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保险精算学3-生命表

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《保险精算》之三--生命表

《保险精算》之三--生命表
�
定义：( x)
的瞬时死亡率，简记 µx
s′( x) f ( x) µx = − = = − ln[ s( x)]′ s( x) s( x)
�
死亡力与生存函数的关系
x
s ( x) = exp{− ∫ µs ds}
0
x +t t
px = exp{− ∫ µ s ds}
x
20
死亡力
21
对 µ y 从 x 到 x + n 积分，有
∫
x+n x
µ y dy = − ∫
x+n x
s'( y) +n d y = − lns(y) | x = − [ln s ( x + n ) − ln s ( x )] x s( y)
= − ln 故有
n
s( x + n ) = − ln n p x s( x)
x+ n
p x = e ∫x
−
µ ydy
l25 − l50 = 0.2 l 25
由 (**) 式 可 得 ： 0.8 l 25 = l 50 代 入 (*) 可 得 ： 0.125l50 = 0.3l75 由此可推知 = 25 p50 = l 50
l75
0.125 = 0.4167 0.3
11
例： 已知 lx =1000×(1− 解： 50 l50 (1) 20 p30 = = 120 = 77.78% l30 1− 30 120 1− 45 50 (1 − ) − (1 − ) l45 −l50 120 120 (2) 20|5 q 25 = = = 5.26% 25 l25 1− 120
qx
4
生命表基本函数

《寿险精算学(第3版)》 PPT-ch2

《寿险精算学(第3版)》 PPT-ch2
– 中老年时期属于人类的加速失效时期。 在这段时间里, 身体各器 官逐渐老化,开始罹患各种疾病。 通常一种疾病治好了, 不久又会 产生另外一种疾病。 人类进入加速失效期之后, 健康维持成本将 变得越来越大。
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年 死亡的人数为3758。
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。 这是 因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴 露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。 经过医学治疗 和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。 这段时 期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开 始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
f0 (t)
d dt
F0 (t)
lim
dt 0
F0 (t
dt) dt
F0 (t)
• 生存函数与分布函数具有补函数关系, 所以寿命的密度函 数也可以表达为生存函数导函数的负数
f0 (t)
d dt
S0 (t)
lim
dt 0
S0 (t)
S0 (t+dt) dt
人类寿命密度函数示意图
密度函数曲线展示的人类生存规律
• 寿险业务关心的是被保险人购买了寿险产品之后的未来生存状 况。 所以, 寿险研究的主要变量是被保险人的未来寿命。
• 从统计分析的角度而言, 对寿命变量和未来寿命变量的分析是不 一样的
• 寿命分布和未来寿命分布最主要的差别

保险精算 第三章 生命表基础(一)

保险精算 第三章 生命表基础(一)

s ( x) s ( x t ) t qx s ( x)
(3.1.8)
s( x t ) t px s ( x)
(3.1.9)
s( x t ) s( x t u ) t |u qx t px t u px s ( x)
(3.1.10)
9/17
s( x t ) s( x t u ) t |u qx s ( x) s( x t ) s( x t ) s( x t u ) t px u qx t s ( x) s( x t )
t |u
qx 和 t p x 分别表示T(x)的分布函数和(x)的生存函数
qx Pr[t T ( x) t u ] t|u qx t qx t px t|u px
8/17

当u=1时，t | qx 表示 (x)在(x+t)岁与(x+t+1)岁之间死亡的概率。 用生存函数表示死亡率和生存率：
0
14/17

3.1.6 s(x)的解析表达式 x De Moivre模型假设(1729) s ( x) 1

,
0 x

式中，w为人的极限年龄，即假定所有人都在w岁之前死亡。 Gompertze模型假设(1825)

x Bc x
B x s( x) exp{ (c 1)} , B 0,c 1,x 0 ln c
11/17

概率函数
Pr ( K ( x) k ) Pr (k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k qx k px qx k

