圆中的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系，把三角函数定义为直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来，并采用了六个函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）．法国数学家韦达（F. Vieta，1540—1603）总结了前人的三角学研究成果，将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，还补充了自己发现的新公式，如正切公式、和差化积公式等，并将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题等，这是对三角学的进一步系统化．总之，16世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支．不过，值得注意的是，这时所讨论的“三角函数”仅限于锐角三角函数，而且研究锐角三角函数的目的在于解三角形和三角计算．任意角的三角函数的研究，与圆周运动的研究有直接关系．17世纪，“数学从运动的研究中引出了一个基本概念．在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数──或变量间的关系──的概念．” “正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反映．”任意角的三角函数的系统化是在18世纪的微积分研究中完成的．“微积分的一般工作的结果是：初等函数被充分地认识了，并实际已将它们发展成为我们今天所见到的样子．”“三角函数的数学也系统化了．Newton和Leibniz给出了这些函数的级数展开式．两个角的和与差的三角函数sin(x＋y)，sin(x－y)……的公式的发展应归功于一批人……最后，Euler于1748年在关于木星和土星运动中的不等式的一篇得奖文章中给出了三角函数的一个十分系统的处理．在Euler1748年的《引论》中已经搞清了三角函数的周期性，并引入了角的弧度制．” 3．任意角的三角函数与锐角三角函数的关系从上述简单回顾可以看到，任意角的三角函数虽然与三角学（锐角三角函数）有渊源关系，某种意义上可以把前者看成是后者的进一步发展，但它们研究的是两类不同的问题．“三角学所讨论的课题是三角形的各种各样的几何量之间的函数关系” ，锐角三角函数是解三角形的工具；而任意角的三角函数却不限于此，它是一个周期函数，是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”．另外，从数学发展的历史看，任意角的三角函数在18世纪之所以得到系统研究（其中很重要的是函数的三角级数展开式问题），一个主要原因是三角函数具有周期性，这一特殊属性在天文学、物理学中有大量的应用．三角级数“在天文学中之所以有用，显然是由于它们是周期函数，而天文现象大都是周期的” ，而这种应用又与当时的数学研究的中心工作──微积分紧密结合，人们在研究行星运动的各种问题时，需要确定函数的Fourier展开式，而这种展开式（三角级数）的系数是用定积分表示的．所以，锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的．它们研究的对象不同，表现的性质也不同．我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广（或一般化），又不能把锐角三角函数看成是任意角的三角函数在锐角范围内的“限定”．4．用“单位圆定义法”的理由用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点．（1）简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性．采用“单位圆定义法”，对于任意角a，它的终边与单位圆交点P(x，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即角a（弧度）对应于点P的纵坐标y──正弦，角a（弧度）对应于点P的横坐标x──余弦，可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的．另外，“x= cosa，y= sina是单位圆的自然的动态（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述”，其中，单位圆上点的坐标随着角a每隔2π（圆周长）而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的周期性．“终边定义法”需要经过“取点──求距离──求比值”等步骤，对应关系不够简洁；“比值”作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰；“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；“比值”的周期性变化规律也需要经过推理才能得到．以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了，与“终边定义法”的这些问题不无关系．（2）有利于构建任意角的三角函数的知识结构．“单位圆定义法”以单位圆为载体，自变量a与函数值x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等．例如：● P(x，y)在单位圆上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为[－1，1]；● |OP|2=1sin2a +cos2a =1；●对于圆心的中心对称性sin(π+a)=－sina，cos(π+a)=－cosa；●对于x轴的轴对称性sin(－a)=－sina，cos(－a)=cosa；●对于y轴的轴对称性sin(π－a)=sina，cos(π－a)=－cosa；●对于直线y=x的轴对称性sin(－a)=cosa，cos(－a)=sina；● sina在[－，]内的单调性a：－ 0 πx：－1010－1 sina在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减；……另外，学生在学习弧度制时，对于引进弧度制的必要性较难理解．