方阵问题 (1)

小学数学典型应用题---方阵问题方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。

如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。

那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？解：1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。

2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。

所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。

例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？解法1：1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。

2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。

知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。

最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1）×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。

让知识带有温度。

方阵问题公式大全整理方阵问题公式大全导语：只要学习和把握相应的计算公式就可以特别快速地解题，方阵问题的常用公式有哪些?以下是我收集整理的资料，期望对您有所帮忙。

一、方阵问题的类型方阵可以分为实心方阵和空心方阵。

计算组成实心方阵、空心方阵的物体的个数是主要的方阵问题。

二、方阵问题特点在方阵问题中经常包含了几大特点：(1)方阵不论哪一层，每边上的'人(或物)数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2人：例1、一个六层空心方阵最内层每边上有6人，则最外层每边有多少人?利用第一大特点可得出最外层：6+5×2=16人(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系：四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4例2、一个用花盆围成的方阵的边长是8，问最外层有多少个花盆?第1页/共2页千里之行，始于足下。

直接套用公式：(8-1)×4=28个(3)实心方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数例3、有士兵排成一个方阵，每边边长是20，问总共有多少士兵?利用公式：20×20=400(4)空心方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-空心方阵的层数)×空心方阵的层数×4例4、用204盆鲜花围成一个每边三层的方阵。

求最外面一层每边多少盆?直接套用公式：(x-3)×3×4=204 x=20;通过以上例题可知，方阵问题的五大计算公式分别为：(1)方阵总数=最外层每边数目的平方;(2)方阵最外一层总数比内一层总数多8(行数和列数分别大于2);(3)方阵最外层每边数目=(方阵最外层总数÷4)+1;(4)方阵最外层总数=[最外层每边数目-1]×4;(5)去掉一行、一列的总数=去掉的每边数目×2-1。

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三年级知识点：方阵问题方阵问题同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,今天我们将共同研究和分析这类问题。

士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。

方阵的基本特点:(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。

(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4春天绿叶分割线例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。

解:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。

儿童节气球可爱gif 动图分割线贴纸例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。

(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。

方阵问题【知识要点】1.方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2.方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83.方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数 （每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数【典型题解】例1.四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。

如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？分析：方阵中的任何1人，既是其中一排中的人，也是其中一列中的人。

去掉一行一列，不管去掉哪一行哪一列，总有1人被去掉了两次，因此，求去掉一行一列去掉多少人，就是求比原来方阵中2行的人数少1人是多少人解：82115⨯-=（人） 881549⨯-=（人）答：要去掉15人，还剩49人例2.菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？分析：正方形空心花坛是空心方阵，依题意，四个角上的1盆在横、竖排中各计算了一次。

求李师傅共要用多少盆，就是求这个空心方阵的总数，可以4个5盆中减去重复计算的4个1盒解：541416⨯-⨯=（盆）答：李师傅摆这个花坛共要用16盆菊花例3.某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？ 分析：在三层空心方阵中，外层比中层多8，中层比内层多8，如果中层、内层的人数与外层同样多，需要加上3个8人，这样总人数180就多了()83⨯人，平均分成3份，就可求出最外层有多少人，然后求外层每边多少人解：()+⨯÷=÷=（人）684117118180833204368÷+=+=（人）答：这个方阵外层每边有18名学生例4.某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？分析：排成一个实心方阵多7人，增加一行一列后少4人，说明增加一行一列的总人数是()74+人，就可先求出原来方阵中一排的人数，然后求出抽出学生总数解：()+-÷=÷=（人）5572573274121025⨯+=+=（人）答：共抽出学生32人【能力训练】A 卷1.同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2.同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3.小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？4.一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？5.学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？6.同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？7.沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。

方阵问题公式（附例题）方阵问题公式（附例题）学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。

如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵(亦叫乘方问题)。

核心公式:方阵问题公式(1)实心方阵:(外层每边人数)2＝总人数。

(2)空心方阵:(最外层每边人数)2－(最外层每边人数－2×层数)2＝中空方阵的人数。

或者是(最外层每边人数－层数)×层数×4＝中空方阵的人数。

总人数÷4÷层数＋层数＝外层每边人数。

例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人?一、实心方阵1.方阵总人数＝最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)－每边数×每边数2人数＝(阵最外层总人数＋4)＋13.外一层每边人数比内一层每边人数多24.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2－15、每层数－(每边－1)×4二、空心方阵1外人数＝总人数＋4＋层数＋层数2数最＝(最外层每边数－层数)×层数×4＝(最外层数+最内层数)×层数＋23内层数＝外层数－84、每层数＝(每边数－1)×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。

