6.8 余角和补角

一、教材分析本节课是在学生学习了角的定义、角的种类、角平分线的定义、角的比较、角的和差以及利用以上知识进行简单的角的计算后来进行教学的。

本节课是在上述知识的基础上进行拓展和延伸，本节课的知识不难但由于知识负迁移的影响，学生很容易把余角和补角也理解成一个角，因此正确理解余角和补角的概念是本节课的难点；学以致用是学习的目的所在，因此利用余角和补角的定义、性质进行简单的计算是本节课的重点。

二、教学目标1.了解余角、补角的概念2.理解余角和补角的性质3.会利用余角、补角的概念和性质进行简单的计算三、教学重点余角和补角的定义、性质进行简单的计算四、教学难点正确理解余角和补角的概念五、教学方法启发式六、教学过程1.复习提问前面我们已经学过有关角的哪些知识？2.创设情景导入新课出示有关比萨斜塔的图片，引导学生找到倾斜角以及塔身与地面的夹角并探究这两个角之间的数量关系及其原因。

并追问比萨斜塔每年仍然在倾斜，倾斜角以及塔身与地面的夹角自身的度数在怎么变化？但这两个角之间的数量关系是否发生变化？抓住余角概念的本质，从而得出余角的概念并通过相关练习巩固这个概念。

用类比学习余角的方法来进行补角相关知识的学习。

⑴ 填表：同一个锐角的补角比它的余角大 ⑵ 若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数. 4.学生练习⑴如图，点A ，O ，B 在同一直线上，射线OD 和射线OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ，图中哪些角互为余角？⑵如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD ，则与∠AOC 互余的角有OEDCBA6.布置作业教材140页第11、12、13题。

浙教版数学七年级上册6.8《余角和补角》教学设计一. 教材分析《余角和补角》是浙教版数学七年级上册第六章第八节的内容，主要介绍了余角和补角的概念、性质及其运用。

本节内容是在学生已经掌握了角的分类、垂线的性质等知识的基础上进行学习的，是进一步研究三角形的重要基础。

通过本节内容的学习，学生能够理解余角和补角的概念，掌握求解余角和补角的方法，并能运用余角和补角解决一些实际问题。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，但对于余角和补角这类抽象的概念，仍需要通过具体的实例和操作来加深理解。

学生在学习过程中，可能对余角和补角的求解方法容易混淆，需要在实践中不断巩固。

此外，学生对于实际问题的解决，还需要教师的引导和启发。

三. 教学目标1.知识与技能：理解余角和补角的概念，掌握求解余角和补角的方法，能够运用余角和补角解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象力，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：余角和补角的概念，求解余角和补角的方法。

2.难点：余角和补角的运用，解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入余角和补角的概念，让学生在具体的情境中感受和理解。

2.合作学习法：引导学生进行小组讨论和合作，共同探究余角和补角的求解方法。

3.实践操作法：让学生通过实际的操作，加深对余角和补角的理解。

六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2.学具：三角板、直尺、铅笔。

3.教学素材：生活实例、练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些生活实例，如在教室里的学生在座位上的角度关系，引导学生观察和思考。

提问：这些角度之间有什么关系？学生通过观察和思考，得出余角和补角的概念。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示范，呈现余角和补角的概念及其性质。