“单位圆定义法”可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用单位圆的半径来度量角，这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以实数（弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函数值的函数，这就与函数的一般定义一致了．另外，我们还可以这样来理解三角函数中自变量与函数值之间的对应关系：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）a被缠绕到单位圆上的点P(cosa，sina)．（3）符合三角函数的发展历史．前述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”．所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程．（4）有利于后续学习．前已述及，“单位圆定义法”使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论三角函数的性质和图像奠定了很好的直观基础．不仅如此，这一定义还能为“两角和与差的三角函数”的学习带来方便，因为和（差）角公式实际上是“圆的旋转对称性”的解析表述，和（差）化积公式也是圆的反射对称性的解析表述．另外，这一定义中角的度量直接采用了弧度制，能为微积分的学习带来方便．例如，重要极限=1几乎就是定义的一个“推论”．5．教科书中的任意角的三角函数的引入方式“人教A版”首先通过“思考”，提出用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题，以引导学生回忆锐角三角函数概念，体会引进象限角概念后，用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义．教科书在定义任意角的三角函数之前，作了如下铺垫：直角三角形为载体的锐角三角函数→象限角为载体的锐角三角函数→单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数这样做的目的主要是为了以锐角三角函数为认知基础来学习任意角的三角函数，使学生初步体会用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数所具有的简单、方便并反映本质的好处，从而为“单位圆定义法”做好认知准备．需要注意的是，这样做并不表明任意角的三角函数与锐角三角函数之间有一般与特殊的关系．事实上，用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．6．几点说明（1）“单位圆定义法”与“终边定义法”本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．例如，由苏联科学院院士、世界著名数学家И.М.维诺格拉多夫主编，苏联百科全书出版社出版，被陈省身先生誉为“对数学的贡献，将无法估计”的、具有世界性权威的《数学百科全书》（中译本在2000年由科学出版社出版）中，采用了“单位圆定义法”；中国大百科全书出版社的《中国大百科全书·数学》（1992年版）中采用了“终边定义法”．应当说，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的问题．因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确的．值得强调的是正弦、余弦和正切函数在R（正切除a=(k∈Z) 外）上处处有定义，而不是角a的终边上取点的任意性．事实上，在老师们熟悉的“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角a，这三个比值（如果有的话）都不会随点P 在a的终边上的位置的改变而改变……对于确定的角a，上面三个比值都是唯一确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．”这恰恰说明了“以角a的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的．另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了．（2）《高中数学课程标准（实验）》只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是非常正确的．进一步地，三角函数中，正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两个函数的运算（相除、取倒数等）而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的．这样理解各三角函数的关系，那么“用单位圆上点的坐标定义正切函数，由于它未能化简三角函数的比值，所以它就没有什么特别的意义”的担心也就不必要了．（3）“人教A版”在给出三角函数定义后，有如下两个例题：例1 求的正弦、余弦和正切值．例2 已知角a的终边经过点P0(－3，－4)，求角a的正弦、余弦和正切值．它们的作用主要是让学生熟悉定义．例1的解答要用锐角三角函数知识，例2的解答要用一定的平面几何知识，而许多学生的平面几何基础较差，所以有一定的困难，这是教学中需要注意的．另外，例2还有让学生研究“终边定义法”的意图，教科书“边空”的“小贴士”表明了这一点：“由例2可知，只要知道角a 终边上任意一点的坐标，就可以求出角a的三角函数值．因此，利用角a终边上任意一点的坐标也可以定义三角函数．你能自己给出这种定义吗？”至于类似“已知角a终边上一点的坐标是（3a,4a）,求角a的三角函数值”的问题，显然是一个细枝末节问题，与三角函数的核心知识无关．参考文献：① [美]M. 克莱因. 古今数学思想（第二册）[M]. 上海：上海科学技术出版社，1979，43②项武义. 基础数学讲义丛书?基础几何学[M]. 北京：人民教育出版社，2004，82③同①，122~123④同②，82⑤同①，182⑥详见②，84~87。

