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应力状态

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应力状态分析

应力状态分析

0 67.5o
HOHAI UNIVERSITY
思考题： 一个单元体中最大正应力所在面上的切应力是否 一定为零？最大切应力所在面上的正应力是否也一 定为零？ τ
D2 A2 C D1 2α0
O
A1
σ
HOHAI UNIVERSITY
§5-3
基本变形杆件的应力状态分析
一、拉压杆件应力状态分析
分析单向受拉杆件中任一点的应力状态
应力状态分类： 单向应力状态： 一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态： 两个主应力不为零的应力状态
平面应力 状态 空间应 力状态
三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态 复杂应力状态： 二向和三向应力状态的统称
纯切应力状态：只有切应力，没有正应力
HOHAI UNIVERSITY
弯曲时工字形截面各点应力状态：
0 67.5o
主应力单元体为
HOHAI UNIVERSITY 3MPa
2.应力圆求解
1 0 67.5o
6MPa
x 6MPa
y 0
3
τ
x 3MPa
1 1.24MPa
D2
A2 C D1 O A1
2 0
σ
2α0
3 7.24MPa
2 0 135o
HOHAI UNIVERSITY
二、应力圆 σα= τα= σx +σy
2 σx -σy
2 σα-
+
σx -σy
2
cos2α -τxsin2α
sin2α +τxcos2α
σx +σy
2 τα=
=
σx -σy 2 σx -σy
cos2α -τxsin2α

材料力学第8章应力状态分析

材料力学第8章应力状态分析

点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正

应力状态的概念

应力状态的概念
建筑力学
应力状态与强度理论\应力状态的概念
应力状态的概念
1.1 一点处的应力状态
在工程中，只知道杆件横截面上的应力是不够的。例如，在铸 铁试件压缩时，沿与轴线大约成45°左右的斜截面发生破坏（如 图），这是由于在与轴线成45°的斜截面上存在最大切应力所引起 的。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念
力的影响。
为了分析破坏现象以及解决复杂受力构件的强度问题，必须首
先研究通过受力构件内一点处所有截面上应力的变化规律。我们把
通过受力构件内一点处不同方位的截面上应力的大小和方向情况，
称为一点处的应力状态。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念
1.2 应力状态的表示
为了研究受力构件内一点处的应力状态，可围绕该点取出一个 微小的正六面体，称为单元体，并分析单元体六个面上的应力。由 于单元体的边长无限小，可以认为在单元体的每个面上应力都是均 匀分布的；且在单元体内相互平行的截面上应力都是相同的。
力状态。例如从地层深处某点取出的单元体，它在三个方向都受到 压力的作用，处于空间应力状态（如图）。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念 若平面应力状态的单元体中，正应力都等于零，仅有切应力作
用，称为纯剪切应力状态，例如图所示的应力状态。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念 应力状态也可以按主应力的情况分类。若单元体的三个主应力
如果知道了单元体的三个互相垂直平面上的应力，则其他任意 截面上的应力都可以通过截面法求得（详见8.2.1），那末该点处的 应力状态就可以确定了。因此，可用单元体的三个互相垂直平面上 的应力来表示一点处的应力状态。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念