《余角和补角》知识清单一、余角的定义如果两个角的和是一个直角（90°），那么这两个角互为余角，简称互余。

其中一个角叫做另一个角的余角。

例如，如果∠A ＋∠B ＝ 90°，那么∠A 是∠B 的余角，∠B 也是∠A 的余角。

二、余角的性质1、同角的余角相等如果∠A ＋∠B ＝ 90°，∠A ＋∠C ＝ 90°，那么∠B ＝∠C。

2、等角的余角相等如果∠A ＋∠B ＝ 90°，∠D ＋∠E ＝ 90°，且∠A ＝∠D，那么∠B ＝∠E。

三、补角的定义如果两个角的和是一个平角（180°），那么这两个角互为补角，简称互补。

其中一个角叫做另一个角的补角。

比如，若∠M ＋∠N ＝ 180°，则∠M 是∠N 的补角，∠N 也是∠M 的补角。

四、补角的性质1、同角的补角相等若∠P ＋∠Q ＝ 180°，∠P ＋∠R ＝ 180°，则∠Q ＝∠R。

2、等角的补角相等若∠S ＋∠T ＝ 180°，∠U ＋∠V ＝ 180°，且∠S ＝∠U，那么∠T ＝∠V。

五、余角和补角的应用1、计算角度已知一个角的度数，求它的余角或补角的度数。

例如，已知∠α ＝ 30°，则它的余角为 90° 30°＝ 60°，补角为 180°30°＝ 150°。

2、证明角的关系在几何证明中，利用余角和补角的性质来证明角相等或互补。

3、解决实际问题在生活和工程中，通过余角和补角的知识来测量角度、设计图形等。

比如在建筑设计中，确定建筑物某些角度之间的关系。

六、余角和补角的常见误区1、混淆余角和补角的概念把和为 90°的角当成补角，或者把和为 180°的角当成余角。

2、错误运用性质在证明角的关系时，没有正确判断角是否为同角或等角，就盲目使用余角或补角的性质。

浙教版数学七年级上册《6.8 余角和补角》教学设计2一. 教材分析《6.8 余角和补角》这一节主要让学生了解余角和补角的概念，掌握求一个角的余角和补角的方法，以及能够运用余角和补角解决一些实际问题。

内容分为两个部分，一部分是余角，另一部分是补角。

通过引入余角和补角的概念，让学生更好地理解角度的概念，并为后续学习三角形的全等和相似打下基础。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了角的概念，平行线的性质，垂线的性质等知识。

对于这些知识，学生可能掌握程度不同。

学生的思维方式也各有不同，有的可能更偏向于直观形象思维，有的可能更偏向于逻辑推理思维。

因此，在教学过程中，要根据学生的实际情况，采用适当的教学方法，引导学生理解和掌握余角和补角的概念。

三. 教学目标1.了解余角和补角的概念，掌握求一个角的余角和补角的方法。

2.能够运用余角和补角解决一些实际问题。

3.培养学生的观察能力，推理能力，以及解决问题的能力。

四. 教学重难点1.余角和补角的概念。

2.求一个角的余角和补角的方法。

3.运用余角和补角解决实际问题。

五. 教学方法1.采用直观形象的教学方法，如实物演示，图示等，帮助学生理解余角和补角的概念。

2.采用推理教学方法，引导学生通过观察，思考，推理，得出求一个角的余角和补角的方法。

3.采用实践教学方法，让学生通过解决实际问题，运用余角和补角的知识。

六. 教学准备1.准备相关实物，如直尺，量角器等。

2.准备图示，如角的图示，余角和补角的图示等。

3.准备一些实际问题，如几何题目，生活中的问题等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物演示，让学生观察并回答以下问题：（1）这个角是多少度？（2）如果在这个角的旁边再画一个角，使得这两个角的度数之和为90度，这个角是多少度？通过回答这些问题，引导学生思考余角的概念。

2.呈现（10分钟）通过图示，向学生介绍余角和补角的概念，并解释求一个角的余角和补角的方法。

3.操练（10分钟）让学生通过使用量角器，在纸上画出给定角度的角，并求出它的余角和补角。

余角补角的概念及应用教案设计概述余角和补角是初中数学中常见的概念。

在初中阶段，学生需要掌握该概念的定义及应用，特别是在解题时灵活应用。

因此，本教案设计旨在帮助初中数学教师更好地教授余角和补角的相关知识。

二、知识点1.余角和补角的定义余角和补角是三角函数中常见的同角关系。

余角定义：对于角度a，它的余角为90度减去它本身的角度a。

余角的数学表示式如下：sin(a)的余角为cos(a)cos(a)的余角为sin(a)tan(a)的余角为cot(a)cot(a)的余角为tan(a)sec(a)的余角为csc(a)csc(a)的余角为sec(a)补角定义：对于角度a，它的补角为90度减去它本身的角度a。

补角的数学表示式如下：sin(a)的补角为cos(90-a)cos(a)的补角为sin(90-a)tan(a)的补角为cot(90-a)cot(a)的补角为tan(90-a)sec(a)的补角为csc(90-a)csc(a)的补角为sec(90-a)2.余角和补角的应用余角和补角的应用在初中数学中相当广泛。