利用单位圆解三角函数
三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

而利用单位圆解三角函数是学习三角函数的重要方法之一。

什么是单位圆？单位圆是指半径为1的圆，它的圆心在坐标系的原点上。

在单位圆上，我们可以定义三角函数的值。

以正弦函数为例，对于一个角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ。

这样，我们就可以把三角函数的值与角度联系起来。

利用单位圆解三角函数的好处在于，它可以帮助我们更好地理解三角函数的性质。

例如，我们知道正弦函数的值域在[-1,1]之间，但是为什么会这样呢？如果我们画出单位圆，就可以看到，对于任意一个角度θ，sinθ的值都在-1和1之间，因为点P的纵坐标在-1和1之间。

利用单位圆解三角函数还可以帮助我们求解三角函数的值。

例如，如果要求sin(π/4)的值，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标和纵坐标都是√2/2，因此sin(π/4)=√2/2。

除了正弦函数，余弦函数、正切函数等三角函数也可以利用单位圆来解析。

例如，对于余弦函数，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标为cosθ，纵坐标为sin(π/2-θ)，因此cosθ=sin(π/2-
θ)。

同样地，对于正切函数，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标为1/tanθ，纵坐标为1，因此tanθ=sinθ/cosθ。

利用单位圆解三角函数是学习三角函数的重要方法之一。

通过画出单位圆，我们可以更好地理解三角函数的性质，同时也可以帮助我们求解三角函数的值。

三角函数与单位圆的关系详解三角函数是数学中重要的概念之一，它与单位圆密切相关。

本文将详细解析三角函数与单位圆的关系，从而帮助读者更好地理解三角函数的概念和性质。

一、三角函数的定义三角函数由正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等组成。

这些函数与三角形的各边长度之间的关系息息相关。

例如，正弦函数定义为一个角的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。

二、单位圆的定义单位圆是一个半径为1的圆。

它的圆心位于坐标原点(0, 0)，且可以被看作是一个点在坐标平面上以半径为1做圆周运动的轨迹。

三、三角函数与单位圆的关系单位圆的概念为我们解析三角函数提供了重要便利。

我们可以将一个角度对应到单位圆上的一点，从而更好地理解它们之间的关系。

具体来说，对于一个角度θ，我们可以将它对应到单位圆上的一点P(x, y)，其中x和y分别为点P在坐标平面上的横纵坐标。

值得注意的是，x和y的取值都在-1到1之间。

根据单位圆的定义，点P的横纵坐标可以通过三角函数来表达。

例如，点P的横坐标x就等于该角度的余弦值cosθ，纵坐标y等于该角度的正弦值s inθ。

而切线函数tanθ则等于sinθ除以cosθ。

四、三角函数的周期性单位圆上的点在一周内不断循环，因此三角函数也具有周期性。

以正弦函数为例，它的图像在一个周期内会不断重复，即sin(θ+2π)=sinθ。

同样，余弦函数和正切函数也具有相似的周期性。

五、利用单位圆解析三角函数的性质通过单位圆，我们可以很方便地研究和推导三角函数的性质。

例如，我们可以利用单位圆来证明三角函数的诸多恒等式，如正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1（sin²θ + cos²θ = 1）。

此外，单位圆还可以帮助我们推导三角函数的图像和性质。

例如，通过观察单位圆上的点，我们可以得出正弦函数和余弦函数的图像均是周期函数，且在特定角度上取得最大值和最小值。

六、应用领域三角函数在科学和工程中具有广泛应用。

单位圆在三角函数中的应用作为数学中重要的概念之一，单位圆在三角函数中扮演了非常重要的角色。

它不仅是研究三角函数的基础，还在实际应用中有广泛的应用。

本文将介绍单位圆在三角函数中的应用，包括三角函数的定义、性质以及其在几何中、物理中的应用等。

首先，我们来了解一下三角函数的定义。

常见的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）、正切函数（tangent）以及它们的倒数函数。

以正弦函数为例，定义为单位圆上一个角的对边与斜边的比值。

也就是说，给定一个角度θ，在单位圆上，将线段OA的长度定义为对边，线段OP的长度定义为斜边，则正弦函数sin(θ)等于对边OA的长度。

三角函数的性质可以在单位圆上进行直观地解释。

对于正弦函数sin(θ)和余弦函数cos(θ)，单位圆上的点(x, y)满足x^2 + y^2 = 1，也就是说对于任意角度θ，单位圆上的点(x, y)满足这个方程。

这表明，单位圆上所有的点和角度θ之间存在着一一对应的关系。

而正弦函数和余弦函数的值正是对应角度所在点的纵坐标和横坐标。

单位圆在几何中的应用是显而易见的。

以正弦函数为例，可以用来计算三角形的边长和角度。

当已知一个三角形的一条边长和一个角度时，可以用正弦函数计算出另外两条边的长度。

当已知一个三角形的两条边长时，可以用正弦函数计算出两个角度。

这些计算都是基于单位圆上的三角函数值进行的。

单位圆在物理中的应用也非常广泛。

在力学中，单位圆可以用来描述物体在圆周运动时的速度和加速度的变化。

在电学中，单位圆可以用来表示交流电的相位差和频率，以及计算电阻、电容和电感等元件的阻抗。

在信号处理中，单位圆可以用来分析和设计滤波器，尤其是数字滤波器。

在光学中，单位圆可以用来描述光的偏振状态。

除了几何和物理领域，单位圆在经济学、概率统计和信号处理等学科中也有广泛的应用。

在经济学中，单位圆可以用来表示经济指标的周期性变化，如季节性变化和商业周期。

在概率统计中，单位圆可以用来描述正态分布和复平面上的随机变量。

单位圆应用举例单位圆在学习高一数学、尤其在三角函数中应用广泛，利用单位圆可以：定义任意角的三角函数；理解记忆三角函数值在各个象限的符号；巧记特殊角的三角函数值；帮助理解同角三角函数的基本关系；推导三角函数的诱导公式；而且利用单位圆可以解决有关三角函数问题，包括：求三角函数值；解三角函数不等式；求函数定义域；比较三角函数值的大小等等。

1、利用单位圆定义三角函数来求三角函数值。

例1、求67π的正弦、余弦和正切值。

解：，在直角坐标系中，作∠AO B=67π， 则∠AO B 的终边与单位圆的交点坐标为B(23-，21-) ∴ sin 67π=21-，cos 67π=23-，tan 67π=33 析：先求出这个角的终边与单位圆的交点坐标，再利用定义求解。

例2、若函数f(n)=sin6πn (n ∈Z)，则f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(102)= 。