应力状态概念

应力状态概念

应力状态概念应力状态概念引言应力是物理学中的一个重要概念，它是描述物体内部相互作用的力的状态。

在工程学中，了解材料的应力状态对于设计和制造可靠的结构至关重要。

因此，本文将介绍应力状态的概念、分类、计算方法以及其在工程学中的应用。

一、应力状态的概念1.1 定义应力是指物体内部各点之间相互作用的力。

在物理学中，它通常表示为σ（sigma），单位为牛顿/平方米（N/m²）或帕斯卡（Pa）。

应力可以分为正应力和剪切应力两种类型。

1.2 正应力正应力是指垂直于截面方向作用的拉伸或压缩效果。

当一个物体受到拉伸或压缩时，会产生正向的内部拉伸或压缩效果。

这种效果被称为正向应力。

1.3 剪切应力剪切应力是指沿截面方向作用于物体上两个平面之间相互滑动产生的效果。

这种效果被称为剪切效果。

二、应力状态分类2.1 一维状态一维状态下，物体只受到沿一个方向的力作用。

这种情况下，应力状态可以被描述为单一的正向应力或压缩应力。

2.2 二维状态在二维状态下，物体受到两个方向的力作用。

这种情况下，应力状态可以被描述为正向应力和剪切应力的组合。

2.3 三维状态在三维状态下，物体受到三个方向的力作用。

这种情况下，应力状态可以被描述为正向应力、剪切应力和法向应力的组合。

三、应力计算方法3.1 应变-位移法在工程学中，常用的计算方法是利用弹性模量和材料的截面面积来计算正向应变和剪切变形。

然后通过材料的弹性模量来计算出相应的正向和剪切应力。

3.2 等效应力法等效应力法是将不同类型的应力转化为等效正向或剪切应力进行计算。

该方法通常适用于复杂载荷条件下的结构分析。

四、应用案例4.1 桥梁结构分析在桥梁工程中，了解桥梁结构所受到的各种载荷条件下的应力状态是至关重要的。

通过应力分析，可以确定桥梁的最大负载能力，以及设计更加安全可靠的结构。

4.2 航空航天工程在航空航天工程中，了解材料应力状态对于设计和制造可靠的飞行器至关重要。

通过应力分析，可以确定各个零部件所受到的最大载荷，并且设计出更加安全可靠的结构。

材料力学第七章 应力状态

材料力学第七章 应力状态

主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y

应力状态的概念

应力状态的概念

t xy 10MPa
600
600
n
s
40 (20) 2
40 (20) cos(1200 ) (10) sin(1200 ) 2
13.67MPa
t
40 (20) sin(1200 ) (10) cos(1200 ) 21MPa 2
20MPa
10MPa
300
40MPa
300
xn
解： s x 20MPa
P
A
P sx
sx
A
y
B
C z
P
sx B sx
Mx
tzx
txz
课堂练习
t yx
t C
xy
用单元体表达圆轴受扭时，轴表面任一点旳应力状态。
用单元体表达矩形截面梁横力弯曲时，梁顶、梁底及其他各
点旳应力状态。
七、主平面、主应力：
sy
y
主平面(Principal Plane)： 剪应力为零旳截面。
sx
sz
z
1 2 3
体积应变与应力分量间旳关系:
1 2
E
(s 1
s2
s3)
例5 已知一受力构件自由表面上某一点处于表面内旳主应变分别
为：1=24010-6， 3=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比 为 =0.3， 试求该点处旳主应力及另一主应变。
1 E
s
z
s
x s
y
xy
t
xy
G
yz
t
yz
G
zx
t zx
G
上式称为广义胡克定律
主应力 --- 主应变关系
s1 s3
1
1 E

应力状态分析

应力状态分析
应力的边界条件
物体在受力时，其边界上的应力受到外部约 束条件的影响。通过边界条件可以确定物体 边界上的应力分布。
02
CATALOGUE
应力状态分析方法
解析法
解析法是一种基于数学解析的应力状 态分析方法，通过建立物体的平衡方 程和边界条件，求解出物体内部的应 力分布。
解析法适用于简单形状和规则边界条 件的物体，计算精度高，但适用范围 有限。
复合材料性能评估
复合材料在航空航天工程中广泛应用，其性能与应力状态 密切相关。通过应力状态分析，可以评估复合材料的性能 特点，为材料选择和设计提供依据。
土木工程
桥梁和建筑物的承载能力评估
在土木工程中，桥梁和建筑物需要承受各种载荷，包括静载和动载。通过应力状态分析， 可以评估其承载能力，确保结构安全。
人工智能在应力状态分析中的应用
人工智能算法
利用人工智能算法，如深度学习、神 经网络等，对大量数据进行训练和学 习，自动识别和预测应力状态。
数据驱动模型
基于数据驱动模型，通过采集实验数 据和模拟数据，建立应力状态分析的 预测模型，提高分析精度和效率。
多物理场耦合的应力状态分析
多物理场耦合
考虑多种物理场之间的相互作用，如流场、温度场、电磁场等，建立多物理场 耦合的应力状态分析模型。
应力状态分析
contents
目录
• 应力状态分析概述 • 应力状态分析方法 • 材料应力状态分析 • 结构应力状态分析 • 应力状态分析的工程应用 • 应力状态分析的未来发展
01
CATALOGUE
应力状态分析概述
定义与概念
定义
应力状态分析是指对物体在复杂受力 情况下各点的应力大小、方向及主应 力的确定。