保险精算学生命表的编制

保险精算学生命表的编制

q n x
k
d n x
k
lx
T
.
5
T q n x :x
nq
x n岁由所有减因产生的减少概率.
T nq
T x
d n Tx , lx
T x
k n qx .
k 1
m
6
T p n x :x
x n岁保留在原群体中的概率.
选择表 终极表 选择和终极表 综合生命表
终极表的死亡率要比选择表的死亡率高，也比综合表的死亡 率高； 选择表的死亡率要比终极表的死亡率低，也比综合表的死亡 率低。
分析课本p66,表3-3
选择生命表的基本项目函数
l[ x ] n , d[ x ] n , q[ x ] n , e[ x ] n 等，它们之间的关系与生命表类似。 d[ x ] n l[ x ] n l[ x ] n 1 q[ x ] n d[ x ] n l[ x ] n
0
Eg3.5 假设有选择和终极表3-4所示,求 2 [x] 30 31 32 33
p[31] ,2 q[31]2 ,1 p[30]1.
l[ x]2
995 988 982 970 X+2 32 33 34 35
l[ x ]
1000 996 994 987
l[ x]1
998 994 990 983
3.5.4 选择生命表
在人口分析中，可以按照性别、地区、种族等对人口进行 分类，分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。
在保险精算中，反映被保险人死亡规律的经验生命表与人 口生命表是不同的。
1 被保险人不是全部人口中的随机群体； 2 被保险人是经过选择符合保险条件的人群。 因此，在年龄相等时，可以认为刚买保险的人比已经买了 若干年保险的人，死亡率更低，对保单资料的经验分析也可以 证明之。 结论：在对被保险人依一定健康标准加以选择后，一组被保险 人的死亡率不仅随年龄而变动，也随已投保年限长短变动。

生命表

生命表

国内的生命表
10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； 2、保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大 的改善； 3、保险精算技术获得了极大的发展，积累了一些死亡率 分析经验。 基于各方面的考虑，在中国保监会的领导和组织下， 2003年8月，正式启动了新生命表编制项目。新生命表编 制完成后，于2005年11月12日通过了以著名人口学专家、 全国人大副委员长蒋正华为主任的专家评审会的评审。于 2006年1月1日正式启用。
X=年龄 lx=在X岁生存的人数 dx=年龄在岁的人在一年内死亡的人数=lx-lx+1 qx=年龄在岁的人在一年内死亡的概率=dx/lx px=年龄在岁的人活过一年的概率 =lx+1/lx
生命表的分类
以死亡统计的对象为标准，生命表可分为 国民生命表和经验生命表。 国民生命表是根据全体国民或某一特定地 区人口的死亡资料编制而成的。 经验生命表是根据保险机构有关人寿保险、 社会保险的死亡记录编制而成的。
生命表概述
2009年10月
原理
现代保险学是建立在概率论和大数定律的基础上 大数法则：是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数 量规律的一系列定理的统称. 切比雪夫大数法则：在承保标的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保费与 其所能获得的赔款期望值相等。 贝努力定理大数法则：利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。 泊松大数法则：平均概率与观察结果所得的比例将无限接近。
国内的生命表
新生命表包括非养老金业务男女表和养老金业务男女表共 两套四张表，简称“CL(2000-2003)”。其结构与原生命表 相同，但取消了混合表。 之所以非养老金业务与养老金业务用表不同，是因为整体 而言，投保养老金的人群死亡的概率比投保非养老金的人 群要小。 本次非养老金业务表男性平均寿命为76.7岁，较原生命表 提高了3.1岁，女性平均寿命为80.9岁，较原生命表提高 了3.1岁。养老金业务表男性平均寿命为79.7岁，较原生 命表提高了4.8岁，女性平均寿命为83.7岁，较原生命表 提高了4.7岁。

保险精算生命表习题和答案

保险精算生命表习题和答案

保险精算生命表习题和答案保险精算是保险行业中非常重要的一环，它通过精确的数学模型和统计分析，为保险公司提供风险评估和保费定价等重要数据。

而生命表作为保险精算中的核心工具之一，用于预测人口的寿命和死亡率，对于保险公司的经营和决策具有重要意义。

在这篇文章中，我们将介绍一些保险精算生命表的习题和答案，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