解：∵sin 6πn =sin(6πn +2π)= sin 6)12(π+n ∴f(n)= f(n+12)，将单位圆均匀地分成12等份，则依次对应n=1,2, …,12时的弧度数为6π，62π，…，612π ∵这12个角两两关于x 轴对称∴f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(12)=0∵102=8×12+6∴f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(102)=8×[f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(12)]+f(97)+f(98)+ …+f(102) =0+ f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(6)=2[f(1)+f(2)+f(3)]=2(sin 6π+sin 62π+ sin 63π) =3+32、利用单位圆中的三角函数线解三角函数不等式。

例：利用单位圆解不等式3tan α+3>0 。

解：要使3tan α+3>0，即要tan α>－33由正切线可知 k π－6π<α< k π+2π，k ∈Z∴ 不等式的解集为（k π－6π，k π+2π），k ∈Z3、利用单位圆中的三角函数线求函数定义域。

单位圆与三角函数基本关系
单位圆是在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，半径为1的圆，是三角函数中非常重要的图形。

在单位圆中，角度的度数可以转换成弧度，也可以呈现为弧长，这使得单位圆成为了三角函数中极其实用的工具。

在单位圆中，从圆心开始的线段叫做半径，而任意一条半径可以代表一条直线，从圆心开始沿着圆弧所经过的长度就是弧长，也就是我们通常所说的圆周长。

当一个角度θ终止于单位圆上一点时，这个角度就称为终边，同时这个点的坐标可以是((cosθ, sinθ))。

三角函数中最常用的有三个：正弦函数、余弦函数和正切函数，它们常常被缩写为sin、cos和tan。

正弦函数的值被定义为相对于由角度终点所在的单位圆上的弧的纵坐标。

余弦函数被定义为相对于同一弧的横坐标。

正切函数则被定义为这条线段与x轴之间的夹角的正切值，也就是横坐标除以纵坐标的值。

通过单位圆与三角函数之间的基本关系，我们可以计算出任意角的正弦、余弦和正切值，这对于许多应用来说都很重要。

在几何、物理和工程学中，三角函数的应用广泛，单位圆的图形给了我们一种直观的观念，这使得我们更容易理解三角函数基本关系的意义与实际意义。

，即xy =a tan浅谈三浅谈三角函数角函数与单位圆与单位圆三角函数是三角函数是高中数学高中数学的重要内容，对培养学生的数形结合能力以及严密的逻辑推理能力都起着很大的作用。

尤其是单位圆在研究三角函数方面起着灵魂的作用，让每一位数学教学者不得不另眼相待。

学者不得不另眼相待。

一、我对教材编排的一点看法：一、我对教材编排的一点看法：1、不同版本的教材对三角函数的内容编排有很大差异：人教A 版中，三角函数采用了版中，三角函数采用了 “单位圆定义法”。

“单位圆定义法”。

如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x P(x，，y)y)，那么：，那么：，那么：（1）y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=y =y；；（2）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=x =x；； （3）xy 叫做α的正切，记作tan α（x≠0）．（x≠0）．可以看出，当α=2pp +k (k∈Z)时，α的终边在y 轴上，这时点P 的横坐标x 等于0，所以xy=a tan 无意义．除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为正弦、余弦、正切都是以角为自变量自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．”我们将它们统称为三角函数．”人教B 版教材采用的是终边定义法，即在角α的终边上任取一点P(x P(x，，y)y)，，P 到原点的距离为r ，比值xyr x r y ,,分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数。

而在后续的内容中又加入了正弦线、余弦线、正的内容中又加入了正弦线、余弦线、正切线切线，并且得到了结论“角α的正弦和余弦分别等于角α的终边与单位圆的的终边与单位圆的交点交点的纵坐标和横坐标。