应力状态

应力状态
4
0
pD x 4
3、三向应力状态实例
滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态
TSINGHUA UNIVERSITY
σ
Z
σx σy
火车车轮与钢轨的接触点处于几向应力状态？
1、已知薄壁容器的内压为ｐ，内径为D，壁 厚为ｔ，画出下列各种受力状态下危险点的 应力状态。
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
z
2
3
S平面
x
4
Mz
1
4
Mx
z
FQy
1
TSINGHUA UNIVERSITY
2
3
y
3
x
M
2 提取点的应力状态
P
TSINGHUA UNIVERSITY
M1
M2
M
P
提取危险点处应力状态
3
TSINGHUA UNIVERSITY
P
M1
M2
提取危险点处应力状态
q
TSINGHUA UNIVERSITY
确定正应力极值
1 1 ( x + y ) + ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
TSINGHUA UNIVERSITY
设α＝α0 时，上式值为零，即
( x y ) sin 2 0 2 xy cos 2 0 0


yx
y
二、单元体的局部平衡
Fn 0
+ 0
x


xy

t
n

第七章 应力状态、应变分析和强度理论

第七章 应力状态、应变分析和强度理论

§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135

y =60 MPa xy = -50MPa =-30°

材料力学：第九章 应力状态分析

材料力学：第九章 应力状态分析
Me
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面

应力状态的概念

应力状态的概念

应力状态的概念
应力状态的概念是指个体在不同生活、工作或学习环境中所承受的各种压力和心理负荷的总和。

它是一种心理感受，描述了人们在面对压力时的心理、情绪和生理反应。

应力状态通常来源于各种不同的因素，如工作压力、学习压力、人际关系压力、经济压力等。

在应力状态下，人们往往感到紧张、焦虑、不安甚至抑郁。

长时间处于高度应力状态下，对个体的身心健康和社交功能都可能产生负面影响。

应力状态既可以是短暂的，也可以是持久的。

短期的应力状态可能是由于特定事件或任务引起的，如考试前的紧张感或工作任务的临时性压力。

而持久的应力状态往往与长期处于高度竞争的环境中、工作生活压力大、人际关系紧张等因素有关。

应力状态不仅仅在个体的心理和情绪层面产生影响，还可能导致身体上的一系列生理反应。

常见的生理反应包括失眠、食欲改变、心跳加快、血压升高等。

这些生理反应进一步加剧了个体在应力状态下的不适和负面影响。

理解和管理应力状态对于个体的健康和幸福至关重要。

通过采取积极的应对策略，如健康的生活方式、良好的时间管理、寻求支持和与他人沟通，可以帮助个体更好地应对应力状态，保护身心健康，促进个人发展和生活质量的提高。

13-1应力状态理论-材料力学

13-1应力状态理论-材料力学

• (3)式中两式相减与(4)式比较:
max min
max

22
my in
maxx2

y
2


2 xy
• (3)式中两式相加:
mmmmianiaxnx
maxx2mx yi2nyx2
x

2
2. 应力圆作法
y
yx
B
xy
A x
x y

2
a (x ,xy)
fc

o
Re
b (y ,yx)
•在- 坐标中，取对应于单元体A、B面的点a、b； • a、b两点连线交轴于c点； •以c为圆心ac为半径作圆。
x y

2
a (x ,xy)
fc

o
Re
b (y ,yx)
9、单向应力状态：三个主应力中只有一个主应力不等于零的 应力状态叫单向应力状态。例如：拉压杆 叫单向应力状态，纯弯曲状态。
■原始单元体的画法（各侧面应力已知的单元体）
P
P
1、截取无限小六面体作为单元体；
1）截取横截面； 2）在横截面上平行于边缘截取小矩形； 3）从横截面开始沿边缘截取小立方体；
2、分析单元体各个面的含义，分清哪个面是横截面；
杆
轴
I p梁
M y
Iz
x
x