首先，我们来看一个简单的习题：假设某个国家的年龄为x的人群的死亡率为qx，那么该国家的生命表中年龄为x的人群的存活率为多少？答案是1-qx。

这是因为存活率是指在某个年龄段内存活下来的人数与初始人数之比，而死亡率则是指在某个年龄段内死亡的人数与初始人数之比。

因此，存活率和死亡率之和必然等于1，即1-qx+qx=1。

接下来，让我们来看一个稍微复杂一些的习题：假设某个国家的生命表中，年龄为x的人群的存活率为px，年龄为x的人群的死亡率为qx，那么该国家的年龄为x的人群的预期寿命是多少？答案是1/qx。

预期寿命是指在某个年龄段内平均还能活多少年，而预期寿命与存活率和死亡率之间存在着密切的关系。

根据生命表的定义，存活率px等于年龄为x的人群在未来一段时间内存活下来的概率，即px=1-qx。

那么，年龄为x的人群在未来一段时间内平均还能活多少年呢？根据概率的性质，我们可以得到以下等式：px*(1+x)+qx*(1+x+1)=1。

将px=1-qx代入该等式，化简可得1+x=qx/(1-qx)，再将qx=1-px代入该等式，化简可得1+x=(1-px)/px，进一步化简可得x=1/px-1。

因此，年龄为x的人群的预期寿命就是1/qx。

除了以上的习题和答案，保险精算生命表还有许多其他的应用和推导。

例如，通过分析不同年龄段的死亡率和存活率，可以预测某个年龄段的人口数量和年龄结构，为社会政策和养老金制度的制定提供参考依据。

此外，保险精算生命表还可以用于评估保险产品的风险和利润，根据不同年龄段的死亡率和存活率，计算出保险公司需要收取的保费，从而确保保险公司的盈利和稳定经营。

保险精算 第3章2 生命表.

保险精算 第3章2 生命表.

经验生命表
经验生命表可分为 终极表（ultimate table） 选择表（select table） 总合表（aggregate table）等。 • 终极表是指剔除了被保险人投保后5至15年 的经验数据，根据被保险人最终的死亡率编 制的生命表，也就是按照承保选择的影响消 失后的死亡率来编制生命表。1958年美国保 险监督官标准普通生命表是一种终极生命表。
生命表的发展历史
1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死 亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是 生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与 下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第 一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的 分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。
t 0
n 1
m|n
qx
m n 1 d d xm xm1 xmn1 t | qx lx t m q xm n
x 岁的人在 x m 与 x m n 岁之间死亡的概率
l x m l x m n d qx m |n lx
0
生命表的特点与原理
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、 不依赖总体分布假定（非参数方法） 原理 在大数定律的基础上，用观察数据计算各年 龄人群的生存概率。（用频数估计频率）
生命表的种类
生命表一般分为 1.国民生命表（national life table） 2.经验生命表（experience life table）
x
m
xm
x m n
px
mn x m x
m |n
qx m px mn px q q m px qxm

保险精算第三章2

保险精算第三章2
为998人，22岁的生存人数为992人。试求20岁的人在2l岁那 年死亡的概率1|q20 (0.06)
18/25
[例3.2.6] 已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率为0.06， 而42岁的人生存至43岁的概率为0.92。如果40岁生存人数为 100人，求43岁时的生存人数。
83.0208(人)
生命表的特点 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分 布假定（非参数方法）
4/25
3.2.2 生命表的内容
在生命表中，首先要选择初始年龄且假定在该年龄生存的一 个合适的人数，这个数称为基数。一般选择0岁为初始年龄， 并规定此年龄的人数，通常取整数如10万、100万、1000万 等。 在生命表中还规定最高年龄，用w表示，满足lw+1=0。 一般的生命表中都包含以下内容： (1) x: 年龄. (2)lx: 生存数，是指从初始年龄至满x岁尚生存的人数。 例：l25表示在初始年龄定义的基数中有l25人活到25岁。 1) lx表示自出生至满x岁时尚存活人数的期望值。 2) lx为连续函数，随年龄x增加而递减。但生命表中则以
1/25
学习目标
掌握生命表中生存数的表示方法，含义。 掌握死亡数，死亡率的含义，计算。 掌握生存率的含义，计算。 掌握n年内生存概率，n年内死亡概率的计算公式， 掌握平均余命或生命期望值的计算。 掌握完全平均余命的计算
2/25
§ 3.2 生命表
生命表是寿险精算的科学基础,它是寿险费率和责任准备金 计算的依据，也是寿险成本核算的依据。
生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。
5.
如果
x
2 2 x 1 100
x
,0
x
100
若 l0 10000 则

