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三向应力状态简介

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应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向

应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向


2．作应力圆 主应力为 1 , 3 ，并可 确定主平面的法线。
材料力学
第七章
应力和应变分析
3．分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等， 但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较 低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45º 的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
材料力学
第七章
2 2
x y
xy

n

材料力学
y a xy
y On D( x , ) a a
a
第七章
n
应力和应变分析
二、应力圆的画法
建立应力坐标系，如下图所 示，（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A( x， xy)和B(y，yx)

x
C O
2a
AB与a 轴的交点C便是圆 A( x , xy) 心。
150°
第七章
应力和应变分析
x y 2 2 1 x y （ ） xy 2 2 2
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
95
60°
y 45MP a yx 25 3MP a xy
25 3
x ?
y O x
60 95MPa 60 25 3MPa
材料力学
第七章
应力和应变分析
应力表示——单元体：
①dx、dy、dz（微小的正六面体） ②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内 对应点同方位截面上的应力。
B P
dz
dx
dy
A
C
பைடு நூலகம்
B
D
C
B、C——单向受力，τ ＝0 A——纯剪切， σ ＝0
D
D——既有 σ ，又有τ
三向应力状态

三向应力状态

2
2
min
例7-1 试求中所示单元体的主应力和最大剪应力。 （1）求主应力
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x + y x - y 2 + x 2 2 min
10 + 30 10 - 30 + 202 2 2 + 42.4MPa（ 拉 应 力 ） - 2.4MPa（ 压 应 力 ）
2 2
a 0对应 max
x + y
2
a 0 + 90 对应 min

x + y
2
三、最大和最小剪应力
d a 0 da
2
x - y
2
cos 2a - 2 xy sin 2a 0
x - y tg 2a 2 xy
max
x - y 2 + + xy 2 x - y 2 - 2 + xy
3
a 0 12143'
3
（2）求最大剪应力
1 42.4 2 0 MPa - 2.4 3
1
(a)
max
1 - 3
2
22 .4 MPa
3、 纯剪切应力状态
- 2 x tg 2a 0 - x - y
a0 135
五、不等于零的情况。
二向应力状态：三对主应力中有两对主应力不等
于零的情况。
三向应力状态：三对主应力皆不等于零的情况。
7-2 平面应力状态分析—解析法
一、斜截面上的应力
已知：单元体 x，y，xyyx， a 研究与z轴平行的任一斜截面c e上的应力。 符号规则： q 角：从x轴正方向反时针转至斜截面的 外法线方向为正，反之为负。 正应力：拉为正，压为负。 剪应力：使微元体或其局部产生顺时针方 向转动趋势者为正，反之为负。
8-1三向应力

8-1三向应力


n
0
x
A x ( A cos ) cos
+ xy ( A cos ) sin + yx ( A sin ) cos y ( A sin ) sin 0


n
xy

dA
yx
y
F 0
t
A + x ( A cos ) sin + xy ( A cos ) cos yx ( A sin ) sin
3
Mz x Wz
3
圆杆受扭转和拉伸共同作用
m
P P m


N 4P 2 A pd T 16 m 3 Wt p d
§8-2
平面应力状态下的应力分析
y y
y
yx xy
y y
x
x
x
x x
一、解析法
y
y
x
x
y
n

x
x x
y
y
x

x
平面，分别作用着最大和最小剪应力
max min
x y 2 + x 2
2
2 x tan 2 0 x y
由：
x y tan 2 1 2 x
1 tan 2 1 ctg 2 0 tan 2 0
2 1 2 0 + 90 即 1 0 + 45
（刚好是剪应力为零 的截面）
max
min
x + y x y 2 2
y
2 + xy
2
2 或 i )当 x2 y时, 则0 max ,0 +
三向应力状态简介