QS
z
Izb

z
z
zx zy
xz yz
y

xy
yx
y
3、原始单元体：各侧面应力已知的单元体
M y
Iz
QSz
梁
Izb

第10章应力状态概述

第10章应力状态概述

sx 三个互相垂直的主平面.
主应力：
sz
主平面上的正应力。
z
x 主应力排列规定：按代数值大小，
s2
s 1s 2 s 3
s1 主应力单元体：
由主平面构成的单元体。
s3
六.应力状态的分类: 三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态：一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态。
s1 17°
x
(e)
解析法：
s max s min
1 2
(s
x
s
y)
1 2
(s x
s y )2
4t
2 x
46.1MPa
26.1MPa
0
1 tg 1 2t x 2 sx sy
16.85o
s 1 46.1MPa, s 2 29MPa, s 3 26.1MPa
t max
s1
s3
2
36.1MPa
t
(c)
s 2 20MPa s 3 26MPa
t
(d)
B
D2
D2
max t
OC
A
s
OC
A
s
D1
s3
s1
D1
s3
s2 s1
最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。
最大剪应力对应于B点的纵坐标，即
tmax BC 36MPa
作用面与s2平行而与s1成45°角，如图e所示。
s3
tmax s2
s2
s1
t
s3
s2
s3
s1
s3
s2
s2
s1
s3

材料力学应力状态

材料力学应力状态

2
y
2
x
y
2 xy
J12 4
J2
R2
sin
2 0
xy
R
c os 2 0
(
x
R
y
)
/
2
x
y
2
R cos(2
20 )
R sin(2 20 )
x
2
y
2
2
R2
x
2
y
2
2 xy
6.2 平面应力状态
H ( , )
B
O
yx
y E
2
R
2
C 2 0
( x y ) / 2 x
y
y yx n
40
30 z
( MPa )
80
x
z 30MPa (主应力) x 80MPa y 40MPa
(1)求主应力
xy 40MPa
~m ~m
ax in
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
104.72 15.28
(MPa)
1 104 .72MPa 2 15.28MPa 3 30MPa
3
2
-30 O 15.28
( 3 1)( 3 2 )
2 n
(
n
2
2
3
)
2
2
3
(
n
2
2
3
)
2
2
3
0
n
2
2
3
2
2 n
2
2
3
2
O
c1
3 2
c2 c3

应力状态的分类

应力状态的分类

应力状态的分类
1. 单轴应力状态，这就好比你拉一根橡皮筋，橡皮筋就只在一个方向上受力，像建筑中的柱子只承受轴向压力就是这种哦！
2. 双轴应力状态呀，就像被从两个方向拉扯的布，两个方向都有应力呢，比如说飞机机翼受到的力就有点类似。

3. 平面应力状态呢，想象一下一块薄木板被不同方向按呀按的，是不是挺形象呀，咱们常见的钢板很多时候就是这种情况。

4. 三向应力状态那不就是从三个方向都受力嘛！可以类比成一个被全方位挤压的小皮球，很多复杂机械零件内部就是这样的哟。

5. 静水应力状态，这就好像人在深深的水下，各个方向都受到同样大小的压力，不是很有意思嘛！
6. 复杂应力状态呀，那可真是乱七八糟的力都有，就像在混乱的战场中，各种力量交织在一起，一些地质结构不就是如此嘛。

7. 简单应力状态呢，就像是很单纯的一个力在起作用，简单直接，像我们平时拉个简单的小物件。

8. 组合应力状态啊，就如同各种不同的力拼凑在一起，像个大杂烩，一些建筑结构体上的力就是这样组合的嘞。

9. 动态应力状态，就好像坐过山车时你身体感受到的力，时刻在变化呀！很多运动中的物体就是这种哦！
我觉得理解应力状态的分类太重要啦，能让我们更好地明白物体所承受的力的情况呀！。