《保险精算》之三--生命表

《保险精算》之三--生命表
18
整值剩余寿命

定义： ( x ) 未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) k, k T ( x) k 1, k 0,1,

概率函数
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
11
(*) (**)
例： 已知l x 1000(1 解： 50 l50 (1) 20 p30 120 77.78% l30 1 30 120 1 l45 l50 (2) 20|5 q 25 l25 (1 45 50 ) (1 ) 120 120 5.26% 25 1 120 x ),计算 20 p30和 20|5 q25 . 120
F (t x) F ( x) 1 F ( x) s ( x) s ( x t ) s ( x)
17
x岁余寿的生存函数
x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率 t｜u q x ，以 概率的方式表示为：

t｜u
qx Pr[t T ( x) t u ]
t u q x t q x t p x t u p x t p x u q x t
保险精算之三
王明征 大连理工大学管理学院 2009年11月
第三章 生命表
2
生命表相关定义

生命表：反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统 计表。 封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变 动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出 人口。
3

生命表基本函数
lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。

保险精算第三章2

保险精算第三章2
(1)人在50岁~60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。 (4)50岁的人能活到70岁的概率。
2.已知 P[5 T (60) 6] 0.1895, P[T (60) 5] 0.92094
求 q60
3.已知 q80 0.07, d80 3129, 求l81
为998人，22岁的生存人数为992人。试求20岁的人在2l岁那 年死亡的概率1|q20 (0.06)
19/25
[例3.2.6] 已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率为0.06， 而42岁的人生存至43岁的概率为0.92。如果40岁生存人数为 100人，求43岁时的生存人数。
83.0208(人)
6/25
整数年龄表示，在0岁附近死亡率变化较大，从而生存人数在 短期内也有显著差异。 3) 通常以l0=10 000 000人为基数，表示出生时的人数，若存活 函数s(x)为生存至x岁时的生存概率，则所有l0人在x岁时有l0 *s(x)人仍生存，此即为在x岁时的所有生存人数lx ，故 lx= l0 *s(x) (3) dx：死亡数，是指x岁的人在一年内死亡的人数,即指x岁的 生存数lx人中，经过1年死亡的人数。 1) dx表示x岁的生存人数lx中，经过整1年所死亡的人数，亦即 lx中自x岁至x+1岁间1年内死亡的人数，称为x岁的死亡人数。
但事实上这一现象并不合理，因为不可能所有的人都在年 初死亡，于是假定1年内死亡人数呈均匀分布，或可假定于 年中死去，即每人应该比年初死亡多活半年，
所以定义， ex ex 0.5 并称此为完全平均余命或完全
生命期望值。 例3.2.4 下表为某个生命表的一部分
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寿险精算学-生命表

寿险精算学-生命表

2
px px px1
2
qx qx 1\ qx
课堂练习5
作业1第2题

保险精算的分类
寿险精算
非寿险精算
健康保险精算 社会保险精算
寿险精算的发展历程
寿险精算与寿险经营密切相关，是从寿险
经营的窘境中应运而生的一门新兴学科。 1699年，世界上第一家人寿保险组织-孤 寡保险社出现。 1756年，詹姆斯· 道森(James Dodson) 因年龄已达到46岁，要求参加协和保险社 遭到拒绝，其结果成为寿险精算兴起的导 火线。
日本精算师协会 IAJ the institute of actuaries of Japan
创建于1899年，是由专职精算师及赞助会员公司 组成的社团法人组织。其设立目的在于通过精算 学的综合调查研究，教育与考试，维持并提高精 算师的专业素质和能力，健全和发展精算事业。 1899年有9名会员；1936年举行正会员资格考 试，有193名会员；目前有3500多名会员。 考试课程分为前期课程与后期课程。前期有数学、 产险数理、寿险数理、年金数理、会计经济投资 理论；后期有生保、损保、年金三个方向（每个 方向有两门课程）。
将数学统计学金融学保险学人口学等学科的知识原理运用于商业保险与各种社会保障业务中需要精确计算的项目中去诸如生命表的构造费率的厘订准备金的计提盈余分配以保证保险经营的稳定性和安全性的一门学科
寿险精算
任志娟
教师姓名：任志娟 邮箱：rzj03176@ 办公室：教1A305保险教研室 答疑时间：每双周周二的下午4-5点
遗嘱公平保险社（The Society for Equitable Assurance on Lives and Survivorship），又称“老公平”。这家 保险公司第一次根据生命表，采用了平准 保险费的理论科学地计算保费。这意味着 现代寿险精算科学诞生了。