三向应力状态简介


例：填空题。
危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，应选用
破坏形式为
。
第一
脆性断裂
强度理论进行计算，因为此时材料的
例：选择题。 纯剪切应力状态下，各向同性材料单元体的体积改变有四种答案：
（A）变大 （B）变小 （C）不变 （D）不确定
123 m
K
例： 圆轴直径为d，材料的弹性模量为E，泊松比为 μ ，为了测得轴端的力偶ｍ之值，但只有一 枚电阻片。 (1) 试设计电阻片粘贴的位置和方向； (2) 若按照你所定的位置和方向，已测得线应
对于二向应力状态：
1 1 E ( 1 2 )
2
1 E
(
2
1)
3 E ( 1 2 )
2 1
CL10TU30
下 面 考 虑 体 积 变 化 ：
V0abc
V 1 a ( 1 1 ) b ( 1 2 ) c ( 1 3 ) 2
a b c ( 1 1 23 )
） ） ）
§10-6 复杂应力状态下的变形比能
拉压变形能：
U1Pl1PPl P2l
2
2 EA 2EA
变形比能：
P
P
l l
uU P2l
2
1
V 2EAAl 2E 2
CL10TU40
变形比能：
u 1
2
u2 1112 1222 133 2
1 3
变形比能：
u21112122 2133
2 1 E 1 2 1 E12 2 13 2 2 （(1 2 2 3 ）23 31 )
强度理论的论述基本一致。
二
例：填空题。
一球体在外表面受均布压力p = 1 MPa作用，则在球心处的主应力 1 =
第九章三向应力状态(6,7,8)

第九章三向应力状态(6,7,8)

1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 这个理论比第三强度理论更符合已有的一些 平面应力状态下的试验结果，但在工程实践中多 半采用计算较为简便的第三强度理论。




(5) 强度理论的相当应力
上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写 作如下形式：
影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如低温能提 高脆性，高温一般能提高塑性； 在高速动载荷作用下 脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。 无论是塑性材料或脆性材料：
在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形式破坏， 所以应采用最大拉应力理论；
在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变形， 所以应该采用第三或第四强度理论。
于是，第四强度理论的屈服判据为 vd vdu
1 vd ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 6E


对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限s的材料，注 意到试验中1＝ s， 2＝3＝0，而相应的形状改 变能密度的极限值为 1 vdu 2 s2 6E 故屈服判据可写为
1 1 E 1 （ 2 3） 1 2 （ 3 1） 2 E 3 1 3 （ 1 2） E
1 2 2 2 v 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E
1 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 s2 62 1 2 2 3 3 1 s 2 此式中，1、2、3是构成危险点处的三个主应力， 相应的强度条件则为
§9-7 强度理论及其相当应力
一、强度理论的概念
三向应力

三向应力


z
s z s 30 s 120 ) （

我们应该把X，Y，Z理解 成任意三个垂直的方向
特例（主单元体）
s
2
s3
s1
s
2
s1
1 2 3
1 E 1 E 1 E (s 1 s 2 ) (s s 1 )
s1
1 2 3
1 E 1 E 1 E (s 1 0 )
xy

2 xy

x y
例： 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上的应变 1、
2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。
解：由
x cos i y sin i
2 2
i
xy
sin i cos i
i =1,2,3这三个方程求出 x， y， x y；然后在求主应变。
2
co s 2
xy
2
sin 2
x y
2
sin 2
y
xy
2
co s 2
2 s x s t
2
s
s x s

s x s
2
y
cos 2 t xy sin 2
y
sin 2 t xy cos 2
二、应变分析图解法——应变圆（ Strain Circle）
1） x1 方 向 的 线 应 变 ； .沿 2）x1 y 1角 的 剪 应 变 。 .
dx
f ( x , y , z , xy , ) g ( x , y , z , xy , )
y1
y
x1
dy
三向应力状态简介

三向应力状态简介



变形比能： 1 u 2

2

1 1 1 u 1 1 2 2 3 3 2 2 2
1 3
变形比能： 1 1 1 u 1 1 2 2 3 3 2 2 2
1 2 2 1 2 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E 1
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力
（应力单位为MPa）。
解： 1 50MPa
2 50MPa 3 50MPa max 1 3
2 50MPa
CL10TU33
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力
（应力单位为MPa）。
CL10TU34
解：
120 40 2 2