弹性力学-第二章应力状态

弹性力学-第二章应力状态

§2.6 主应力与应力主方向
转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律 结构强度分析需要简化和有效的参数 ——最大正应力、最大切应力以及方位 主应力和主平面——应力状态分析重要参数 应力不变量——进一步探讨应力状态
§2.6 主应力2 • 主应力和主平面
p np n xip n yjp n zk
pnxpnipn icospn,i l pnypn jcospn,j m , pnzn
变换规律。 • 因此从数学上证明了一点的应力状态是一个二阶张量，在坐标转换时具有不变性。即物体内一点的
客观受力状态不会因人为地选择参考坐标而改变。 • 通俗地讲，坐标改变后各应力分量都改变了，但九个分量作为一个“整体”，所描述的一点的应力
状态是不会改变的。 • 由于 • 因此应力张量是对称张量。
i` j` j`i`
• 应力 – 内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点M的内力，利用假想平面将物体截为两部分， 将希望计算内力F的截面暴露出来，计算微面积ΔS 上内力的平均值称平均应力
• 应力矢量 – 应力pn是矢量，随点的位置和截面的法线方向n的方向改变而变化。这种性质称为应力状态。 因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。
斜截面上的应力
设 面ABC 的外法线n的方向余弦为 l,m,n ; 三个坐标轴的单位向量分别为 i ,j ,k;
研究图示四面体的平衡。设四面体 除受四个面上的应力作用以外， 还受到体积力的作用，以
表示单位体积力的分量。
Fbx, Fby, Fbz
§2.4 应力状态3 则四面体所受体积力为
斜面上所受应力矢量为
§2.4 应力状态11
通过 x三,者y的轮,换z，
可得到其余六个应力分量；

材料力学：应力状态

材料力学：应力状态
n
p
n
图（d）研究对象的剖面图，其上的外力为压强 p。
n n
p
n (C)
研究对象
n n (d)
压强 p的合力为 F 。则横截面上只有正应力 。 假设 正应力沿壁厚均匀分布。
n

n p
F
n
研究对象
n n (d)
(C)
F
D
4
2
n
.p
p F 4 ' D 2 A 2 ( D 2t ) 4 4
平面和空间应力状态称为复杂应力状态
10
梁上取单元体
11
图（a）为汽包的剖面图。内壁受压强 p 的作用 。 图（b）给出尺寸。
y
t p z
D
（a）
（b）
解：
包围内壁任一点，沿直径方向
取一单元体，单元体的侧面为 横截面，上，下面为含直径的 纵向截面，前面为内表面。 包含直径的纵向截面
横截面
内表面
（1）横截面上的应力 假想地，用一垂直于轴线的平面将汽包分成两部分，取右边为研 究对象。n— n面为横截面 。
包含直径的纵向平面
直径平面
研究对象
R 是外力在 y 轴上的投影， 包含直径的纵截面上的内力为轴力 FN 。 该截面上的应力为正应力 ”，且 假设为均匀分布。
FN FN