的纵坐标和横坐标。

””而α的正切没有进行明确说明，的正切没有进行明确说明，只是只是讲了正切线，并在图中标注了T(1,tan α)。

y O x p 2、结合教学实践，我认为两种版本均有一些缺憾。

三角函数和单位圆的关系三角函数和单位圆的关系，嘿，听起来好像是高深的数学，但其实咱们可以轻松聊聊。

想象一下，一个大大的圆，半径为1，坐落在坐标系的原点。

你会发现，这个圆就像一个美丽的舞台，三角函数就是在这个舞台上翩翩起舞的小伙伴。

三角函数分为正弦、余弦和正切，它们就像是这个舞台上的明星，各有各的风采。

正弦函数，啊，那可真是个浪漫的家伙，坐标的Y值总是从1到1，像是乘着风浪的船，时而高昂，时而低沉。

而余弦函数，嘿，它可不甘示弱，X值的变化让它在圆的边缘上游刃有余，就像一个聪明的商人，永远掌握着节奏。

想象一下，当你把一个角度从0度旋转到360度，正弦和余弦的值就像是在进行一场精彩的表演。

比如说，0度的时候，余弦的值是1，正弦是0，这时它们就像是舞台上最耀眼的灯光，闪烁着。

可当转到90度时，正弦一下子飙升到1，余弦却降到了0，嘿，这真是个戏剧性的转变，仿佛灯光一瞬间聚焦在了一个新的主角身上。

这种变化真是让人目不暇接，仿佛在看一场好莱坞大片的精彩反转。

更有趣的是，当我们谈到正切函数，这家伙就是个火热的家伙，它是正弦与余弦的比值。

在单位圆上，正切就像是一个攀登者，随着角度的变化，它在不停地攀升，直至90度的巅峰。

可是，小心了，到了90度，正切函数却突然冒出个大坑，值变成了无穷大，仿佛是一场华丽的坠落，真让人心惊肉跳。

哎，这种起伏，简直就是数学的过山车，刺激又让人兴奋！再说说单位圆的那些点吧，嘿，真是个好玩意儿。

在单位圆上，每一个点的坐标都能帮我们找到对应的三角函数值。

比如，点(1, 0)就代表0度，正弦为0，余弦为1；而点(0, 1)则是90度，正弦为1，余弦为0。

这些点就像是一条条小路，指引着我们穿梭在三角函数的世界里。

想象一下，如果把这些点串起来，就像是把三角函数的旅程编织成了一幅动人的画卷，真让人忍不住想要一探究竟。

为什么单位圆这么重要呢？嘿，答案其实很简单。

单位圆不仅能帮助我们理解三角函数的基本性质，更能让我们在实际应用中得心应手。

三角函数的单位圆解释与利用三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何学、物理学、工程学等领域发挥着重要作用。

本文将以单位圆解释三角函数的概念，并探讨其在实际问题中的应用。

三角函数的概念可以通过单位圆来解释。

单位圆是一个半径为1的圆，以原点为中心。

在单位圆上，我们可以定义角度，并将角度与三角函数联系起来。

例如，以圆心为顶点的角度为0度，逆时针旋转一周为360度。

根据这个定义，我们可以将角度与三角函数的值对应起来。

首先，我们来看正弦函数。

正弦函数（sin）表示一个角度对应的单位圆上的纵坐标。

例如，在单位圆上，角度为30度对应的纵坐标为0.5，角度为60度对应的纵坐标为√3/2。

正弦函数的图像是一个周期性的波形，它在0度和360度处的值都为0，在90度处的值为1，在180度处的值为0，在270度处的值为-1。

正弦函数在几何学中常用于描述波动、振动等现象。

接下来，我们来看余弦函数。

余弦函数（cos）表示一个角度对应的单位圆上的横坐标。

例如，在单位圆上，角度为30度对应的横坐标为√3/2，角度为60度对应的横坐标为0.5。

余弦函数的图像也是一个周期性的波形，它在0度和360度处的值都为1，在90度处的值为0，在180度处的值为-1，在270度处的值为0。

余弦函数在几何学中常用于描述旋转、周期性运动等现象。

除了正弦函数和余弦函数，还有一些其他的三角函数，如正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。

这些函数可以通过正弦函数和余弦函数来定义。

例如，正切函数（tan）等于正弦函数除以余弦函数，余切函数（cot）等于余弦函数除以正弦函数，正割函数（sec）等于1除以余弦函数，余割函数（csc）等于1除以正弦函数。

三角函数在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，三角函数可以用来描述物体的运动轨迹、振动频率等。