方阵问题方阵的基本特点:1、方阵不论哪一层.每边上的人(或物)数量都相同，每向里一层每边上的人数就少 2，每层总数少82、实心方阵:总数＝每边数×每边数每边数＝每层数＋4＋1每边数＝(每横排与每竖排之和－1)＋2每层数＝(每边数－1)×43、空心方阵:总数＝大实心方阵数－小实心方阵数总数＝(最外层每边数－层数)×层数×4总数＝(最外层数＋最内层数)×层数＋2最外层每边数－总数＋4＋层数＋层数解决方阵问题的基本思路:1、避免重复方阵问题基本公式基本公式:(1)N排N列的实心方阵人数为N2人;(2)M排N列的实心长方阵人数为MXN人:(3)N排N列的方阵，最外层有 4N-4人:(4)在方阵或者长方阵中，相邻两圈人数，外圈比内圈多8人;(5)空心正M 边形阵，若每边有N个人，则共有MN－M个人;(6)方阵中:方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2方阵问题两大常见思维方法:(1)重叠点思维:若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠点个数，才是最终的全部数目: (2法思维:如果需要计算“某种形状”的“某种外层”的数目，用整体数目减去内部的数目是一种常用的思维方法。

第三讲 方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。

如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

核心公式：1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层总人数比内一层总人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。

根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。

【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶这个方阵共用围棋子多少个？ 解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。

解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。

方阵（一）姓名【学法指导】正方形队列在日常生活中经常看到，如盛大的庆典活动时，各种大型团体操的表演，又如陆、海、空三军仪仗队都是方阵。

方阵还可以由棋子、树木、红旗等实物排成。

方阵分为空心方阵和实心方阵，解决这类问题要注意以下三点：1、根据题意确定是空心方阵还是实心方阵问题，然后选用适当的方法解答。

2、对于较复杂的问题可画图帮助理解题意，分析思考找出解题方法。

3、分清每层总数和每边数之间的数量关系，牢记相邻两边的个数相差2.【例1】有一个正方形池塘，四个角都栽一棵树，如果每边在6 棵，四边一共栽多少棵？····················试一试1、在大楼的正方形平顶四周等距离的装上彩灯，四个角都装上一盏，每一边装有8盏，一共有多少盏灯？【例2】一个正方形草地四周等距离的种菊花，一共80棵，四个角各种一棵，每一边种几棵树？试一试2、在正方形围墙四周等距离的装96盏灯，四个角上都装一盏，这样每边有多少盏？【例3】四（1）班学生进行队列训练，排成如图所示的正方形，已知最外层每边有6 人，求这个班一共有多少人？································试一试3、小朋友做游戏排成两层空心方阵，外层每边有8人，求做游戏的小朋友的人数。

【例4】用围棋排成三层空心方阵，最里层共有12颗，求这个方阵共有棋子多少颗？试一试4、一个班的同学组成一个三层空心方阵，最里层有8人，求这个班共有多少人？练一练1、在正方形鱼池四周等距离种上树，四个顶点都种一棵，这样每边都有22 棵，四周共种树多少棵？练一练2、52 个小朋友手拉手围成一个正方形，四个角上都站一个人，则正方形的每一边上站几个人？练一练3、小林用彩旗排成一个两层空心方阵，最里层每边有5面彩旗，求这个空心方阵共有彩旗多少面？练一练4、一个正方形的树林，内外一共有三层，中间层有32 棵树，这个树林共有树多少棵？练一练5、在正方形的围墙四周插上红旗，四个角上都有一面，这样每边都有18面，一共插了多少面红旗？练一练6、有28粒玻璃球,要求围成一个正方形,且每个角上都要有一粒,则每一边上有多少粒?练一练7、一个两层的空心方阵，最里层每边有16人，这个方阵总共有多少人？。

小学生数学公式方阵问题
小学生数学公式方阵问题
方阵问题公式
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。

(2)空心方阵：
(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2层数)2=中空方阵的人数。

或者是
(最外层每边人数-层数)层数4=中空方阵的人数。

总人数4层数+层数=外层每边人数。

例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人?
解一先看作实心方阵，则总人数有
1010=100(人)
再算空心部分的`方阵人数。

从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是
10-23=4(人)
所以，空心部分方阵人数有
44=16(人)
故这个空心方阵的人数是
100-16=84(人)
解二直接运用公式。