p R
O
y t
FN
R 2
FN
d O

FN
取圆心角为 d 的微元面积，其 弧上为 ds
ds R
D ds d 2
包含直径的纵向截面
σ p
'''
横截面
内表面
=

应力状态分类

应力状态分类

应力状态分类引言：应力是指物体受到外部力作用时的一种物理量。

根据物体受力的不同方式和受力后的变形程度，应力状态可以分为四种类型：拉应力、压应力、剪应力和扭应力。

本文将对这四种应力状态进行详细介绍。

一、拉应力拉应力是指物体受到外部力的拉伸作用时，在其内部产生的一种应力状态。

当物体受力方向与其初始长度方向一致时，会发生拉应力。

拉应力会导致物体产生正向的线性变化，即物体的长度会增加。

拉应力可以通过应力-应变关系来描述，即拉应力等于物体的应变乘以杨氏模量。

拉应力在工程领域中广泛应用，如在建筑结构中使用钢材来承受拉力。

二、压应力压应力是指物体受到外部力的压缩作用时，在其内部产生的一种应力状态。

当物体受力方向与其初始长度方向相反时，会发生压应力。

压应力会导致物体产生负向的线性变化，即物体的长度会减小。

与拉应力类似，压应力也可以通过应力-应变关系来描述，即压应力等于物体的应变乘以杨氏模量。

压应力在许多工程领域中都有应用，例如在汽车制造中，轮胎受到路面的压力而产生的压应力。

三、剪应力剪应力是指物体受到外部力的剪切作用时，在其内部产生的一种应力状态。

当物体受到平行于其初始形状的剪切力时，会发生剪应力。

剪应力会导致物体产生切变变形，即物体的形状会发生扭曲。

剪应力可以通过剪应力等于物体的剪应变乘以剪切模量来描述。

剪应力在工程领域中非常常见，如在金属加工中，剪应力用于切割金属材料。

四、扭应力扭应力是指物体受到外部力的扭转作用时，在其内部产生的一种应力状态。

当物体受到扭矩作用时，会发生扭应力。

扭应力会导致物体产生扭转变形，即物体的形状会围绕中心轴旋转。

扭应力可以通过扭应力等于物体的扭应变乘以扭转模量来描述。

扭应力在机械工程中十分重要，如在传动装置中，扭应力用于传递转矩。

结论：应力是物体受到外部力作用时的一种物理量，根据物体受力的不同方式和受力后的变形程度，应力状态可以分为拉应力、压应力、剪应力和扭应力。

这四种应力状态在工程领域中都有重要的应用。

简述应力状态的类型

简述应力状态的类型

一、根据主单元体上三个主应力中有几个是非零的数值，可将应力状态分为三类：
1.单向应力状态只有一个主应力不等于零。

2.二向应力状态有两个主应力不等于零。

3.三向应力状态三个主应力都不等于零。

单向应力状态又称为简单应力状态，二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。

单向及二向应力状态又称为平面应力状态。

二、一点的应力状态：通过受力构件内一点的所有截面上的应力情况称为一点的应力状态。

三、一点的应力状态的表示法—
单元体：围绕所研究的点，截取一个边长为无穷小的正六面体，用各面上的应力分量表示周围材料对其作用。

称为应力单元体。

特点：
1.单元体的尺寸无限小，每个面上的应力为均匀分布。

2.单元体表示一点处的应力，故相互平行截面上的应力相同。

四、主平面、主应力、主单元体：主平面单元体中剪应力等于零的平面。

主应力主平面上的正应力。

可以证明：受力构件内任一点，均存在三个互相垂直的主平面。

三个主应力用σl、σ2和σ3表示，且按代数值排列即σl>σ2>σ3。

主单元体用三对互相垂直的主平面取出的单元体。

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2 x y 2 2
cos2 x sin2
sin2 x cos2
斜截面上的应力公式的适用范围？
上述关系式是建立在静力学基础上，与材料性质 无关。 换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况， 也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题。
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绘制方法1：
以 （
R (

x y ， 0） 为圆心， 2
y 2
R
o (x+ y)/2
x
2

) x2
为半径作圆
缺点： •需用解析法计算圆心坐标和半径 •没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系
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应力状态分析
•是否一定存在切应力为 零的面？ •正应力最大与最小的面， 切应力有什么性质？
x
x
-30 ° y

-30 °
x
x
x 30° n

30

x 0 x 0

2 2 16.9MPa
cos 60 x sin 60来自
30

x 0
2
sin 2 x cos 2 45.4MPa
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应力状态分析
二倍角对应：应力圆半径转过的角度是微体截面方位角 变化的两倍。 转向对应：半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致。
y

y

n
H ( , )
2 C
D( x , x )


x x
微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端 微体平行对边, 对应应力圆同一点
应力状态分析
§3
一、应力圆 应力转轴公式
应力圆
在 平面上， , 的轨迹？ 应力圆
应力转轴公式形式变换
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应力状态分析
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
)2 x 2
应力状态分析
低碳钢
铸铁
•容易由实验建立强度条件。
仅仅根据横截面 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 上的应力，能否 回答这一问题？ 为什么脆性材料扭转时沿 45º 螺
旋面断开，破坏面呈颗粒状？
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应力状态分析
低碳钢和铸铁的扭转实验
低碳钢 铸 铁
应力状态分析