在工程学中，三角函数可以用来计算力的分解、电流的相位差等。

在计算机图形学中，三角函数可以用来生成曲线、旋转图形等。

2020年第6期(上)中学数学研究41巧用单位圆求解三角函数问题广东省中山市中山纪念中学(528454)李文东三角函数的定义来自于单位圆,利用单位圆的定义法来研究三角函数,以及单位圆中的三角函数线与单位圆的定义的联系,使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的性质,如经典的不等式:当α∈(0,π2)时,sin α<α<tan α以及两角差的余弦公式的证明都用到了单位圆.在三角函数中会经常遇到一些涉及已知三角函数值求角,求三角函数值,比较三角函数值的大小及其证明的问题,有时我们可以利用单位圆数形结合的思想去思考、分析和判断,往往能达到出奇制胜的效果,下面举例说明.一、巧用单位圆求值例1已知2sin α+cos α=−√5,则tan α=.解点A (cos α,sin α)可看作直线l :x +2y +√5=0与单位圆x 2+y 2=1的交点,由于原点O 到直线l 的距离为d =√5√12+22=1,故直线l 与圆相切.从而tan α=k OA =−1k l=2.变式若方程sin x +2cos x =√102(−π2<x <π2)的两根为α,β,则tan α·tan β=.解点A (cos x,sin x )可看作直线l :2x +y −√102=0与单位圆x 2+y 2=1的交点,由于原点O 到直线l的距离为d =√102√12+22=√22,故直线l 与圆相交.由题意两交点分别为图1P (cos α,sin α),Q (cos β,sin β),结合距离可知此时OP ⊥OQ .于是tan α·tan β=k OP ·k OQ =−1.评注借助单位圆,我们还可以分别求出tan α,tan β,如图1,作OM ⊥l 于点M ,记直线OM 的倾斜角为θ,则tan θ=k OM =12,于是tan α=k OP =tan (θ+π4)=1+tan θ1−tan θ=3,tan β=k OQ =tan (θ−π4)=tan θ−1tan θ+1=−13.例2已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,求cos 2α+cos 2β+cos 2γ的值.解点A (cos α,sin α)、B (cos β,sin β)、C (cos γ,sin γ)均在单位圆上,由条件可知∆ABC 的重心坐标y =13(sin α+sin β+sin γ)=0,x =13(cos α+cos β+cos γ)=0,而其外心也为原点,即重心与外心重合,故∆ABC 为正三角形.于是α=β−2π3+2kπ,γ=β+2π3+2kπ,k ∈Z 从而cos 2α+cos 2β+cos 2γ=cos 2(β−2π3+2kπ)+cos 2β+cos 2(β+2π3+2kπ)=cos 2(β−2π3)+cos 2β+cos 2(β+2π3)=12(1+cos (2β−4π3)+1+cos 2β+1+cos (2β+4π3))=12(3+cos 2β−cos (2β−π3)−cos (2β+π3))=32.二、巧用单位圆证明三角恒等式例3已知cos 4αcos 2β+sin 4αsin 2β=1,求证:cos 4βcos 2α+sin 4βsin 2α=1.证明由已知条件可知点A (cos 2αcos β,sin 2αsin β)在x 2+y 2=1上,记x 0=cos 2αcos β,y 0=sin 2αsin β,则x 0cos β+y 0sin β=1,又单位圆x 2+y 2=1在点A 处的切线l的方程为x 0x +y 0y =1,可见它过点B (cos β,sin β),故A,B 两点重合,于是cos 2αcos β=cos β,sin 2αsin β=sin β.因为cos 2α=cos 2β,且sin 2α=sin 2β,所以cos 4βcos 2α+sin 4βsin 2α=1.例4已知锐角α,β为方程a cos x +b sin x =c (a=0,c=0)的两不等实根,求证:cos 2α−β2=c 2a 2+b 2.证明由已知,点M (cos α,sin α),N (cos β,sin β)(α<β)可看作图2直线l :ax +by −c =0与单位圆x 2+y 2=1的两个交点,42中学数学研究2020年第6期(上)如图2,过原点O 作OP ⊥MN 于点P ,原点O 到直线l 的距离|OP |=c √a 2+b 2,在Rt ∆OP N 中,∠P ON =α−β2,则cos α−β2=c √a 2+b 2,于是cos 2α−β2=c 2a 2+b 2.三、巧用单位圆求三角函数的最值例5求函数y =sin xcos x −2的值域.解令P (cos x,sin x ),Q (2,0),则sin x cos x −2=k P Q ,如图3,当过Q 点的直线与单位圆相切时的斜率便是函数y =sin xcos x −2的最值,由几何知识,易求得过Q 的两切线图3的斜率分别为−√33、√33.结合图形可知,函数的值域是[−√33,√33].例6(2018年高考全国I 卷第16题)求函数f (x )=2sin x +sin 2x 的最值.解显然f (x )为奇函数,故只需求出f (x )的最大值即可.又f (x )=2sin x +sin 2x =2sin x (1+cos x ),记sin x =m,cos x =n ,f (x )=t ,则2m (1+n )=t ⇒n =12·tm−1,于是原题等价于在单图4位圆m 2+n 2=1条件下求目标函数n =12·t m−1的最大值,它是由反比例函数变换过来的,如图4,当它们的图像在第一象限相切时,t 最大,设切点为(m 0,n 0),则有−12·t m 20=−m 0√1−m 20,n 0=12·t m 0−1,n 0=√1−m 20,消去n 0和t 得:√1−m 20+1=m 20√1−m 20,化简得:m 20(4m 20−3)=0,因为m 0>0,从而m 0=√32,此时t =2m 30√1−m 20=3√32,即f (x )max =3√32,利用f (x )为奇函数知f (x )min =−3√32.点评此题作为2018年高考全国卷I 的填空压轴题,一般是利用导数求最值.这里我们利用单位圆求解,此法很容易推广到如下的一般情形:求函数f (x )=sin x (a +cos x )的最大值t .