3(1 2 ) 2 1 2 2 m ( 1 2 3 ) uv 2E 6E
u f u uv
12 2 2 2 m ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 6E
m
1 2 3
3
3 ( 1 2 ) 1 2 3 m 变形比能 = 体积改变比能 + 形状改变比能 E 3 K u = u + u
v
f CL10TU41
1 2 2 u 1 2 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E
1 式中：
E 1 体积弹性模量 K 3 (12 2 ) 2 （ 3 1 ） E 1 2 3 m 1 3 3 （ 1 2 ） 3 E 当 05 . 时， 0
2
3 1
1 3
第九章应力状态(3,4,5)

第九章应力状态(3,4,5)


s
3
e3

1 E
s
3

s 1

s 2
例 9-17
边长a =0.1 m的铜质立方体，置于刚性很大的 钢块中的凹坑内(图a)，钢块与凹坑之间无间隙。 试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向荷载F =300 kN时，铜块内的主应力，最大切应力，以及铜块 的体应变。已知铜的弹性模量E =100 GPa，泊松比
1 2
E
sx sy sz
思考: 各向同性材料制成的构件内一点处，
三个主应力为s1＝30 MPa，s2＝10 MPa，s3＝-40
MPa。现从该点处以平行于主应力的截面取出边 长均为a的单元体，试问：(1) 变形后该单元体的 体积有无变化？(2) 变形后该单元体的三个边长之 比有无变化？
弹性,小变形条件下可以
应用叠加原理，故知x方 向的线应变与正应力之
间的关系为
e x

sx
E


sy
E


sz
E


1 E
sx

sy
sz
同理有
e y

1 E
s
y
s x
s z ，e z

1 E
sz

sx
s
最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力
分量，但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy ， txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx、sy、sz、 tyx、tzy、tzx。
当空间应力状态的三个主应
力s1、s2、s3已知时(图a)，与
任何一个主平面垂直的那些斜截
面(即平行于该主平面上主应力
材料力学08应力状态分析_2图解法

材料力学08应力状态分析_2图解法



x

2
y
2

2 xy
OC

1
一、应力圆的画法
1. 在 - 坐标系中确定两点： D (x , xy )、D′(y , yx )
2. 连接 D、D′，交 轴于
C点 3. 以 C 点为圆心、CD 为半
径作圆即得
2

二、由图解法（应力圆）确定斜截面上的应力
将 CD 沿同样的转向旋转 2 至 CE ，则 E 点的横坐标、纵坐标即 为 斜截面上的正应力、切应力，即有
在主平面。
11
[例3] 在过 A 点的两个截面上的应力如图所示，试用图解法确定其 主应力以及主平面位置。

D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
D
20 20

A1
60
解： 1）画应力圆
按选定比例尺，由 y = 20 MPa、yx = -60 MPa 确定 D′点，由 = -20 MPa、 = 0 确定 B1 点。由于B1、 D′均在应力圆的圆周上，故 作 B1D′的垂直平分线，交 轴于点 C ；以点 C 为圆心、CD′为半径
故在单元体上，从 x 轴以顺时针转向量取 0 = 33.5°，即得 1
所在主平面。
主应力单元体如图所示
14
作出应力圆。
12

D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
2）确定主应力和主平面
D
20 20 70 110
根据应力圆，按选定比例尺，量得主应力
60
A1

20 MPa
1 OA1 110 MPa 2 0 3 OB1 20 MPa
应力状态分析和强度理论

应力状态分析和强度理论


03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
三向应力

三向应力



2

x y
2
x y
2
s in 2

xy
c o s 2
2
x y
2
s in 2
至此，完成了应变规律的研究，即：


2

c o s 2

xy
s in 2
(A) (B)
2
x y
2

xy
c o s 2
2


2
x y
2

x y
*
*
xy
sin
2
显 然 ， ( )即 为 直 角 x 1 y 1角 度 改 变 ， 而 这 一 角 度 改 变 也 就 是 剪 应 变 。 所 以