工字梁:
d
C ,max
1
1
a
b
max
1
C
z
a
max
1
O
max
1
y

1
c
d
t ,max
C ,max
b
c
y
t ,max
a 点处: 纯剪切；c , d 点处: 单向应力； b 点处:
, 联合作用
复杂应力状态下，如何 建立强度条件 ？
分别满足 ? 做实验的工作量与难度 ?
x
强度条件 y

y y
dx
dy
x
x
y

dz
x
z
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应力状态分析
一点处的应力状态
构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称 为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面 上的应力表示。 单元体如何取？ y 在研究点的周围，取一个由 三对互相垂直的平面构成的六面 dz 体，该六面体的边长分别为无穷 dx x 小量dx、dy和dz，如下图所示。 dy
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应力状态分析
应力状态分析
§1 §2 引言 平面应力状态应力分析
§3
§4 §5 §6 §7
应力圆
平面应力状态的极值应力与主应力 三向应力状态 平面应变状态应变分析（自学） 广义胡克定律
§8 复杂应力状态下的应变能
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y
y
t

sin(2 ) x cos(2 )
符号规定：—拉伸为正；—使微体顺时针转者为正 —以x轴为始边，指向沿逆时针转者为正
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应力状态分析
应力转轴公式（斜截面上的应力公式）


x y x y
z
y
y
dz
x
z
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应力状态分析
应力分析的解析法：微体中取分离体平衡。 y
x
y y
n


x
x
t
y x x
dA
x
x y
2 x y 2
n




x y
2
cos(2 ) x sin(2 )
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应力状态分析
例 用图解法求图示 =30°斜截面上的应力值。
yx=35.7MPa x=63.7MPa
30
n
解：按一定比例画出应力圆。
因为图示应力状态有：
x 63.7MPa 0 y 0
xy yx 35.7MPa
绘制方法2（实际采用）
y
y

D
y

x
n
x
x
o
y
y
E
C
x
F

x+y)/2
x-y)/2
•分析
x
设x面和y面的应力分别为 D( x , x ), E( y , y ), 由于 x y , 故DE中点坐标 C ( x y , 0) 为圆心，DE为直径。
max
( x y ) 2
M
min
思考：如何从应力圆确定微体内最大与最小正应力？最 大与最小切应力？微体内最大正应力与切应力方位？
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应力状态分析
思考： 对于平面应力：

K
D( x , x )
R
•是否一定存在正应力为 零的面？
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已知 x 80 MPa
x 60 MPa
y 30 MPa
210


30
60 80
求图示 ， 解：

x y x y cos2 x sin2 2 2
单位：MPa

x y
2
sin2 x cos2
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应力状态分析
则x、y截面在应力圆上两点为：

Dy(0, 35.7)
Dx 63.7， 35.7
Dy 0， 35.7

60°
Dx(63.7,-35.7) ， -30°) E-30° 20MPa
按一定比例，作出应 力圆，并找到斜截面对应 的点，量取其坐标可得：
（自己证明）
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应力状态分析
应力圆点与微体截面应力对应关系 点面对应：微体截面上的应力值与应力圆上点的 坐标值一一对应。

y
H( , )
y


C
x

x

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F 500103 x 63.7 MP a A π 1002 4
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应力状态分析
为什么是负号？
Me 7 10 x 35.7 MP a π WP 3 100 16
6
y y C
图示斜截面上应力分量为：
2
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应力状态分析
y
y
y

x

n
H
H ,
D
x
x
o
y
y
E
C
2 20 x F
H

•绘图：以ED为直径， C为圆心作圆 • 面应力：
x+y)/2
x-y)/2
x
H
H
应力状态分析
绘制应力圆两例
B B A A
法线夹角 -




(A, A)
(0, )
o

o
(B, B)

2(-)
(0, )
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应力状态分析
应力圆的作用：
1、思维分析的工具 2、通过明晰的几何关系导出一些基本公式， 不用死记硬背
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§1
引言
在研究三种基本变形强度 问题时，都是研究的各构件横 截面上的应力情况
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应力状态分析
1. 直杆受轴向拉（压）时，其任意横截面上的应力是均布的，即 横截面上各点处的应力是相等的。 2.圆轴扭转时,其任意横截面上剪应力是按线性 分布的,横截面上各点应力不相等 3.剪切弯曲的梁,其横截面上分布的正应力和剪应 力,也不是均布的