根据空心方阵总人数公式得
(10-3)34=84(人)。

方阵问题第一讲方阵问题知识点拨一、方阵的基本特点:(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。

(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4例题精讲例1、计算：⑴ 36196419⨯+⨯ ⑵ 361964144⨯+⨯百炼成钢1、178×101－17884×36+64×84例2、11353715⨯-⨯百炼成钢2、99666667818⨯+⨯⨯++⨯3520703578⨯-⨯．例3：343535353434百炼成钢3：33201020102010330033⨯-⨯=⨯-⨯＝200720082008200820072007例4：8822557344443355⨯+⨯-⨯-⨯=百炼成钢4：⨯+⨯+⨯+⨯= 3334343535363637_______⨯+⨯+⨯= 67200254335467⨯+⨯+⨯例5、534671548254百炼成钢5：⨯ -⨯ 333332332333332333333332⨯-⨯200920082007200720082009⨯+⨯+⨯例6：237539879207601339876832百炼成钢6：⨯+⨯-⨯１２４×３８＋６５482594115932359×１２４＋７６×１１０－７６×７例7：99999777783333366666⨯+⨯百炼成钢7：⨯+⨯９９９９99999222223333333334×３６＋６６６６×３×３２÷+÷+÷+÷例8：315325335345⨯÷+⨯÷7652132776532727百炼成钢8：⨯+÷-⨯+÷91791175174517⨯+÷-⨯+÷1719931910174019解题我最牛：1）467+999×999+532 1)（25×99+25）×16 3）６２×４＋４４×５＋５×１８4）888888×19+666666×8 5）535×353+535×432+785×4656）1995×19961996-1996×199519957）⨯-+⨯80199539901995228）200620052006200520062005⨯-⨯ 9）347×12+347×35＋347×52+34710）777777×12+222222×8 11 ）21÷9＋22÷9＋23÷9＋24÷912）287÷12-18÷12-29÷12 13）6000÷25÷4014）720÷（36÷5）15）467×500÷25016）2090÷24+310÷24 17）372÷162×54智巧故事：数学教授在一所大学的操场上，政治学教授、哲学教授和语言学教授围着一根旗杆。

方阵问题公式方阵问题公式大全导语：只要学习和掌握相应的计算公式就可以非常快速地解题，方阵问题的常用公式有哪些?以下是小编收集整理的资料，希望对您有所帮助。

一、方阵问题的类型方阵可以分为实心方阵和空心方阵。

计算组成实心方阵、空心方阵的物体的个数是主要的方阵问题。

二、方阵问题特点在方阵问题中常常包含了几大特点：(1)方阵不论哪一层，每边上的'人(或物)数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2人：例1、一个六层空心方阵最内层每边上有6人，则最外层每边有多少人?利用第一大特点可得出最外层：6+5×2=16人(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系：四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4例2、一个用花盆围成的方阵的边长是8，问最外层有多少个花盆?直接套用公式：(8-1)×4=28个(3)实心方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数例3、有士兵排成一个方阵，每边边长是20，问总共有多少士兵?利用公式：20×20=400(4)空心方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-空心方阵的层数)×空心方阵的层数×4例4、用204盆鲜花围成一个每边三层的方阵。

求最外面一层每边多少盆?直接套用公式：(x-3)×3×4=204 x=20;通过以上例题可知，方阵问题的五大计算公式分别为：(1)方阵总数=最外层每边数目的平方;(2)方阵最外一层总数比内一层总数多8(行数和列数分别大于2);(3)方阵最外层每边数目=(方阵最外层总数÷4)+1;(4)方阵最外层总数=[最外层每边数目-1]×4;(5)去掉一行、一列的总数=去掉的每边数目×2-1。

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==同学们站成一个实心方队,最外层每边站9人,这个实心方阵共需要多少名同学才能站成篇一：高中生参加体操表演,先排成每边16人的实心方阵,后来又变成一个四层的空一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。

试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。

1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。

2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。

3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学(来自:WwW. : 同学们站成一个实心方队,最外层每边站9人,这个实心方阵共需要多少名同学才能站成 )思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。

包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。

这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

篇二：方阵1实心方阵例一、同学们排成一实心方阵，最外层每边有10人，最外层有多少人？这个方阵一共有多少人？例二、同学们排成一实心方阵队列，最外层共有28人，最外层每边有多少人？这个方阵共有多少人？例三、用棋子摆成一个每边六枚棋子的实心方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少枚棋子。

第二讲方阵问题（一）姓名在我们的日常生活中常遇到一些有关正方形的问题，如：运动会上大型团体操表演队的正方形队列，解放军的方形仪仗队，正方形棋盘上摆棋子等有趣的数学问题，我们称为方阵问题。