*
2 ( x y ) c o s s in
xy
s in
2
将上式略作改变便可以写为
1 2 3
y
(s 1 s 3 )
3
30

E
s 3
(s
2
s 1 )
30

1 E

s 30 s 120 s z ) （


30

x
120

1 E
1 E


s 120 s 30 s z ) （



z

微分线段的线应变为

d (l ) ds
xy
d x s in
x d x co s
ds

y d y sin

简述应力状态的类型

一、根据主单元体上三个主应力中有几个是非零的数值，可将应力状态分为三类：
1.单向应力状态只有一个主应力不等于零。

2.二向应力状态有两个主应力不等于零。

3.三向应力状态三个主应力都不等于零。

单向应力状态又称为简单应力状态，二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。

单向及二向应力状态又称为平面应力状态。

二、一点的应力状态：通过受力构件内一点的所有截面上的应力情况称为一点的应力状态。

三、一点的应力状态的表示法—
单元体：围绕所研究的点，截取一个边长为无穷小的正六面体，用各面上的应力分量表示周围材料对其作用。

称为应力单元体。

特点：
1.单元体的尺寸无限小，每个面上的应力为均匀分布。

2.单元体表示一点处的应力，故相互平行截面上的应力相同。

四、主平面、主应力、主单元体：主平面单元体中剪应力等于零的平面。

主应力主平面上的正应力。

可以证明：受力构件内任一点，均存在三个互相垂直的主平面。

三个主应力用σl、σ2和σ3表示，且按代数值排列即σl>σ2>σ3。

主单元体用三对互相垂直的主平面取出的单元体。

三向应力 英语

三向应力英语Three-dimensional stressThree-dimensional stress refers to the state of stressin a three-dimensional body, where the stress varies with position and direction. This type of stress is common in many engineering and geotechnical applications, and understanding its behavior is crucial for designing and analyzing structures.In a three-dimensional stress state, there are three normal stresses, σx, σy, and σz, acting along the x, y, and z axes, respectively. Additionally, there are three shear stresses, τxy, τyz, and τzx, acting on the xy, yz, and zx planes, respectively. The combination of these six stresses creates a complex and varied stress distribution within the material.When analyzing three-dimensional stress, it is important to consider the effects of all six stress components on the material's behavior. Failure to account for any of these stress components can lead to inaccuracies in the analysis and design process.In engineering applications, three-dimensional stress is commonly encountered in components such as pressure vessels, piping systems, and complex machine parts. In geotechnical engineering, soil and rock masses are subjected to three-dimensional stress due to the complex nature of theirloading conditions.Understanding three-dimensional stress is essential for ensuring the safety and reliability of engineering structures. By accurately predicting the behavior of materials under three-dimensional stress, engineers can design structures that are better equipped to withstandreal-world loading conditions.三向应力三向应力是指三维体内的应力状态，在这种状态下，应力随位置和方向的变化而变化。