(1)当a 0时,它由下面的方程组确定: −t m 20=−m 0√1−m 20,n 0=t m 0−a,n 0=√1−m 20,化简得4m 40+(a 2−4)m 20+1−a 2=0,此时m 0=√4−a 2+a √a 2+88,最大值为(4−a 2+a √a 2+8)328√4+a 2−a √a 2+8;(2)当a <0时,它由下面的方程组确定: −t m 20=m 0√1−m 20,n 0=t m 0−a,n 0=−√1−m 20,化简得4m 40+(a 2−4)m 20+1−a 2=0,此时m 0=−√4−a 2−a √a 2+88,最大值为(4−a 2−a √a 2+8)328√4+a 2+a √a 2+8.例7求函数f (x )=sin x +12sin 2x +25cos x 的最大值.解f (x )=sin x +sin x cos x +25cos x =(sin x +25)(1+cos x )−25记sin x =m,cos x =n ,f (x )=t ,则(m +25)(1+n )−25=t ⇒n =t +25m +25−1,于是原题等价于在单位圆m 2+n 2=1下求目标函数n =t +25m +25−1的最大值,它是由反比例函数变换过来的,当它们的图像在第一象限相切时,t 最大,设切点为(m 0,n 0),则有 −t +25(m 0+25)2=−m 0√1−m 20,n 0=t +25m 0+25−1,n 0=√1−m 20,消去n 0和t 得:√1−m 20+1=m 0(m 0+25)√1−m 20,化简得:100m 30+40m 20−71m 0−20=0,即(5m 0−4)(20m 20+24m 0+5)=0,因为0<m 0 1,从而m 0=45,此时t =m 0(m 0+25)2√1−m 20−25=3825,即f (x )max =3825.评注利用单位圆思想,此法很容易推广到下面的一般情形:函数f (x )=sin x cos x +a sin x +b cos x=(sin x +b )(cos x +a )−ab,2020年第6期(上)中学数学研究43非等差等比数列常见模型问题的探究南京外国语学校仙林分校(210023)高斌摘要数列是刻画离散现象的数学模型,在学习等差等比数列的基础上,分析非等差等比数列问题,探究常见模型,通过观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括等过程,经过反思、交流,多角度解决数列通项、前n 项和、单调性和最值等问题,总结常用方法,形成模型巧解模块.培养学生观察、分析、探索、归纳的能力,体会特殊到一般,一般到特殊的思想方法,保证了高效课堂,体现了数学核心素养.关键词非等差等比数列;通项;前n 项和;单调性;最值;模型巧解教材中建立等差数列和等比数列两种特殊的数列模型,教学过程中,通过归纳法、叠(累)加法、逐差法和迭代法等基础方法推导等差数列的通项公式,通过倒序相加法和首末求和法推导等差数列的前n 项和公式,通过归纳法、叠(累)乘法和迭代法推导等比数列的通项公式,通过错位相减法、等比定理法推导等比数列的前n 项和公式,根据学生分层教学情况,还可以介绍拆项法、乘法运算公式法和方程法推导等比数列的前n 项和公式.实际上遇到更多的是非等差等比数列,对于此类问题的常见模型做一些探究和方法总结,学习数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义.一、对于非等差等比数列,求其通项例1(1)已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n −1+3n (n ∈N ∗,n 2),求通项公式a n ;解法1由题意知:a n −a n −1=3n ,a n −1−a n −2=3n −1,···,a 2−a 1=32,叠加得:当n 2时,a n −a 1=3n+3n −1+···+32=3n +1−92所以a n =3n +1−72,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =3n +1−72.解法2当n 2时,迭代得:a n =a n −1+3n =a n −2+3n −1+3n =···=a 1+32+33+···+3n −1+3n=3n +1−72当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =3n +1−72.(2)已知数列{a n }中,a 1=1,na n=(n −1)a n −1(n ∈N ∗,n 2),求通项公式a n .解法1由题意知:a n a n −1=n −1n ,a n −1a n −2=n −2n −1,···,a 2a 1=12,叠乘得:当n 2时,a n a 1=a n a n −1·a n −1a n −2·····a 2a 1=n −1n ·n −2n −1·····12=1n,所以a n =1n ,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =1n.解法2由题意知:a n =n −1na n −1,当n 2时,迭代得:a n =n −1n a n −1=n −1n ·n −2n −1·a n −2=···=n −1n ·n −2n −1·····12·a 1=1n,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =1n.解法3由题意知:na n =(n −1)a n −1,则a 2=12a 1=12,若将n ·a n 视为整体,则当n 2时,2·a 2,3·a 3,···,n ·a n ,···构成一个常数列,所以n ·a n =2·a 2=1,即a n =1n,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =1n.的最大值为t ,这里只讨论a 0,b 0的情形.它由下面的方程组确定:−t +ab (m 0+b )2=−m 0√1−m 20,n 0=t +ab m 0+b −a,n 0=√1−m 20,化简得(2m 20+bm 0−1)2=a (1−m 20)(0<m 0<1),此时t =m 0(m 0+b )2√1−m 20−ab .从以上问题我们看到,利用单位圆求解三角函数问题有时会给我们带来意想不到的效果,在平时的教学中,我们要引领学生从不同的角度去观察问题,这样不仅能拓展学生的思维,还能取得很好的教学效果.。