方阵可以分为实心方阵（图①）和空心方阵（图②、③）。

①②③方阵问题的基本特点是：方阵中，内一层总比外一层的一边少个物体；内一层物体的总个数一定比外一层物体总个数少。

解答方阵问题的关键是：判断此方阵是实心方阵还是空心方阵。

1、方阵问题每边数与每层数之间的数量关系为：每层数＝（每边数－1）×4 、每边数＝每层数÷4＋1 .2、实心方阵的数量关系为：总数＝外层每边数×外层每边数＝（外层每边数）23、空心方阵的数量关系为：总数＝（外层每边数－层数）×层数×4或总数＝实心方阵总数－中间空心方阵总数最内层每边数＝外层每边数－2×（层数－1）最外层每边数＝总数÷4÷层数＋层数【例1】一个实心方阵，最外一层每边12人。

（1）那么整个方阵一共有。

（2）最外面一层共有。

（3）从外向内数，第二层每边有人，一共有人。

（4）如果考虑最外面三层，那么这三层共有人。

（5）如果将方阵外面增加一层，那么一共增加人。

随堂练习1用64枚棋子摆成一个实心方阵。

（1）每边有枚棋子。

（2）最外层有枚棋子。

（3）从外向内数，第二层每边有枚棋子，第二层共有枚棋子。

【例2】有一块空地在进行种树绿化，打算把树种成实心方阵的样子，方阵最外面一周有60棵树，问这个方阵最外层每边有多少棵树？这块空地一共需要多少棵树？随堂练习2三年级学生排成一个实心方阵，最外一层的人数为36人，问：方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人【例3】小刚在用棋子摆好的实心方阵上又添了17枚棋子，它的横竖各增加了一排，成了大一点的实心方阵。

求原来实心方阵有多少枚棋子？随堂练习3 军训的学生进行队列表演，排成了一个5行5列的正方形队形，如果去掉一行一列，要去掉多少人？【例4】有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边一共放多少个稻草人？ 解析：可以按每边5个计算，四个角各多1次；可以按每边4个计算，恰好分4组；可以按每边3个计算，四个角各少算1次。

第二讲方阵问题（一）姓名在我们的日常生活中常遇到一些有关正方形的问题，如：运动会上大型团体操表演队的正方形队列，解放军的方形仪仗队，正方形棋盘上摆棋子等有趣的数学问题，我们称为方阵问题。

方阵可以分为实心方阵（图①）和空心方阵（图②、③）。

①②③方阵问题的基本特点是：方阵中，内一层总比外一层的一边少个物体；内一层物体的总个数一定比外一层物体总个数少。

解答方阵问题的关键是：判断此方阵是实心方阵还是空心方阵。

1、方阵问题每边数与每层数之间的数量关系为：每层数＝（每边数－1）×4 、每边数＝每层数÷4＋1 .2、实心方阵的数量关系为：总数＝外层每边数×外层每边数＝（外层每边数）23、空心方阵的数量关系为：总数＝（外层每边数－层数）×层数×4或总数＝实心方阵总数－中间空心方阵总数最内层每边数＝外层每边数－2×（层数－1）最外层每边数＝总数÷4÷层数＋层数【例1】一个实心方阵，最外一层每边12人。

（1）那么整个方阵一共有。

（2）最外面一层共有。

（3）从外向内数，第二层每边有人，一共有人。

（4）如果考虑最外面三层，那么这三层共有人。

（5）如果将方阵外面增加一层，那么一共增加人。

随堂练习1用64枚棋子摆成一个实心方阵。

（1）每边有枚棋子。

（2）最外层有枚棋子。

（3）从外向内数，第二层每边有枚棋子，第二层共有枚棋子。

【例2】有一块空地在进行种树绿化，打算把树种成实心方阵的样子，方阵最外面一周有60棵树，问这个方阵最外层每边有多少棵树？这块空地一共需要多少棵树？随堂练习2三年级学生排成一个实心方阵，最外一层的人数为36人，问：方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人【例3】小刚在用棋子摆好的实心方阵上又添了17枚棋子，它的横竖各增加了一排，成了大一点的实心方阵。

求原来实心方阵有多少枚棋子？随堂练习3 军训的学生进行队列表演，排成了一个5行5列的正方形队形，如果去掉一行一列，要去掉多少人？【例4】有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边一共放多少个稻草人？ 解析：可以按每边5个计算，四个角各多1次；可以按每边4个计算，恰好分4组；可以按每边3个计算，四个角各少算1次。