保险精算第3章(2)

保险精算第3章(2)

x
s( x) s( x)
f ( x) [ln s( x)] s( x)
• 死亡效力与生命函数的关系
x
s( x) exp{ sds}
0
xt
t px exp{ sds} x
x
f (x) x s(x) x exp{ sds}
0
剩余寿命密度函数g(t ) t px xt
5
练习（学习通）
递推式：lx dx lx1或lx lx1 dx
由于l1 d1 l 0 l1 d1
于是l0 d0 d1
lx d x d x1
1
d1 d x
x0
x1
d1
d xk
k 0
16
(4)qx : 表示x岁的人在一年内死亡的概率。
qx
dx lx
lx lx1 , lx
q 1
d1 l1
1
(5) px : 表示 x 岁的人一年后仍存活的概率。
px
l x 1 lx
,
p 1
l l 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
于是
px
qx
l x 1 lx
lx
lx1 lx
lx lx
1
17
(6) n dx : 表示x岁的人在x～x n岁间死亡的人数。
递推式：n d x lx lxn
1d x lx lx1 d x , (n 1时可以不写）
• 1693年，Edmund Halley(英国的天文学家),《根据Breslau城 出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次 使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而 把Halley称为生命表的创始人，《哈莱死亡表》奠定了近代 人寿保险费计算的基础。

保险精算第3章

保险精算第3章

lx+n n px = lx
n
px + n qx =1
5.
n
岁的人在x～ 岁生存的人年数， 岁的人在 岁生存的人年数 Lx : x岁的人在 ～x+n岁生存的人年数，简记
1 x
L = Lx
人年数是表示人群存活时间的复合单位。 人年数是表示人群存活时间的复合单位。 在死亡均匀分布假设下， 在死亡均匀分布假设下，有
100 T0 x 2. e0 = = ∫ (1− )dx = 50 0 l0 100 o
3.4 几个常用的生存模型
3.4.1 均匀分布（De Moivre分布） 均匀分布（ 分布） 分布 由法国数学家Abraham De Moivre在1724年提出） 年提出） （由法国数学家 在 年提出
f (x) =
0 1
Tx = ∫ lx+t dt
0
+∞
ex = E(T) = ∫ t ⋅ t px ⋅ µx+t dt
0
o
+∞
e0 = E( X ) = ∫
o
o
+∞
0
x ⋅ f (x)dx
+∞ l ∞ Tx x+t ex = = ∫ dt = ∫ t pxdt 0 0 lx lx
填空: 填空:
x
0 1 2 3 4 5 6
它正是 x 岁的人在 t 时间内死亡的概率 t qx
t
qx = Pr[x < X ≤ t + x X > x] F(t + x) − F(x) S(x) − S(t + x) = = 1− F(x) S(x)
1− F(t + x) S(t + x) − = t px =1 t qx = 1− F(x) S(x)