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材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂 相应地，强度理论也可分为两类：
一类是关于脆性断裂的强度理论； 另一类是关于塑性屈服的强度理论。 一、关于脆断的强度理论
26
1.最大拉应力理论（第一强度理论）
• 它假定：无论材料内各点的应力状态如何，
只要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂时 的极限应力σu，材料即破坏。
2
1
7
这样，单元体上与主应力之一平行的各个 斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆 圆周上各点的坐标来表示。
3
2
1
8
至于与三个主方向都不平行的任意斜截面， 弹性力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴 影面内某点的坐标来表示。
3
2
1
9
• 在三向应力状态情况下：
2
max 1
min 3
1
max
18
对于二向应力状态：
1 1 E ( 1 2 )
2
1 E
(
2
1)
3 E ( 1 2 )
2 1
CL10T1U9 30
下 面 考 虑 体 积 变 化 ：
V0abc
V 1 a ( 1 1 ) b ( 1 2 ) c ( 1 3 ) 2
a b c ( 1 1 23 )
1
3
2
3
• τmax 作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°
角的平面上，以τ1，3表示
CL10T1U0 31
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。
CL10T1U1 32
解：
1 330 220 30 220 2402 5 4 2 2 .2 .2M M P a
25500M M PPaa
2
3
3
1
1 1
3 2
3
2
2
3
2
1
3
同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其 应力对应于由主应力 σ1 和 σ3 所画的应力圆圆 周上各点的坐标。
2
3
1
1
3 2
4
3
2
1
5
在平行于 σ1 的各个斜截面上，其应力对应 于由主应力 σ2 和 σ3 所画的应力圆圆周上各点 的坐标。
2
3
1
1
3 2
6
3
单 位 体 积 的 体 积 改 变 为 :
V1 V0
V0
123
3 a
b 1 c
也 称 为 体 积 应 变 。
CL10T2U0 30
§10-6 复杂应力状态下的变形比能
P
拉压变形能：
U1Pl1PPl P2l
2
2 EA 2EA
变形比能：
P
l l
uU P2l
2
1
V 2EAAl 2E 2
CL10TU40
解：
2 1 1 12 20 02 2 4 40 0 1 2 0 2 4 0 23 021 3 3 0 0M M P a 3 3 30 0M MP Pa a
m ax1 2380M Pa
15
§10-5 广义胡克定律
纵向应变：
E
横向应变：
E
CL10T1U6 35
下 面 计 算 沿 1 方 向 的 应 变 ：
§10-4 三向应力状态简介
主单元体：六个平面都是主平面
2
1 3
若三个主应力已知，求任意斜截面上的应CL力10T:U1 30
首先分析平行于主应力之一（例如σ3）的 各斜截面上的应力。
σ3 对斜截面上的应力没有影响。这些斜截 面上的应力对应于由主应力 σ1 和 σ2 所画的应 力圆圆周上各点的坐标。
1引 起 的 应 变 为 1
1
E
2
2 、 3 引 起 的 应 变 为12E1 Nhomakorabea3
E
1 3
当 三 个 主 应 力 同 时 作 用 时 ：
1E 11（ 23）
CL10T1U7 30
广义胡克定律：
1
1 E
1 （ 2 3）
2
1 E
2
（
3
）
1
3
1 E
3 （ 1 2）
• 1.最大剪应力理论（第三强度理论）
• 它假定，无论材料内各点的应力状态如何， 只要有一点的最大剪应力τmax达到单向拉伸 屈服剪应力τS时，材料就在该处出现明显塑 性变形或屈服。
• 屈服破坏条件是：
max s
21
变形比能：
u 1
2
u2 1112 1222 133 2
1 3
22
2 1
m m
2 m
1 m
3
m
3 m
m
1
2
3
3
变 形3 比(1 能=2 体)积 改1 变 比能2+ 形状3改变比m 能
u E = uv 3+
uK f CL10T2U3 41
u 2 1 E1 2 2 2 3 2 2 (12 23 31 )
28
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）
• 它假定，无论材料内各点的应变状态如何， 只要有一点的最大伸长线应变ε1达到单向拉 伸断裂时应变的极限值 εu，材料即破坏。
• 所以发生脆性断裂的条件是 ε1 ≥ εu • 若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工
作，则
1 E 11 （ 23 ） , uE u 29 E b
• 由此导出失效条件的应力表达式为：
1 (2 3 ) b
[ ] b
n
• 第二强度条件： 1(23 ) []
30
煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如 端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生 断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向， 这与第二强度理论的结果相近。
CL10T3U1 50
二、关于屈服的强度理论
m ax1 2347.2M Pa
12
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。
解： 1 5 0 M P a
2 50M Pa
3 50M Pa
max
1 3 2
50M Pa
CL10T1U3 33
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。
CL10T1U4 34
• 在单向拉伸时，极限应力 σu =σb
• 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
[ ] b
n
• 第一强度强度条件： 1 []
27
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、 陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符， 这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应 力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也 是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最 大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它 两个主应力的影响。
uv
3(12)
2E
2m
1 6E 2(123)2
uf uuv
1 6 2E ( 1 1 2 ) 2 m(2 m 3 ) 2 (3 1 1 ) 2 m
3
m
3 m
24
§10-7 强度理论的概念
max [ ] max [ ]
流动破坏 材料破坏的形式主要有两类：
断裂破坏
25
§10-8 常用的四种强度理论