方阵问题教学目标：1、探索并认识方阵中的简单规律，并能将这种认识应用到实际问题中。

2、初步培养学生从实际问题中探索规律、找出解决问题的有效方法的能力。

3、让学生感受数学在日常生活中的广泛应用。

教学重难点：1、探索并认识方阵中的简单规律，并能将这种认识应用到实际问题中。

2、用数学的方法解决实际生活中的简单问题。

教学准备：课件、练习纸、方阵图形。

教学过程：一、情景导入师：同学们，我们做一个猜谜游戏吧。

课件出示：十九乘十九，黑白两对手，有眼看不见，无眼难活久。

（打一棋类名称）生：围棋。

师：真厉害！如果围棋盘中摆满棋子，你看，这样组成了一个方阵，板书：方阵。

如果只摆了最外边一层，这样也是一个方阵，如果只摆了两层，这样也是一个方阵，（边说边课件出示）师：再来看看，（边说边课件出示）（阅兵式中的方阵、运动会中的方阵、鲜花摆成方阵）师：在队列问题中，通常横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵。

日常生活中遇到编排正方形体操队伍，在方形台上或操场上摆鲜花、插彩旗，在正方形棋盘上摆棋子等问题，在数学中就称为方阵问题。

这节课我们来研究方阵问题。

课题板书补充：问题。

二、探索方阵中的规律1、认识方阵师：数学中的方阵分两类：一类是实心方阵，像这样的（课件出示摆满棋子的围棋盘），里面是填满的，一类是空心方阵，像这样的（课件出示只摆了一层的围棋盘，以及只摆了两层的围棋盘），里面没有填满的。

2、动手操作师：现在让我们一起动手画一个实心方阵吧。

比如：最外层每边有4个小圆圈。

教师边说边板演画实心方阵的过程。

注：用红粉笔画外层，再用白粉笔画里层。

师：大家也动手画一个实心方阵吧。

要求：跟老师刚才画的不一样。

画完思考：一共有多少个小圆圈？你是怎样想的？可以怎样列式计算？投影学生作品，并请学生上台说说想法。

（学生有可能画的是每边2个、3个、5个、6个等等）师：实心方阵总数=行数×列数。

方阵问题的公式(一)方阵问题的公式1. 方阵的阶数方阵的阶数表示方阵的行数（或列数），记作n。

例如，一个3阶方阵表示有3行3列的方阵。

2. 方阵的转置方阵的转置是指将方阵的行与列互换得到的新方阵。

设A为一个n阶方阵，A T表示A的转置。

例如，对于一个3阶方阵：A=[a b c d e f gℎi]则其转置为：A T=[a d gb eℎc f i]3. 方阵的逆矩阵设A为一个n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，满足AB=BA=I n，其中I n为n阶单位矩阵，则称A为可逆方阵，B为A的逆矩阵，记作A−1。

A=[210 014−103]则其逆矩阵为：A−1=[32−120 2−14 1212−12]4. 方阵的特征值和特征向量设A为一个n阶方阵，若存在一个非零向量v和一个标量λ，使得Av=λv，则称λ为A的特征值，v为对应于特征值λ的特征向量。

例如，对于一个3阶方阵：A=[310 121 013]其特征值为λ=4,2,2，对应的特征向量为v1=[1−1 1]，v2=[−11]，v3=[111 ]。

5. 方阵的行列式方阵的行列式是一个标量，记作|A|或det(A)，表示一个方阵的某种性质。

A=[213 0−14−120]其行列式为|A|=det(A)=13。

6. 方阵问题的解法方阵问题涉及了方阵的转置、逆矩阵、特征值和特征向量，以及行列式等相关公式。

解决方阵问题可以使用线性代数的方法，通过求解逆矩阵、特征值和特征向量，以及计算行列式等，来得到方阵的相关信息。

总结以上列举的公式，我们可以应用于具体的实际问题，并通过计算和求解得到结果。

方阵问题公式
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。

（2）空心方阵:(最外层每边人数）2-(最外层每边人数-2×层数)2=中空方阵的人数。

或者是(最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。

总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。

例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解一先看作实心方阵,则总人数有10×10=100(人)
再算空心部分的方阵人数。

从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是10—2×3=4（人)
所以，空心部分方阵人数有4×4=16(人）
故这个空心方阵的人数是100—16=84（人)
解二直接运用公式。

根据空心方阵总人数公式得
(10—3)×3×4=84(人)。