保险精算-第3章2-生命表

保险精算-第3章2-生命表

3.2.2 生命表的内容
基数: 在生命表中,首先选择初始年龄且假定在 该年龄生存的一个合适的人数. 一般0为初始年龄,基数用 l 0 表示 需要规定极限年龄,用 表示
常用符号
x ：年龄
lx
：生存数，指从初始年龄至满 x 岁尚生存的人。 （1）l x 表示自出生至满 x 岁尚存活人数的期望值。
年龄 x 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 未来一年内死亡概率 q x 0.00133 算出各种 0.00134 0.00137 有用的概率 ： 0.00142 p 34 , q 34 , 2 p 34 , 2 q 34 0.00150 q 34 0.00159 2| 0.00170 0.00183 0.00197 0.00213
q x m p x m 1 p x m p x n q x m
例3.1
已知
l x 10000 (1 x 100 )
计算下面各值：
（1）d ,
30 20
p 30 ,
30
q 30 ,
10
q 30
（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命。
例3.1答案
• 国民生命表是以全体国民或特定地区的人口生 存状况统计资料编制成的 • 经验表是人寿保险公司依据过去其承保的被保 险人实际的生存状况统计资料编制的。
在同一时期内， 国民生命的死亡率一般要高于经验表的死亡率。
国民生命表
1.完全生命表（complete life table） 2.简易生命表（abridged life table） • 完全生命表是根据准确的人口普查资料，依 年龄分别计算死亡率、生存率、平均余命等 生命函数而编制的。 • 简易生命表则采取每年的人口生存状况动态 统计资料和人口抽样调查的资料，按年龄段 （如5岁或10岁为一段）计算的死亡率、生 存率、平均余命等生命函数。