在学习三角函数的过程中，学生将会接触到大量的余角和补角式子，同时这些式子也被广泛应用于解题过程中。

下面列举一些经典的应用：(1) 用补角计算一些三角函数的值，例如：sin30度。

(2) 利用余角关系化简一些三角函数的式子，例如：sin2a。

(3) 利用余角或补角关系求一些三角函数的值或比值，例如：sin75度。

(4) 利用余角和补角的关系求两个角度之间的差或和的余弦或正弦值，例如：cos20度+cos70度。

(5) 利用余角和补角的关系求三角函数余角或补角的正弦、余弦、正切值，例如：sin(cos(π/6))。

三、教学设计1.教学目标了解余角和补角的定义及应用。

掌握余角和补角的转换方法和求解方法。

培养学生运用余角和补角知识解决实际问题的能力。

2.教学方法理论讲解与实例分析相结合讨论、合作解题和展示3.教学程序（1）教师简要介绍本课内容，让学生对本节课的内容有一个初步的了解。

6.8 余角和补角学习目标1. 了解补角和余角的概念。

2. 理解等角的余角相等，等角的补角相等。

知识详解1.余角和补角如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。

如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角注意：（1）互余与互补是指两个角之间的关系，说单独的一个角是余角或补角没有意义，但可以说成一个角是某一个角的余角或补角。

（2）两个角是否互余或互补只跟这两个角的大小有关，与它们的位置无关，不要误认为互余或互补的角必须相邻。

（3）强调两个角互余或互补的数量关系：互余：∠α＋∠β＝90°；互补：∠α＋∠β＝180°。

因此互余或互补的两个角中，已知一个角的度数，就可以求出另一个角的度数。

2.余角和补角的性质同角或等角的余角相等。

同角或等角的补角相等。

【典型例题】例1：已知∠a=32°，则∠a的补角为（）A. 58°B. 68°C. 148°D. 168°【答案】C【解析】∵∠a=32°，∴∠a的补角为180°﹣32°=148°例2：已知∠α=35°，则∠α的余角是（）A. 35°B. 55°C. 65°D. 145°【答案】B【解析】根据定义∠α的余角度数是90°﹣35°=55°例3：一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角为（）A. 60°B. 45°C. 30°D. 15°【答案】B【解析】根据题意：设这个角为x，则有180﹣x=3（90﹣x），解可得x=45°【误区警示】易错点1：余角和补角关系1. 两个角大小的比为7：3，它们的差是72°，则这两个角的数量关系是（）A. 相等B. 互补C. 互余D. 无法确定【答案】B【解析】设这两个角分别是7x，3x，根据题意，得7x﹣3x=72°，∴x=18°，∴7x+3x=126°+54°=180°，∴这两个角的数量关系是互补．易错点2：余角和补角的性质2.如图，CO⊥AB于点O，OD⊥OE，则图中相等的角有（）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对【答案】C【解析】∵CO⊥AB于点O，OD⊥OE，∴∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°，∴∠AOC=∠BOC，∠AOC=∠DOE，∠BOC=∠DOE，共3对，∵∠BOD+∠BOE=90°，∠BOD+∠COD=90°，∴∠BOE=∠COD，又∵∠AOD=∠COD+90°，∠COE=∠BOE+90°，∴∠AOD=∠COE，综上所述，共有3+1+1=5对．【综合提升】针对训练1. 茗茗总结的下列结论中，不正确的是（）A. 等角的补角相等B. 等角的余角相等C. 过两点有且只有两条直线D. 两点之间线段最短2. 如图，点O在直线AB上，∠AOD=22°30′，∠BOC=45°，OE平分∠BOC，则∠EOC 的补角是（）A. ∠AOCB. ∠AOE或∠DOBC. ∠AOE或∠DOB或∠AOC+∠DOED. 以上都不对3. 如图，AOB是直线，OE⊥AB于O，OC⊥OD于O，则与∠EOD互为补角的是（）A. ∠AOCB. ∠BOEC. ∠AODD. 非上述答案1.【答案】C【解析】A、当∠A和∠B都是∠C的补角时，∠A=∠B=180°﹣∠C，正确，故本选项错误；B、当∠A和∠B都是∠C的余角时，∠A=∠B=90°﹣∠C，正确，故本选项错误；C、过两点有且只有一条直线，错误，故本选项正确，D、线段的性质之一是两点之间线段最短，正确，故本选项错误。