光学 游璞于国萍版 1.1 几何光学

A
B
3. 由费马原理导出几何光学定律
1) 直线传播定律：
在均匀介质中折射率为常数
B
B
ndl n dl
A
B
A
A
而由公理：两点间直线距离最短
B
dl 的极小值为直线AB A
所以光在均匀介质中沿直线传播
2) 反射定律 （证明方法1）
设从A点发出的光线入射到分界 面xoz，在C点反射到B点
真空中所能传播的路程。
k
分区均匀介质: l nili
i 1
折射率连续变化介质:
l


B
A
ndl
2.费马原理
1658年法国数学家费马（P. Fermat 1601-1665) 概括了光线传播的三定律，发表了“光学极短时 间原理”，经后人修正，称为费马原理。
过去表述：光沿所需时间为极值的路径传播。
第一章 几何光学
几何光学研究的是光在障碍物尺度比光波长大得多情 况下的传播规律。这种情况下，波长趋近于零。可以不 必考虑光的波动性质，仅以光直线传播性质为基础.
若研究对象的几何尺寸远远大于所用光波波长，则 由几何光学可以得到与实际基本相符的结果。反之， 当几何尺寸可以与光波波长相比时，则由几何光学获 得的结果将与实际有显著差别，甚至相反。
三、费马原理
光在均匀介质中总是沿直线传播的，光在非均匀介质中又 是怎样传播的？费马借助光程的概念，回答了该问题。
1.光程——在均匀介质中，光在介质中通过的几何路程
l 与该介质的折射率n 的乘积：
l nl
r
介质中
n c l l t
v cv
nr
折合到真空中
物理意义：光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在
几何光学是波动光学在一定条件下的近似。
1
本章主要内容
§1 几何光学的基本定律和费马原理 §2 成像的基本概念 §3 傍轴条件下的单球面折射成像 §4 薄透镜的成像公式和放大率 §5 共轴球面系统 §6 光学系统中的光阑 §7 像差
§1-1 几何光学的基本定律和费马原理
1.光线 2.几何光学的基本实验定律 3.费马原理
二、几何光学的基本实验定律
1、光的直线传播定律：光在各向同性的均匀介质 中沿直线传播。
实例：物体的影子、针孔成 象、日食、月食
［注］：非均匀介质中，光以 曲线传播，向折射率增大方向 弯曲
实例：夏日柏油路上的 倒影、海市蜃楼
2、光的独立传播定律和光路可逆原理: 来自不同方向的光线在介质中相遇后，各保持
现在表述：光沿光程取极值的路径传播。
［注］极值：极小值、极大值、恒定值
每一可能路径都是空间的 坐标函数,而光程又随路
数学表述：（由变分原理）
径而变化,是函数的函 数——泛函*,其改变称为
ò d [l] = d
B
n dl
=
0 或 t

1
B
ndl 0A源自cA变分，数学过程是相应的 求导。
*泛函与复合函数（附录4）
(1)
ï ¶x AC
CB
由费马原理知，í ï îï
¶[l] = nz + nz = 0
¶z AC CB
(2)
ì ï
¶[l ] = n(x - x1) + -n(x2 - x) = 0
(1)
ï ¶x AC
CB
í ï îï
¶[l] = nz + nz = 0
¶z AC CB
(2)
由(2)知，z=0，说明入射点C一定
［联系］高等数学中的费马引理：设 f ( x)在点 x0处具 有导数,且在 x0处取得极值,那么必定 f (x0 ) 0 .
光程为极值的例子:
(1) 光程为极小值——直线传播定律、反射定律、折射定律 （后做证明）
(2) 光程为恒定值——回转椭球凹面镜
自其一个焦点发出、经 镜面反射后到达另一焦 点的光线，其光程相等。 A
i2
思考
斯涅耳公式
*全反射发生的条件 光纤通信
5、几何光学定律成立的条件
（1）必须是均匀介质，即同一介质的折射率处处 相等，折射率不是位置的函数。 （2）必须是各向同性介质，即光在介质中传播时 各个方向的折射率相等，折射率不是方向的函数。 （3）光强不能太强，否则巨大的光能量会使线性 叠加原理不再成立而出现非线性情况。 （4）光学元件的线度应比光的波长大得多，否则 不能把光束简化为光线。
原来的传播方向和强度继续传播。 光沿反方向传播时，必定沿原光路返回。即在
几何光学中，任何光路都是可逆的。
［注］适用于强度不太大， 相干性较差的光线传播
3、反射定律：
入射光线、反射面的法线和反
射光线三者处在同一平面上，入
射光线和反射光线分居于入射点
界面法线的两侧，入射角等于反
射角。
S
en
i i' R
在xoy平面内，即D(x,0,0)，由此
y A(x1,y1,0)
B(x2,y2,0)
i i’
x
D(x,0,0)
入射光线、法线，反射光线在同一
平面内。
z
由(1) ¶[l ] = n(x - x1 ) + - n(x2 - x ) = 0
B
［析］椭圆上任意一点到 两焦点距离之和为常数
(3) 光程为极大值 A. 回转抛物凹面镜
焦点发出的光，反射后
B
变为平行光，会聚在无 穷远处，光程为极大值。 A
B. 内切于回转椭球面的凹球面镜
由A点发出过D点符合反射 定律的光线，必过椭球另
D C
一焦点B，光线的光程ADB
比任何路径的光程ACB都大.
l nAC nCB ABC n (x x1)2 y12 z2 z n (x2 x)2 y22 z2
y A(x1,y1,0)
B(x2,y2,0)
i i’
x
D(x,0,0)
C(x,0,z)
ì ï
¶[l ] = n(x - x1) + -n(x2 - x) = 0
界面

i i'
漫反射
（故，我们才能在各个角度看见 物体）
4.折射定律：折射线位于入射面内,折射线 与入射线分居法线两侧，入射角的正弦与 折射角的正弦之比为一与入射角无关的常 数，即
sin i1 sin i2

n2 n1

n21
n1
i1 i1
或 n1 sin i1 n2 sin i2 n2
一、光线
1.光线：形象表示光的传播方向的几何线。 ［注］① 同力学中的质点一样，光线仅是一种抽象的数 学模型。它具有光能，有长度，有起点、终点，但无粗 细之分，仅代表光的传播方向。
②无数光线构成光束。
③光沿光线方向传播时，位相不断改变。
2. 几何光学的适用条件：在光的传播方向上障碍物（狭 缝、小孔、透镜的口径）的几何尺寸必须远远大于光的 波长。