单位圆在三角函数中的应用利用单位圆，可以得到三角函数的一种几何表示．按照三角函数的定义，角α的三角函数值，不因其终边上取点的变化而变化，因此，可以将所取的点的位置作适当调整，使三角函数“比”的分母为1．这样，我们就可以利用单位圆作出正弦线、余弦线、正切线． 特别地，当角α的终边在x 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在． 例1 用单位圆证明：若α∈(0,)，则有sin α<α<tan α． 分析 利用单位圆中角α的正弦线、正切线，所对的弧长及有关图形的面积，直观列出不等式证明之．证明 如图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 点向x 轴作垂线，垂足为M ，则有向线段MP=sin α．过点A(1,0)作单位圆的切线，交角α的终边于点T ，则有向线段AT=tan α．∴S =·OA·MP=sin α，S=··OA=|α|，S =·OA·AT=tan α． 又∵当0<α<时，有S <S <S ，∴sin α<α<tan α，即sin α<α<tan α．此结论仅适用于α为锐角时．本质上，这个结论反映了三个函数的关系，即对x∈(0,)，f(x)=x ，g(x)=sinx ，φ(x)=tan(x)，下面的不等式成立g(x)<f(x)<φ(x)．用这个不等式，可以进行三个数的大小的比较．如，设x=，则sin<<tan．利用单位圆还可以证明如下结论：sinα+cosα>1的充要条件是α为第一象限角．sinα+cosα<-1的充要条件是α为第三象限角．若α为象限角，则有|sinα|+|cosα|>1；若α为任意角，则有|sinα|+|cosα|≥1．利用单位圆中的三角函数线，可以解简单的三角不等式．例2分别根据下列条件，解出角θ的取值范围．⑴cosθ<；⑵tanθ>-1．分析在单位圆中画出符合条件的角θ终边所在范围(用阴影表示)，根据图形写出θ的取值范围(先特殊后一般)．解⑴∵ cos=cos=，且cosθ<，由图可得θ的取值范围为(+2kπ,+2kπ)(k∈Z)．⑵∵tan(-)=tan=-1，且tanθ>-1，由图可得θ的取值范围为(-+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ)=(-+nπ,+nπ)(k∈Z，n∈Z)．相应的图形请同学们自行作出．已知三角函数值的范围，在单位圆中作出相应角θ取值范围的图形的步骤如下：⑴对于正弦、余弦：①在坐标轴上由原点出发画三角函数线，过终点作与坐标轴平行的直线，它与单位圆交于两点；②将单位圆上的这两点分别与坐标原点连结得两条由原点出发的射线；③该两条射线将单位圆分为两部分，根据三角函数值的范围确定角θ的终边应落的区域．⑵对于正切：①在过点A(1,0)的单位圆的切线上画出由点A(1,0)出发的三角函数线；②将终点与原点连结并延长为一直线；③该直线与y轴将单位圆分为两两相对的四个部分，由正切函数值的范围可确定θ的终边应落的区域．例3求函数y=+lg(2sinx+)的定义域．分析定义域即为使函数有意义的x的值所组成的集合．解要使函数y有意义，必须即根据上面说明的步骤在单位圆中画出符合条件的x的范围，据阴影部分写出：-+2kπ<x≤+2kπ(k∈Z)．故所求函数的定义域为(-+2kπ,+2kπ](k∈Z)．本题也可由得∴ -+2kπ<x≤+2kπ(k∈Z)．例4已知f(n)=sin(n∈N)，求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)的值．解∵(n∈N)表示8条终边，这8条终边分成四组，每组互为反向延长线，所以f(1)+f(2)+…f(8)=0，f(9)+f(10)+…f(16)=0，……f(89)+f(90)+…+f(96)=0，而 f(97)+f(98)+f(99)+f(100)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=+1++0=1+．故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=1+．。

单位圆在三角函数的定义中起着重要作用。

它能体现数形结合的工具功能。

三角函数的定义借助单位圆进行，把直角三角形放在直角坐标系里，然后推广。

而且引入单位圆后正弦，余弦，正切就变成了单位圆上点的坐标，或者是坐标的比值来表示这三个量，任意角的三角函数.可以用单位圆来进行定义。

尤其新课程用单位圆定义三角函数，提升了单位圆，三角函数线的地位，三角函数的知识结构和方法体系也发生了一系列变化。

（1）利用单位圆本身的对称性能直观的理解三角函数；（2）能形象、方便体现函数的性质周期性；（3）结合相关知识，使问题化难为易、化繁为简，思路清晰，方法明确，激发了学生的学习兴趣。

在任意角的三角函数怎么建立起函数的基本概念教学案例课堂实录中，这位老师从以下几个角度对三角函数的性质进行探究：三角函数的定义借助单位圆进行，把直角三角形放在直角坐标系里，然后推广。

三角函数的定义采用以旧带新的方式来进行教学探究的。

同时她还兼顾传统的教学方式，用坐标和解析几何的思想把函数表示出来，这样对于我们更好的理解三角函数用重要意义。