保险精算学3-生命表

保险精算学3-生命表
死亡均匀分布假设条件下，有：
E(S(x)) 1/ 2 ex ex 1/ 2
例3-2 当20≤x ≤ 25时，死亡效力为 0.001，试计算：20岁的人在22岁~24岁 间死亡的概率。
4
4
q 2 2 20 t p20 20tdt e0.001t 0.001dt 0.002
2
2
例3-3
检选生命表vs终极生命表vs综合生命表
四、各类生命表之间的关系
国民生命表与经验生命表
死亡率经验<死亡率国民
寿险生命表与年金生命表
死亡率年金<死亡率寿险
男性生命表与女性生命表
死亡率女性<死亡率男性
检选生命表与终极生命表
死亡率随承保期的增加而增加 检选生命表基于签单年龄而设计 由于验体效力的作用，在相同的年龄段，死亡
（1） q4=0.000358
（2）2p4=p4 * p5=p4 * （1-q5） =（1-0.000358）*（1-0.000323） =0.999319
（3）26p4=l30/l4=984635/997762 （4）（l30-l35）/l4=（984635-979738）/997762
三、生命表中的各类时间
k 0
k 0
k 0
T(x)的期望值是完全平均余命：
lxtdt
ex E(T (x)) t g(t)dt t t px xtdt td ( t qx ) t pxdt
两种余0 命之间的0关系：
0
0
0
lx
T (x) K(x) S(x)
E(T (x)) E(K (x)) E(S(x))
x
lim
h0
s(x) s(x h s(x)
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2、分类
按照计算死亡率的资料来源不同：
国民生命表：源于人口普查资料，反映一个特 定时期内全国人口的寿命分布情况。
经验生命表：源于寿险公司的承保经验，反映 被保险人群的寿命分布情况。
经验生命表的分类
按应用范围不同：
寿险生命表vs年金生命表
按性别不同：
男性生命表vs女性生命表
按统计范围不同
第三章 生命表
英汉单词对照
死亡年龄
Age-at-death
生命表
Life table
剩余寿命
Time-until-death
整数剩余寿命 Curtate-future-lifetime
死亡效力
Force of mortality
极限年龄
Limiting ate
选择与终极生命表 Select-and-ultimate tables
3、lx：从初始年龄0岁到满x岁还生存的人数。
二、生命表中的各类概率
1、qx：x岁的人在x~x+1岁之间死亡的概率。
2、tqx：x岁q的x 人d在lxx x~lxx +lxltx岁1 之间死亡的概率。
3、px：x岁的t qx人在tldx1x 年 后lx 仍lxlx生t 存的概率。
4、tpx：x岁的px人 1到xq+x t岁llx仍x1 生存的概率。
dx列：各年龄间的死亡人数。
o
e
x
列：x岁人的余命的平均值。
三、用途和分类
1、用途：
生命表是过去经验的总结，而在寿险中，保 险金的给付、责任准备金的提取、保单现金 价值的估计、保单红利的分配都与被保险人 的死亡率息息相关，因此反映了被保险人生 命规律的生命表对于寿险经验有着非常重要 的作用。
二、特点与构成
1、特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依 赖总体分布假定（非参数方法）
2、构成
原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各 年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）
主要项目：一般有5列。
X列：按周岁计算的各年龄。
qx列：各年龄间的死亡概率。
lx列：到x岁尚生存的人数。
1、tLx：x岁的人在x~x+t岁间的生存人年数。
人年数（复合单位）：人群存活时间的复合单位。1 个人存活1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人 年。
在死亡均匀分布的假设下，x~x+t岁间死亡的人数
tdx平均存活t/2年，活到lx+t的人则存活t年，故有：
t Lx
t lxt
t 2
t dx
t 2
（1） q4=0.000358
（2）2p4=p4 * p5=p4 * （1-q5） =（1-0.000358）*（1-0.000323） =0.999319
（3）26p4=l30/l4=984635/997762 （4）（l30-l35）/l4=（984635-979738）/997762
三、生命表中的各类时间
第二节 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ命表基本函数
初始年龄为0岁，初始人数l0，极限年龄w=105，lw=0
一、生命表中的各类人数
1、dx：x岁的人在未来一年内（x岁~x+1岁之间）
死亡的人数。
dx lx lx1
2、tdx：x岁的人在x岁~x+t岁间死亡的人数。
t dx lx lxt dx dx1 ... dxt1
ex
lx1
lx2 lx
...
完全平均余命：x岁人群未来生存的平均时间，
含非整年的月份数。
ex
Tx lx
t
0
pxdt
lxt
0 lx
dt
第三节 生命函数（生存分布）
一、新生儿的生命函数
年龄是人出生后存活时间的度量，是一个连续随
机变量，设新生儿未来死亡年龄为X，其分布函数
为：F(x) Pr(X x), x 0
5、t m qx：x岁t p的x 人1在 t未qx来tl年lxxt到t+m年之间死亡的概率。
t m qx
t
px m qxt
lxt l
lxt
lxtm l
lxt
lxtm l
d m xt l
例3-1 根据中国人寿保险业经验生命表 （2000-2003，非养老金-男）中的数据， 计算以下概率： （1）4岁的人在5岁前死亡的概率； （2）4岁的人2年后还活着的概率； （3）4岁的人活过30岁的概率； （4）4岁的人在30至35岁间死亡的概率。
(lx
lxt )
2、Tx：x岁的人群未来累x1积的生 存人年数。
Tx Lx Lx1 ... L1 Lxt lxtdt
t0
0
在死亡均匀分布假设下：Tx
t 0
1 2
(lxt
lxt 1 )
3、平均余命(生命期望值) ：X岁人群未来 的平均剩余寿命。
简约平均余命：x岁人群未来生存的整年数。
第一节 生命表的概念和种类
一、定义
生命表又称为死亡表、寿命表、死亡率表，它是根据已往一 定时期内，各种年龄的死亡统计资料编制成的、由每个年龄 死亡率所组成的汇总表，是一种描述寿命分布的工具。
1662年，Jone Graunt根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名 单，写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最 早起源。
率签单<死亡率终极
思考：一般情况下，保险公司更愿意使用国 民生命表还是经验生命表，为什么？
因为国民生命表中的调查对象没有经过保 险公司的风险选择，其反映的死亡率一般 情况下与经验生命表中的死亡率不同—— 经过体检、核保等程序，被批准的保单中 的被保险人的平均健康状况要优于全体国 民，经验生命表所反映的死亡率也相对较 低，基于稳健经营的考虑，因此保险公司 使用的是经验生命表。
1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬 统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生 命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把 Halley称为生命表的创始人。
1995年，我国编制了第一张寿险行业经验生命表，即“中 国人寿保险业经验生命表（1990-1993）”，实现了从无 到有的飞跃。
检选生命表vs终极生命表vs综合生命表
四、各类生命表之间的关系
国民生命表与经验生命表
死亡率经验<死亡率国民
寿险生命表与年金生命表
死亡率年金<死亡率寿险
男性生命表与女性生命表
死亡率女性<死亡率男性
检选生命表与终极生命表
死亡率随承保期的增加而增加 检选生命表基于签单年龄而设计 由于验体效力的作用，在相同的年龄段，死亡